2014 개념원리 RPM 미적분1 답지 정답

RPM

미적분

Ⅰ

정답

과

풀이

하나를 알면 10개, 20개를 풀 수 있는 개념원리수학

0001

n의 값이 증가하면서 변화하 는 a«의 값을 좌표평면 위에 나타내면 오른쪽 그림과 같으므로 n이 한없이 커질 때, ;n!;의 값은 0에 한없이 가까워 진다. 따라서 주어진 수열은 0에 수렴한다. 답 수렴, 0

0002

n의 값이 증가하면서 변화하 는 a«의 값을 좌표평면 위에 나타내면 오른쪽 그림과 같으므로 n이 한없이 커질 때, 의 값은 1에 한없이 가 까워진다. 따라서 주어진 수열은 1에 수렴한다. 답 수렴, 1

0003

n의 값이 증가하면서 변화하는 a«의 값을 좌표평면 위에 나타내면 오른 쪽 그림과 같으므로 n이 한없이 커질 때, 2n의 값도 한없이 커진다. 따라서 주어진 수열은 양의 무한대로 발 산한다. 답 발산

0004

n의 값이 증가하면서 변화하는 a«의 값을 좌표평면 위에 나타내면 오른 쪽 그림과 같으므로 n이 한없이 커질 때, -2n+10의 값은 한없이 작아진다. 따라서 주어진 수열은 음의 무한대로 발 산한다. 답 발산

0005

n의 값이 증가하면서 변화하 는 a«의 값을 좌표평면 위에 나타내면 오른쪽 그림과 같으므로 n이 한없이 커질 때, a«의 값은 1, 3이 교대로 나타 난다. 따라서 주어진 수열은 발산(진동)한다. 답 발산

0006

⑴ (2-a«)= 2- a«=2-2=0 ⑵ (3a«+4b«)=3 a«+4 b« =3¥2+4¥(-1)=2

⑶ 3a«b«=3 a«¥limb«=3¥2¥(-1)=-6

n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n_⁄¶ lim n_⁄¶ lim n_⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ n+1 33255533_n O n an 3 1 1 2 3 4 8 O n an 1 2 3 4 2 O n an 1 2 3 4 O n an 2 1 1 2 3 4 O n an 1 1 2 3 4 ⑷ = = _=-;5$; 답 _{⑴ 0 ⑵ 2 ⑶ -6 ⑷ -;5$;}

0007

{2+;n!;}= 2+ ;n!;=2+0=2 답 2

0008

{-;n@;+ }=-2 ;n!;+ =-2¥0+0=0 답 0

0009

{3-;n!;} {2+;n%;}= {3-;n!;}¥ {2+;n%;} =3¥2=6 답 6

0010

= _=;2);=0 답 0

0011

= = _=;2!; 답 _;2!;

0012

= = =3 답 3

0013

= = =0 답 0

0014

('ƒn+1-'n) = = =0 답 0

0015

= = = _=;3@; 답 _;3@; Æ…1+;n#;+1 1111154₃ lim n⁄¶ "√n¤ +3n+n 1111154_3n lim n⁄¶ "√n¤ +3n+n 111115411111115 ("√n¤ +3n-n)("√n¤ +3n+n) lim n_⁄¶ 1 1111154 "√n¤ +3n-n lim n⁄¶ 1 111115 'ƒn+1+'n lim n⁄¶ ('ƒn+1-'n)('ƒn+1+'n) 111113325555525551111 'ƒn+1+'n lim n⁄¶ lim n⁄¶ 0+0 332555555₁₊₀ 3 1 1+15_{n n¤} 3325144444 1+;n@; lim n⁄¶ 3n+1 332555552555_{n¤ +2n} lim n⁄¶ 3-0+0 332555552522₁₊₀₊₀ 3 1 3-1+15 n n¤ 33251441155_{5 1} 1+1+15 n n¤ lim n⁄¶ 3n¤ -3n+1 3325555525112_{n¤ +5n+1} lim n⁄¶ 1-0 332555555₂₊₀ 1-;n!; 3325144 2+;n#; lim n⁄¶ n-1 3325555525_2n+3 lim n⁄¶ lim ;n!; n⁄¶ 3325144112 lim {2+;n!;} n_⁄¶ ;n!; 3325144 2+;n!; lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ 1 3325_n‹ lim n⁄¶ lim n⁄¶ 1 3325_n‹ lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ 2¥2 33255551345_5¥(-1) 2 lim a« n_⁄¶ 3325555132_{5 lim b«} n⁄¶ 2a« 3325555_5b« lim n_⁄¶

수열의 극한

01

Ⅰ.수열의 극한

0016

<a«< 에서 = _=;4!;, = _=;4!; 이므로 수열의 극한값의 대소 관계에 의하여 a«=;4!; 답 _;4!;

0017

주어진 수열의 공비는_{;2#;이고, ;2#;>1이므로 발산한다.} 답 발산

0018

주어진 수열의 공비는 -0.5이고, -1<-0.5<1이 므로 0에 수렴한다. 답 수렴

0019

주어진 수열의 공비는 -_{;3$;이고, -;3$;<-1이므로 발} 산한다. 답 발산

0020

={;4#;}« 에서 주어진 수열의 공비는;4#;이고, -1<;4#;<1이므로 0에 수렴한다. 답 수렴

0021

=;3!;¥{;3$;}« 에서 공비는;3$;이고, ;3$;>1이므로 =¶ (발산) 답 발산

0022

{;5#;}⁄ —« =;5#;¥{;3%;}« 에서 공비는;3%;이고, ;3%;>1이므로 {;5#;}⁄ —« =¶ (발산) 답 발산

0023

3—« ={;3!;}« 에서 공비는;3!;이고, -1<;3!;<1이므로 3—« =0 4—« ={;4!;}« 에서 공비는;4!;이고, -1<;4!;<1이므로 4—« =0 ∴ (3—« +4—« )=0 (수렴) 답 수렴, 0

0024

수열_[{-;3!;}«_{]의 공비는 -;3!;이고, -1<-;3!;<1} 이므로 _{-;3!;}« =0 ∴ _[4+{-;3!;}«_]= 4+ _{-;3!;}« =4+0=4 (수렴) 답 수렴, 4 lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n_⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n_⁄¶ lim n⁄¶ 4« 2125_{3« ±⁄} lim n_⁄¶ 4« 2125_{3« ±⁄} 3« 33255_4« lim n_⁄¶ 1+;n^; 25144523 4+;n#; lim n_⁄¶ n+6 33212555_4n+3 lim n_⁄¶ 1 25144523 4+;n%; lim n_⁄¶ n 33212555_4n+5 lim n_⁄¶ n+6 33212555_4n+3 n 33212555_4n+5

0025

① 홀수 번째 항은 -_{;2!;, -;4#;, -;6%;, y에서 -1에} ①수렴하고, 짝수 번째 항은_{;3@;, ;5$;, ;7^;, y에서 1에 수렴하므} ①로 주어진 수열은 발산한다. ② 홀수 번째 항은 -2, -_{;3@;, -;5@;, y에서 0에 수렴하고, 짝} ①수 번째 항은 1,_{;2!;, ;3!;, y에서 0에 수렴하므로 주어진 수열} ①은 0에 수렴한다. ③ 주어진 수열은 발산(진동)한다. ④ 수열 2,_{;2%;, ;;¡3º;;, ;;¡4¶;;, y에서} ①1+;1!;, 2+;2!;, 3+;3!;, 4+;4!;, y, n+;n!;, y n이 한없이 커지면 n+_{;n!; 의 값도 한없이 커지므로 주어진} 수열은 양의 무한대로 발산한다. ⑤ 수열 , , , y, , y에서 n이 한없이 커지면 의 값도 한없이 커지므로 주어진 수열은 양의 무한대로 발산한다. 답 ②

0026

① n=1, 2, 3, y을 에 차례로 대입하면 -1, ;3!;, ;2#;, , y 이므로 수열_{[ ]은 양의 무한대로 발산한다.} ② n이 한없이 커지면 2n-3의 값도 한없이 커지므로 수열 {2n-3}은 양의 무한대로 발산한다. ③ n=1, 2, 3, y을 에 차례로 대입하면 -1, ;2!;, -;3!;, ;4!;, y 이므로 수열_{[ ]은 0에 수렴한다.} ④ n이 한없이 커지면 1-n¤ 의 값은 한없이 작아지므로 수열 {1-n¤ }은 음의 무한대로 발산한다. ⑤ n=1, 2, 3, y을 에 차례로 대입하면 ;3$; , ;5&; , , , y 이므로 수열_{[ ]은 양의 무한대로 발산한다.} 답 ③ 다른풀이　① = =¶ ⑤ = =¶ n+;n#; 25144523 2+;n!; lim n⁄¶ n¤ +3 33211_2n+1 lim n⁄¶ n-;n#; 25144523 1+;n!; lim n⁄¶ n¤ -3 333321_n+1 lim n⁄¶ n¤ +3 333321_2n+1 19 332₉ 12 332₇ n¤ +3 33211_2n+1 (-1)« 33211_n (-1)« 33211_n n¤ -3 333321_n+1 13 332₅ n¤ -3 33212555_n+1 n 3321₁₀₀₀ n 3321₁₀₀₀ 3 3321₁₀₀₀ 2 3321₁₀₀₀ 1 3321₁₀₀₀ ▶본문

_{009 ~ 010}

쪽

0027

수열 2,_{;2!;, ;3$;, ;4#;, ;5^;, y에서} 1+;1!;, 1-;2!;, 1+;3!;, 1-;4!;, y 이므로 주어진 수열은 1에 수렴한다. 답 수렴, 1

0028

ㄱ. = ='ƒn+1+'n ㄱ. 이므로 n이 한없이 커지면 의 값도 한없이 커 ㄱ. 지므로 수열_{[ ]은 양의 무한대로 발산한다.} ㄴ. n이 한없이 커지면 의 값은 0에 한없이 가까워지므로 ㄱ. 수열_{[ ]은 0에 수렴한다.} ㄷ. n=1, 2, 3, y을_{-;2#;}« 에 차례로 대입하면 ㄷ. _{-;2#;, ;4(;, -;;™8¶;;, ;1*6!;, y} ㄷ. 이므로 수열_[{-;2#;}«_{]은 발산(진동)한다.} 따라서 발산하는 수열은 ㄱ, ㄷ이다. 답 ㄱ, ㄷ

0029

a«=a, b«=b (a, b는 실수)라 하면 (a«+b«)=6에서 a+b=6 a«b«=3에서 ab=3 ∴ (a«¤ +b«¤ )= a«¤ + b«¤ ∴ (a«¤ +b«¤ )=a¤ +b¤

∴ (a«¤ +b«¤ )=(a+b)¤ -2ab

∴ (a«¤ +b«¤ )=6¤ -2¥3=30 답 30

0030

= = = =4 답 4

0031

⑴ _{{6- } {3+ }} = _{{6- }¥ {3+ }} =6¥3=18 ⑵ a«-4 = a«b«+3 lim n⁄¶ 5 n¤ lim n⁄¶ 3 n lim n⁄¶ 5 n¤ 3 n lim n⁄¶ 3¥(-3)-3 (-3)¥3+6 3a«-b« 321151_a«b«+6 lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n_⁄¶ lim n_⁄¶ 1 31 'n 1 31 'n 1 3321111 'ƒn+1-'n 1 3321111 'ƒn+1-'n 'ƒn+1+'n 332111111111123 ('ƒn+1-'n)('ƒn+1+'n) 1 3321111 'ƒn+1-'n = = =2 답 ⑴ 18 ⑵ 2

0032

a«= { -2}=-2 b«= _{[3- ]=3}

∴ a«(2a«-3b«)= a«¥ (2a«-3b«)

= a«¥(2 a«-3 b«) =-2{2¥(-2)-3¥3} =26 답 26

0033

ㄱ. = ㄱ. _{=;2!; (거짓)} ㄴ. = = =2 (참) ㄷ. = _{=;4!; (참)} ㄹ. = _{=;2!; (참)} 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ, ㄹ이다. 답 ㄴ, ㄷ, ㄹ

0034

① = =1 ② = = ③ = =0 ④ = =-⑤ = =2 3 lim n⁄¶ 6n¤ +3n+2 9n¤ +2 lim n⁄¶ 1 3 lim n⁄¶ 1-n 3n-1 lim n⁄¶ lim n⁄¶ 3n¤ +4 n‹ +2 lim n⁄¶ 2 5 lim n⁄¶ 2n‹ +3n+6 5n‹ +2 lim n⁄¶ lim n_⁄¶ 2n¤ +3n+5 2n¤ +1 lim n_⁄¶ 1 133212521 Æ…1+;n!;+1 lim n⁄¶ 'n 1332125515 "√n+1+'n lim n⁄¶ 1 13321252 Æ…16+;n$; lim n_⁄¶ 'n 13321255 "√16n+4 lim n_⁄¶ 3 1 2+1+15 n n¤ 33251441155₁ lim n⁄¶ 2n¤ +3n+1 1113321_n¤ lim n⁄¶ (n+1)(2n+1) 111332125243_n¤ lim n⁄¶ 1 33251441155₁ Æ…1+15+1_n¤ lim n⁄¶ n 1332125243 "√n¤ +1+n lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ 2 n(n+1) lim n⁄¶ lim n⁄¶ 1 n lim n_⁄¶ lim n_⁄¶ -2-4 (-2)¥3+3 (3a«-b«) (a«b«+6) lim n⁄¶ lim n_⁄¶ 3 a«- b« a«¥limb«+6 n_⁄¶ lim n_⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ 2+ + 2+ 1 n¤ 5 n¤ 3 n 2+ + 5+ 2 n‹ 6 n‹ 3 n¤ + 1+ 2 n‹ 4 n‹ 3 n a«-4 a«¥limb«+3 n_⁄¶ lim n_⁄¶ lim n⁄¶ ¤ 수열[ ]은 0에 수렴 (-1)« 33211_n (a«-4) (a«b«+3) lim n_⁄¶ lim n⁄¶ -1 3-1 n 1 n 6+ + 9+ 2 n¤ 2 n¤ 3 n

따라서 극한값이 가장 작은 것은 ④이다. 답 ④

0035

⑴ = = =1 ⑵ 1+2+3+y+n= 이므로 = = = =16 ⑶ {log™ (n¤ -2n+3)-log™ (2n+1)¤ } = log™ = log™ = log™ =log™ ;4!;=log™ 2—¤ =-2 답 ⑴ 1 ⑵ 16 ⑶ -2

0036

⑴ a«={1- } {1- } {1- }y{1- } = ¥ ¥ ¥y¥ = ¥ ¥ ¥y¥ = ∴ a«= = _=;2!; ⑵ 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 a«+b«=-2n, a«b«=1

∴ a«¤ +b«¤ =(a«+b«)¤ -2a«b«=4n¤ -2

f(n)=n¤ +2n¥n+1=3n¤ +1이므로 = = _=;3$; 답 ⑴_{;2!; ⑵ ;3$;} 2 4-15 n¤ 332514455₁ 3+15 n¤ lim n⁄¶ 4n¤ -2 13455223_{3n¤ +1} lim n⁄¶ a«¤ +b«¤ 13455214_f(n) lim n⁄¶ 1+;n!; 13455245₂ lim n⁄¶ n+1 134552_2n lim n⁄¶ lim n⁄¶ n+1 134552_2n (n-1)(n+1) 131551111_n¥n 3¥5 13455_4¥4 2¥4 13455_3¥3 1¥3 13455_2¥2 n¤ -1 13155_n¤ 4¤ -1 1315_4¤ 3¤ -1 1315_3¤ 2¤ -1 1315_2¤ 1 13_n¤ 1 13_4¤ 1 13_3¤ 1 13_2¤ 2 3 1-1+15_n n¤ 33251445511_{4 1} 4+1+15_n n¤ lim n⁄¶ n¤ -2n+3 134552145515_{4n¤ +4n+1} lim n⁄¶ n¤ -2n+3 13455214551_(2n+1)¤ lim n⁄¶ lim n_⁄¶ 16-;n^; 134552455 1+;n!; lim n_⁄¶ 16n¤ -6n 1345521455_{n¤ +n} lim n⁄¶ 8n¤ -3n 33251441555_n(n+1) 111525₂ lim n⁄¶ 8n¤ -3n 13455214551112_1+2+3+y+n lim n⁄¶ n(n+1) 1345521455₂ 4 1 4-1+15 n n¤ 33251441155_{1 3} 4+1-15 n n¤ lim n⁄¶ 4n¤ -4n+1 13321255155_{4n¤ +n-3} lim n⁄¶ (2n-1)¤ 13321255151344_(n+1)(4n-3) lim n⁄¶

0037

에서 a+b+0이면 발산하므로 a+b=0 ∴ = _=;2B;=3 ∴ b=6 따라서 a=-6, b=6이므로 ab=-36 답 ②

0038

= _=;4A; 따라서_{;4A;=2이므로 a=8} 답 ④

0039

에서 c+0이면 0에 수렴하므로 c=0 또 에서 a+0이면 발산하므로 a=0 ∴ = _=;3B;=2 ∴ b=6 ∴ a+b+c=0+6+0=6 답 6

0040

= = 따라서 = 이므로 a=4 답 ②

0041

("√4n¤ +3n+1-2n) = = 332255311113143n+1 "√4n¤ +3n+1+2n lim n⁄¶ ("√4n¤ +3n+1-2n)("√4n¤ +3n+1+2n) 33225531111311111111111 "√4n¤ +3n+1+2n lim n⁄¶ lim n⁄¶ 1 5 1 1+a 1 1+a 1-;n^; 332514411551225_{3 2} Æ…1+1-15+a_{n n¤} lim n⁄¶ n-6 13321252243243244 "√n¤ +√3n-2+an lim n_⁄¶ b+;n!; 33251443 3+;n@; lim n⁄¶ bn+1 33215455_3n+2 lim n⁄¶ an¤ +bn+1 33215455112_3n+2 lim n_⁄¶ an¤ +bn+1 33215251145_{cn‹ +3n+2} lim n⁄¶ 3 1 a-1-15 n n¤ 33251441155 4+;n!; lim n⁄¶ an¤ -3n-1 3321525114_{4n¤ +n} lim n⁄¶ b+;n!; 33251443 2-;n!; lim n⁄¶ bn+1 3321525_2n-1 lim n⁄¶ (a+b)n¤ +bn+1 33215111112_2n-1 lim n⁄¶ ▶본문

_{010 ~ 012}

쪽 단계 채점요소 배점 c의 값 구하기 30% a의 값 구하기 30% b의 값 구하기 30% a+b+c의 값 구하기 10%

= = _=;4#; 답 ②

0042

⑴ _{'n('∂n+2-'n)} = = = = =1 ⑵ (6n¤ -n‹ )= _{n‹ { -1}=-¶} ⑶ = = = = =3 ⑷ = = = = _=;4!; 답 ⑴ 1에 수렴 ⑵ 음의 무한대로 발산 ⑶ 3에 수렴 ⑷_{;4!;에 수렴}

0043

{"√1+2√+y+n-"√1+2√+y√+(n-1)} = _[æ≠ -æ≠ ] = lim_{("√n¤ +n-"√n¤ -n )} n_⁄¶ 1 '2 (n-1)n 1111₂ n(n+1) 1111₂ lim n⁄¶ lim n_⁄¶ 1+1 3321512₂₍₂₊₂₎ 2 1+Æ…1+15_n¤ 33251441155134₁ 2 {2+Æ…4+15}_n¤ lim n_⁄¶ n+"√n¤ +2 1345521113514 2(2n+"√4n¤ +1) lim n⁄¶ (2n-"√4n¤ +1)(2n+"√4n¤ +1)(n+"√n¤ +2) 13455211135111111111111235 (n-"√n¤ +2)(n+"√n¤ +2)(2n+"√4n¤ +1) lim n⁄¶ 2n-"√4n¤ +1 13455211135 n-"√n¤ +2 lim n_⁄¶ 3(1+1) 33215155₁₊₁ 3 {Æ…1+;n@;+Æ…1+;n!; } 33251441155122511 Æ…1+;n#;+1 lim n_⁄¶ 3('ƒn+2+'ƒn+1) 13455211135115 'ƒn+3+'n lim n⁄¶ ('ƒn+3-'n)('ƒn+3+'n)('ƒn+2+'ƒn+1) 11134552111351111111111111 ('ƒn+2-'ƒn+1)('ƒn+2+'ƒn+1)('ƒn+3+'n) lim n⁄¶ 'ƒn+3-'n 134552111351 'ƒn+2-'ƒn+1 lim n⁄¶ 6 1_n lim n⁄¶ lim n⁄¶ 2 33215₁₊₁ 2 3321511235 Æ…1+;n@;+1 lim n⁄¶ 2'n 332151123 'ƒn+2+'n lim n⁄¶ 'n('ƒn+2-'n)('ƒn+2+'n) 3321511111111111 'ƒn+2+'n lim n⁄¶ lim n⁄¶ 3 33215₂₊₂ 3+;n!; 332514411551225_{3 1} Æ…4+1+15+2_{n n¤} lim n⁄¶ = = = = _1= 답

0044

⑴ 이차방정식 x¤ -x+n-_{"√n¤ +2n=0의 두 근이} a«, b«이므로 근과 계수의 관계에 의하여 a_{«+b«=1, a«b«=n-"√n¤ +2n} ∴ _{ + _} ∴= ∴= ∴= ∴= ∴= =-1 ⑵ S«=1+2+3+y+n= 이므로 ('∂S«-'∂S«–¡) = = = = = = = 답 ⑴ -1 ⑵

0045

a…0이면 _{{"√n¤ +4n-2-(an+b)}=¶이므로} a>0 ∴ _{{"√n¤ +4n-2-(an+b)}} ∴= ∴= 12134552111111111155(1-a¤ )n¤ +2(2-ab)n-(2+b¤ ) "√n¤ +4n-2+(an+b) lim n⁄¶ {"√n¤ +√4n-2-(an+b)} {"√n¤ +√4n-2+(an+b)} 111111111345521111111111111 "√n¤ +4n-2+(an+b) lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ '2 12₂ '2 12₂ 1 33251441555_{1 1} 12+12 '2 '2 1 33215112351111155523 Æ…;2!; {1+;n!;}+Æ…;2!; {1-;n!;} lim n⁄¶ n 33332151123511111555 lim n_⁄¶ a« 111115 '∂S«+'∂S«–¡ lim n⁄¶ S«-S«–¡ 111115 '∂S«+'∂S«–¡ lim n⁄¶ ('∂S«-'∂S«–¡)('∂S«+'∂S«–¡) 11111111111155 '∂S«+'∂S«–¡ lim n_⁄¶ lim n⁄¶ n(n+1) 1111₂ 1+æ≠1+;n@; 1411113_-2 lim n_⁄¶ n+"ƒn¤ +2n 14111132_-2n lim n⁄¶ n+"ƒn¤ +2n 141111321111111 (n-"√n¤ +2n)(n+"√n¤ +2n) lim n⁄¶ 1 1411113 n-"√n¤ +2n lim n⁄¶ a«+b« 1411_a«b« lim n⁄¶ 1 14_b« 1 14_a« lim n⁄¶ '2 2 '2 2 1 '2 2 33251441111155 Æ…1+;n!;+Æ…1-;n!; lim n⁄¶ 1 '2 2n "√n¤ +n+"√n¤ -n lim n⁄¶ 1 '2 ("√n¤ +n-"√n¤ -n)("√n¤ +n+"√n¤ -n) "√n¤ +n+"√n¤ -n lim n⁄¶ 1 '2 Æ…n(n+1)₂ +Æ…(n-1)n₂

∴= yy㉠

이때 1-a¤ +0이면 발산하므로

1-a¤ =0 ∴ a=1 (∵ a>0)

a=1을 ㉠에 대입하면 =2 =2 ∴ b=0 ∴ a¤ +b¤ =1+0=1 답 ①

0046

⑴ = = = = 따라서 =;7@;이므로 a=3 ⑵ = = = = _='k 따라서_{'k=6이므로 k=36} 답 ⑴ 3 ⑵ 36

0047

= =2에서 a=8 ∴ _{("√64n¤ +6n-7-an)} = _{("√64n¤ +6n-7-8n)} = = 13455211111156n-7 "√64n¤ +6n-7+8n lim n⁄¶ ("√64n¤ +6n-7-8n)("√64n¤ +6n-7+8n) 13455211111111111111115 "√64n¤ +6n-7+8n lim n⁄¶ lim n_⁄¶ lim n_⁄¶ a 1₄ an-5 152515_4n+3 lim n_⁄¶ 2'k 2 Æ…k+;n@; {Æ…1+;n!; +Æ…1-;n!; } 11111111111154₂ lim n⁄¶ "√kn+2("√n+1+"√n-1) 2n lim n⁄¶ "√kn+2("√n+1+"√n-1) n("√n+1-"√n-1)("√n+1+"√n-1) lim n⁄¶ "√kn+2 n("√n+1-"√n-1) lim n_⁄¶ 6 155_7a 6 155_7a Æ…9+;nA;+3-;nA; 332514411551225_a¤ 7a-15 n lim n_⁄¶ "√9n¤ +an+3n-a 1111111345555_7an-a¤ lim n⁄¶ "√9n¤ +an+3n-a 111111134552111111114435125_{ "√9n¤ +an-(3n-a)} {"√9n¤ +an+(3n-a)} lim n⁄¶ 1 11111113455 "√9n¤ +an-3n+a lim n⁄¶ 2(2-b) 3321525444₂ 2+b¤ 2(2-b)-11535 n 332514411551111444_{4 2 b} Æ…1+1-15+1+1_{n n¤ n} lim n⁄¶ 2+b¤ (1-a¤ )n+2(2-ab)-115355 n 3325144115511111114344_{4 2 b} Æ…1+1-15+a+1_{n n¤ n} lim n⁄¶ = = = =b ∴ a+b=8+ = 답

0048

kæ0이면 a«=¶이므로 k<0 ∴ a« = _{{"√(n-1)(n-2)+kn}} = = = yy㉠ 이때 1-k¤ +0이면 수열 {a«}이 발산하므로 1-k¤ =0 ∴ k=-1 (∵ k<0) k=-1을 ㉠에 대입하면 a«= =-;2#; 답 _-;2#;

0049

=b«으로 놓으면 a«= 이고 b«=2 ∴ a«= = =4 답 ⑤

0050

3a«-5b«=c«으로 놓으면 b«= 이고 c«=2 ∴ b«= = 3¥4-2 =2 답 ② 5 3a«-c« 3321513₅ lim n_⁄¶ lim n_⁄¶ lim n⁄¶ 3a«-c« 3321513₅ 2+2 321555_3-2 b«+2 321551_3-b« lim n_⁄¶ lim n_⁄¶ lim n⁄¶ b«+2 21551_3-b« 3a«-2 3215514_a«+1 -3+;n@; 3325144115512252_{3 2} Æ…1-1+15+1_{n n¤} lim n_⁄¶ lim n_⁄¶ (1-k¤ )n-3+;n@; 3325144115512252_{3 2} Æ…1-1+15-k_{n n¤} lim n⁄¶ (1-k¤ )n¤ -3n+2 111111114 "√n¤ -3n+2-kn lim n⁄¶ {"√(n√-1)(n-2)+kn} {"√(n√-1)(n-2)-kn} 1111111345555111111111114 "√(n-1)(n-2)-kn lim n⁄¶ lim n_⁄¶ lim n_⁄¶ lim n⁄¶ 67 8 67 8 3 8 3 325₈ 6 33215₈₊₈ lim n_⁄¶ ▶본문

_{012 ~ 013}

쪽 6-;n&; Æ…64+;n^;- +8 7 225_n¤ 단계 채점요소 배점 a의 값 구하기 30% b의 값 구하기 50% a+b의 값 구하기 20%

0051

(2n¤ -3n)a«=b«으로 놓으면 a«= 이고 b«=4 ∴ n¤ a«= n¤ ¥ = ¥ b«= ¥4=2 답 ④

0052

a«-3b«=c«으로 놓으면 a«=3b«+c«이고 c«=2 또 b«=¶이므로 =0 ∴ = = = 답

0053

a«=S«-S«–¡ a«=(2n¤ -3n)-{2(n-1)¤ -3(n-1)} a«=4n-5 (næ2) ∴ = = = =:¡2§:=8 답 ③

0054

a«=S«-S«–¡ a«=(n¤ +4n)-{(n-1)¤ +4(n-1)} a«=2n+3 (næ2) b«= b«= b«= ∴ = = ∴ = _=;6$;=;3@; 답 _;3@; 4+;n*; 332153552 6+;n(; lim n⁄¶ 4n+8 33215355_6n+9 lim n⁄¶ 4n+8 111₃ 3325144554_2n+3 lim n⁄¶ b« 332_a« lim n⁄¶ 4n+8 33215355₃ 2n+3+2(n+1)+3 332125235111114₃ a«+a«≠¡ 332125235₃ 40 25 16-14+12 n n¤ 332514455114444 2-;n#; lim n⁄¶ 16n¤ -40n+25 33212512112_{2n¤ -3n} lim n_⁄¶ (4n-5)¤ 33212512_{2n¤ -3n} lim n⁄¶ a«¤ 33255_S« lim n⁄¶ 1 3 1 3 lim n_⁄¶ b«-5 3b«+c«+5 lim n⁄¶ b«-5 a«+5 lim n_⁄¶ 1 b« lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n_⁄¶ 1 2 lim n_⁄¶ n¤ 2n¤ -3n lim n_⁄¶ b« 2n¤ -3n lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ b« 2n¤ -3n

0055

a«=S«-S«–¡ a«=n¥3« -(n-1)¥3«« —⁄ a«=3«« —⁄ {3n-(n-1)} a«=(2n+1)3«« —⁄ (næ2) ∴ = = = =;2#; 답 ④

0056

na«=b«으로 놓으면 b«=S«-S«–¡ b«=n¤ (n+2)-(n-1)¤ (n+1) b«=3n¤ +n-1 (næ2) 즉 na«=3n¤ +n-1이므로 a«=3n+1-;n!; ∴ = = =3 답 3

0057

n¤ +n<(10n¤ +3)a«<n¤ +2n에서 <a«< 이때 =;1¡0;, =;1¡0;이므로 수열의 극한값의 대소 관계에 의하여 a«=;1¡0; 답 _;1¡0;

0058

=3, =3이므로 수열의 극한값의 대소 관계에 의하여 a«=3 답 ⑤ lim n_⁄¶ 3n¤ +n 155122_{n¤ +1} lim n⁄¶ 3n¤ -n 155122_{n¤ +1} lim n⁄¶ lim n⁄¶ n¤ +2n 11124_{10n¤ +3} lim n⁄¶ n¤ +n 11124_{10n¤ +3} lim n⁄¶ n¤ +2n 11124 10n¤ +3 n¤ +n 11124 10n¤ +3 1 1 3+1-15 n n¤ 33251441155 1+;n!; lim n⁄¶ 3n+1-;n!; 134552451155_n+1 lim n⁄¶ a« 134552_n+1 lim n⁄¶ 3 134552555 2+;n!; lim n⁄¶ 3n 13455555555_2n+1 lim n⁄¶ n¥3« 1345521455155_{(2n+1)3« —⁄} lim n⁄¶ S« 13_a« lim n⁄¶ 1-3+ + 5 b« c« b« 5 b« 단계 채점요소 배점 a« 구하기 60% 의 값 구하기 40% a« 113_n+1 lim n⁄¶ ¤ c«=2, b«=¶이므로 =0 c« b« lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶

0059

2n<a«<2n+1에서 2k< a˚< (2k+1) n(n+1)< a˚<n(n+1)+n n¤ +n< a˚<n¤ +2n ∴ < < 이때 = , = 이므로 수열의 극한값의 대소 관계에 의하여 = 답 _;7!;

0060

4n¤ +3n-1<a«<4n¤ +3n+5에서 3n-1<a«-4n¤ <3n+5 < < 이때 =3, =3이므로 수열의 극한값 의 대소 관계에 의하여 =3 답 ③

0061

f(x)=3x¤이므로 P(n, 3n¤ ), Q(n+1, 3(n+1)¤ ) ∴ a«=PQ”="√1¤ +{3(n+1)¤ -3n√¤ }¤ ∴ a«="√1+(6n+3)¤ ∴ a«="√36n¤ +36n+10 ∴ = = _æ≠36+ + ='∂36=6 답 6

0062

y= x에서 x= y yy㉠ 점 P«의 y좌표를 구하기 위해 ㉠을 2x+3y=8에 대입하면 2¥ y+3y=8 ∴ y=8 ∴ y= ∴ S«= _OA”_(점 P«의 y좌표) = _4_ = 16n 9n+2 8n 9n+2 1 2 1 2 8n 9n+2 9n+2 n 3n+1 n 3n+1 n n 3n+1 10 12_n¤ 36 12_n lim n_⁄¶ "√36n¤ +36n+10 151111113_n lim n⁄¶ a« 15_n lim n⁄¶ a«-4n¤ n lim n⁄¶ 3n+5 n lim n⁄¶ 3n-1 n lim n⁄¶ 3n+5 n a«-4n¤ n 3n-1 n 1 7 a¡+a™+y+a« 7n¤ +10 lim n⁄¶ 1 7 n¤ +2n 7n¤ +10 lim n⁄¶ 1 7 n¤ +n 7n¤ +10 lim n⁄¶ n¤ +2n 7n¤ +10 a¡+a™+y+a« 7n¤ +10 n¤ +n 7n¤ +10 n ¡ k=1 n ¡ k=1 n ¡ k=1 n ¡ k=1 n ¡ k=1 ∴ S«= = 답

0063

(3n)¤ <9n¤ +5n+1<(3n+1)¤이므로 3n<"√9n¤ +5n+1<3n+1 따라서_{"√9n¤ +5n+1의 정수 부분이 3n이므로} a«="√9n¤ +5n+1-3n ∴ a« ∴= _{("√9n¤ +5n+1-3n)} ∴= ∴= ∴= ∴= _=;6%; 답 _;6%;

0064

(2n)¤ <4n¤ +3n+1<(2n+1)¤이므로 2n<"√4n¤ +3n+1<2n+1 ∴ a«=2n, b«="√4n¤ +3n+1-2n ∴ ∴= ∴= ∴= ∴= = _=;2#; 답 _;2#;

0065

ㄱ. (반례) a«=n, b«=n¤ 이면 ㄱ. a«=¶, b«=¶이지만 ㄱ. = = _{;n!;=0 (거짓)}

ㄴ. a«=¶, lim(a«-b«)=a이므로

n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ n 155_n¤ lim n⁄¶ a« 155_b« lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ 2¥3 33215₂₊₂ 2 {3+;n!;} 332514411551225_{3 1} Æ…4+1+15+2_{n n¤} lim n⁄¶ 2(3n+1) 111113455212 "√4n¤ +3n+1+2n lim n⁄¶ 2("√4n¤ +3n+1-2n)("√4n¤ +3n+1+2n) 11111345521111111111155 "√4n¤ +3n+1+2n lim n⁄¶ 2n("√4n¤ +3n+1-2n) 134552111351111_n lim n⁄¶ a«b« 134555_n lim n⁄¶ 5 33215₃₊₃ 5+;n!; 332514411551225_{5 1} Æ…9+1+15+3_{n n¤} lim n⁄¶ 5n+1 111113455212 "√9n¤ +5n+1+3n lim n⁄¶ ("√9n¤ +5n+1-3n)("√9n¤ +5n+1+3n) 11111345521111111111155 "√9n¤ +5n+1+3n lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n_⁄¶ 16 9 16 9 16n 9n+2 lim n⁄¶ lim n⁄¶ ▶본문

_{013 ~ 015}

쪽 단계 채점요소 배점 점 P«의 y좌표 구하기 40% S« 구하기 40% S«의 값 구하기 20% lim n⁄¶

ㄱ. = _{{1- }=0} ㄱ. ∴ =1 (참) ㄷ. (반례) a«=;n!;, b«=;n@;이면 a«<b«이지만 ㄱ. a«= b«=0 (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄴ이다. 답 ②

0066

ㄱ. b«= {(3a«+b«)-3a«} = (3a«+b«)-3 a« =0-3¥1=-3 (참) ㄴ. (반례) a«=;n!;, b«=n이면 ㄴ. a«=0, a«b«= _{;nN;=1이지만} ㄴ. b«= n=¶ (거짓) ㄷ. (반례) a«=n-;n!;, b«=n+;n!;, c«=n이면 ㄴ. a«<c«<b«이고 (b«-a«)= ;n@;=0이지만 ㄴ. c«= n=¶ (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ이다. 답 ㄱ

0067

ㄱ. (반례) a«=n, b«=;n!;이면 ㄱ. a«=¶, b«=0이지만 ㄱ. a«b«= n¥;n!;= 1=1 (거짓) ㄴ. b«+¶라 가정하자. ㄱ. ⁄ b«=a (a+0인 상수)이면 ㄱ. ⁄ (a«-b«)=¶가 되어 모순이다. ㄱ. ¤ b«=-¶이면 ㄱ. ⁄ (a«-b«)=¶가 되어 모순이다. ㄱ. ‹수열 {b«}이 진동하면 수열 {a«-b«}은 양의 무한대로 발산하거나 진동하므로 모순이다. ㄱ. ⁄, ¤, ‹에 의하여 b«=¶이다. (참) ㄷ. (반례) a«=(-1)« , b«=(-1)« ±⁄ 이면 ㄱ. 두 수열 {a«}, {b«}은 모두 발산(진동)하지만 ㄱ. a«b«=(-1)« _(-1)« ±⁄ =-1 ㄱ. 이므로 수열 {a«b«}은 -1에 수렴한다. (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄴ이다. 답 ㄴ

0068

ㄱ. 공비가 -3이고, -3<-1이므로 발산한다. ㄴ. 공비가 log4-log5이고, lim n_⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n_⁄¶ lim n_⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ b« 15_a« lim n_⁄¶ b« 15_a« lim n⁄¶ a«-b« 155125_a« lim

n⁄¶ -1<log 4-log 5 {=log }<1이므로 수렴한다.

ㄷ. 공비가 - 이고, -1<- <1이므로 수렴한다. ㄹ. = ¥{ }«에서 공비가 이고, >1이므로 발산 한다. 따라서 수렴하는 것은 ㄴ, ㄷ이다. 답 ②

0069

⑴ 공비가 0.2이고, -1<0.2<1이므로 수렴한다. ⑵ 공비가 이고, -1< <1이므로 수렴한다. ⑶ 공비가 이고, -1< <1이므로 수렴한다. ⑷ 공비가_{'2이고, '2>1이므로 발산한다.} 답 ⑴ 수렴 ⑵ 수렴 ⑶ 수렴 ⑷ 발산

0070

ㄱ. 수열 {(-1)« }의 공비가 -1이므로 수열 {(-1)« } 은 진동한다. 따라서 수열 {3+(-1)« }은 발산(진동)한다. ㄴ. 공비가 log2+log5=log10=1이므로 수렴한다. ㄷ. _{{ }}⁄ —« = ¥_{{ }}« 에서 공비가 이고, >1이므로 발산 한다. ㄹ. 2—« =_{{ }}« 에서 공비가 이고, -1< <1이므로 수렴 한다. 3—« ={ }« 에서 공비가 이고, -1< <1이므로 수렴 한다. 따라서 수열 {2—« +3—« }은 수렴한다. 따라서 발산하는 것은 ㄱ, ㄷ이다. 답 ②

0071

= =;3!; 답 ①

0072

⑴ = = =1 ⑵ = 514411551333« -;2!;¥4« ;3!;¥3« +4« lim n_⁄¶ 3« -2¤ « —⁄ 15515515_{3« —⁄ +2¤ «} lim n_⁄¶ 1-{;6#;}« 33251441155111111 1-{;6@;}« -{;6#;}« +{;6!;}« lim n_⁄¶ 6« -3« 155112514555_{6« -2« -3« +1} lim n⁄¶ 6« -3« 15511251125_{(2« -1)(3« -1)} lim n_⁄¶ 2¥{;3@;}« +;3!; 332514411555 Æ…1+{;9$;}« lim n⁄¶ 2« ±⁄ +3« —⁄ 15511252 "√9« +2¤ « lim n⁄¶ 1 3 1 3 1 3 1 2 1 2 1 2 3 2 3 2 3 2 2 3 2 3 3 5 3 5 1 2 1 2 5 4 5 4 5 4 1 4 5« 4« ±⁄ 3 4 3 4 4 5

= _=-;2!; ⑶ (5« -3« );n!; = ∞5« _{[1-{ }}«_]§;n!; = _{5[1-{ }}«_];n!; =5 ⑷ 1+3+3¤ +y+3« = _{=;2!;(3« ±⁄ -1)} ∴ ∴= ∴=2 ∴=;3@; 답 ⑴ 1 ⑵ -_{;2!; ⑶ 5 ⑷ ;3@;}

0073

a«=a (a는 실수)라 하면 = = 따라서 - =6이므로 a=-∴ a«=- 답

-0074

'3=3;2!; "ç3'3=3;2!;¥3;4!;=3;2!;+;4!; øπ3"ç3'3=3;2!;¥3;4!;¥3;8!;=3;2!;+;4!;+;8!; ⋮ a«=3;2!;+;4!;+;8!;+y+{;2!;}« ;2!;+;4!;+;8!;+y+{;2!;}« = =1-{;2!;}« 이므로 a«= 31-{;2!;}«_{=3⁄ =3 답 3}

0075

공비가 log£ x-2이므로 주어진 수열이 수렴하려면

-1<log£ x-2…1, 1<log£ x…3, log£ 3<log£ x…log 3‹

∴ 3<x…27 따라서 모든 자연수 x의 값의 합은 4+5+6+y+27=1552311224(4+27)=372 답 ② 2 lim n⁄¶ lim n⁄¶ ;2!;[1-{;2!;}«] 111111 1-;2!; 5 6 5 6 lim n⁄¶ 5 6 5 1_a 5 125_-a 5+{;5#;}« ¥a« 4411551111 3 ¥{;5#;}« -a« lim n_⁄¶ 5« ±⁄ +3« a« 155125125_{3« ±⁄ -5« a«} lim n_⁄¶ lim n_⁄¶ 1 155231345 3-{;3!;}« lim n⁄¶ 3« 1552311155 ;2!;(3« ±⁄ -1) lim n⁄¶ 3« 1552311111345_{1+3+3¤ +y+3«} lim n_⁄¶ 3« ±⁄ -1 155231_3-1 3 1₅ lim n⁄¶ 3 1₅ lim n_⁄¶ lim n⁄¶ {;4#;}« -;2!; 441155111 ;3!;¥{;4#;}« +1 lim n⁄¶

0076

⑴ 공비가 이므로 주어진 수열이 수렴하려면 -1< …1 ∴ -2<x-x¤ …2 ⁄-2<x-x¤ , 즉 x¤ -x-2<0에서 (x+1)(x-2)<0 ∴ -1<x<2 ¤x-x¤ …2, 즉 x¤ -x+2æ0에서 x¤ -x+2={x- }¤+ >0 이므로 항상 성립한다. ⁄, ¤에서 -1<x<2 따라서 정수 x는 0, 1의 2개이다. ⑵ 수열_{[{ }}« —⁄ _{(x+2)]의 첫째항은 x+2, 공비는} 이므 로 수렴하려면 x+2=0또는 -1< …1 ∴ -2…x…2 답 ⑴ 2 ⑵ -2…x…2

0077

⁄수열_{[{ }}«_{]의 공비가} 이므로 수렴하 려면 -1< …1, -2<3x+1…2 -3<3x…1 ∴ -1<x… ¤수열 {(x-3)(2x+1)« }의 첫째항은 (x-3)(2x+1), 공비는 2x+1이므로 수렴하려면 (x-3)(2x+1)=0또는 -1<2x+1…1 (x-3)(2x+1)=0에서 x=- 또는 x=3 yy㉠ -1<2x+1…1에서 -1<x…0 yy㉡ ㉠, ㉡에서 x=3 또는 -1<x…0 ⁄, ¤에서 -1<x…0 답 -1<x…0

0078

수열 {r« }이 수렴하므로 -1<r…1 yy㉠ ㄱ. 공비가 -r이고 ㉠에서 -1…-r<1 이때 -r=-1, 즉 r=1이면 수렴하지 않는다. ㄴ. 공비가 이고 ㉠에서 0… <1이므로 수렴한다. ㄷ. 공비가 r¤ 이고 ㉠에서 0…r¤ …1이므로 수렴한다. 따라서 항상 수렴하는 것은 ㄴ, ㄷ이다. 답 ㄴ, ㄷ

0079

⁄|r|<1일 때, r« =0 ∴ = = ¤r=1일 때, -1 0-1 15523₀₊₁ r« -1 1552345_{r« +1} lim n⁄¶ lim n_⁄¶ 1-r 2 1-r 2 1 2 1 3 3x+1 2 3x+1 2 3x+1 2 x 2 x 2 x 2 7 4 1 2 x-x¤ 2 x-x¤ 2 ▶본문

_{015 ~ 017}

쪽

= = ‹|r|>1일 때, |r« |=¶ ∴ = = 답 ①

0080

1<r…3일 때, r« =¶ ∴ = _=-;3$; 답 _-;3$;

0081

⁄|r|>1일 때, r¤ « =¶ ⁄∴ a= = =1 ¤|r|=1일 때, ⁄b= = _=;2!; ‹|r|<1일 때, r¤ « =0 ⁄∴ c= =0 ∴ a+b-c=1+_;2!;-0=;2#; 답 _;2#;

0082

⁄|r|>1일 때, r¤ « =¶ ⁄∴ = =r ¤|r|<1일 때, r¤ « = r¤ « ±⁄ =0 ⁄∴ =-‹r=1일 때, = =0 ›r=-1일 때, =15115-1-1=-1 1+1 r¤ « ±⁄ -1 14513445_{r¤ « +r¤} lim n⁄¶ 1-1 151₁₊₁ r¤ « ±⁄ -1 14513445_{r¤ « +r¤} lim n⁄¶ 1 15_r¤ r¤ « ±⁄ -1 14513445_{r¤ « +r¤} lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ 1 r-155 r¤ « 332514411₁ 1+r¤ ¥155 r¤ « lim n⁄¶ r¤ « ±⁄ -1 14513445_{r¤ « +r¤} lim n⁄¶ lim n⁄¶ r¤ « 14512_{1+r¤ «} lim n⁄¶ lim n_⁄¶ 1 15523₁₊₁ r¤ « 14512_{1+r¤ «} lim n⁄¶ 1 332514455₁ 155+1_{r¤ «} lim n⁄¶ r¤ « 14512_{1+r¤ «} lim n⁄¶ lim n⁄¶ 4 332514411 4¥{;r!;}« -3 lim n⁄¶ 4¥r« 155234515_4-3¥r« lim n⁄¶ lim n⁄¶ 1 1 1-15 r« 3325144₁ 1+15 r« lim n⁄¶ r« -1 1552345_{r« +1} lim n⁄¶ lim n⁄¶ 0 1-0 15523₁₊₁ r« -1 1552345_{r« +1} lim n⁄¶ ∴ = 그런데 |r|<1이면 0<r¤ <1 (∵ r+0) >1 ∴ - <-1 즉 =a (a는 실수)라 하면

|a|>1또는 a=0 또는 a=-1

이므로 ②_{;2!;은 극한값이 될 수 없다.} 답 ②

0083

2a«≠¡=a«+3에서 a«≠¡-3=;2!;(a«-3) 따라서 수열 {a«-3}은 첫째항이 a¡-3=2-3=-1, 공비가 ;2!;인 등비수열이므로 a«-3=-1¥{;2!;}« —⁄ =-{;2!;}« —⁄ ∴ a«=3-{;2!;}« —⁄ ∴ a«= [3-{;2!;}« —⁄]=3 답 ④

다른풀이 a«=a (a는 실수)라 하면 a«≠¡=a이므로

2a«≠¡= (a«+3)에서 2a=a+3 ∴ a=3 ∴ a«=3

0084

2a«≠™-3a«≠¡+a«=0에서 a«≠™-a«≠¡=;2!;(a«≠¡-a«) 따라서 수열 {a«≠¡-a«}은 첫째항이 a™-a¡=3-1=2, 공비가 ;2!;인 등비수열이므로 a«≠¡-a«=2¥{;2!;}« —⁄ 위의 식의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입한 후 변끼리 더하면 a™-a¡ =2 a£-a™ =2¥;2!; a¢-a£ =2¥{;2!;}¤ ⋮ + }a«-a«–¡=2¥{;2!;} « —¤ 32525252525252525252525252525252525252525252525252525 a«-a¡ =2[1+;2!;+{;2!;}¤ +y+{;2!;}« —¤ ] =2¥ 1-{;2!;}« —⁄ 3325144122 1-;2!; lim n⁄¶ lim n_⁄¶ lim n_⁄¶ lim n_⁄¶ lim n_⁄¶ lim n_⁄¶ lim n_⁄¶ r¤ « ±⁄ -1 1451225_{r¤ « +r¤} lim n_⁄¶ 1 15_r¤ 1 15_r¤ r (|r|>1) 1 -15 (|r|<1) r¤ 0 (r=1) -1 (r=-1) ( \ \ { \ 9 r¤ « ±⁄ -1 14513445_{r¤ « +r¤} lim n⁄¶ 단계 채점요소 배점 a의 값 구하기 30% b의 값 구하기 30% c의 값 구하기 30% a+b-c의 값 구하기 10%

=4[1-{;2!;}« —⁄] ∴ a«=1+4[1-{;2!;}« —⁄]=5-4¥{;2!;}« —⁄ ∴ a«= [5-4¥{;2!;}« —⁄]=5 답 ①

0085

이차방정식 x¤ -2_{'∂a« x+3(a«≠¡+2)=0이 중근을 가} 지므로 판별식을 D라 하면 =a«-3(a«≠¡+2)=0 ∴ 3a«≠¡-a«+6=0 이때 a«≠¡+3=;3!;(a«+3)이므로 수열 {a«+3}은 첫째항이 a¡+3, 공비가 ;3!;인 등비수열이다. 즉 a«+3=(a¡+3)¥{;3!;}« —⁄ ∴ a«=-3+(a¡+3)¥{;3!;}« —⁄ ∴ a«= [-3+(a¡+3)¥{;3!;}« —⁄]=-3 답 -3

다른풀이 a«=a (a는 실수)라 하면 a«≠¡=a이므로

(3a«≠¡-a«+6)=0에서 3a-a+6=0 ∴ a=-3 ∴ a«=-3

0086

… 의 n에 1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대 입하여 변끼리 곱하면 … … … ⋮ __} … 32525252525252525252525225 …{ }« —⁄

a¡>0, a«>0이므로 0<a«…a¡¥{ }« —⁄

2009 151₂₀₁₀ 2009 151₂₀₁₀ a« 153_a¡ 2009 151₂₀₁₀ a« 15345_a«–¡ 2009 151₂₀₁₀ a¢ 15_a£ 2009 151₂₀₁₀ a£ 15_a™ 2009 151₂₀₁₀ a™ 15_a¡ 2009 151₂₀₁₀ a«≠¡ 151_a« lim n⁄¶ lim n_⁄¶ lim n_⁄¶ lim n_⁄¶ lim n_⁄¶ lim n_⁄¶ D 14₄ lim n⁄¶ lim n⁄¶ 이때 _{a¡¥{ }}« —⁄ =0이므로 수열의 극한값의 대소 관계 에 의하여 a«=0 ∴ = _=;3@; 답 _;3@;

0087

ㄱ. = =0(참) ㄴ. = _{{4+ }=4 (거짓)} ㄷ. _{-;2!;}« =0 (거짓) ㄹ. = =0(참) ㅁ. (7-3n)=-¶(거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄹ이다. 답 ①

0088

("√n¤ +4n+1-n) = = = = =2 답 ⑤

0089

= = =-4 답 -4

0090

a«= {;n#;-2}=-2 b«= _{[4- ]=4}

∴ a«(2a«+5b«)= a«¥(2 a«+5 b«)

=-2 {2¥(-2)+5¥4} =-32 답 -32

0091

에서 c+0이면 0에 수렴하므로 c=0 an¤ +bn+2 151313134_{cn‹ +3n-2} lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ 2 112222_n(n+1) lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n_⁄¶ lim n_⁄¶ 6¥{;8^;}« -4 3325144122 1-{;8^;}« lim n_⁄¶ 6¥6« -4¥8« 15415112_{8« -6«} lim n⁄¶ 6« ±⁄ -2‹ « ±¤ 1541511_{2‹ « -6«} lim n⁄¶ 4 15424₁₊₁ 4+;n!; 332514411555134_{4 1} Æ…1+1+15+1_{n n¤} lim n⁄¶ 4n+1 1541511115 "√n¤ +4n+1+n lim n_⁄¶ ("√n¤ +4n+1-n)("√n¤ +4n+1+n) 154151111111111111 "√n¤ +4n+1+n lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ {;5@;}« -{;5$;}« 4411455111 {;5#;}« +1 lim n⁄¶ 2« -4« 1513455_{3« +5«} lim n⁄¶ lim n⁄¶ 3 n lim n⁄¶ 4n+3 151345_n lim n⁄¶ ;n^; 411551 3-;n_¤!;; lim n⁄¶ 6n¤ 15134555_{3n‹ -n} lim n⁄¶ 2n 151345_3n+9 lim n⁄¶ 2n-a« 1511115_4a«+3n+9 lim n⁄¶ lim n_⁄¶ 2009 151₂₀₁₀ lim n⁄¶ ▶본문

_{017 ~ 018}

쪽 단계 채점요소 배점 중근을 가질 조건 구하기 20% a« 구하기 50% a«의 값 구하기 30% lim n⁄¶

또 에서 a+0이면 발산하므로 a=0 ∴ = =3 ∴ b=9 ∴ a+b+c=9 답 ⑤

0092

("√n¤ +3-n)a«=b«으로 놓으면 a«= 이고 b«=6 ∴ = ¥ = ¥ b« = ¥ b« = ¥ b« = ¥ b« =;3@;¥6 =4 답 ③

0093

공비가 이므로 주어진 수열이 수렴하려면 -1< …1 ∴ -3<x¤ +2x…3 ⁄-3<x¤ +2x,즉 x¤ +2x+3>0에서 x¤ +2x+3=(x+1)¤ +2æ2 이므로 모든 실수 x에 대하여 항상 성립한다. ¤x¤ +2x…3,즉 x¤ +2x-3…0에서 (x+3)(x-1)…0 ∴ -3…x…1 ⁄, ¤에서 -3…x…1이므로 구하는 정수 x는 -3, -2, -1, 0, 1의 5개이다. 답 ④

0094

{log™(2n-1)+log™(8n+1)-2 log™(n+1)} = {log™(2n-1)(8n+1)-log™(n+1)¤ } = log™ = log™ = log™ =log™ 16 =log™ 2› =4 답 ③ 6 1 16-1-15 n n¤ 33251441515_{2 1} 1+1+15 n n¤ lim n_⁄¶ 16n¤ -6n-1 1541511235_{n¤ +2n+1} lim n⁄¶ (2n-1)(8n+1) 15415111154555_(n+1)¤ lim n_⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ x¤ +2x 1113₃ x¤ +2x 1113₃ lim n⁄¶ 3 Æ…1+15+1_n¤ 111111₃ lim n⁄¶ lim n⁄¶ "√n¤ +3+n 11111_3n lim n⁄¶ lim n⁄¶ "√n¤ +3+n 111111111111 n("√n¤ +3-n)("√n¤ +3+n) lim n⁄¶ lim n_⁄¶ 1 111111 n"√n¤ +3-n lim n_⁄¶ b« 11111 "√n¤ +3-n 1 1_n a« 13_n lim n⁄¶ lim n_⁄¶ b« 11111 "√n¤ +3-n b 15₃ bn+2 1511_3n-2 lim n_⁄¶ an¤ +bn+2 151313134_3n-2 lim n⁄¶

0095

주어진 수열의 일반항을 a«이라 하면 a«= = a«= _=1-{;2!;}« ∴ a«= [1-{;2!;}«]=1-0=1 답 ②

0096

⁄수열 {x¤ « ±⁄ }의 공비가 x¤ 이므로 수렴하려면 -1<x¤ …1 ∴ -1…x…1 yy㉠ ¤수열 {(1+x)« }의 공비가 1+x이므로 수렴하려면 -1<1+x…1 ∴ -2<x…0 yy㉡ ㉠, ㉡에서 -1…x…0 따라서 a=-1, b=0이므로 a+b=-1 답 ②

0097

f {-;2!;}= = =5 f(4)= = = =16 ∴ f_{{-;2!;}+f(4)=5+16=21} 답 21

0098

=b«으로 놓으면 a«= 이고 b«=-1 ∴ a«= = = ∴ = =-5 답 ②

0099

ㄱ. |x|>1일 때, x¤ « =¶이므로 f(x)= =lim121444444=-x (참) n⁄¶ x¤ -x¤ « ±⁄ 12144444444_{2+x¤ «} lim n_⁄¶ lim n⁄¶ ;3@;+1 4411551 ;3@;-1 a«+1 12144_a«-1 lim n⁄¶ 2 1₃ 3¥(-1)+1 12144444444444444_2+5¥(-1) 3b«+1 1214444_2+5b« lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ 3b«+1 1214444_2+5b« -2a«+1 12114444_5a«-3 4¤ -22¥{;4!;}« 4411551111 1+{;4!;}« lim n⁄¶ 4« ±¤ -22 12111_{4« +1} lim n⁄¶ 4« ±¤ -6¥4+2 12111144_{4« +1} lim n⁄¶ 0+3+2 12114₀₊₁ {-;2!;}« ±¤ -6¥{-;2!;}+2 441155111111111 {-;2!;}« +1 lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ 2« -1 121_2« 2« -1 112_2-1 3325145_2« 1+2+2¤ +y+2« —⁄ 11222111114_2« -x +1 2 x¤ « x¤ x¤ «

ㄴ. x=1일 때, f(x)= = =0 x=-1일 때, f (x)= = _{=;3@; (거짓)} ㄷ. |x|<1일 때, x¤ « =0이므로 f(x)= = _{=;2!;x¤ (참)} 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. 답 ④

0100

("√n¤ +an+1-"√bn¤ -3n+2) = = = 극한값이 10이므로 1-b=0, =10 ∴ a=17, b=1 ∴ a+b=18 답 ⑤

0101

⑴ =b«으로 놓으면 a«= 이고 b«=1 ∴ na«= = = _{=4 {∵ =0}} ⑵ =b«으로 놓으면 a«= 이고 b«=-6 ∴ a«= = = =6 답 ⑴ 4 ⑵ 6

0102

a«=1¥2+2¥3+3¥4+y+n(n+1) = k(k+1)= k¤ + k = + =n(n+1)(n+2)₃ n(n+1) 2 n(n+1)(2n+1) 6 n ¡ k=1 n ¡ k=1 n ¡ k=1 -6 151_-1 b«+{-;3@;}« 3325144122222 {-;3@;}« ¥b«-1 lim n⁄¶ (-3)« ¥b«+2« 1551511155555_{2« ¥b«-(-3)«} lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ (-3)« ¥b«+2« 1551511155555_{2« ¥b«-(-3)«} 2« +(-3)« ¥a« 155151115555_{2« ¥a«-(-3)«} b« 15_n lim n⁄¶ 1+3 1515_1-0 b«+3 33251445555_2b« 1-1555 n lim n_⁄¶ nb«+3n 15115455_n-2b« lim n_⁄¶ lim n_⁄¶ lim n⁄¶ b«+3 15115_n-2b« na«-3 15115_2a«+1 a+3 1122 1+'b (1-b)n+(a+3)-;n!; 112221111111113 æ≠1+;nA;+;n!¤;;+æ≠b-;n#;+;n@¤;; lim n⁄¶ (1-b)n¤ +(a+3)n-1 11222111111111 "√n¤ +an+1+"√bn¤ -3n+2 lim n_⁄¶ ("√n¤ +an+1-"√bn¤ -3n+2)("√n¤ +an+1+"√bn¤ -3n+2) 1122211111111111111111111114 "√n¤ +an+1+"√bn¤ -3n+2 lim n⁄¶ lim n⁄¶ x¤ -0 1212₂₊₀ x¤ -x¤ « ±⁄ 1222212_{2+x¤ «} lim n⁄¶ lim n⁄¶ 1-(-1) 1214441₂₊₁ x¤ -x¤ « ±⁄ 12144444444_{2+x¤ «} lim n⁄¶ 1-1 121₂₊₁ x¤ -x¤ « ±⁄ 12144444444_{2+x¤ «} lim n⁄¶ _{∴ =} ∴ = _{;3!; {1+;n!;} {1+;n@;}} ∴ _{=;3!;¥1¥1=;3!;} 답 _;3!;

0103

10n-100<a«<10n+100에서 < < ∴ 10- < <10+ 이때 _{{10- }=10, {10+ }=10이므로} 수열의 극한값의 대소 관계에 의하여 =10 답 10

0104

a«=S«-S«–¡ =5« +8-(5« —⁄ +8) =5« -5« —⁄ =4¥5« —⁄ (næ2) ∴ = = =;4%; 답 _;4%;

0105

⁄|r|>5일 때, _{;r%;}« =0이므로 = =1 ¤|r|<5일 때, _{;5R;}« =0이므로 = =-1 이상에서 극한값이 -1이 되도록 하는 r의 값의 범위는 |r|<5 이므로 정수 r는 -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4의 9개이다. 답 ③

0106

ㄱ. a«-b«=c«이라 하면 b«=a«-c«이고 c«=0 ∴ b«= (a«-c«)

∴ b«= a«-limc«=a-0=a (참)

n_⁄¶ lim n_⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ {;5R;}« +1 332514222 {;5R;}« -1 lim n⁄¶ r« +5« 113333_{r« -5«} lim n⁄¶ lim n⁄¶ 1+{;r%;}« 332514222 1-{;r%;}« lim n⁄¶ r« +5« 113333_{r« -5«} lim n⁄¶ lim n⁄¶ 1+8¥{;5!;}« 1552345211 ;5$; lim n⁄¶ 5« +8 15523452_{4¥5« —⁄} lim n_⁄¶ S« 155_a« lim n_⁄¶ a« 12_n lim n_⁄¶ 100 124_n lim n⁄¶ 100 124_n lim n⁄¶ 100 124_n a« 12_n 100 124_n 10n+100 112221_n a« 12_n 10n-100 112221_n lim n_⁄¶ 1411111144_n‹ lim n⁄¶ a« 14_b« lim n⁄¶ ▶본문

_{018 ~ 020}

쪽 n(n+1)(n+2) 3

ㄴ. (반례) a«=(-1)« 이면 a«¤ =1이지만

a«은 발산한다. (거짓)

ㄷ. (반례) a«=(-1)« ±⁄ 이면 a™«=-1, a™«–¡=1이므로 a™«=-1, a™«–¡=1이지만 수열 {a«}은 발산한다.

(거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ이다. 답 ①

0107

P«(2n, '2ßn), Q«(2n, 0)이므로 OP«”="√(2n)¤ +('2ßn)¤ ="√4n¤ +2n OQ«”=2n ∴ (OP«”-OQ«”) = _{("√4n¤ +2n-2n)} = = = = _=;2!; 답 _;2!;

0108

a«-b«=c«으로 놓으면 b«=a«-c«이고 c«=2 이때 a«=¶이므로 =0 ∴ = = = = =3 답 ③ 다른풀이　 a«=¶, (a«-b«)=2이므로 = _{{1- }=0} ∴ =1 ∴ = = =3

0109

-1…(-1)« …1이므로 -;n!;…12125(-1)«_n …;n!; 1+8 131₂₊₁ b« 1+8¥15 a« 332514415_b« 2+15 a« lim n_⁄¶ a«+8b« 15152345_2a«+b« lim n_⁄¶ b« 13_a« lim n⁄¶ b« 13_a« lim n_⁄¶ a«-b« 151523_a« lim n_⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ 9 1₃ c« 9-8¥15 a« 332514415_c« 3-15 a« lim n_⁄¶ 9a«-8c« 1515234444_3a«-c« lim n⁄¶ a«+8(a«-c«) 1511152344445_2a«+a«-c« lim n_⁄¶ a«+8b« 15152345_2a«+b« lim n_⁄¶ c« 13_a« lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n_⁄¶ 2 11555₂₊₂ 2 12111555 Æ…4+;n@;+2 lim n⁄¶ 2n 111222121 "√4n¤ +2n+2n lim n_⁄¶ ("√4n¤ +2n-2n)("√4n¤ +2n+2n) 11222121111111111 "√4n¤ +2n+2n lim n⁄¶ lim n_⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n_⁄¶ 이때 {-;n!;}=0, ;n!;=0이므로 수열의 극한값의 대소 관계에 의하여 =0 ∴ A=0 B= = B= _=;2%; C= = =3 ∴ A<B<C 답 ①

0110

수열 {r¤ « }이 수렴하므로 -1<r¤ …1 ∴ -1…r…1 yy㉠ ㄱ. 공비가_{;2R;이고 ㉠에서 -;2!;…;2R;…;2!;} 따라서 수열_[{;2R;}«_{]은 수렴한다.} ㄴ. 공비가 2r이고 ㉠에서 -2…2r…2 따라서 수열 {(2r)« }은 항상 수렴한다고 할 수 없다. ㄷ. 공비가 =-1+ 이고 ㉠에서 1…2-r…3, 1… …3 ∴ 0…-1+ …2 따라서 수열_{[{ }}«_{]은 항상 수렴한다고 할 수 없다.} 이상에서 항상 수렴하는 것은 ㄱ이다. 답 ①

0111

a¡=2 a™=2'2=2¥2 =21+ a£=2"ç2'2=2¥2 ¥2 =21+ + ⋮ ∴ a«=21+ + +y+ 1+ + +y+ = _=2[1-{;2!;}«_]이므로 a«= 22[1-{;2!;}«]_{=2¤ =4 답} ②

0112

가 0이 아닌 값에 수렴하려 면 분모, 분자의 차수가 같아야 하므로 a-3=0 ∴ a=3 (a-3)n¤ +bn+5 11222111222_2n+3 lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ 1-{;2!;}« 332514412 1-;2!; 1 14444_{2« —⁄} 1 14_2¤ 1 1₂ 1 2« —⁄ 1 2¤ 1 2 1 2¤ 1 2 1 2¤ 1 2 1 2 1 2 1+r 114_2-r 3 114_2-r 3 114_2-r 3 114_2-r 1+r 114_2-r 1-{;3@;}« 33251441215 ;3!;+2¥{;3@;}« lim n_⁄¶ 3« -2« 121251_{3« —⁄ +2« ±⁄} lim n_⁄¶ 5 12555₁₊₁ 5 12112235 Æ…1+;n$;+1 lim n_⁄¶ 5n 12125113 "√n¤ +4n+n lim n_⁄¶ (-1)« 12125_n lim n⁄¶ lim n_⁄¶ lim n_⁄¶

∴ = _=;2B;=8 ∴ b=16 ∴ = = =1+4=5 답 5

0113

두 수열 {a«}, {b«}이 각각 수렴하므로 a«=a, b«=b (a, b는 실수)라 하면 (2a«+b«)=6에서 2a+b=6 yy㉠ (3a«-2b«)=2에서 3a-2b=2 yy㉡ ㉠, ㉡에서 a=2, b=2 ∴ a«=2, b«=2 ∴ = = _=;5@; 답 _;5@;

0114

n¤ <n¤ +2<(n+1)¤이므로 n<"√n¤ +2<n+1 ∴ a«=n, b«="√n¤ +2-n ∴ a«b«= n("√n¤ +2-n) ∴ a«b«= 11411111111122n("√n¤ +2-n)("√n¤ +2+n) "√n¤ +2+n lim n⁄¶ lim n_⁄¶ lim n_⁄¶ 3¥2-2 111155_2¥2+3¥2 1111111155 3b«-a« 11115_2a«+3b« lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ Æ…1-;n#;+Æ…16+;n^; 134552451111115₁ lim n⁄¶ "√n-3+"√16n+6 11222222222222 "n lim n⁄¶ "√n-a+"√bn+6 1122222222222 "n lim n⁄¶ b+;n%; 33251442 2+;n#; lim n_⁄¶ bn+5 11222_2n+3 lim n_⁄¶ ∴ a«b«= ∴ a«b«= ∴ a«b«= =1 답 1

0115

a«={1-;3@;} {1-;4@;} {1-;5@;}y{1- } a«=;3!;¥;4@;¥;5#;¥y¥ ¥ a«= b«=1+2+3+y+n= ∴ a«b« ∴= ¥ ∴= = =1 답 1

0116

첫째항이 3이고 공차가 2인 등차수열 {a«}에 대하여 a«=3+(n-1)¥2=2n+1 ∴ S«= =n(n+2) ∴ _{("çS«≠¡-"≈S«)} = = _{¤ S«≠¡-S«=a«≠¡} = = 1122212111112n+3 "√n¤ +4n+3+"√n¤ +2n lim n_⁄¶ 2(n+1)+1 112221211111112 "√(n+1)(n+3)+"√n(n+2) lim n⁄¶ a«≠¡ 11222124 "çS«≠¡+"≈S« lim n⁄¶ ("çS«≠¡-"≈S«)("çS«≠¡+"≈S«) 112221112111113 "çS«≠¡+"≈S« lim n_⁄¶ lim n⁄¶ n{2¥3+(n-1)¥2} 11222111122₂ 1 13455354 1+;n@; lim n⁄¶ n 1345535_n+2 lim n⁄¶ n(n+1) 134553512₂ 2 13455351111_(n+1)(n+2) lim n_⁄¶ lim n⁄¶ n(n+1) 134553512₂ 2 13455351111_(n+1)(n+2) n 1345535_n+2 n-1 1345535_n+1 2 1345555_n+2 2 115₁₊₁ 2 12112551₂ Æ…1+15+1_n¤ lim n_⁄¶ 2n 114112 "√n¤ +2+n lim n⁄¶ ▶본문

_{020 ~ 021}

쪽 단계 채점요소 배점 a«, b«의 값 구하기 70% 주어진 식의 값 구하기 30% lim n⁄¶ lim n⁄¶ 단계 채점요소 배점 a«, b« 구하기 50% a«b«의 값 구하기 50% lim n⁄¶ 단계 채점요소 배점 a« 간단히 하기 30% b« 간단히 하기 20% a«b«의 값 구하기 50% lim n⁄¶ 단계 채점요소 배점 a의 값 구하기 30% b의 값 구하기 30% 주어진 식의 값 구하기 40% 3 b«- a« 2 a«+3limb« n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶ lim n⁄¶

=

= =1 답 1

0117

6« =2« ¥3«이므로

a«=(1+2+2¤ +y+2« )(1+3+3¤ +y+3« )

= ¥ =;2!;(2« ±⁄ -1)(3« ±⁄ -1) ∴ = _{;2!;(2« ±⁄ -1)(3« ±⁄ -1)¥} = _{;2!; {2- } {3- }} =;2!;(2-0)(3-0) =3 답 ④

0118

주어진 수열의 일반항을 a«이라 하면 a«≠¡=1+ (n=1, 2, 3, y) ∴ a«≠¡= _{{1+ }}

a«=a (a는 실수)라 하면 a«≠¡=a 이므로

a=1+ , a(1+a)=1+a+1 a¤ =2 ∴ a=—_'2 그런데 a>0이므로 a=_'2 답 ② 1 112_1+a lim n⁄¶ lim n⁄¶ 1 112_1+a« lim n⁄¶ lim n⁄¶ 1 112_1+a« 1 13_3« 1 13_2« lim n⁄¶ 1 13155_{2« ¥3«} lim n⁄¶ a« 315_6« lim n⁄¶ 3« ±⁄ -1 13115_3-1 2« ±⁄ -1 13115_2-1 2 114₁₊₁ 2+;n#; 1122211111113 æ≠1+;n$;+;n#¤;;+æ≠1+;n@; lim n⁄¶

0119

a«= S«= =;2!; 답 _;2!;

0120

a«= S«= _[2-{;3!;}«_]=2 답 2

0121

제n 항까지의 부분합을 S«이라 하면 S«= S«= ;2!; {;2¡k;- } S«=;2!;[{;2!;-;4!;}+{;4!;-;6!;}+{;6!;-;8!;}+y S«= +{;2¡n;- }] S«=;2!;{;2!;- } ∴ S«= ;2!; {;2!;- }=;4!; 따라서 주어진 급수는 수렴하고, 그 합은 ;4!;이다. 답 수렴, ;4!;

0122

제n 항까지의 부분합을 S«이라 하면 S«= S«= _{ - _} S«={;2!;-;3!;}+{;3!;-;4!;}+{;4!;-;5!;}+y S«= _+{ - _} S« =;2!;-∴ S«= _{{;2!;- }=;2!;} 따라서 주어진 급수는 수렴하고, 그 합은_;2!;이다. 답 _{수렴, ;2!;}

0123

제n 항까지의 부분합을 S«이라 하면 S«= ('ƒk+1-'k ) S«=('2-'1)+('3-'2)+('4-'3)+y +('ƒn+1-'n) S«='ƒn+1-1 ∴ S«= ('ƒn+1-1)=¶ 따라서 주어진 급수는 발산하다. 답 발산 lim n⁄¶ lim n⁄¶ n ¡ k=1 1 112_n+2 lim n⁄¶ lim n⁄¶ 1 112_n+2 1 112_n+2 1 112_n+1 1 112_k+2 1 112_k+1 n ¡ k=1 1 1111112_(k+1)(k+2) n ¡ k=1 1 111_2n+2 lim n_⁄¶ lim n_⁄¶ 1 111_2n+2 1 111_2n+2 1 111_2k+2 n ¡ k=1 1 111123_2k(2k+2) n ¡ k=1 lim n⁄¶ lim n⁄¶ ¶ ¡ n=1 n 111_2n+1 lim n_⁄¶ lim n_⁄¶ ¶ ¡ n=1

급수

02

Ⅰ.수열의 극한