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선형 대수

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l부분공간의 기저와 차원을 구할 수 있다.

l행계수, 열계수, 퇴화차수의 개념을 익힌다.

l추이행렬을 구할 수 있다.

l내적과 정사영을 이용하여 정규직교기저를 만들 수 있다.

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3 5.3 기저와 차원 • 부분공간 W 의 임의의 벡터가 벡터 집합 S 의 원소들의 일차결합으로 표시될 때, S 는 부분공간 W 를 생성한다. • 의 부분집합 은 벡터공간이고, 영이 아닌 벡터 3 2 , 64 , 96 에 의하여 생성된다. • l 을 생성하는 벡터는 3 2 하나면 충분하다. • 생성집합 S 에서 불필요한 원소를 없애보자.

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5.3 기저와 차원

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5.3 기저와 차원

예제 5-16

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5.3 기저와 차원

• 그러나 각 기저에 포함된 벡터의 수는 갖다. • 벡터 공간의 기저는 여러 개 존재할 수 있다.

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5.3 기저와 차원

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5.3 기저와 차원

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5.3 기저와 차원

• 본래 어떤 집합이 벡터공간 V 의 기저가 되려면, 집합의 벡터들이 일차

독립이고, 집합의 벡터들이 V를 생성해야 한다.

그러나 V의 차원을 알고 있고, 집합의 벡터의 개수가 V의 차원과 같다

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• !×#

$

%

.

• !×#

$

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5.4 행렬의 행공간과 열공간

정리 5-8에 의해 어떤 행렬 A의 RREF에 나타나는 영 아닌 행벡터는 A

의 행공간을 생성하며, 서로 독립이므로, A의 행공간의 기저를 이룬다.

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예제 5-21

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15 5.4 행렬의 행공간과 열공간 • !×# 행렬 A에 대해 동차연립방정식 AX=0 의 해공간은 벡터공간이고, 해공간의 차원을 A의 퇴화차수, nullity(A) 로 나타낸다. • AX=0의 해공간의 기저와 A의 퇴화차수를 구해보자 (교재 345p 참조) 예제 5-24

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예제 5-25

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5.5 기저의 변경 • 벡터 공간에서 기저의 개념은 좌표계의 개념과 밀접한 관계가 있다. • 표준기저 와 임의의 벡터 에 대해 다 음이 성립한다. • 기저 B 의 벡터로 나타냈다는 것을 명시하기 위해 • 기저 로 를 표현한다면?

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5.5 기저의 변경

예제 5-26

그림 5-8 보기

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21 5.5 기저의 변경 예제 5-27 교재 356p: S가 n차원 벡터공간 V의 기저일 때, 에 대해서 다음이 성립.

v

i

2 V, c

i

2 R

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2 )

) (

.

5.5 기저의 변경

• n차원 벡터 공간의 서로 다른 두 기저

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5.5 기저의 변경

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5.6 정규 직교화 과정

• 임의의 벡터 ! 를 새로운 기저 S 의 일차결합으로 표현하기 위해, 좌표벡터 [!]_$ 을 구하는 법을 배웠다. • 새로운 기저의 벡터들이 직교하지 않을 경우, 새 좌표벡터로 나타내기 불편 함. • 기저의 벡터들을 직교하도록 만들어보자.

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5.6 정규직교화 과정

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5.6 정규직교화 과정 • !_" 을 # 위로의 $ 의 정사영이라 함. !_" = proj_*$ • !₊ 는 # 에 수직인 $ 의 벡터성분. !₊ = $ − proj_*$ • proj_*$ 구하는 법: - = #_# 일 때, proj_*$ = ($ ·

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-)-33

- .

-5.6 정규직교화 과정 는 의 정규직교집합이고, W를 S에 의해 생성된 의 부분공간이라 하자. 의 임의의 벡터 에 대해, 를 아래와 같이 정의하자. 을 W 위로의 직교정사영 이라 한다. 는 W 에 대한 의 직교성분 이라 한다. 즉, W의 어떤 벡터 w 에 대해 서,

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- .

-5.6 정규직교화 과정

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- .

-5.6 정규직교화 과정

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