RPM
기하와 벡터
정답
과
풀이
하나를 알면 10개, 20개를 풀 수 있는 개념원리수학
포물선
01
Ⅰ.평면곡선 포물선 (x+1)¤ =-16(y-3)은 포물선 x¤ =-16y를 x축의 방향으로 -1만큼, y축의 방향으로 3만큼 평행이동한 것이다. 이때 x¤ =-16y=4_(-4)_y에서 이 포물선의 초점의 좌표 는 (0, -4), 준선의 방정식은 y=4이므로 주어진 포물선의 초점의 좌표는 (-1, -1), 준선의 방정식은 y=7이다. 답 초점의 좌표：(-1, -1), 준선의 방정식：y=70026
y¤ =4_5_x=20x 답 y¤ =20x0005
y¤ =4_(-1)_x=-4x 답 y¤ =-4x0006
x¤ =4_4_y=16y 답 x¤ =16y0007
x¤ =4_(-3)_y=-12y 답 x¤ =-12y0008
4p=4에서 p=1이므로 초점의 좌표：(1, 0), 준선의 방정식：x=-1 답 초점의 좌표：(1, 0), 준선의 방정식：x=-10011
4p= 에서 p= 이므로 초점의 좌표：{ , 0}, 준선의 방정식：x=-답 초점의 좌표：{ , 0}, 준선의 방정식：x=-1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 20012
4p=8에서 p=2이므로 초점의 좌표：(0, 2), 준선의 방정식：y=-2 답 초점의 좌표：(0, 2), 준선의 방정식：y=-20013
4p=- 에서 p=- 이므로 초점의 좌표：{0, - }, 준선의 방정식：y= 답 초점의 좌표：{0, -16}, 준선의 방정식：y=16 1 6 1 6 1 6 2 30014
x¤ -8x-4y+28=0에서 (x-4)¤ =4(y-3) ∴ m=4, n=3 답 m=4, n=30021
x¤ +4x-4y-12=0에서 (x+2)¤ =4(y+4) ∴ m=-2, n=-4 답 m=-2, n=-40022
포물선 (y-1)¤ =4(x+1)은 포물선 y¤ =4x를 x축의 방향으로 -1만큼, y축의 방향으로 1만큼 평행이동한 것이다. 이때 y¤ =4x=4_1_x에서 이 포물선의 초점의 좌표는 (1, 0), 준선의 방정식은 x=-1이므로 주어진 포물선의 초점 의 좌표는 (0, 1), 준선의 방정식은 x=-2 답 초점의 좌표：(0, 1), 준선의 방정식：x=-20025
포물선 (x+3)¤ =4(y+2)는 포물선 x¤ =4y를 x축의 방향으로 -3만큼, y축의 방향으로 -2만큼 평행이동한 것이다. 이때 x¤ =4y=4_1_y에서 이 포물선의 초점의 좌표는 (0, 1), 준선의 방정식은 y=-1이므로 주어진 포물선의 초점 의 좌표는 (-3, -1), 준선의 방정식은 y=-3이다. 답 초점의 좌표：(-3, -1), 준선의 방정식：y=-30028
포물선 (y-2)¤ =-8(x+3)은 포물선 y¤ =-8x를 x축의 방향으로 -3만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 것이다. 이때 y¤ =-8x=4_(-2)_x에서 이 포물선의 초점의 좌표 는 (-2, 0), 준선의 방정식은 x=2이므로 주어진 포물선의 초점의 좌표는 (-5, 2), 준선의 방정식은 x=-1이다. 답 초점의 좌표：(-5, 2), 준선의 방정식：x=-10027
y¤ =4_3_x=12x 답y¤ =12x0001
y¤ =4_(-2)_x=-8x 답 y¤ =-8x0002
x¤ =4_1_y=4y 답x¤ =4y0003
x¤ =4_(-4)_y=-16y 답 x¤ =-16y0004
y¤ =4_2_x=8x 답y¤ =8x0009
x¤ =4_3_y=12y 답x¤ =12y0010
초점이 x축 위에 있고 p=-3이므로 y¤ =4_(-3)_x=-12x 답 y¤ =-12x0015
초점이 x축 위에 있고 p=-2이므로 y¤ =4_(-2)_x=-8x 답 y¤ =-8x0016
초점이 y축 위에 있고 p=5이므로 x¤ =4_5_y=20y 답x¤ =20y0017
초점이 y축 위에 있고 p=-4이므로 x¤ =4_(-4)_y=-16y 답 x¤ =-16y0018
답 (x-2)¤ =2(y+3)0019
답 (y+3)¤ =-(x-2)0020
x¤ -2x-4y-7=0에서 (x-1)¤ =4(y+2) ∴ m=1, n=-2 답 m=1, n=-20023
x¤ +6x-4y+13=0에서 (x+3)¤ =4(y-1) ∴ m=-3, n=1 답 m=-3, n=10024
▶본문
009 ~ 011
쪽 점 P에서 직선 x=- 에 내린 수선의 발을 H라고 하면 PA”=PH”이므로 æ≠{x- }¤ +y¤ =|x+ | 양변을 제곱하면 x¤ -3x+ +y¤ =x¤ +3x+ ∴ y¤ =6x 답 ③ 9 4 9 4 3 2 3 2 3 20029
⑴ y¤ =-16x에서 4p=-16 ∴ p=-4 따라서 초점의 좌표는 (-4, 0), 준선의 방정식은 x=4이고 그래프는 오른쪽 그림과 같다. ⑵ x¤ =-6y에서 4p=-6 ∴ p=-따라서 초점의 좌표는{0, - }, 준선의 방정식은 y= 이고 그래프는 오른쪽 그림과 같다. 답풀이 참조 3 2 3 2 3 2 x y y= x¤ =-6y O 0, { } 3 ;2; ;2;3 3 -;2; x y (-4, 0) x=4 y¤ =-16x O 40030
한 점과 한 직선에 이르는 거리가 같은 점이 나타내는 도형은 포물선이다. ⑴ 초점이 F(5, 0)이고 준선이 x=-5이므로 y¤ =4px에서 p=5 ∴ y¤ =20x ⑵ 초점이 F{0, - }이고 준선이 y= 이므로 x¤ =4py에서 p=-∴ x¤ =-2y 답 ⑴ y¤ =20x ⑵ x¤ =-2y 1 2 1 2 x y y= O 1 ;2; ;2;1 0, { }-;2;1 F 1 2 x y -5 x=-5 O F(5, 0)0031
원의 중심 (4, 0)을 초점으로 하고 원점을 꼭짓점으로 하는 포물선의 방정식은 y¤ =4_4_x, 즉 y¤ =16x 이 포물선이 점 (4, a)를 지나므로 a¤ =16_4=64 ∴ a=—8 따라서 모든 a의 값들의 곱은 -64이다. 답 -640032
포물선의 정의에 의하여 PH”=PF”, Q’H'”=QF”이므로 PH”+Q’H'”=PF”+QF”=PQ”=9 ∴ HH'QP= _(PH”+Q’H'”)_H’H'” = _9_8 =36 답 36 1 2 1 20033
y¤ =4x=4_1_x에서 이 포 물선의 초점 F의 좌표는 F(1, 0), 준 선의 방정식은 x=-1이다. 이때 포 물선 위의 점 P에서 포물선의 준선과 y축에 내린 수선의 발을 각각 H, K라 고 하면 포물선의 정의에 의하여 PF”=PH”이므로 점 P에서 y축에 내린 수선의 길이 PK”는 PK”=PH”-HK”=PF”-HK”=6-1=5 답 50034
y y¤ =4x F(1, 0) x x=-1 P O 6 K H -1 포물선의 정의에 의하여 PH”=PF”이므로 △PHF는 이등변삼각형이다. ∴ ∠PFH= _(180˘-40˘) =70˘ 답 ④ 1 20035
y¤ =8x=4_2_x에서 이 포물선의 초점 F의 좌표는 F(2, 0)이고, 세 점 A, B, C의 x좌표를 각각 x¡, x™, x£이라 고 하면 =2 ∴ x¡+x™+x£=6 한편, 포물선의 준선의 방정식은 x=-2이므로 세 점 A, B, C 에서 준선 x=-2에 내린 수선의 발을 각각 A', B', C'이라고 하면 포물선의 정의에 의하여 AF”=AA'”=x¡+2 BF”=BB'”=x™+2 CF”=CC'”=x£+2 ∴ AF”+BF”+CF”=(x¡+2)+(x™+2)+(x£+2) =(x¡+x™+x£)+6 =6+6=12 답 12 x¡+x™+x£ 30036
y¤ =4x=4_1_x에서 이 포물선의 초점 F의 좌표는 F(1, 0)이고 준선의 방정식은 x=-1이므로 두 점 A, B에 서 준선 x=-1에 내린 수선의 발을 각각 H, H'이라고 하면 AF”=AH”=a+1, BF”=B’H'”=a+1 또, 원의 반지름의 길이가 1이므로 OA”=OB”=1 ∴ ( AOBF의 둘레의 길이)=OA”+AF”+BF”+OB” =1+(a+1)+(a+1)+1 =2a+4 답 ⑤0037
y¤ =4x=4_1_x에서 이 포물선의 초점 F의 좌표는 F(1, 0)이고 직선 y=m(x-1)은 포물선 y¤ =4x의 초점 F(1, 0)을 지난다. 두 점 P, Q에서 준선 x=-1에 내린 수선의 발을 각각 H¡, H™라 하고, 두 점 P, Q의 x좌표를 각각 x¡, x™ (x¡<x™)라고 하면 PQ”=PF”+QF”=PH¡”+QH™” =(x¡+1)+(x™+1) =(x¡+x™)+2=10 ∴ x¡+x™=8 따라서 선분 PQ의 중점의 x좌표는 = =4 답 4 8 2 x¡+x™ 2
0038
y@=4x x¡ x™ x x=-1 y O -1 Q H™ H¡ F P 포물선 y¤ =4px의 초점 F의 좌표는 F(p, 0)이므로 A(p, 2p), B(p, -2p) ∴ AF”=AA'”=2p, AB”=4p AA'B'B=2p_4p=8p¤ =32에서 p=2 (∵ p>0) ∴ OA”=OB”="√p¤ +(2p)¤ =p'5=2'5 AB”=4p=4_2=8 ∴ (삼각형 OAB의 둘레의 길이)=AB”+OA”+OB” =8+4'5 답 ②0039
y¤ =10x=4_ _x에서 이 포물선의 초점 F의 좌표 는 F{ , 0}, 준선의 방정식은 x=- 이다.두 점 A, B의 좌표를 각각 A(x¡, y¡), B(x™, y™)로 놓으면 두 점 A, B는 포물선 y¤ =10x 위의 점이므로
y¡¤ =10x¡, y™¤ =10x™ yy`㉠
두 점 A, B에서 준선 x=- 에 내린 수선의 발을 각각 H¡, H™라고 하면 AF”+BF”=A’H¡”+B’H™”={x¡+ }+{x™+ }=8에서 x¡+x™=3 ∴ S¡+S™=pAC”¤ +pBD”¤ =py¡¤ +py™¤ =10p(x¡+x™) (∵ ㉠) =10p_3=30p 답 30p 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2
0040
포물선 (y-1)¤ =8(x+2)는 포물선 y¤ =8x를 x축의 방향으로 -2만큼, y축의 방향으로 1만큼 평행이동한 것이다. 이때 y¤ =8x=4_2_x에서 이 포물선의 초점의 좌표는 (2, 0)이고 준선의 방정식은 x=-2이므로 주어진 포물선의 초점 F의 좌표는 F(2-2, 0+1), 즉 F(0, 1) ∴ a=0, b=1 또, 준선의 방정식은 x=-4이므로 c=-4 ∴ a+b-c=0+1-(-4)=5 답 ④0041
포물선 (x-2)¤ =4y는 포물선 x¤ =4y를 x축의 방향 으로 2만큼 평행이동한 것이므로 포물선 (x-2)¤ =4y의 초점 F¡의 좌표는 F¡(0+2, 1), 즉 F¡(2, 1)포물선 (y+1)¤ =-8x는 포물선 y¤ =-8x를 y축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 것이므로 포물선 (y+1)¤ =-8x의 초점 F™의 좌표는
F™(-2, 0-1), 즉 F™(-2, -1)
∴ F’¡F™”="√(-2-2)¤ +(-1-ç1)¤ =2'5 답 ③
0042
포물선 x¤ =-6(y+a)는 포물선 x¤ =-6y를 y축의 방향으로 -a만큼 평행이동한 것이므로 포물선 x¤ =-6(y+a) 의 준선의 방정식은
y= -a ```yy ㉠
포물선 x¤ =20(y-b)는 포물선 x¤ =20y를 y축의 방향으로 b 만큼 평행이동한 것이므로 포물선 x¤ =20(y-b)의 준선의 방 정식은 y=-5+b yy㉡ ㉠, ㉡이 서로 일치하므로 -a=-5+b ∴ a+b= 답 13 2 13 2 3 2 3 2
0043
포물선 (x-k)¤ =2k(y+k-2)는 포물선 x¤ =2ky를 x축의 방향으로 k만큼, y축의 방향으로 -k+2만큼 평행이동 한 것이므로 포물선 (x-k)¤ =2k(y+k-2)의 초점의 좌표 는 {0+k, -k+2}, 즉 {k, - +2} 그런데 초점이 x축 위에 있으므로 - +2=0 ∴ k=4 따라서 포물선 (x-4)¤ =8(y+2)의 준선의 방정식은 y=-2-2=-4 답 y=-4 k 2 k 2 k 20044
포물선 위의 한 점을 P(x, y) 라 하고 점 P에서 직선 x=6에 내린 수선의 발을 H라고 하면 포물선의 정 의에 의하여 PF”=PH”이므로 "√(x-2)¤ +(y-1)¤ =|x-6| 양변을 제곱하여 정리하면 y¤ -2y+8x-31=00045
x y F(2, 1) x=6 6 O H P(x, y)▶본문
011 ~ 012
쪽 y=x¤ +2px+q에서 (x+p)¤ =y+p¤ -q 이 포물선은 포물선 x¤ =y를 x축의 방향으로 -p만큼, y축의 방향으로 q-p¤ 만큼 평행이동한 것이다. 따라서 주어진 포물선의 초점의 좌표는 {0-p, +q-p¤ }이 므로 -p= , +q-p¤ =4 ∴ p=- , q=4 ∴ pq={-12}_4=-2 답 ① 1 2 1 4 1 2 1 40049
이 포물선이 점 (a, 3)을 지나므로 9-6+8a-31=0 ∴ a= 답 ③ 다른풀이 주어진 포물선의 준선이 y축에 평행하므로 주어진 포물선은 포물선 y¤ =4px (p+0)를 평행이동한 것이다. 주어진 포물선의 방정식을 (y-n)¤ =4p(x-m)으로 놓으면 초 점의 좌표는 (p+m, n), 준선의 방정식은 x=-p+m이다. 이때 초점의 좌표가 (2, 1), 준선이 x=6이므로 p+m=2, n=1, -p+m=6 ∴ p=-2, m=4, n=1 따라서 포물선 (y-1)¤ =-8(x-4)가 점 (a, 3)을 지나므로 4=-8(a-4) ∴ a=7 2 7 2 ⑴ 포물선 위의 한 점을 P(x, y)라 하고 점 P에서 직 선 y=-1에 내린 수선의 발 을 H라고 하면 포물선의 정의 에 의하여 PF”=PH”이므로 øπ(x-2)¤ +(y-3)¤ =|y+1| 양변을 제곱하여 정리하면 (x-2)¤ =8(y-1) ⑵ 점 P를 P(x, y)라 하고 점 P에서 직선 x=4에 내린 수선의 발을 H라 고 하면 PF”=PH”이므로 "√(x+2)¤ +(y-3)¤ =|x-4| 양변을 제곱하여 정리하면 (y-3)¤ =-12(x-1) 답 ⑴ (x-2)¤ =8(y-1) ⑵ (y-3)¤ =-12(x-1)0046
x y F(2, 3) y=-1 O -1 H P(x, y) x x=4 y F(-2, 3) 4 O H P(x, y) 포물선 위의 한 점을 P(x, y)라 하고 점 P에서 직선 x=1에 내린 수선의 발을 H라고 하면 포물선의 정의에 의하 여 PF”=PH”이므로 "√(x-3)¤ +y¤ =|x-1| 양변을 제곱하여 정리하면 y¤ =4x-8 이 포물선이 점 (3, b)를 지나므로 b¤ =4_3-8=4 ∴ b=—2 답 ② x=1 P(x, y) H F(3, 0) x y O 10047
포물선 위의 한 점을 P(x, y) 라 하고 점 P에서 준선에 내린 수선의 발 을 H, 준선의 방정식을 x=a라 하면 포 물선의 정의에 의하여 PF”=PH”이므로 "√(x-1)¤ +(y+1)¤ =|x-a| 양변을 제곱하면 (x-1)¤ +(y+1)¤ =(x-a)¤ ∴ (y+1)¤ =(2-2a)x+a¤ -1 yy ㉠ 포물선 ㉠이 점 (4, 3)을 지나므로 16=(2-2a)_4+a¤ -1a¤ -8a-9=0, (a+1)(a-9)=0 ∴ a=-1 또는 a=9 ⁄ a=-1일 때, ㉠에서 (y+1)¤ =4x ¤ a=9일 때, ㉠에서 (y+1)¤ =-16(x-5) 답 (y+1)¤ =4x또는 (y+1)¤ =-16(x-5)
0048
y F(1, -1) x=a P(x, y) O H x y¤ -8x-4y-4=0에서y¤ -4y+4=8x+8 ∴ (y-2)¤ =8(x+1) yy`㉠ 포물선 ㉠은 포물선 y¤ =8x를 x축의 방향으로 -1만큼, y축 의 방향으로 2만큼 평행이동한 것이다. 따라서 포물선 ㉠의 꼭짓점의 좌표는 (-1, 2)이므로 c=-1, d=2 초점의 좌표는 (2-1, 0+2), 즉 (1, 2)이므로 a=1, b=2 준선의 방정식은 x=-2-1=-3이므로 e=-3 ∴ a+b+c+d+e=1+2+(-1)+2+(-3)=1 답 ③
0050
x¤ -8y+2x+17=0에서 x¤ +2x+1=8y-16 ∴ (x+1)¤ =8(y-2) yy ㉠ 포물선 ㉠은 포물선 x¤ =8y를 x축의 방향으로 -1만큼, y축 의 방향으로 2만큼 평행이동한 것이다. 이때 포물선 x¤ =8y의 꼭짓점의 좌표는 (0, 0), 초점의 좌표 는 (0, 2), 준선의 방정식은 y=-2이므로 포물선 ㉠의 꼭짓 점의 좌표는 (-1, 2), 초점의 좌표는 (-1, 4), 준선의 방정 식은 y=0이다. 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. 답 ③0051
⑴ y¤ =8x=4_2_x이므로 점 A(2, 0)은 이 포물선의 초점이 고 준선의 방정식은 x=-2이다. 오른쪽 그림과 같이 두 점 P, B에서 준선 x=-2에 내린 수선의 발을 각 각 H, K라고 하면 포물선의 정의에 의하여 PA”=PH”이므로 PA”+PB”=PH”+PB” 따라서 점 P가 선분 BK와 포물선 y¤ =8x의 교점일 때, PH”+PB”는 최솟값을 갖는다. PA”+PB”=PH”+PB” æBK” =6-(-2) =8 이므로 PA”+PB”의 최솟값은 8이다. ⑵ 점 P가 선분 BK와 포물선 y¤ =8x의 교점일 때, PA”+PB” 의 값은 최소이므로 b=3이다. 점 P(a, 3)이 포물선 y¤ =8x 위의 점이므로 3¤ =8a ∴ a= ∴ a+b= +3= 답⑴ 8 ⑵ 33 8 33 8 9 8 9 8
0053
y B(6, 3) A(2, 0) x=-2 O H P K -2 y¤ =8x x x¤ =4y=4_1_y에서 이 포물선의 초점의 좌표는 F(0, 1)이고 준선의 방정식은 y=-1이다. 오른쪽 그림과 같이 두 점 P, A 에서 준선 y=-1에 내린 수선 의 발을 각각 H, K라고 하면 포물선의 정의에 의하여 PF”=PH”이므로 AP”+PF”=AP”+PH” 따라서 점 P가 선분 AK와 포물선 x¤ =4y의 교점일 때, AP”+PF”는 최솟값을 갖는다. AP”+PF”=AP”+PH” æAK”=5-(-1)=6 이므로 AP”+PF”의 최솟값은 6이다. 답 ③0054
y A(3, 5) F(0, 1) y=-1 -1O P H K x¤ =4y x (△ABP의 둘레의 길이) =AP”+PB”+AB” 이므로 AP”+PB”의 값이 최소일 때 △ABP의 둘레의 길이도 최소이다. y¤ =3x=4_ _x이므로 점 B{ , 0}은 이 포물선의 초점이 고 준선의 방정식은 x=- 이다. 점 P에서 준선 x=- 에 내린 수선의 발을 H라고 하면 포 물선의 정의에 의하여 PB”=PH”이므로 AP”+PB”=AP”+PH” 즉, 세 점 A, P, H가 한 직선 위에 있을 때, AP”+PB”의 값이 최소가 되므로 점 P의 좌표를 (a, 3)으로 놓으면 9=3a ∴ a=3 ∴ △ABP= _AP”_3 =12_2_3=3 답 ② 1 2 3 4 3 4 3 4 3 40055
4 -, 0 B(
3)
4 --3 y¤ =3x P H x y O A(5, 3) x= 4 --3 오른쪽 그림과 같이 포물선의 꼭짓점이 원점에 오도록 안테나의 단면 을 좌표평면 위에 나타내면 안테나의 바 깥쪽 원의 반지름의 길이가 2 m, 깊이 가 0.4 m이므로 점 A의 좌표는 (0.4, 2)가 된다. 또한, 포물선의 방정식을 y¤ =4px (p>0)로 놓으면 점 A는 포물선 위의 점이므로 2¤ =4p_0.4 ∴ p=2.5 따라서 포물선의 초점 F의 좌표는 (2.5, 0)이므로 접시 안테 나의 수신기는 포물선의 꼭짓점으로부터 2.5 m 떨어져 있다. 답 ⑤0056
x y O A(0.4,`2) F(p,`0) ⑴ 축이 y축에 평행하므로 구하는 포물선의 방정식을 x¤ +Ax+By+C=0으로 놓고 세 점 (1, -3), (-3, -3), (-1, -2)를 각각 대입하면 1+A-3B+C=0 yy㉠ 9-3A-3B+C=0 yy㉡ 1-A-2B+C=0 yy`㉢ ㉠, ㉡, ㉢을 연립하여 풀면 A=2, B=4, C=9 따라서 구하는 포물선의 방정식은 x¤ +2x+4y+9=0 ⑵ 축이 x축에 평행하므로 구하는 포물선의 방정식을 y¤ +Ax+By+C=0으로 놓고 세 점 (4, -1), (1, 0), (-2, 2)를 각각 대입하면 1+4A-B+C=0 yy㉠ A+C=0 yy`㉡ 4-2A+2B+C=0 yy`㉢ ㉠, ㉡, ㉢을 연립하여 풀면 A=-2, B=-5, C=2 따라서 구하는 포물선의 방정식은 y¤ -2x-5y+2=0 답 ⑴ x¤ +2x+4y+9=0 답 ⑵ y¤ -2x-5y+2=00052
▶본문
012 ~ 014
쪽 오른쪽 그림과 같이 포물 선의 준선을 l이라 할 때, 점 A, B, C, D, E에서 준선 l에 내린 수선의 발을 각각 A', B', C', D', E'이라고 하면 PD”+QD”=D’D'”+QD”=Q’D'” PA”+QA”=A’A'”+QA”>Q’D'” PB”+QB”=B’B'”+QB”>Q’D'” PC”+QC”=C’C'”+QC”>Q’D'” PE”+QE”=E’E'”+QE”>Q’D'” 따라서 하수처리장의 위치로 가장 적합한 곳은 D이다. 답 ④0058
P A A' B'C'D'E' Q C E B l D 오른쪽 그림과 같이 혜성과 태 양의 위치를 각각 A, F라 하고 점 A에 서 혜성 궤도의 축에 내린 수선의 발을 B, 혜성 궤도의 준선을 l이라 하자. 포물선 위의 점에서 초점과 준선에 이 르는 거리가 같으므로 혜성이 포물선의 꼭짓점과 일치할 때 태양으로부터의 거 리가 가장 가깝다. 포물선의 방정식을 y¤ =4px (p>0)로 놓으면 OF”+FB”=p+(4_10⁄ ‚ ) cos 60˘ =p+2_10⁄ ‚ 점 A에서 준선 l에 내린 수선의 발을 H라 하고 준선 l과 x축 의 교점을 H'이라고 하면 포물선의 정의에 의하여 AH”=AF”=4_10⁄ ‚ 이므로 B’H'”=AH”에서 p+2_10⁄ ‚ -(-p)=4_10⁄ ‚ ∴ p=10⁄ ‚ 따라서 구하는 거리는 10⁄ ‚ km이다. 답10⁄ ‚ km0057
y F p B 60˘ O -p H H' A 4_1010 x l x¤ +2x-2y+5=0에서 (x+1)¤ =2(y-2) 이 포물선은 포물선 x¤ =2y를 x축의 방향으로 -1만큼, y축 의 방향으로 2만큼 평행이동한 것이다. ㄱ. x¤ =2y=4_ _y에서 이 포물선의 초점의 좌표는 {0, }이므로 포물선 (x+1)¤ =2(y-2)의 초점의 좌표 는{0-1, +2}, 즉 {-1, }이다. (거짓) ㄴ. 포물선 x¤ =2y의 꼭짓점의 좌표는 (0, 0)이므로 포물선 (x+1)¤ =2(y-2)의 꼭짓점의 좌표는 (-1, 2)이다. (참) ㄷ. 포물선 x¤ =2y의 준선의 방정식은 y=- 이므로 포물선 (x+1)¤ =2(y-2)의 준선의 방정식은 y=- +2=3 2 1 2 1 2 5 2 1 2 1 2 1 2 이다. (참) ㄹ. 점{-1, }는 주어진 포물선의 초점이므로 초점에서 포 물선 위의 임의의 점 P에 이르는 거리는 점 P에서 준선에 이르는 거리와 같다. 따라서 구하는 최단 거리는 포물선의 꼭짓점 (-1, 2)에 서 준선 y= 까지의 거리와 같으므로 이다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ, ㄹ이다. 답 ㄴ, ㄷ, ㄹ 1 2 3 2 5 20059
축이 x축에 평행하므로 포물선의 방정식을 y¤ +Ax+By+C=0으로 놓고 세 점 (0, 0), (0, 4), (3, -2)를 대입하면 C=0 yy`㉠ 16+4B+C=0 yy㉡ 4+3A-2B+C=0 yy㉢ ㉠, ㉡, ㉢을 연립하여 풀면 A=-4, B=-4, C=0 따라서 주어진 포물선의 방정식은 y¤ -4x-4y=0 ∴ (y-2)¤ =4(x+1) yy`㉣ 포물선 ㉣은 포물선 y¤ =4x를 x축의 방향으로 -1만큼, y축 의 방향으로 2만큼 평행이동한 것이다. 이때 포물선 y¤ =4x의 초점의 좌표는 (1, 0)이므로 포물선 ㉣ 의 초점의 좌표는 (1-1, 0+2), 즉 (0, 2) 따라서 a=0, b=2이므로 ab=0 답 ③0060
8x=y¤ +4cy에서 (y+2c)¤ =8{x+ }
이 포물선은 포물선 y¤ =8x를 x축의 방향으로 - 만큼, y축 의 방향으로 -2c만큼 평행이동한 것이다. 이때 포물선 y¤ =8x의 초점의 좌표가 (2, 0)이므로 주어진 포 물선의 초점의 좌표는 {2- , -2c}이고, 이 점이 직선 y=x-2위에 있으므로 -2c=2- -2, c¤ -4c=0, c(c-4)=0 ∴ c=4 (∵ c>0) 답 ④ c¤ 2 c¤ 2 c¤ 2 c¤ 2
0061
주어진 포물선의 준선이 y축에 평행하므로 주어진 포 물선은 포물선 y¤ =4px (p+0)를 평행이동한 것이다. 주어진 포물선의 방정식을 (y-n)¤ =4p(x-m)으로 놓으면 초점의 좌표는 (p+m, n), 준선의 방정식은 x=-p+m이다. 이때 초점의 좌표가{ , -1}, 준선의 방정식이 x= 이 므로 p+m= , n=-1, -p+m=13 4 11 4 13 4 11 40062
포물선의 정의에 의하여 PH”=PF”, Q’H'”=QF”이므로 PH”+Q’H'”=PF”+QF”=PQ”=8 ∴ HH'QP= _(PH”+Q’H'”)_H’H'” =1_8_7=28 답 28 2 1 2
0064
y¤ =8x=4_2_x에서 이 포 물선의 초점 F의 좌표는 F(2, 0)이고 준선 l의 방정식은 x=-2이다. 오른쪽 그림과 같이 점 P에서 준선 x=-2에 내린 수선의 발을 H라고 하 면 포물선의 정의에 의하여 PF”=PH” 이므로 AP”+PF”=AP”+PH” 즉, 세 점 A, P, H가 한 직선 위에 있을 때, AP”+PF”의 값이 최소가 되므로 AP”+PF”æ3+2=5 따라서 구하는 최솟값은 5이다. 답 50065
P x x=-2 -2 y O H F(2, 0) A(3, 1) y¤ =8x y¤ =8x=4_2_x에서 이 포물선의 준선의 방정식은 x=-2이 다. 이때 PF”=a, QF”=b라고 하면 PQ”=a+b=10이고 포물선의 정의 에 의하여 PH”=a-2, Q’H'”=b-2 이므로 PH”+Q’H'”=(a-2)+(b-2) =a+b-4 =10-4=6 답 60066
y¤ =8x x x=-2 b b a a y O -2 P H H' F Q y¤ =4x=4_1_x에서 이 포물선의 초점 F의 좌표는 F(1, 0)이고 준선의 방정식은 x=-1이다.두 점 A, B의 좌표를 각각 A(x¡, y¡), B(x™, y™)라고 하면 선분 AB의 중점의 좌표가{ , -1}이므로 = , 즉 x¡+x™=5 두 점 A, B에서 준선에 내린 수선의 발을 각각 A', B'이라고 하면 AF”+BF”=AA'”+BB'” =(x¡+1)+(x™+1) =x¡+x™+2 =5+2=7 답 ③ 5 2 x¡+x™ 2 5 2
0067
y¤ =4x=4_1_x에서 이 포물선의 초점 F의 좌표는 F(1, 0)이고 준선의 방정식은 x=-1이다. 점 P의 좌표를 P(x¡, y¡)이라고 하면 H(-1, y¡) △PHF가 정삼각형이므로 PH”=HF”에서 x¡+1="√(-1-1)¤ +y¡¤ yy㉠ 또, 점 P(x¡, y¡)은 포물선 y¤ =4x 위의 점이므로 y¡¤ =4x¡ 이것을 ㉠에 대입하면 x¡+1="√(-1-1)¤ +4x¡ 양변을 제곱하여 정리하면 x¡¤ -2x¡-3=0, (x¡-3)(x¡+1)=0 ∴ x¡=3 (∵ x¡>0) ∴ PH”=x¡+1=4 따라서 정삼각형 PHF의 한 변의 길이는 4이다. 답 ③0068
y¤ =ax=4_ _x에서 이 포 물선의 초점 F의 좌표는 F{ , 0}, 준선 의 방정식은 x=- 이다. 점 P에서 준선 l에 내린 수선의 발을 H, x축에 내 린 수선의 발을 E, 준선과 x축의 교점을 G라고 하면 PF”=PH”=EG”=FG”+FE” =2_ +1_cos 60˘= PF”=1이므로 a+12 =1 ∴ a=1 답 1 a+1 2 a 4 a 4 a 4 a 40069
G H l F E P 1 60˘ x y y¤ =ax O x¤ =y=4_ _y에서 이 포물선의 초점 F의 좌표는 F{0, }, 준선의 방정식은 y=- 이다. 포물선 위의 점 P(a, b)에서 준선에 내린 수선의 발을 H라고 하면 포물선의 정의에 의하여 PF”=PH”= 이므로 b-{- }= (∵ bæ0) ∴ b= 또한, 점 P{a, }은 포물선 x¤ =y 위의 점이므로 a¤ = ∴ 4(a¤ +b¤ )=4{ +1}=3 답 ② 4 1 2 1 2 1 2 1 2 3 4 1 4 3 4 1 4 1 4 1 40063
x y y= x¤ =y O F H P(a, b) 1 -;4; 1 -;4; 1 ;4; 3 ;4; ∴ p=- , m=3, n=-1 따라서 포물선 (y+1)¤ =-(x-3)이 점 (a, 4)를 지나므로 (4+1)¤ =-(a-3) ∴ a=-22 답 ① 1 4▶본문
014 ~ 015
쪽 y¤ =4x=4_1_x에서 이 포 물선의 초점의 좌표는 F(1, 0), 준선 의 방정식은 x=-1이다. 오른쪽 그림과 같이 두 점 P, Q에서 준선 x=-1에 내린 수선의 발을 각 각 H, H'이라 하고 두 점 P, Q의 x 좌표를 각각 a, b라고 하면 포물선의 정의에 의하여 PF”=PH”=a+1 QF”=Q’H'”=b+1 이므로 PQ”=PF”+QF”=PH”+Q’H'” =(a+1)+(b+1)=a+b+2=6 에서 a+b=4 따라서 선분 PQ의 중점의 x좌표는 =42=2 답 2 a+b 20070
x x=-1 y y¤ =4x O -1 P H H' F Q y¤ +4x-4y-4=0에서 (y-2)¤ =-4(x-2) 이 포물선은 포물선 y¤ =-4x를 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 것이다. 포물선 y¤ =-4x의 초점의 좌표는 (-1, 0)이므로 포물선 (y-2)¤ =-4(x-2)의 초점의 좌표는 (-1+2, 0+2), 즉 (1, 2) 따라서 포물선 x¤ -2x-4y+a=0의 초점의 좌표가 (1, 2)이 고, 이 포물선은 초점의 좌표가 (0, 1)인 포물선 x¤ =4y를 x 축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로 1만큼 평행이동한 것이 므로 (x-1)¤ =4(y-1) ∴ x¤ -2x-4y+5=0 ∴ a=5 답 50071
단계 채점요소 배점 포물선 y¤ +4x-4y-4=0의 초점의 좌표 구하기 40% x¤ -2x-4y+a=0이 (x-1)¤ =4(y-1)임을 알기 50% a의 값 구하기 10% x¤ =8y=4_2_y에서 이 포물선의 초점의 좌표는 (0, 2)이고 준선의 방정식은 y=-2이다. 즉, 점 A가 주어 진 포물선의 초점이다. 오른쪽 그림과 같이 점 P에서 준선 y=-2에 내린 수선의 발을 H라고 하면 AP”+BP”=PH”+BP” 즉, 세 점 B, P, H가 한 직선 위에 있을 때, AP”+BP”의 값이 최소가 되므로 a=2이다. 점 P(2, b)가 포물선 x¤ =8y 위의 점이므로 4=8b ∴ b= 즉, 점 P의 좌표는{2, }이고 AP”+BP”의 최솟값은 3-(-2)=5이다. 따라서 a=2, b= , c=5이므로 abc=5 답 5 1 2 1 2 1 20072
단계 채점요소 배점 점 P에서 준선에 내린 수선의 발을 H라 하고 AP”+BP”=PH”+BP”임을 알기 40% 점 P의 좌표와 AP”+BP”의 최솟값 구하기 50% abc의 값 구하기 10%점 A의 좌표를 (a, 'ƒ4pa )라 하고, AB”와 x축이 만 나는 점을 H라고 하면 점 H의 좌표는 (a, 0)이다. 직선 AF가 △OAB의 넓이를 이등분할 때, 초점 F(p, 0)은 △OAB의 무게중심이므로 (p, 0)={ a, 0} ∴ p= a yy㉠ 또, △OAB의 넓이가 6'6이므로 △OAB= _AB”_OH” = _2'∂4pa_a =a'∂4pa=6'6 ∴ pa‹ =54 yy㉡ ㉠에서 a= p이므로 ㉡에 대입하면 p› =54, p› =16 ∴ p=2 (∵ p>0) 답 ① 27 8 3 2 1 2 1 2 2 3 2 3
0073
x¤ =8y H P(a, b) x y O B(2, 3) A(0, 2) y=-2 -2 두 점 A, B에서 준선에 내린 수선의 발을 각각 A', B'이라고 하면 포물선의 정의에 의하여 AF”=A’A'”, BF”=B’B'” 오른쪽 그림과 같이 점 B에서 A’'A”의 연장선 위에 내린 수선의 발을 C라 하 고 AF”=2k, BF”=3k로 놓으면0074
x 3k 3k 2k 2k l y y¤ =6x O C B B' A' F AAC”=A’'C”-A’'A”=B’'B”-A’'A” =BF”-AF”=3k-2k=k 직각삼각형 ACB에서 피타고라스 정리에 의하여 BC”="√(5k)¤ -k¤ =2'6k 따라서 직선 l의 기울기 m은 m= =2'6k=2'6 ∴ m¤ =24 답 24 k BC” AC”
타원
02
Ⅰ.평면곡선 2a=8에서 a=4 c=2이므로 b¤ =4¤ -2¤ =12 따라서 구하는 타원의 방정식은 + =1 답 + y¤ =1 12 x¤ 16 y¤ 12 x¤ 160075
2a=10에서 a=5 c=4이므로 b¤ =5¤ -4¤ =9 따라서 구하는 타원의 방정식은 + =1 답 +y¤ =1 9 x¤ 25 y¤ 9 x¤ 250078
2b=4에서 b=2 c=1이므로 a¤ =2¤ -1¤ =3 따라서 구하는 타원의 방정식은 + =1 답 +y¤ =1 4 x¤ 3 y¤ 4 x¤ 30076
2b=10에서 b=5 c=3이므로 a¤ =5¤ -3¤ =16 따라서 구하는 타원의 방정식은 + =1 답 + y¤ =1 25 x¤ 16 y¤ 25 x¤ 160077
타원 + =1에서 장축의 길이는 2_5=10 단축의 길이는 2_4=8 'ƒ25-16 =3이므로 초점의 좌표는 (3, 0), (-3, 0) 답 초점의 좌표：(3, 0), (-3, 0) 장축의 길이：10, 단축의 길이：8 y¤ 4¤ x¤ 5¤0079
타원 + =1에서 장축의 길이는 2_7=14 단축의 길이는 2_2'6=4'6 'ƒ49-24 =5이므로 초점의 좌표는 (0, 5), (0, -5) 답 초점의 좌표：(0, 5), (0, -5) 장축의 길이：14, 단축의 길이：4'6 y¤ 7¤ x¤ (2'6 )¤0080
타원 x¤ +4y¤ =4, 즉 +y¤ =1에서 장축의 길이는 2_2=4 단축의 길이는 2_1=2 'ƒ4-1='3이므로 초점의 좌표는 ('3, 0), (-'3, 0) 답 초점의 좌표：('3, 0), (-'3, 0) 장축의 길이：4, 단축의 길이：2 x¤ 2¤0081
▶본문
017
쪽 2a=16에서 a=8 c=4이므로 b¤ =8¤ -4¤ =48 따라서 구하는 타원의 방정식은 + =1 답 64x¤ +48y¤ =1 y¤ 48 x¤ 640085
2a=8에서 a=4 c='7이므로 b¤ =4¤ +('7)¤ =23 따라서 구하는 타원의 방정식은 + =1 답 + y¤ =1 23 x¤ 16 y¤ 23 x¤ 160086
타원 4x¤ +3y¤ =48, 즉 + =1에서 장축의 길이는 2_4=8 단축의 길이는 2_2'3=4'3 'ƒ16-12=2이므로 초점의 좌표는 (0, 2), (0, -2) 답 초점의 좌표：(0, 2), (0, -2) 답 장축의 길이：8, 단축의 길이：4'3 y¤ 4¤ x¤ (2'3 )¤0082
2a=4'3에서 a=2'3 c=2이므로 b¤ =(2'3)¤ -2¤ =8 따라서 구하는 타원의 방정식은 + =1 답 +y¤ =1 8 x¤ 12 y¤ 8 x¤ 120083
2b=8에서 b=4 c='5이므로 a¤ =4¤ -('5)¤ =11 따라서 구하는 타원의 방정식은 + =1 답 + y¤ =1 16 x¤ 11 y¤ 16 x¤ 110084
타원 위의 한 점을 P(x, y)라고 하면 타원의 정의에 의하여 "√(x-2)¤ +(y-7)¤ +"√(x-2)¤ +(y+1)¤ =12 "√(x-2)¤ +(y-7)¤ =12-"√(x-2)¤ +(y+1)¤ 양변을 제곱하여 정리하면 3"√(x-2)¤ +(y+1)¤ =2y+12 다시 양변을 제곱하여 정리하면 9(x-2)¤ +5(y-3)¤ =180 ∴ (x-2)¤20 +(y-3)¤36 =1 답 (x-2)¤20 + (y-3)¤36 =10087
타원 위의 한 점을 P(x, y)라고 하면 타원의 정의에 의하여 "√(x-1)¤ +(y-5)¤ +"√(x-1)¤ +(y+1)¤ =10 "√(x-1)¤ +(y-5)¤ =10-"√(x-1)¤ +(y+1)¤ 양변을 제곱하여 정리하면 5"√(x-1)¤ +(y+1)¤ =3y+19 다시 양변을 제곱하여 정리하면 25(x-1)¤ +16(y-2)¤ =400 ∴ + =1 답 + (y-2)¤ =1 25 (x-1)¤ 16 (y-2)¤ 25 (x-1)¤ 160088
타원 + =1은 타원 + =1을 y축의 방향으로 1만큼 평행이동한 것이다. 타원 + =1의 초점의 좌표는 ('6, 0), (-'6, 0)이므 로 주어진 타원의 초점의 좌표는 ('6, 1), (-'6, 1)이고, 장축의 길이는 4'2, 단축의 길이는 2'2이다. 답 초점의 좌표：('6, 1), (-'6, 1) 답 장축의 길이：4'2, 단축의 길이：2'2 y¤ 2 x¤ 8 y¤ 2 x¤ 8 (y-1)¤ 2 x¤ 80089
타원 + =1은 타원 + =1 을 x축의 방향으로 -3만큼, y축의 방향으로 5만큼 평행이동 한 것이다. 타원 + =1의 초점의 좌표는 (4, 0), (-4, 0)이므로 주어진 타원의 초점의 좌표는 (1, 5), (-7, 5)이고, 장축의 길이는 10, 단축의 길이는 6이다. 답 초점의 좌표：(1, 5), (-7, 5) 답 장축의 길이：10, 단축의 길이：6 y¤ 9 x¤ 25 y¤ 9 x¤ 25 (y-5)¤ 9 (x+3)¤ 250090
4x¤ +y¤ +4y=0에서 4x¤ +(y+2)¤ =4 ∴ x¤ + =1 이 타원은 타원 x¤ + =1을 y축의 방향으로 -2만큼 평행 이동한 것이다. 타원 x¤ + =1의 초점의 좌표는 (0, '3), (0, -'3)이므 로 주어진 타원의 초점의 좌표는 (0, '3-2), (0, -'3-2) 이고, 장축의 길이는 4, 단축의 길이는 2이다. 답 초점의 좌표：(0, '3-2), (0, -'3-2) 답 장축의 길이：4, 단축의 길이：2 y¤ 4 y¤ 4 (y+2)¤ 40091
x¤ +4y¤ -2x-16y+13=0에서 (x-1)¤ +4(y-2)¤ =4 ∴ +(y-2)¤ =1 이 타원은 타원 +y¤ =1을 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 것이다. 타원 +y¤ =1의 초점의 좌표는 ('3, 0), (-'3, 0)이므 로 주어진 타원의 초점의 좌표는 (1+'3, 2), (1-'3, 2)이 고, 장축의 길이는 4, 단축의 길이는 2이다. x¤ 4 x¤ 4 (x-1)¤ 40092
타원 위의 한 점을 P(x, y)라고 하면 타원의 정의에 의하여 "√(x-1)¤ +(y-1)¤ +"√(x+3)¤ +(y-1)¤ =8 "√(x-1)¤ +(y-1)¤ =8-"√(x+3)¤ +(y-1)¤ 양변을 제곱하여 정리하면 2"√(x+3)¤ +(y-1)¤ =x+9 다시 양변을 제곱하여 정리하면 3(x+1)¤ +4(y-1)¤ =48 ∴ + =1 답 +(y-1)¤ =1 12 (x+1)¤ 16 (y-1)¤ 12 (x+1)¤ 16
0094
타원 위의 한 점을 P(x, y)라고 하면 타원의 정의에 의하여 "√(x+1)¤ +(y-3)¤ +"√(x+3)¤ +(y-3)¤ =4 "√(x+1)¤ +(y-3)¤ =4-"√(x+3)¤ +(y-3)¤ 양변을 제곱하여 정리하면 2"√(x+3)¤ +(y-3)¤ =x+6 다시 양변을 제곱하여 정리하면 3(x+2)¤ +4(y-3)¤ =12 ∴ + =1 답 +(y-3)¤ =1 3 (x+2)¤ 4 (y-3)¤ 3 (x+2)¤ 40095
타원 위의 한 점을 P(x, y)라고 하면 타원의 정의에 의하여 "√(x-3)¤ +(y-2)¤ +"√(x+5)¤ +(y-2)¤ =10 "√(x-3)¤ +(y-2)¤ =10-"√(x+5)¤ +(y-2)¤ 양변을 제곱하여 정리하면 5"√(x+5)¤ +(y-2)¤ =4x+29 다시 양변을 제곱하여 정리하면 9(x+1)¤ +25(y-2)¤ =225 ∴ + =1 답 +(y-2)¤ =1 9 (x+1)¤ 25 (y-2)¤ 9 (x+1)¤ 250096
x¤ +9y¤ =9에서 +y¤ =1 'ƒ9-1='8=2'2이므로 초점의 좌표는 x¤ 90097
타원 위의 한 점을 P(x, y)라고 하면 타원의 정의에 의하여 "√(x-2)¤ +(y-3)¤ +"√(x+4)¤ +(y-3)¤ =10 "√(x-2)¤ +(y-3)¤ =10-"√(x+4)¤ +(y-3)¤ 양변을 제곱하여 정리하면 5"√(x+4)¤ +(y-3)¤ =3x+28 다시 양변을 제곱하여 정리하면 16(x+1)¤ +25(y-3)¤ =400 ∴ + =1 답 +(y-3)¤ =1 16 (x+1)¤ 25 (y-3)¤ 16 (x+1)¤ 250093
답 초점의 좌표：(1+'3, 2), (1-'3, 2) 답 장축의 길이：4, 단축의 길이：2 ⑴ PA”+PB”=6을 만족시키는 점 P가 나타내는 도형 은 타원이고 두 점 A(-2, 0), B(2, 0)은 이 타원의 초점 이다. 구하는 타원의 방정식을 + =1 (a>b>0)로 놓으면 PA”+PB”=2a=6에서 a=3 또한, 두 점 A(-2, 0), B(2, 0)이 타원의 초점이므로 2¤ =3¤ -b¤ , b¤ =9-4=5 따라서 구하는 타원의 방정식은 + =1 ⑵ PF”+PF'”=10이므로 2b=10 ∴ b=5 또한, 두 점 F(0, 3), F'(0, -3)이 타원의 초점이므로 3¤ =5¤ -a¤ , a¤ =16 ∴ a=4∴ a+b=4+5=9 답⑴ +y¤ =1 ⑵ 9 5 x¤ 9 y¤ 5 x¤ 9 y¤ b¤ x¤ a¤
0099
⑴ 타원 bx¤ +ay¤ =ab에서 + =1이고 한 초점 의 좌표가 (0, 4)이므로 4¤ =b-a yy㉠ 또한, 점 (3, 0)이 이 타원 위의 점이므로 =1 `yy ㉡ ㉠, ㉡에서 a=9, b=25 따라서 장축의 길이는 2_5=10 ⑵ 구하는 타원의 방정식을 + =1`(a>b>0)로 놓으면 두 초점의 좌표가 (4, 0), (-4, 0)이므로 a¤ -b¤ =4¤ ∴ (a+b)(a-b)=16 yy㉠ y¤ b¤ x¤ a¤ 3¤ a y¤ b x¤ a0100
(-2'2, 0), (2'2, 0) 구하는 타원의 방정식을 + =1(a>b>0)이라고 하면 이 타원의 초점이 (-2'2, 0), (2'2, 0)이므로 (2'2)¤ =a¤ -b¤ ∴ a¤ -b¤ =8 yy ㉠ 이때 장축의 길이가 10이므로 2a=10 ∴ a=5 a=5를 ㉠에 대입하면 25-b¤ =8 ∴ b='1å7 따라서 구하는 단축의 길이는 2b=2'1å7 답 ③ y¤ b¤ x¤ a¤ 주어진 타원의 방정식은 + =1이므로 중심은 원점, 장축의 길이는 2_8=16, 단축의 길이는 2_6=12이다. 또, 'ƒ64-36='2å8=2'7이므로 초점의 좌표는 (0, 2'7 ), (0, -2'7 ) 이고, 타원과 x축과의 교점의 좌표는 (6, 0), (-6, 0)이다. 답 ⑤ y¤ 8¤ x¤ 6¤0098
▶본문
017 ~ 019
쪽 장축의 길이가 2a, 단축의 길이가 2b이므로 2a-2b=4 ∴ a-b=2 yy㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=5, b=3 따라서 구하는 타원의 방정식은 + =1 답 ⑴ 10 ⑵ +y¤ =1 9 x¤ 25 y¤ 9 x¤ 25 AF”+A’F'”=2a=14에서 a=7 따라서 + =1에서 'ƒ49-9=2'1å0이므로 초점의 좌표 는 F(2'1å0, 0), F'(-2'1å0, 0)이다. ∴ F’F'”=4'1å0 답 4'1å0 y¤ 9 x¤ 7¤0101
선분 BC의 중점을 원점으로 하고, 선분 BC를 x축 위 에 놓으면 B(-2, 0), C(2, 0)이다. 구하는 타원의 방정식을 + =1 (a>b>0)로 놓으면 2a=AB”+AC”=5+3=8 ∴ a=4 b¤ =a¤ -2¤ =4¤ -2¤ =12 ∴ b=2'3 따라서 구하는 단축의 길이는 2b=2_2'3=4'3 답 4'3 y¤ b¤ x¤ a¤0102
△OAB가 직각삼각형이므로 a¤ +b¤ =25 yy㉠ 점 P가 선분 AB를 2：3으로 내분하므로 x= , y= ∴ a= x, b= y yy㉡ ㉡을 ㉠에 대입하면 { x}¤ +{ y}¤ =25 ∴ + =1 답 +y¤ =1 4 x¤ 9 y¤ 4 x¤ 9 5 2 5 3 5 2 5 3 2b 5 3a 50103
오른쪽 그림과 같이 직사각형 ABCD가 타원의 장축과 만나는 두 점 을 각각 F, F'이라고 하면 FF'”=12, CF”=5 이므로 직각삼각형 CFF'에서 CF'”="√12¤ +5¤ =13 ∴ (장축의 길이)=CF”+CF'” =5+13=18 답 180104
A B C D F F' 10 12 타원의 정의에 의하여 AF”+AF'”=BF”+BF'”=2a △F'AB의 둘레의 길이는 AF”+AF'”+BF”+BF'”=2a+2a=4a 즉, 4a=20에서 a=5 b¤ =5¤ -3¤ =16이므로 b=4 따라서 단축의 길이는 2b=2_4=8 답 80105
타원 + =1에서 'ƒ9-8=1이므로 초점의 좌표는 (0, 1), (0, -1) 타원의 정의에 의하여 AC”+AD”=BC”+BD”=2_3=6 ∴ (△ABC의 둘레의 길이) =(AD”+AC”)+(BD”+BC”) =6+6=12 답 12 y¤ 9 x¤ 80106
x y O A B C D -1 1 x¤ =1 + 8 9 y¤ 타원 + =1에서'ƒ100-36=8이므로 초점의 좌표는 F(8, 0), F'(-8, 0)이고, 원 (x+8)¤ +y¤ =9의 중심 의 좌표는 F'(-8, 0)이다. 이때 점 P가 원 위의 점이므로 PF'”=3 한편, 타원의 정의에 의하여 PF”+PF'”=20이므로 PF”=17 ∴ PF”_PF'”=17_3=51 답 51 y¤ 36 x¤ 1000107
단계 채점요소 배점 PF'”의 길이 구하기 50% PF”의 길이 구하기 30% PF”_PF'”의 값 구하기 20% 타원 + =1에서'ƒ25-9=4이므로 초점의 좌 표는 F(4, 0), F'(-4, 0) ∴ F’F'”=8 PF”=a, P’F'”=b라고 하면 타원의 정의에 의하여 a+b=10 yy㉠ 직각삼각형 PF'F에서 a¤ +b¤ =64 yy`㉡ ㉠, ㉡에서a¤ +b¤ =(a+b)¤ -2ab=100-2ab=64 ∴ ab=18
∴ PF'QF=ab=18 답 18 y¤ 9 x¤ 25
0108
PF”=a, P’F'”=b라고 하 면 타원의 정의에 의하여 a+b=8 또, OF”='ƒ16-9='7이고, △PF'F에서 점 O가 F'F”의 중점 이므로 삼각형의 중선 정리에 의하여 a¤ +b¤ =2(OP” ¤ + OF” ¤ )=2(OP” ¤ +7)0109
x a b y O F' F P -4 -3 3 4 x¤ =1 + 16 9 y¤주어진 타원은 타원 + =1을 x축의 방향으로 -2만큼, y축의 방향으로 3만큼 평행이동한 것이다. 타원 + =1에서'ƒ25-16=3이므로 초점의 좌표는 (3, 0), (-3, 0)이다. 따라서 주어진 타원의 초점의 좌표는 (3-2, 3), (-3-2, 3) 즉, (1, 3), (-5, 3)이므로 ab+cd=1_3+(-5)_3=-12 답 -12 y¤ 16 x¤ 25 y¤ 16 x¤ 25
0114
ㄱ. 주어진 타원은 타원 + =1을 x축의 방향으 로 1만큼 평행이동한 것이므로 중심의 좌표는 (1, 0)이다. (참) ㄴ. 단축의 길이는 2_4=8이다. (참) ㄷ. 장축의 길이는 2_5=10이다. (참) ㄹ. 타원 + =1에서'ƒ25-16=3이므로 초점의 좌표는 (3, 0), (-3, 0)이다. 따라서 주어진 타원의 초점의 좌표는 (3+1, 0), (-3+1, 0), 즉 (4, 0), (-2, 0)이므로 두 초 점의 x좌표의 합은 2이다. (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. 답 ㄱ, ㄴ, ㄷ y¤ 16 x¤ 25 y¤ 16 x¤ 250115
주어진 타원은 타원 + =1을 x축의 방향으로 1 만큼 평행이동한 것이다. 타원 + =1에서'ƒ4-3=1이므로 초점의 좌표는 (1, 0), (-1, 0)이다. 따라서 주어진 타원의 초점의 좌표는 (1+1, 0), (-1+1, 0), 즉 (2, 0), (0, 0)이므로 점 C(2, 0)과 원점 (0, 0)이 주어진 타원의 초점이다. 이때 타원의 정의에 의하여 AO”+AC”=BO”+BC”=2_2=4 ∴ (삼각형 ABC의 둘레의 길이) =(AO”+AC”)+(BO”+BC”)=4+4=8 답 8 y¤ 3 x¤ 4 y¤ 3 x¤ 40116
두 점 A(0, 0), B(4, 0)에 대하여 PA”+PB”=8을 만족시키는 점 P(x, y)가 나타내는 도형은 두 점 A, B가 초 점이고 장축의 길이가 8인 타원이다. 이 타원의 중심은 선분 AB의 중점이므로 { , }, 즉 (2, 0) 0+0 2 0+4 20117
2x¤ +y¤ =10에서 + =1 장축의 길이는 2'∂10이므로 타원의 정의에 의하여 PF”+PF'”=a+b=2'∂10 이때 a>0, b>0이므로 산술평균과 기하평균의 대소 관계에 의하여 a+bæ2'ßab (단, 등호는 a=b일 때 성립) 2'∂10æ2'∂ab ∴ ab…10 따라서 ab의 최댓값은 10이다. 답 ① y¤ 10 x¤ 50110
점 A의 좌표를 (a, b)(a>0, b>0)라고 하면 직사 각형 ABCD의 넓이 S는 S=2a_2b=4ab 점 A(a, b)는 타원 + =1위의 점이므로 + =1 yy㉠ 이때 a>0, b>0이므로 산술평균과 기하평균의 대소 관계에 의하여 + æ2æ≠ _ = yy㉡ {단, 등호는 = 일 때 성립} ㉠, ㉡에서 ab…10이므로 4ab…40 따라서 직사각형 ABCD의 넓이의 최댓값은 40이다. 답 ④ b¤ 16 a¤ 25 ab 10 b¤ 16 a¤ 25 b¤ 16 a¤ 25 b¤ 16 a¤ 25 y¤ 16 x¤ 25
0111
3x¤ +2y¤ =6에서 + =1 FP”=a, F’'P”=b라고 하면 타원의 정의에 의하여 a+b=2'3∴ FP”¤ +F’'P”¤ =a¤ +b¤ =(a+b)¤ -2ab =12-2ab 이때 a>0, b>0이므로 산술평균과 기하평균의 대소 관계에 의하여 æ'aåb (단, 등호는 a=b일 때 성립) '3æ'aåb ∴ ab…3 ∴ FP”¤ +F’'P”¤ =12-2abæ12-2_3=6 따라서 FP”¤ +F’'P”¤ 의 최솟값은 6이다. 답 6 a+b 2 y¤ 3 x¤ 2
0112
타원의 중심의 좌표는 { , }, 즉 (3, 1)이 므로 p=3, q=1 주어진 타원을 중심이 원점이 되도록 x축의 방향으로 -3만 1+1 2 1+5 2 큼, y축의 방향으로 -1만큼 평행이동하면 초점의 좌표는 (-2, 0), (2, 0)이다.따라서 a¤ =5+4=9에서 a=3 (∵ a>0)
∴ a+p+q=3+3+1=7 답 7
0113
∴ ab= =25-OP” ¤ 이때 3…OP”…4이므로 9…ab…16 따라서 M=16, m=9이므로 M+m=25 답 ③ (a+b)¤ -(a¤ +b¤ ) 2▶본문
019 ~ 021
쪽 4x¤ +y¤ -16x-6y+21=0에서 (x-2)¤ + =1 타원 (x-2)¤ + =1은 타원 x¤ + =1을 x축의 방향 으로 2만큼, y축의 방향으로 3만큼 평행이동한 것이다. 타원 x¤ + =1의 꼭짓점의 좌표는 (1, 0), (-1, 0), (0, 2), (0, -2)이므로 타원 (x-2)¤ + =1의 꼭 짓점의 좌표는 다음과 같다. (1+2, 0+3), (-1+2, 0+3), (0+2, 2+3), (0+2, -2+3) 즉, (3, 3), (1, 3), (2, 5), (2, 1) 답 ② (y-3)¤ 4 y¤ 4 y¤ 4 (y-3)¤ 4 (y-3)¤ 40122
x¤ +2y¤ -2x=7에서 + =1 타원 + =1은 타원 + =1을 x축의 방향으 로 1만큼 평행이동한 것이므로 두 타원의 초점 사이의 거리는 같다. 타원 + =1에서'ƒ8-4=2이므로 초점의 좌표는 (2, 0), (-2, 0) 따라서 구하는 두 초점 사이의 거리는 2-(-2)=4 답 ② y¤ 4 x¤ 8 y¤ 4 x¤ 8 y¤ 4 (x-1)¤ 8 y¤ 4 (x-1)¤ 80123
따라서 타원의 방정식을 + =1 (a>b>0)로 놓 을 수 있다. 이때 장축의 길이가 8이므로 2a=8 ∴ a=4 타원의 중심에서 초점까지의 거리는 2이므로 b=2'3 따라서 단축의 길이는 2b=2_2'3=4'3 그러므로 단축의 길이와 장축의 길이의 곱은 4'3_8=32'3 답 ③ 다른풀이 PA”+PB”=8에서 PB”=8-PA”이므로 "√(x-4)¤¤¤¤ +y¤ =8-"√x¤ +y¤ 양변을 제곱하면x¤ -8x+16+y¤ =64-16"√x¤ +y¤ +x¤ +y¤ x+6=2"√x¤ +y¤ 다시 양변을 제곱하면 x¤ +12x+36=4x¤ +4y¤ , 3x¤ -12x-36+4y¤ =0 ∴ + =1 따라서 단축의 길이는 2_'ß12=4'3이고 장축의 길이는 2_4=8이므로 단축의 길이와 장축의 길이의 곱은 4'3_8=32'3 y¤ 12 (x-2)¤ 16 y¤ b¤ (x-2)¤ a¤ 점 P(x, y)가 나타내는 도형은 초점이 A(0, 0), B(8, 0) 이고 장축의 길이가 10인 타원이다. 이 타원의 중심은 선분 AB의 중점이므로 (4, 0)이다. 따라서 타원의 방정식을 + =1 (a>b>0)로 놓 을 수 있다. 장축의 길이가 10이므로 2a=10 ∴ a=5 타원의 중심에서 초점까지의 거리가 4이므로 5¤ -b¤ =4¤ ∴ b¤ =9 따라서 구하는 타원의 방정식은 + =1 답 +y¤ =1 9 (x-4)¤ 25 y¤ 9 (x-4)¤ 25 y¤ b¤ (x-4)¤ a¤
0118
중심이 (1, 1)이고, 두 초점이 x축에 평행한 직선 위 에 있으므로 구하는 타원의 방정식을 + =1 (a>b>0)로 놓을 수 있다. 이때 장축의 길이가 10이므로 2a=10 ∴ a=5 두 초점 사이의 거리가 6이므로 25-b¤ =9 ∴ b¤ =16 따라서 구하는 타원의 방정식은 + =1 답 +(y-1)¤ =1 16 (x-1)¤ 25 (y-1)¤ 16 (x-1)¤ 25 (y-1)¤ b¤ (x-1)¤ a¤0119
ㄱ. 두 점 A(2, 0), B(-3, 3)을 두 꼭짓점으로 하 는 타원은 오른쪽 그림과 같이 ⁄, ¤로 2가지가 있다. (참) ㄴ. 장축의 길이는 2_{2-(-3)}=10, 단축의 길이는 2_(3-0)=6이므 로 그 합은 16이다. (거짓) ㄷ. ¤의 경우 타원의 초점은 x축 위에 있다. ⁄의 경우 타원의 중심의 좌표는 (2, 3)이고 장축의 길이 는 10, 단축의 길이는 6이므로 타원의 초점의 좌표는 "√5¤ -3¤ =4에서 (-2, 3), (6, 3)이다. 즉, 타원의 한 초점은 제`2사분면에 존재한다. (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ이다. 답 ㄱ0120
x y O A B 9x¤ +4y¤ +54x-8y+49=0에서 + =1 이 타원은 타원 + =1을 x축의 방향으로 -3만큼, y축의 방향으로 1 만큼 평행이동한 것이므로 오른쪽 그 림과 같다. 이때 장축의 길이는 AB”=2_3=6이므로 △ABO= _AB”_3 = 12_6_3=9 답 ② 1 2 y¤ 9 x¤ 4 (y-1)¤ 9 (x+3)¤ 40121
x y A -3 1 B O최장 거리와 최단 거리는 타원 궤도의 두 초점을 잇는 직선이 타원 궤도와 만나는 점에서 초점인 지구까지의 거리와 같으므로 타원 궤도의 장축의 길이는 1000+2000=3000(km) 궤도의 중심에서 초점인 지구까지의 거리는 -1000=500(km) 따라서 단축의 길이는 2æ≠{ }¤ -(500)¤ =2000'2(km) 답 ④ 3000 2 3000 2
0125
타원의 방정식을 + =1 (a>b>0)로 놓으면 오른쪽 그림에서 타원의 장축의 길 이는 20'2 cm이므로 2a=20'2 ∴ a=10'2 또, 단축의 길이는 연통의 지름의 길이와 같으므로 2b=20 ∴ b=10 따라서øπ(10'2)¤ -10¤ =10이므로 구하는 두 초점 사이의 거 리는 2_10=20(cm) 답 ⑤ y¤ b¤ x¤ a¤0126
20 cm 20 cm 터널의 단면을 나타내는 타 원의 장축의 길이가 12 m, 단축의 길이가 10 m이므로 타원의 방정식 은 +y¤ =1 5¤ x¤ 6¤ 이때 철제빔의 길이가 6 m이므로 도로면에서 철제빔까지의 높 이를 h m라고 하면 점 (3, h)는 타원 위의 점이다. 즉, + =1, h¤ = ∴ h= (∵ h>0) 따라서 도로면에서 철제빔까지의 높이는 m이다. 답 ③ 5'3 2 5'3 2 75 4 h¤ 5¤ 3¤ 6¤0127
x y O -3 3 5 h (3, h) -6 -5 6 16x¤ +7y¤ -32x+42y=33에서 16(x-1)¤ +7(y+3)¤ =112 ∴ + =1 yy㉠ 타원 ㉠은 타원 + =1을 x축의 방향으로 1만큼, y축 의 방향으로 -3만큼 평행이동한 것이다. 타원 + =1에서 'ƒ16-7=3이므로 이 타원의 초점의 좌표는 (0, 3), (0, -3), 중심의 좌표는 (0, 0), 꼭짓점의 좌표는 ('7, 0), (-'7, 0), (0, 4), (0, -4)이다. ① 타원 ㉠의 중심의 좌표는 (1, -3)이다. ② 타원 ㉠의 초점의 좌표는 (0+1, 3-3), (0+1, -3-3) 즉, (1, 0), (1, -6)이다. ③ 타원 ㉠의 장축의 길이는 2_4=8이다. ④ 타원 ㉠의 단축의 길이는 2_'7=2'7이다. ⑤ 타원 ㉠의 꼭짓점의 좌표는 ('7+1, 0-3), (-'7+1, 0-3), (0+1, 4-3), (0+1, -4-3) 즉, ('7+1, -3), (-'7+1, -3), (1, 1), (1, -7) 이다. 따라서 옳은 것은 ②, ⑤이다. 답②, ⑤ y¤ 16 x¤ 7 y¤ 16 x¤ 7 (y+3)¤ 16 (x-1)¤ 70128
ㄱ. k>1이면 타원 x¤ + =1의 초점의 좌표는 (0, "√k¤ -1), (0, -"√k¤ -1) 이므로 초점은 y축 위에 있다. (참) ㄴ. k>1이면 타원 위의 한 점에서 두 초점까지의 거리의 합은 2k이다. (거짓) ㄷ. 0<k<1이면 장축의 길이는 2_1=2이다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. 답 ㄱ, ㄷ y¤ k¤0129
x¤ +2y¤ -4x-20y+44=0 yy㉠㉠에 x=0을 대입하면 2y¤ -20y+44=0, y¤ -10y+22=0 ∴ y=5—'3 따라서 두 점 A, B의 좌표는 A(0, 5+'3), B(0, 5-'3) 또는 A(0, 5-'3), B(0, 5+'3)이므로 AB”=2'3 ㉠에서 + =1이므로 타원의 중심의 좌표 는 C(2, 5)이다. (y-5)¤ 5 (x-2)¤ 10
0130
단계 채점요소 배점 3x¤ +4y¤ -12x-8y+4=0을 표준형으로 나타내기 50% AF”+AF'”, BF”+BF'”의 값 구하기 30% AF'BF의 둘레의 길이 구하기 20% 3x¤ +4y¤ -12x-8y+4=0에서 + =1 타원 + =1은 타원 + =1을 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 1만큼 평행이동한 것이므로 장축의 길이는 서로 같다. 따라서 타원의 정의에 의하여 AF”+AF'”=BF”+BF'”=4 ∴ ( AF'BF의 둘레의 길이) =(AF”+AF'”)+(BF”+BF'”)=4+4=8 답 8 y¤ 3 x¤ 4 (y-1)¤ 3 (x-2)¤ 4 (y-1)¤ 3 (x-2)¤ 40124
▶본문
021 ~ 023
쪽 따라서 삼각형 ABC의 넓이는 _2'3_2=2'3 답 ② 1 2 + =1에서 'ƒ9-4='5이므로 P('5, 0), P'(-'5, 0) 또, 초점 F, F'은 초점 P, P' 을 x축의 방향으로 -5만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이 동한 것이므로 F('5-5, 2), F'(-'5-5, 2) ∴ (평행사변형 PP'F'F의 넓이)=(밑변의 길이)_(높이) =2'5_2=4'5 답 ⑤ y¤ 4 x¤ 90131
x y O F{´5-5,`2} P{´5,`0} P'{-´5,`0} F'{-´5-5,`2} 타원의 중심은 선분 FF'의 중점이므로 { , }=(2, -1) 따라서 구하는 타원의 방정식을 + =1 (a>b>0)로 놓을 수 있다. 이때 타원의 중심에서 초점까지의 거리는 5-2=3이다. 또, 단축의 길이가 4이므로 2b=4 ∴ b=2 ∴ a="√2¤ +3¤ ='1å3 따라서 구하는 장축의 길이는 2a=2_'1å3=2'1å3 답 ③ (y+1)¤ b¤ (x-2)¤ a¤ -1-1 2 5-1 20132
주어진 타원의 장축의 길이가 12이므로 타원의 정의에 의하여 AF'”+AF”=BF'”+BF”=12 ∴ (△ABF의 둘레의 길이) =(AF'”+AF”)+(BF'”+BF”) =12+12=24 답 ③0133
타원 + =1의 두 초점이 y축 위에 있으므로 타 원의 정의에 의하여 PF”+P’F'”=2_5=10 yy㉠ 삼각형의 둘레의 길이가 18이므로 PF”+P’F'”+F’F'”=18 yy`㉡ ㉠, ㉡에서 F’F'”=8 즉, 두 초점의 좌표가 F(0, 4), F'(0, -4)이므로 + =1에서 25-k=4¤ ∴ k=9 답 9 y¤ 25 x¤ k y¤ 25 x¤ k0134
타원 +y¤ =1에서'ƒ4-1='3이므로 한 초점 F의 좌표는 F('3, 0)이다.또, A(0, 1)이므로 직각삼각형 AOF에서 ∠OAF=60˘이다. △AOF≡△AOF'이므로 x¤ 4 ∠OAF'=∠OAF=60˘ ∴ ∠FAF'=2_60˘=120˘ 답 120˘
0135
두 점 F(4, 0), F'(-2, 0)이 타원의 초점이므로 타원의 정의에 의하여 AF”+A’F'”=BF”+B’F'”에서 1+7="√3¤ +k¤ +"√(-3)¤ +k¤ 8=2"√9+k¤ , k¤ =7 ∴ k='7 (∵ k>0) 답 ② 다른풀이 두 초점이 x축 위에 있고 타원의 중심의 좌표가 { , 0}, 즉 (1, 0)이므로 타원의 방정식을 + =1 (a>b>0)로 놓을 수 있다. 타원의 중심에서 점 A(5, 0)까지의 거리가 4이므로 a=4 타원의 중심에서 초점까지의 거리는 4-1=3이므로 b¤ =4¤ -3¤ =7 따라서 타원의 방정식은 + =1 이 타원이 점 B(1, k)를 지나므로 =1, k¤ =7 ∴ k='7 (∵ k>0) k¤ 7 y¤ 7 (x-1)¤ 16 y¤ b¤ (x-1)¤ a¤ 4-2 20136
x y O F A F' -2 4 5 B(1, k) 타원의 방정식을 + =1 (a>b>0)로 놓으면 원기둥 의 밑면의 반지름의 길이가 3이므로 2b=6 ∴ b=3 또, 2a cos 30˘=6에서 a=2'3 이때'ƒ12-9='3이므로 타원의 초점의 좌표는 ('3, 0), (-'3, 0)이다. 따라서 두 초점 사이의 거리는 2'3이다. 답 2'3 y¤ b¤ x¤ a¤0137
30˘ 2a 6 타원 16x¤ +25y¤ =400 즉, + =1에서 'ƒ25-16=3이므로 두 초점의 좌표는 A(-3, 0), F(3, 0) 이때 포물선 y¤ =12x의 초점의 좌표도 (3, 0)이므로 타원의 초점 F와 일치한다. 따라서 타원과 포물선의 정의에 의하여 AP”+PQ”=AP”+PF” =2_5=10 답 10 y¤ 16 x¤ 250138
x y y¤ 16x¤ +25y¤ =400 =12x O 3 F P A Q -3두 점 A, B의 좌표를 각각 A(a, 0), B(0, b)라고 하면 AB”="√a¤ +b¤ =10 ∴ a¤ +b¤ =100 `yy ㉠ 선분 AB를 2：3으로 내분하는 점 P의 좌표를 P(x, y)라고 하면 x= a, y= b ∴ a= x, b= y yy㉡ ㉡을 ㉠에 대입하면 x¤ + y¤ =100 ∴ + =1 이때'ƒ36-16=2'5이므로 이 타원의 초점의 좌표는 (2'5, 0), (-2'5, 0)이다. 따라서 두 초점 사이의 거리는 4'5이다. 답 4'5 y¤ 16 x¤ 36 25 4 25 9 5 2 5 3 2 5 3 5
0139
타원 9x¤ +16y¤ =144, 즉 + =1에서 'ƒ16-9='7이므로 두 초점의 좌표는 ('7, 0), (-'7, 0) 두 초점의 좌표가 ('7, 0), (-'7, 0)이고 점 (0, '2)를 지 나는 타원의 방정식을 + =1 (a>b>0)로 놓으면 a¤ -b¤ =('7)¤ yy`㉠ 이 타원이 점 (0, '2)를 지나므로 =1, b¤ =2 yy㉡ ㉡을 ㉠에 대입하면 a¤ =9 그러므로 이 타원의 방정식은 + =1 따라서 구하는 타원의 장축의 길이는 2a=2_3=6 답 6 y¤ 2 x¤ 9 2 b¤ y¤ b¤ x¤ a¤ y¤ 9 x¤ 160140
오른쪽 그림과 같이 타원의 다른 한 꼭짓점은 D(1, 4)이고 장 축의 길이는 6, 단축의 길이는 4이 다. 이 타원의 중심의 좌표가 (1, 2)이 므로 중심이 O(0, 0)이고 장축의 길이가 6, 단축의 길이가 4 인 타원 + =1을 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으 로 2만큼 평행이동한 것이다. 따라서 주어진 타원의 방정식은 + =1 답 +(y-2)¤ =1 4 (x-1)¤ 9 (y-2)¤ 4 (x-1)¤ 9 y¤ 4 x¤ 90141
단계 채점요소 배점 장축과 단축의 길이 구하기 30% 평행이동한 것임을 이해하기 30% 타원의 방정식 구하기 40% x y O D B C A 4 4 2 1 -2 중심 오른쪽 그림과 같이 타원 + =1위의 점 중에서 제`1사분면 위의 점을 P(a, b)라고 하면 + =1 a¤ >0, b¤ >0이므로 산술평균과 기하평균의 대소 관계에 의하여 + æ2æ≠ _ = {단, 등호는 = 일 때 성립} 즉, 1æ ∴ ab…6 따라서 타원에 내접하는 직사각형의 넓이는 2a_2b=4ab…4_6=24 이므로 구하는 넓이의 최댓값은 24이다. 답 ③ ab 6 b¤ 9 a¤ 16 ab 6 b¤ 9 a¤ 16 b¤ 9 a¤ 16 b¤ 9 a¤ 16 y¤ 9 x¤ 160142
P(a, b) x y O 3 -3 -4 4 x¤ =1 + 16 9 y¤ 타원 + =1에서 'ƒ36-11=5이므로 두 초점 의 좌표는 A(-5, 0), B(5, 0)이다. 타원의 정의에 의하여 AP˚”+BP˚”=2_6=12 (k=1, 2, y, 6) AP˚”+ BP˚”= (AP˚”+BP˚”)=12_6=72이므로 BP˚”=72-¡6 AP˚”=72-32=40 답 ⑤ k=1 6 ¡ k=1 6 ¡ k=1 6 ¡ k=1 6 ¡ k=1 y¤ 11 x¤ 360143
단계 채점요소 배점 초점의 좌표 구하기 20% 타원의 방정식 구하기 60% 장축의 길이 구하기 20%▶본문
