1. ④ 2. B=
2 - 1 - 3 1에서 2B=
4 - 2 - 6 2 이고 이므로 A=
- 7 - 2 6 0+
4 - 2 - 6 2 =
- 3 - 4 0 2 따라서 행렬 의 모든 성분의 합은 이다. ⑤ 3. ⑤ 4. 곡선 위의 점 에서의 접선 의 방정식은 (∵ ) ∴ ⋯ ㉠ 또, 곡선 위의 점 α α α 에서의 접선의 방정식은 α α α α (∵ ) ∴ α α ⋯ ㉡ 이때 두 접선, ㉠ ㉡, 이 일치하려면 α 이고 α 이어야 한다. ∴ α , ② 5. 일주일 동안 운동하는 시간을 확률변수 라 하면 는 정규분포 을 따르므로 임의추출한 25명이 일주일 동안 운동하 는 시간의 평균 는 , σ 인 정규분포 을 따른다. ③ 6. , 이므로 한편, 로 놓으면 일 때, 이므로 ---㉠ 또 함수, 의 그래프는 축에 대 칭이므로 임의의 실수 에 대하여 이므로 이 때, 로 놓으면 일 때, 이고 이므로 ---㉡ 따라서, ㉠과㉡에 의해 주어진 식 ( ) ① 7. 에서 분모의 최소공배수 를 양변에 곱하면 은 무연근이므로 구하는 모든 실 근의 합은 에서 근과 계수 의 관계에 의해 이다. ② 8. 일 때 의 값은 과 같이 홀수 홀수 짝수 짝수가 반복, , , 되어 나타난다. 따라서 을 차례로 나열하면 이다. ∴① 9. 에서 로 놓으면 , α (i) 일 때, 위의 그림에서 (ii) 일 때, 위의 그림에서 α 단( , α ) 에서 (i), (ii) 의 최댓값은 , 최솟 값은 이므로 , ∴ ③ 10. . ㄱ 이므로 극한값 는 존재하지 않 는다. <거짓> . ㄴ 일 때, 일 때, 즉, 구간 에서 이 므로 함수 는 연속이다. 참 < > . ㄷ 일 때, 이므로 로 놓으면 한편, 그러므로 거짓 < > ① 11. 지점에서의 수신 전력이 이므 로 π ㉠ 이고 또 지점에서의 수신 전력이 이므로 π ㉡ ㉠ ㉡에서 π π π π π π ④ 12. 에서 색칠한 도형의 넓이 은 선분 를 지름으로 하는 원의 넓이에서 선분 을 지름으로 하는 원의 넓이 를 뺀 값이므로 π π π 과 에서 에 새롭게 생기는 원의 지름의 길이는 에 새롭게 생기 는 원의 지름의 길이의 이고, 에서 새롭게 생기는 원의 개수는 개 이다. 따라서 에서 새롭게 생기는 모든 원의 넓이의 합은 에서 새롭게 생기 는 모든 원의 넓이 합의 배 이다. ∴ π π π ② 13. 추가되는 부품 중 의 개수는 이항분포 을 따르므로 의 개수가 0 ,개 개 개일 사건을 각각 1 , 2 라 하 면 이고 7개의 부품 중 임의로 1개를 선택 한 것이 일 사건을 라 하면 추가된 부품이 모두 일 사건은 이므로 구하 는 확률은
① 14. 거짓 반례 함수 . ( ) ( ) ㄱ 은 에서 극댓값을 갖지만, 함수 은 에서 극솟값을 갖는 다. 참 . ( ) ㄴ 이므로 함수 의 그래프는 함수 의 그 래프 중에서 인 부분을 그린 다음, 인 부분에는 일 때의 그래프 를 축에 대하여 대칭이동한 것이다. 따라서 다항함수 가 에서 극댓 값을 가지면 함수 도 에서 극 댓값을 갖는다. 참 . ( ) ㄷ 라 하면 이므로 는 에서 극댓값을 갖는다. 따라서 에서 극댓값을 갖는 두 함 수 의 합으로 된 함수 도 에서 극댓값을 갖는 다. 이상에서 옳은 것은 ㄴ ㄷ, 이다. ⑤ 15. 두 다항식의 곱 에서 의 계수는 ---(*) 이다. 등식 의 좌변에서 의 계수는 이고, 을 이용하여 우변에서 (*) 의 계수 를 구하면 의 전개식에서 의 계수와 의 전개식에서 의 계수의 곱이므로 따라서, 이다 한편 일 때, 이므로 ③ 16. 점 이고 점 의 좌표와 점 의 좌표가 같으므로 즉 점 이고 점 의 좌표와 점 의 좌표가 같으므로 즉 점 이고 점 의 좌표와 점 의 좌표가 같으므로 즉 따라서 구하는 사각형의 넓이는 ① 17. 거짓 반례 . ( ) ( ) ㄱ , 이면 의 성분 중에서 홀수인 것이 존재한다. 참 집합 . ( ) ㄴ 의 네 원소를 모두 한 번씩 더한 행렬은 이다. 따라서 집합 의 모든 원소를 각각 세 번씩 더한 행렬은 이다. 따라서 가 존재한다. 참 주어진 조건을 만족시키려면 . ( ) ㄷ 행렬 의 성분이 모두 홀수이어야 한다. 그런데 ㄴ에서 집합 의 네 원소를 모 두 한 번씩 더한 행렬은 이므로 의 최솟값은 이다. 이상에서 옳은 것은 ㄴ ㄷ, 이다. ④ 18. 이므로 28 19. 에서 라 하면 일 때 이므로 따라서 라 하면 에서 일 때 분모 ( ) 이므로 (분자) 이어야 한 다 즉. , …㉠
따라서 ㉠에서 이므로 10 20. 선분 OP의 중점 M의 좌표는 이고 선분, OP의 기울기는 이므로 선 분 OP의 수직이등분선의 방정식은 ∴ 따라서 이므로 이때, 에서 ( ) 따라서 는 일 때 최댓값 을 갖는다. 11 21. 에서 …㉠ 양변을 제곱하면 다시 양변을 제곱하면 이 때, 이므로 이고 일 때 ㉠은 무연근을 가지므로 따라서 모든 의 값의 합은 22. 에서 이므로 ---㉠ 한편, 단 ( , ) 이 때 함수, 의 그래프는 에서 까지 증가한 후 감소하므로 적당한 자연수 ( )가 존재하 여 인 임의의 자연수 에 대하 여 이다. 에서 ㉠ 이므로 인 임의의 자연수 에 대 하여 따라서 의 최솟값은 이다. 23. 를 의 범위에 따라 구하면 다음과 같다. ( )ⅰ 일 때, ( )ⅱ 일 때, ( )ⅲ 일 때, 또, 함수 가 최고차항의 계수가 1인 이 차함수이므로 로 놓으면 가 연속이므로 에서 연속이어야 한다. 즉 , 이 므로 에서 ---㉠ 또 함수, 가 연속이므로 에서 연속이어야 한다. 즉 , 이므로 에서 ---㉡ 과 에서 ㉠ ㉡ , 이므로 따라서
24. 조건 가 에서( ) 조건 나 에서( ) 일 때, 을 만족하므로 함수 의 그래프는 점 에서 x축과 만나야 한다. 이면 은 에서 미분가능하지 않으므로 모순 이다. 따라서 이다. 이때 함수 이 에서 극값을 가지면 이 미 분가능하지 않은 점은 0개 또는 2개이 므로 모순이다. 따라서 은 에서 극 값을 갖지 않는다. 따라서, 단 ( , 는 이 아닌 상수) 으로 놓을 수 있다. ∴ 12 참고 [ ] 최고차항이 양수인 경우 두 조건을 만 족하는 그래프의 개형은 다음 그림과 같다. 25. 점 에서 점 까지 번만 점프 하여 이동하는 경우에서 길이가 ‘ ’ 만큼 이동하는 방향은 →, 길이가 만큼 이동하는 방향은 ↗ 또는 ↘ 이어 야 한다. 즉 점, 에서 점 로 번만 점프 하‘ ’ 여 이동하는 경우는 번 이용하는 경우 (i) →4 가지 ( ) 각각 한 번씩과 두 번이 (ii) ↗ ↘, → 용하는 경우 가지 ( ) 각각 두 번씩 이용하는 경 (iii) ↗ ↘, 우 가지 ( )
따라서 (i), (ii), (iii)에서 구하는 경우의
수는 (가지)
미분과 적분
26. ⑤ 27. 이 때, 로 놓으면 일 때, 이므로 따라서, ④ 28. 점 가 π 만큼 움직일 때 점 는 만큼 움직이고 그 때 동경 와 가 축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 각각 이므로 점 의 좌표 와 점 의 좌표를 구하면 , 이 때 점, 에서 축까지의 거리와 점 에서 축까지의 거리가 같으므로 즉 또는 (i) 에서 이므로 π 또는 π (ii) 에서 이므로 π 에서 모든 (i),(ii) 의 값의 합은 π π π π ⑤ 29. 참 . ( ) ㄱ 이면 참 . ( ) ㄴ 이면거짓 반례 . ( ) ( ) ㄷ 이면 이지만 은 발 산한다. 이상에서 옳은 것은 ㄱ ㄴ, 이다. ③ 30. θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ 20
확률과 통계
26. 자료 A의 범위는 이고 자료 B의 평균이 35이므로 …㉠ 이때 자료B의 범위도 8이 되어야 하는 데 34, 35, 38, 36의 범위는 4이므로 ( )중에서 자료의 값 중 최댓 값 또는 최솟값이 존재해야 한다. (i) 이 최댓값이고 이 최솟값이라면 …㉡ 에서 자연수 , ㉠ ㉡ 의 값은 존재하 지 않는다 (ii) 이 최댓값이고 34가 최솟값이라 면 에서 에서 ㉠ 이므로 모순이다 (iii) 이 최솟값이고 38이 최댓값이라 면 에서 에서 ㉠ 이므로 성립한다 에 의하여 (i), (ii), (iii)② 27. , 이므로 ③ 28. 단계 치료 결과와 단계 치료 결과는 1 2 서로 독립이고 1단계 치료와 2단계 치 료에 성공할 확률이 각각 이므로 완치된 것으로 판단될 확률은 따라서 4명의 환자중 2명의 환자가 완 치된 것으로 판단될 확률은 ② 29. 자료 의 범위는 . A ㄱ , 자료 의 범위는 B 이므로 두 자 료의 범위는 같다. < >참 자료 의 자료의 크기를 . A ㄴ 이라 하 자. 이 홀수일 때 중앙값, 40은 번 째의 자료이므로 40이하의 자료의 비율 은 50%보다 크다. 이 짝수일 때 중앙값, 40은 번째의 자료와 번째의 자료의 평균이므로 이하의 자료의 비율은 이다 40 50% . 그러므로 중앙값 40이하인 자료의 비율 은 50%이상이다. 참 < > 자료 의 크기를 . A ㄷ 이라 하면 이 홀수일 때 중앙값, 40은 번 째의 자료이고 평균 50이 중앙값 40보 다 크므로 평균 50이상의 자료의 비율
은 50%미만이다. 또, 이 짝수일 때 중앙값, 40은 번 째의 자료와 번째의 자료의 평균 이고 평균 50이 중앙값 40보다 크므로 평균 50이상의 자료의 비율은50%이하 이다. 즉 평균, 50이상의 자료의 비율은 50% 이하이다. 마찬가지로 자료 B의 크기를 이라 하면 이 홀수일 때 중앙값, 78은 번 째의 자료이고 평균 70이 중앙값 78보 다 작으므로 자료의 비율은 50%보다 크다. 또, 이 짝수일 때 중앙값, 40은 번 째의 자료와 번째이 자료의 평균 이고 평균 70이 중앙값 78보다 작으므 로 평균 70이상인 자료의 비율은 50% 이상이다. 즉 평균, 70이상의 자료의 비율은 50% 이상이다. 그러므로 자료 B의 평균 이상인 자료의 비율이 자료 A의 평균 이상인 자료의 비율이 크거나 같다. < >참 ⑤ 30. 인승 인승 인승 현재 탑승인원 명 명 명 남은탑승 가능인원 명 명 명 남은 명을 차 대에 나누어 태우는 방법의 수는 가지 ( ) (i) 와 를 인승에 배정하는 경우 가지 ( ) (ii) 와 를 인승에 배정하는 경우 가지 ( ) 에 의해 (i), (ii) 와 를 같은 차에 배정하는 경우는 가지 ( ) 따라서 구하는 확률은 ∴ ∴ 154
이산수학
주어진 도형은 꼭짓점의 개수가 26. 10 이므로 완전그래프가 되기 위해서는 즉 개의 변이 필요하다 따라. 서 개의 변이 주어져 있으므로 추가해 야 할 변의 개수는 이다. ② 27. 첫 문자가 이고 끼리는 이웃하지 않으므로 6자리 문자열에서 두 번째 자리에 오 는 문자는 이다. 따라서 세 번째 자리부터 끝자리까지 문자 를 배열하는 경우의 수는 이고 이 때 끼리 이웃하는 경우의 수는 인 경우 3가지 인 경우 4가지 인 경우 1가지 로 모두 8가지이므로 조건에 맞게 만들 수 있는 문자열의 개수는 이다. ⑤ 28. 꼭짓점 에서 꼭짓점 로 가는 경로 중 변의 수가 4인 경로의 개수는 먼저 꼭짓점 에서 꼭짓점 로 가는 경우 로 7개이고 꼭짓점 에서 꼭짓점 로 가는 경우도 마찬가지이므로 구하는 경 로의 개수는 ( )개 이다. ② 29. 주어진 도형을 변끼리 만나지 않게 . ㄱ 연결할 수 있으므로 평면그래프이다. 참 ( ) 각 꼭지점의 차수가 모두 짝수차수 . ㄴ 이므로 오일러 회로를 갖는다. ( )참 다음과 같이 꼭지점을 색칠하는데 . ㄷ 필요한 최소 색의 수는 3이다. 거짓 ( ) 따라서 보기 중 옳은 것은 ㄱ ㄴ, 이다. ③구하는 경우의 수는 개의 원소
30. 3
중에서 12개 이하를 뽑는 중복조합의
수와 같다. ∴
