중학 실전문제집3-2정답

(1)

●

핵심개념특강편

02

●

내신만점도전편

33

●

중간・기말고사 대비문제 56

Ⓡ

중학수학

실전문제집

기출문제로 개념 잡고 내신만점 맞자

!

(01-18)실전서3-2해(Ⅴ-Ⅵ)칠 2015.5.11 8:56 PM 페이지01 DK

(2)

핵심개념특강편

정답 및 풀이

통계

Ⅴ

01. 대푯값

06~07쪽 개・념・확・인 019시간 0230.2회 037.5권 04245 mm, 250 mm 08~09쪽 핵심유형으로개・념・정・복・하・기 핵심유형 1 40 1-130회 1-289점 1-326.5 m 핵심유형 2 25점 2-1ㄱ, ㄴ 2-2① 2-330 2-4② 2-5① 2-6② 2-714, 15, 16 핵심유형 3 ③ 3-190 cm 3-2축구, 야구 3-325000원 핵심유형

1

(평균)= (평균)= =35(분) x+205=245 ∴ x=40

1

-1 (평균)= 33+24+32+25+36₅ =150₅ =30(회) x+205 7 36+24+30+23+x+42+50 7

0

1

(평균)= =:∞6¢:=9(시간)

0

2

(평균)= (평균)= =30.2(회)

0

3

작은 값부터 크기순으로 나열하면 2, 4, 5, 6, 10, 11, 12, 14이다. 따라서 중앙값은 5번째와 6번째 값의 평균인 =7.5(권) 이다.

0

4

245 mm와 250 mm는 각각 3명, 235 mm는 2명, 그 이외는 1명 이므로 최빈값은 245 mm, 250 mm이다. 7+8 2 7, 8, 604 20 22_2+26_5+30_6+34_4+38_3 20 12+8+10+7+6+11 6

1

-2 (3회까지의 총점)=77_3=231(점) 4회째의 점수를 x점이라고 하면 æ80 231+xæ320 ∴ xæ89 따라서 4회째의 시험에서 89점 이상을 받아야 한다.

1

-3 (평균)= (평균)= =26.5(m) 핵심유형

2

(평균)= = =24 116+x=144 ∴ x=28 자료를 작은 값에서부터 크기순으로 나열하면 19, 20, 24, 26, 27, 28 ∴ (중앙값)= =25(점)

2

-1 ㄷ. 자료의 개수가 짝수 개이면 중앙값은 자료 중에 존재할 수도 있고 존재하지 않을 수도 있다. 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

2

-2 자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하면 50, 80, 94, 115, 120, 136, 150, 210, 230, 240 ∴ (중앙값)= =128(mm)

2

-3 (중앙값)= =32, x+34=64 ∴ x=30

2

-4 학생 수가 20명이므로 중앙값은 10번째와 11번째 값의 평 균이다. ∴ (중앙값)= =2.5(편)

2

-5 중앙값은 3번째 값인 16명이므로 평균도 16명이다. (평균)= = =16 61+x=80 ∴ x=19

2

-6 자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하면 중앙값이 12분이 므로 가 된다. 여기에 18분인 학생이 들어오면 또는 이다. 18 16 12 18 16 12 16 12 61+x 5 12+15+16+18+x 5 2+3 2 x+34 2 120+136 2 24+26 2 116+x 6 24+19+26+x+20+27 6 530 20 5_1+15_4+25_8+35_5+45_2 20 231+x 4

(01-18)실전서3-2해(Ⅴ-Ⅵ)칠 2015.5.11 8:56 PM 페이지02 DK

(3)

10~11쪽 기출문제로실・력・다・지・기 01③ 02④ 03② 04③ 05② 06③ 07③ 08② 0914편 10② 11⑤ 12① 138 146권 15평균 : 75점, 중앙값 : 75점, 최빈값 : 85점

0

1

③ 대푯값으로 평균을 주로 쓰지만 극단적인 값이 있을 경우는 중앙값, 선호도 조사와 같은 경우는 최빈값을 쓴다.

0

2

④ 120과 같이 다른 변량에 비해 매우 큰 값이 있으므로 평균을 대푯값으로 사용하기에 적절하지 않다.

0

3

=12이므로 a+b+c+d+e=60 ∴ = =98=14 7 60+38 7 a+b+c+d+e+22+16 7 a+b+c+d+e 5 ∴ (중앙값)= =14(분)

2

-7 조건 ㈎에서 =20이므로 중앙값이 20이 되기 위 해서는 n…16 yy ㉠ 조건 ㈏에서 중앙값이 14가 되기 위해서는 næ14 yy㉡ ㉠, ㉡에서 14…n…16이므로 자연수 n의 값은 14, 15, 16 이다. 핵심유형

3

최빈값이 12회이므로 (평균)= = =12 73+x=84 ∴ x=11

3

-1 최빈값은 가장 많이 나온 90 cm이다.

3

-2 축구, 야구를 좋아하는 학생이 각각 3명이므로 최빈값은 축 구, 야구이다.

3

-3 도수가 가장 큰 계급은 2만 원 이상 3만 원 미만이므로 이 계급의 계급값인 2.5만 원, 즉 25000원이 최빈값이다. 73+x 7 8+12_3+14+15+x 7 16+24 2 12+16 2

0

4

a를 제외한 자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하면 10, 14, 19 이때 4개의 변량의 중앙값이 15이므로 a는 14와 19 사이에 있 어야 한다. 즉, 4개의 변량을 크기순으로 나열하면 10, 14, a, 19이므로 =15 ∴ a=16

0

5

x점을 제외한 자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하면 86, 88, 92 중앙값이 90점이고 =90이므로 xæ92 yy㉠ 평균이 90점 미만이므로 <90, 266+x<360 ∴ x<94 yy㉡ ㉠, ㉡에서 92…x<94이므로 자연수 x는 92, 93의 2개이다.

0

6

주어진 5개의 변량을 작은 값부터 크기순으로 나열하면 54, 55, 58, 68, 75이다. 6개의 변량의 중앙값이 60이므로 x는 58과 68 사이에 있다. 즉, =60 ∴ x=62

0

7

최빈값이 25이므로 x=25 자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하면 20, 22, 23, 25, 25, 27이므로 중앙값은 =24

0

8

가족 수가 5명인 학생 수가 3명이고, 가족 수가 4명인 학생 수 가 2명이므로 a=4이면 최빈값이 4명, 5명이 된다. 따라서 a의 값은 4가 될 수 없다.

0

9

(평균)= (평균)= =10(편) 176+6x=160+10x, 4x=16 ∴ x=4 따라서 도수가 가장 큰 계급은 12편 이상 16편 미만이므로 최빈 값은 이 계급의 계급값인 14편이다.

10

최빈값은 86점이므로 (평균)=86+1=87(점) (평균)= =87에서 519+a+b=696 ∴ a+b=177 94+86+a+77+86+b+90+86 8 176+6x 16+x 2_3+6_x+10_5+14_6+18_2 16+x 23+25 2 58+x 2 86+92+x+88 4 88+92 2 14+a 2

(01-18)실전서3-2해(Ⅴ-Ⅵ)칠 2015.5.11 8:56 PM 페이지03 DK

(4)

02. 산포도

12~13쪽 개・념・확・인 01 ⑴ -4 ⑵ 151 cm 02_{분산：8, 표준편차：2'2} 03풀이 참조 042반

0

1

⑴ 편차의 총합은 0이므로 2+(-3)+x+(-1)+6=0 ∴ x=-4 ⑵ (C의 키)-155=-4 ∴ (C의 키)=151(cm)

0

2

(평균)= = =10 (분산)= = =8 (표준편차)='8=2'2

0

3

⑴ (평균)= =16(점) ⑵ (분산)= =49 ⑶ (표준편차)='∂49=7(점)

0

4

표준편차가 작을수록 자료의 분포 상태가 고르다. 490 10 160 10 40 5 1¤ +(-1)¤ +2¤ +(-5)¤ +3¤ 5 50 5 11+9+12+5+13 5 핵심유형

1

(편차)=(변량)-(평균)이므로 4=62-(평균) ∴ (평균)=58(kg) 편차의 합은 0이므로 4+(-2)+b+2+(-3)=0 ∴ b=-1

11

(중앙값)= =31(살), 최빈값은 16살이므로 m=31, n=16 ∴ m+n=31+16=47

12

(평균)= = =6.6 자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하면 4, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9 (중앙값)= =6.5, (최빈값)=6이므로 A=6.6, B=6.5, C=6 ∴ A>B>C

13

m, n을 제외한 변량을 작은 값부터 크기순으로 나열하면 3, 3, 3, 5, 7이고 5<m<n이므로 중앙값은 5이다. 또, m+n이므로 m, n의 값에 관계없이 최빈값은 3이다. 따라서 중앙값과 최빈값의 합은 5+3=8

14

[단계❶] 평균이 6권이므로 = =6 22+a+b=36 ∴ a+b=14

[단계❷] a+b=14와 b-a=4를 연립하여 풀면 a=5, b=9 [단계❸] 주어진 자료를 작은 값부터 차례로 나열하면 2, 5, 5, 7, 8, 9이므로 중앙값은 =6(권)

15

(평균)= (평균)= =75(점) yy❶ 10번째와 11번째 값이 속한 계급은 70점 이상 80점 미만이므로 중앙값은 이 계급의 계급값인 75점이다. yy❷ 도수가 가장 큰 계급은 80점 이상 90점 미만인 계급이므로 최빈값은 이 계급의 계급값인 85점이다. yy❸ 1500 20 55_3+65_4+75_5+85_6+95_2 20 5+7 2 22+a+b 6 5+2+a+8+7+b 6 6+7 2 66 10 8+4+7+6+9+6+7+8+5+6 10 28+34 2 ❶ a+b의 값 구하기 ❷ a, b의 값 구하기 ❸ 중앙값 구하기 40 % 40 % 20 % 채점 기준 배점 ❶ 평균 구하기 ❷ 중앙값 구하기 ❸ 최빈값 구하기 40 % 30 % 30 % 채점 기준 배점 14~15쪽 핵심유형으로개・념・정・복・하・기 핵심유형 1 ③ 1-1② 1-2② 1-377점 핵심유형 2 ④ 2-1⑤ 2-2 건 2-3① 핵심유형 3 8'2점 3-1③ 3-2② 핵심유형 4 ⑤ 4-1⑤ 4-2ㄱ, ㄷ 3'4å2 7 계급값`(점) 5 15 25 2 5 3 10 5_2=10 15_5=75 25_3=75 160 -11 -1 9 (-11)¤ _2=242 (-1)¤ _5=5 9¤ _3=243 490 도수`(명) (계급값)_(도수) 편차(점) (편차)¤ _(도수)

(01-18)실전서3-2해(Ⅴ-Ⅵ)칠 2015.5.11 8:56 PM 페이지04 DK

(5)

a-58=-1 ∴ a=57 c-58=-3 ∴ c=55 ∴ a+b+c=57+(-1)+55=111

1

-1 편차의 합은 0이므로 4+(-1)+3+x+(-5)+1=0 ∴ x=-2

1

-2 편차의 합은 0이므로 (-2)_3+(-1)_2+0_5+1_4+2_x=0 2x=4 ∴ x=2

1

-3 편차의 합은 0이므로 -3+0+x+(x+2)+(x-5)=0, 3x-6=0 ∴ x=2 따라서 학생 C의 성적은 75+2=77(점) 핵심유형

2

=3이므로 a+b+c+d=12 =13이므로 a¤ +b¤ +c¤ +d¤ =52 ∴ (분산) ∴= ∴= ∴= =4

2

-1 편차의 합은 0이므로 (-4)+2+(-1)+x+(-2)=0 ∴ x=5 ∴ (분산)= ∴ (분산)= =10

2

-2 (평균)= = =7(건) (분산)= (분산)= ∴ (표준편차)=Æ… = (건)

2

-3 =5이므로 a+b+c=15 =3이므로 (a-5)¤ +(b-5)¤ +(c-5)¤ 3 a+b+c 3 3'∂42 7 54 7 54 7 (-5)¤ +(-2)¤ +2¤ +(-1)¤ +2¤ +4¤ +0¤ 7 49 7 2+5+9+6+9+11+7 7 50 5 (-4)¤ +2¤ +(-1)¤ +5¤ +(-2)¤ 5 52-6_12+36 4 a¤ +b¤ +c¤ +d¤ -6(a+b+c+d)+9_4 4 (a-3)¤ +(b-3)¤ +(c-3)¤ +(d-3)¤ 4 a¤ +b¤ +c¤ +d¤ 4 a+b+c+d 4 a¤ +b¤ +c¤ -10(a+b+c)+3_5¤ =9 a¤ +b¤ +c¤ -10_15+3_5¤ =9 ∴ a¤ +b¤ +c¤ =84 핵심유형

3

(평균)= (평균)= =20(점) (분산)= (평균)= =128 ∴ (표준편차)='∂128=8'2(점)

3

-1 (평균)= = =4(시간) (분산)= (분산)= = =3.5

3

-2 (편차)_(도수)의 총합은 0이므로 (-10)_4+(-5)_5+0_9+5_3+10a+15_2=0 -20+10a=0 ∴ a=2 (분산)= (분산)= =50 ∴ (표준편차)='∂50=5'2 핵심유형

4

ㄱ, ㄹ. 최고 또는 최저 득점자는 어느 반에 있는지 알 수 없다. ㄴ. 편차의 합은 항상 0이다. ㄷ. 4반의 표준편차가 가장 작으므로 학생들의 성적이 가장 고르게 분포되어 있다. 따라서 옳은 것은 ㄷ, ㄹ이다.

4

-1 변량들이 평균으로부터 가장 멀리 퍼져 있는 것을 찾으면 ⑤이다.

4

-2 이룸이의 성적에서 (평균)= =70(점) (표준편차)= (표준편차)='∂250=5'∂10(점) (-20)¤ +10¤ +(-10)¤ +20¤ 4 50+80+60+90 4 1250 25 (-10)¤ _4+(-5)¤ _5+0¤ _9+5¤ _3+10¤ _2+15¤ _2 25 56 16 27+4+7+18 16 (1-4)¤ _3+(3-4)¤ _4+(5-4)¤ _7+(7-4)¤ _2 16 64 16 1_3+3_4+5_7+7_2 16 1920 15 (-16)¤ _2+(-8)¤ _5+0¤ _3+8¤ _1+16¤ _4 15 300 15 4_2+12_5+20_3+28_1+36_4 15 æ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠≠ ≠ ≠

(01-18)실전서3-2해(Ⅴ-Ⅵ)칠 2015.5.11 8:56 PM 페이지05 DK

(6)

0

1

① (편차)=(변량)-(평균) ③ 산포도가 작을수록 자료가 고르게 분포되어 있다. ④ 산포도가 클수록 변량은 평균을 중심으로 넓게 흩어져 있다. ⑤ 편차는 산포도가 아니다.

0

2

자료가 평균에 가장 밀집되어 있는 것은 A이므로 산포도가 가 장 작은 것은 A이다. 자료가 평균으로부터 떨어져 있는 것은 C 이므로 산포도가 가장 큰 것은 C이다.

0

3

(평균)= = =47 ∴ (분산)= ∴ (분산)= =10

0

4

(평균)= = =6(시간)이므로 (분산)= = =5 ∴ (표준편차)='5(시간)

0

5

남학생과 여학생의 편차의 제곱의 총합은 각각 7_16=112, 10_14=140 따라서 전체 30명에 대한 편차의 제곱의 총합은 112+140=252 ∴ (분산)=252₃₀ =8.4 20 4 1¤ +(-3)¤ +(-1)¤ +3¤ 4 24 4 7+3+5+9 4 60 6 0¤ +(-1)¤ +(-3)¤ +5¤ +3¤ +(-4)¤ 6 282 6 47+46+44+52+50+43 6 민국이의 성적에서 (평균)= =70(점) (표준편차)=æ≠ (표준편차)=æ– = (점) ㄷ. 민국이의 성적의 표준편차가 이룸이의 성적의 표준편차 보다 작으므로 성적이 더 고르다. 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. 5'2 2 50 4 (-5)¤ +0¤ +0¤ +5¤ 4 65+70+70+75 4 16~17쪽 기출문제로실・력・다・지・기 01② 02② 03① 04① 05④ 06ㄱ, ㄷ 07① 08⑤ 09⑤ 10③ 115.6 12_'∂14 132'∂30점

0

6

ㄱ. E의 편차가 0점이므로 E의 점수는 평균과 같다. ㄴ. 평균을 m점이라고 하면 A의 점수는 (m-2)점, B의 점수 는 (m-1)점이므로 A, B의 점수의 차는 1점이다. ㄷ. (분산)= =;;¡5º;;=2 ㄹ. 점수가 가장 높은 학생은 D이다. 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

0

7

(평균)= =6이므로 a= ='8=2'2 (평균)= =6이므로 b= b_='8=2'2 ∴ ab=8

0

8

=5이므로 a+b+c+d+e=25 =10 이므로 (a-5)¤ +(b-5)¤ +(c-5)¤ +(d-5)¤ +(e-5)¤ =50 (평균)= (평균)= (평균)= = =9 이므로 (분산)= (분산)= (분산)= =40

0

9

① a=10-(2+3+4)=1 ② b=15_1=15 ③ (평균)= =24(점) ④ c=(35-24)¤ _4=484 ⑤ (분산)= =129

10

③ B반의 평균이 더 높지만 성적은 더 고르지 않다. 1290 10 240 10 4_50 5 4{(a-5)¤ +(b-5)¤ +(c-5)¤ +(d-5)¤ +(e-5)¤ } 5 (2a-1-9)¤ +(2b-1-9)¤ +(2c-1-9)¤ +(2d-1-9)¤ +(2e-1-9)¤ 5 45 5 2_25-5 5 2(a+b+c+d+e)-5 5 (2a-1)+(2b-1)+(2c-1)+(2d-1)+(2e-1) 5 (a-5)¤ +(b-5)¤ +(c-5)¤ +(d-5)¤ +(e-5)¤ 5 a+b+c+d+e 5 (-4)¤ +(-4)¤ +(-2)¤ +(-2)¤ +0¤ +0¤ +2¤ +2¤ +4¤ +4¤ 10 2+2+4+4+6+6+8+8+10+10 10 (-4)¤ +(-2)¤ +0¤ +2¤ +4¤ 5 2+4+6+8+10 5 (-2)¤ +(-1)¤ +1¤ +2¤ 5 æ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠≠ ≠ æ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ ≠

(01-18)실전서3-2해(Ⅴ-Ⅵ) 2015.5.12 5:25 PM 페이지06 DK

(7)

11

1+x+4+y+3=20이므로 x+y=12 yy ㉠ =5이므로 3x+7y=52 yy㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x=8, y=4 ∴ (분산)= ∴ (분산)= =5.6

12

[단계❶] 자료 A의 평균과 자료 A, B를 섞은 전체 자료의 평 균이 같으므로 자료 B의 평균도 5이다. [단계❷] 자료 A의 6개의 변량에 대한 편차의 제곱의 합은 6_4=24이고 [단계❷] 자료 A, B를 섞은 10개의 변량에 대한 편차의 제곱의 합은 10_8=80이다. [단계❷] 따라서 자료 B의 4개의 변량에 대한 편차의 제곱의 합은 80-24=56이므로 [단계❷] 자료 B의 분산은 ;;∞4§;;=14이다. [단계❸_{] 따라서 자료 B의 표준편차는 '∂14이다.}

13

(평균)= (평균)= =75(점) yy❶ (분산)= (분산)= =120 yy❷ ∴ (표준편차)='∂120=2'∂30(점) yy❸ 2400 20 (-20)¤ _2+(-10)¤ _4+0¤ _8+10¤ _4+20¤ _2 20 1500 20 55_2+65_4+75_8+85_4+95_2 20 112 20 (1-5)¤ _1+(3-5)¤ _8+(5-5)¤ _4+(7-5)¤ _4+(9-5)¤ _3 20 1_1+3_x+5_4+7_y+9_3 20 ❶ 자료 B의 평균 구하기 ❷ 자료 B의 분산 구하기 ❸ 자료 B의 표준편차 구하기 40 % 40 % 20 % 채점 기준 배점 ❶ 평균 구하기 ❷ 분산 구하기 ❸ 표준편차 구하기 40 % 40 % 20 % 채점 기준 배점 18~19쪽 개・념・확・인 01⑴ '∂13 ⑵ x=4, y=2 02⑴ 10 cm ⑵ 100 cm¤ 03⑴ 3 cm, 1 cm ⑵ 1 cm¤ 04⑴ 25 cm¤ ⑵ 5 cm 05ㄴ, ㄷ

0

1

_{⑴ x="√3¤ +2¤ ='∂13} ⑵ △ABD에서 x="√5¤ -3¤ ='∂16=4 △ACD에서 y="√(2'5)¤ -4¤ ='4=2

0

2

_{⑴ △AEH에서 EH”="√8¤ +6¤ ='∂100=10(cm)} ⑵ EFGH는 정사각형이므로 EFGH=EH” ¤ =100(cm¤ )

0

3

_{⑴ BE”="√5¤ -4¤ ='9=3(cm)} EF”=BF”-BE”=AE”-BE”=4-3=1(cm) ⑵ EFGH는 정사각형이므로 EFGH=EF”¤ =1¤ =1(cm¤ )

0

4

⑴ AFGB= ACDE+ BHIC=16+9=25(cm¤ ) ⑵ AFGB=AB”¤ =25(cm¤ )이므로 AB”=5 cm (∵ AB”>0)

0

5

ㄱ. 2¤ +3¤ +4¤ ㄴ. 1¤ +1¤ =('2)¤ ㄷ. 2¤ +3¤ =('∂13)¤ ㄹ. ('3)¤ +2¤ +('5)¤ 따라서 직각삼각형인 것은 ㄴ, ㄷ이다. 20~21쪽 핵심유형으로개・념・정・복・하・기 핵심유형 1 ④ 1-1③ 1-2_'6 1-3① 핵심유형 2 ⑤ 2-1② 2-2③ 핵심유형 3 ⑤ 3-1④ 3-2② 3-3(9-4'5) cm¤ 3-4① 핵심유형 4 ④ 4-1② 4-224, 'ƒ674

03. 피타고라스 정리

피타고라스 정리

Ⅵ

(01-18)실전서3-2해(Ⅴ-Ⅵ)칠 2015.5.11 8:56 PM 페이지07 DK

(8)

핵심유형

1

△ACD에서 CD”="√13¤ -12¤ ='∂25=5 BD”=BC”-CD”=21-5=16 △ABD에서 AB”="√12¤ +16¤ ='∂400=20

1

-1 _{△ABD에서 AB”="√5¤ -3¤ ='∂16=4} △ABC에서 AC”="√4¤ +(3+4)¤ ='∂65

1

-2 AB¡”=AA™”="√1¤ +1¤ ='2 AB™”=AA£”="√('2)¤ +1¤ ='3 AB£”=AA¢”="√('3)¤ +1¤ ='4=2 AB¢”=AA∞”="√2¤ +1¤ ='5 ∴ AB∞”="√('5)¤ +1¤ ='6

1

-3 꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라 하면 △ABH에서 AH”="√5¤ -(8-5)¤ ='∂16=4 CD”=AH”=4이므로 △BCD에서 BD”="√8¤ +4¤ ='∂80=4'5 핵심유형

2

△APS≡△BQP≡△CRQ≡△DSR(SAS 합동)이므로 PQRS는 정사각형이다. AS”=BP”=10-4=6(cm)이고 △APS에서 PS”="√4¤ +6¤ ='∂52=2'∂13(cm)이므로 PQRS=(2'∂13)¤ =52(cm¤ )

2

-1 △AFE≡△BGF≡△CHG≡△DEH(SAS 합동)이므로 EFGH는 정사각형이다.

∴ EFGH=EF”¤ =x¤ +y¤ =(x+y)¤ -2xy =289-2_60 =169

2

-2 △AEH≡△BFE≡△CGF≡△DHG(SAS 합동)이므로 EFGH는 정사각형이다. △AEH에서 EH”="√6¤ +2¤ ='∂40=2'∂10(cm) △EFH에서 HF”="√(2'∂10)¤ +(2'∂10)¤ ='∂80=4'5 (cm) 핵심유형

3

△GBC≡△ABH이므로 △AFG=△ABG=△GBC=△ABH=△BHL

3

-1 BC”=BD”=10 cm이므로 △ABC에서 AC”="√10¤ -6¤ ='∂64=8(cm) ∴ PQEC=AC”¤ =8¤ =64(cm¤ ) A B H C D 5 8 5

3

-2 △ABD=△BDG=40 cm¤ BDFG=AB”¤=80(cm¤ ) ∴ AB”=4'5 cm (∵ AB”>0) ∴ AC”="√12¤ -(4'5)¤ =8(cm)

3

-3 AH”=CF”=BE”=2 cm이고, BH”="√3¤ -2¤ ='5 (cm)이므로 EH”=BH”-BE”=('5-2)cm ∴ EFGH=('5-2)¤ =5-4'5+4=9-4'5 (cm¤ )

3

-4 △ABE™△CDB에서 BE”=DB”, ∠EBD=90˘이므로 △BDE는 직각이등변삼각형이다.

△BDE=;2!; BE”¤ =26(cm¤ ) ∴ BE”=2'∂13 cm △ABE에서 AE”="√(2'∂13)¤ -6¤ ='∂16=4(cm) ACDE에서 AE”=BC”=4 cm, AB”=CD”=6 cm이므로 ACDE=;2!;_(4+6)_(6+4)=50(cm¤ ) 핵심유형

4

가장 긴 변의 길이가 x+2이므로 (x-7)¤ +x¤ =(x+2)¤ , x¤ -18x+45=0 (x-3)(x-15)=0 ∴ x=3 또는 x=15 이때 x-7>0, 즉 x>7이므로 x=15

4

-1 x¤ =(x-1)¤ +5¤ , x¤ =x¤ -2x+1+25, 2x=26 ∴ x=13

4

-2 ⁄0<x<25일 때, 25가 가장 긴 변의 길이이므로 7¤ +x¤ =25¤ , 49+x¤ =625, x¤ =576 ∴ x=24 ¤x>25일 때, x가 가장 긴 변의 길이이므로 7¤ +25¤ =x¤ , 49+625=x¤ , x¤ =674 ∴ x='∂674 ⁄_{, ¤에 의하여 구하는 x의 값은 24, '∂674이다.} A B 12`cm 40`cm@ D _F E G _C 22~23쪽 기출문제로실・력・다・지・기 01⑤ 02④ 03③ 04③ 05④ 06② 07③ 085 cm 09⑤ 10③ 11④ 12⑤ 13 _{(4'3+2'6) cm} 1416 cm

(01-18)실전서3-2해(Ⅴ-Ⅵ)칠 2015.5.11 8:56 PM 페이지08 DK

(9)

0

1

BC”="√9¤ -(4'2)¤ ='ƒ81-32='∂49=7(cm) ∴ △ABC=;2!;_BC”_AB”=;2!;_7_4'2=14'2 (cm¤ )

0

2

CD”=x cm라 하면 △ADC에서 AC”¤ =(6'5)¤ -x¤ △ABC에서 AC”¤ =20¤ -(10+x)¤ 이므로 180-x¤ =400-(100+20x+x¤ ), 20x=120 ∴ x=6

0

3

BD”를 그으면 △ABD에서 BD”="√4¤ +6¤ ='∂52=2'∂13 (cm) △BCD에서 CD”="√(2'∂13)¤ -5¤ ='∂27=3'3 (cm)

0

4

AC”="√('3)¤ +1¤ =2, AD”="√2¤ +1¤ ='5 AE”="√('5)¤ +1¤ ='6 ∴ AF”="√('6)¤ +1¤ ='7

0

5

꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선의 발을 H, 꼭짓점 D에서 BC”에 내린 수선의 발을 H'라 하면 BH”=CH'”=;2!;_(7-3)=2(cm) 이므로 △ABH에서 AH”="√5¤ -2¤ ='∂21 (cm) ∴ ABCD=;2!;_(3+7)_'∂21=5'∂21 (cm¤ )

0

6

지면으로부터 나무의 부러진 부분까 지의 높이를 x m라 하면 x¤ +15¤ =(25-x)¤ x¤ +225=625-50x+x¤ 50x=400 ∴ x=8

0

7

① AB”¤ =16 ∴ AB”=4(∵ AB”>0) ② CS”="√4¤ -2¤ =2'3 ③ QR”=BR”-BQ”=2'3-2 ④ △ABQ=;2!;_2_2'3=2'3 ⑤ PQRS는 정사각형이므로 PQRS=(2'3-2)¤ =16-8'3

0

8

ABCD=289 cm¤ 이므로 AB”=BC”=CD”=DA”=17 cm PQRS=169 cm¤ 이므로 PQ”=QR”=RS”=SP”=13 cm AP”=x cm라 하면 AS”=(17-x) cm 15`m x`m {25-x}`m H' A D B C 5`cm 3`cm 7`cm H H' A B C D 6`cm 4`cm 5`cm △APS에서 x¤ +(17-x)¤ =13¤ , x¤ -17x+60=0 (x-5)(x-12)=0 ∴ x=5 또는 x=12 그런데 AP”<AS”이므로 AP”=5 cm

0

9

△ABC에서 AB”="√15¤ -9¤ ='∂144=12(cm) BFML= BADE이므로 △FML=;2!; BFML=;2!; BADE △FML=;2!;_12¤ =72(cm¤ )

10

AD”=AE”=10 cm이므로 BE”="√10¤ -6¤ =8(cm), CE”=10-8=2(cm) EF”=x cm라 하면 EF”=DF”이므로 CF”=(6-x) cm △CEF에서 x¤ =(6-x)¤ +2¤ , 12x=40 ∴ x=:¡3º:

11

EB'”=EB”=18-8=10(cm) △AEB'에서 AB'”="√10¤ -8¤ =6(cm) B'D”=AD”-AB'”=18-6=12(cm) △AEB'ª△DB'G (AA 닮음)이므로 AE” : DB'”=EB'” : B'G” 8 : 12=10 : B'G” ∴ B'G”=15 cm

12

DB”=x cm라 하면 DE”=AD”=(10-x) cm △DBE에서 x¤ +5¤ =(10-x)¤ , 20x=75 ∴ x=:¡4∞: ∴ △DBE=;2!;_5_:¡4∞:=:¶8∞:(cm¤ )

13

[단계❶] AB”=a cm라 하면

AC”="√a¤ +a¤ ="√2a¤ ='2a(cm)

AD”="√('2a)¤ +a¤ ="√3a¤ ='3a=6(cm)

[단계❶] AB”=a= =2'3 (cm) [단계❷] AC”='2a=2'3_'2=2'6 (cm) [단계❸] 따라서 △ABC의 둘레의 길이는 2'3+2'3+2'6=(4'3+2'6) cm 6 '3 ❶ AB”의 길이 구하기 ❷ AC”의 길이 구하기 ❸ △ABC의 둘레의 길이 구하기 50 % 30 % 20 % 채점 기준 배점

(01-18)실전서3-2해(Ⅴ-Ⅵ)칠 2015.5.11 8:56 PM 페이지09 DK

(10)

26~27쪽 핵심유형으로개・념・정・복・하・기 핵심유형 1 ⑤ 1-1④ 1-2③ 1-3③ 핵심유형 2 ② 2-1④ 2-2② 2-3④ 핵심유형 3 ① 3-1⑤ 3-2② 3-3③ 3-4④ 3-5③ 핵심유형

1

삼각형의 세 변의 길이 사이의 관계에 의하여 7<x<5+7 ∴ 7<x<12 yy㉠ 둔각삼각형이므로 x¤ >5¤ +7¤ ∴ x>'∂74 (∵ x>0) yy㉡ ㉠, ㉡에서 '∂74<x<12

1

-1 삼각형의 세 변의 길이 사이의 관계에 의하여 6<x<5+6 ∴ 6<x<11 yy㉠ ∠A<90˘이므로 x¤ <6¤ +5¤ ∴ x<'∂61 (∵ x>0) yy㉡ ㉠, ㉡에서 6<x<'∂61

1

-2 ① 4¤ >2¤ +3¤ 이므로 둔각삼각형 ② 4¤ =2¤ +(2'3)¤ 이므로 직각삼각형 ③ 6¤ <4¤ +5¤ 이므로 예각삼각형 ④ 10¤ =6¤ +8¤ 이므로 직각삼각형 ⑤ 17¤ <12¤ +13¤ 이므로 예각삼각형

1

-3 CA” ¤ =7¤ >4¤ +5¤ =AB” ¤ +BC” ¤ 이므로 ∠B>90˘인 둔각 삼각형이다. 핵심유형

2

BH”=x cm라 하면 AB”¤ =BH”_BC”이므로 15¤ =x(x+16), x¤ +16x-225=0, (x-9)(x+25)=0 ∴ x=9 (∵ x>0) △ABH에서 AH”="√15¤ -9¤ =12(cm) ∴ △ABC=;2!;_BC”_AH”=;2!;_25_12=150(cm¤ )

04. 피타고라스 정리와 도형

24~25쪽 개・념・확・인 01 ⑴ 1<x<'∂61 ⑵ '∂65<x<11 02 ⑴ 예각삼각형 ⑵ 둔각삼각형 ⑶ 직각삼각형 ⑷ 예각삼각형 03 ⑴ 15<x<17 ⑵ 17<x<23 04 14, 2'∂14, 14, 2'∂35, 4, 2'∂10 05 _{⑴ '5} ⑵ 6 ⑶ 40p

0

1

⑴ 삼각형의 세 변의 길이 사이의 관계에 의하여 6-5<x<5+6 ∴ 1<x<11 yy㉠ ⑴∠A<90˘이므로 x¤ <5¤ +6¤ ⑴∴ x<'∂61 (∵ x>0) yy㉡ ⑴㉠, ㉡에서 1<x<'∂61 ⑵ 삼각형의 세 변의 길이 사이의 관계에 의하여 7-4<x<4+7 ∴ 3<x<11 yy㉠ ⑴∠E>90˘이므로 x¤ >4¤ +7¤ ⑴∴ x>'∂65 (∵ x>0) yy㉡ ⑴㉠, ㉡에서 '∂65<x<11

0

2

⑴ 7¤ <5¤ +6¤ 이므로 예각삼각형 ⑵ 9¤ >5¤ +7¤ 이므로 둔각삼각형 ⑶ 8¤ =(2'7)¤ +6¤ 이므로 직각삼각형 ⑷ (2'5)¤ <(2'3)¤ +(3'2)¤ 이므로 예각삼각형

0

3

⑴ 삼각형의 세 변의 길이 사이의 관계에 의하여 15<x<8+15 ∴ 15<x<23 yy㉠ ⑴예각삼각형이므로 x¤ <8¤ +15¤ ⑴∴ x<17 (∵ x>0) yy㉡ ⑴㉠, ㉡에서 15<x<17 ⑵ 삼각형의 세 변의 길이 사이의 관계에 의하여 15<x<8+15 ∴ 15<x<23 yy㉠ ⑴둔각삼각형이므로 x¤ >8¤ +15¤ ⑴∴ x>17 (∵ x>0) yy㉡ ⑴㉠, ㉡에서 17<x<23

0

5

⑴ x¤ +6¤ =5¤ +4¤ , x¤ =5 ∴ x='5 (∵ x>0) ⑵ x¤ +5¤ =(2'3)¤ +7¤ , x¤ =36 ∴ x=6 (∵ x>0) ⑶ 16p+24p=40p(cm¤ ) ∴ x=40p

14

오른쪽 그림과 같이 보조선을 그 으면 AP”=23-18=5(cm) yy❶ △ABP에서 BP”="√13¤ -5¤ ='∂144 =12(cm) yy❷ ∴ AE”=28-12=16(cm) yy❸ A B P E D C _28`cm 18`cm 23`cm 13`cm ❶ AP”의 길이 구하기 ❷ BP”의 길이 구하기 ❸ AE”의 길이 구하기 30 % 40 % 30 % 채점 기준 배점

(01-18)실전서3-2해(Ⅴ-Ⅵ)칠 2015.5.11 8:56 PM 페이지10 DK

(11)

2

-1 CD”=x cm라 하면 AB”¤ =BD”_BC”이므로 4¤ =3_(3+x), 16=9+3x _{∴ x=;3&;}

2

-2 AB”=3k cm라 하면 BC”=5k cm이므로 AC”="√(3k)¤ +(5k)¤ ='∂34k AB”_BC”=AC”_BD”이므로 3k_5k='∂34k_6, 15k¤ =6'∂34k ∴ BC”=5k=2'∂34 (cm)

2

-3 BE”¤ +CD”¤ =DE”¤ +BC”¤ 이므로 6¤ +8¤ =DE”¤ +9¤ , DE”¤ =19 ∴ DE”='∂19 cm (∵ DE”>0) 핵심유형

3

AB”¤ +CD”¤ =AD”¤ +BC”¤ 이므로 4¤ +5¤ =AD”¤ +3¤ , AD”¤ =32 ∴ AD”='∂32=4'2 (cm) (∵ AD”>0)

3

-1 AP”¤ +CP”¤ =BP”¤ +DP”¤ 이므로 7¤ +4¤ =6¤ +PD”¤ , PD”¤ =29 PD”='∂29(cm) (∵ PD”>0)

3

-2 P+Q의 값은 BC”를 지름으로 하는 반원의 넓이와 같으므로 P+Q=;2!;_p_{;2!; BC”}¤ =;8!;_p_BC”¤ P+Q_{=;8!;p_4¤ =2p(cm¤ )}

3

-3 AB”를 지름으로 하는 반원의 넓이는 ;2!;_p_{;2!; AB”}¤ =;8!;_p_AB”¤=;8!;p_(4'2)¤ ;2!;_p_{;2!; AB”}¤=4p(cm¤ ) 따라서 구하는 넓이는 4p+3p=7p(cm¤ )

3

-4 _{△ABC에서 AC”="√10¤ -8¤ =6(cm)} ∴ (색칠한 부분의 넓이)=△ABC=;2!;_8_6=24(cm¤ )

3

-5 p_{_{} _}¤ __{;2!;=50p이므로} AB”¤ =400 ∴ AB”=20 cm p_{_{} _}¤ __{;2!;=32p이므로} AC”¤ =256 ∴ AC”=16 cm ∴ (색칠한 부분의 넓이)=△ABC=;2!;_20_16 ∴ (색칠한 부분의 넓이)=160(cm¤ ) AC” 2 AB” 2

0

1

① 12¤ >5¤ +9¤ 이므로 둔각삼각형 ② 15¤ >5¤ +12¤ 이므로 둔각삼각형 ③ 15¤ >8¤ +9¤ 이므로 둔각삼각형 ④ 17¤ =8¤ +15¤ 이므로 직각삼각형 ⑤ 17¤ <12¤ +15¤ 이므로 예각삼각형

0

2

③ c¤ =a¤ +2ak+

0

3

삼각형의 세 변의 길이의 관계에 의하여 9-7<x<7+9 ∴ 2<x<16 yy㉠ ∠C>90˘이므로 x¤ >7¤ +9¤ ∴ x>'∂130 (∵ x>0) yy㉡ ㉠, ㉡에서 '∂130<x<16을 만족하는 자연수는 12, 13, 14, 15 의 4개이다.

0

4

AB”="√10¤ -8¤ =6(cm), AB”_AC”=BC”_AD”이므로 6_8=10_AD” ∴ AD”=:™5¢: cm

0

5

BC”="√8¤ +6¤ =10 AB”_AC”=BC”_AD”이므로 8_6=10_x ∴ x=:™5¢: AB”¤ =BD”_BC”이므로 8¤ =y_10 _{∴ y=:£5™:}

∴ x+y=:™5¢:+:£5™:=:∞5§:

0

6

④ AD”¤ +AE”¤

0

7

△ABC에서 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질에 의해 DE”=;2!;BC”=4이고, BE”¤ +CD”¤ =DE”¤ +BC”¤ 이므로 BE”¤ +CD”¤ =4¤ +8¤ =80

0

8

BD”=k라 하면 AD”=3k이므로 (3'2)¤ =3k_k, 18=3k¤ ∴ k='6 (∵ k>0) △BCD에서 BC”="√(3'2)¤ +('6)¤ ='∂24=2'6

0

9

AB”¤ +CD”¤ =BC”¤ +AD”¤ 이므로 (2'2)¤ +5¤ =('1å3)¤ +AD”¤

b¤ 28~29쪽 기출문제로실・력・다・지・기 01⑤ 02③ 03① 04③ 05④ 06④ 07② 08③ 09③ 10① 11② 12_:¡5§: 13 20 cm

(01-18)실전서3-2해(Ⅴ-Ⅵ)칠 2015.5.11 8:56 PM 페이지11 DK

(12)

05. 피타고라스 정리의 활용 ⑴ - 평면

30~31쪽 개・념・확・인 01_{⑴ 'ß34} _{⑵ 3'3} 022'2 cm 03_{⑴ h=2'3, S=4'3} _{⑵ h=12, S=48'3} 04⑴ x=5, y=5 ⑵ x=2'2, y=2'2 ⑶ x=5'3, y=10 ⑷ x= , y= 05⑴ 5 ⑵ 5'2 8'3 3 4'3 3 32~33쪽 핵심유형으로개・념・정・복・하・기 핵심유형 1 ③ 1-1⑤ 1-2④ 1-3③ 핵심유형 2 ④ 2-1③ 2-2① 2-34'6 cm 핵심유형 3 ② 3-1 3-2④ 3-3① 핵심유형 4 ③ 4-1③, ⑤ 4-2③ 4-3① 3'6 2 핵심유형

1

가로의 길이를 4a cm, 세로의 길이를 3a cm라 하면

"√(4a)¤ +(3a)¤ ="√25a¤ =100(cm)

0

1

⑴ x="√3¤ +5¤ ='ß34 ⑵ x="√6¤ -3¤ =3'3

0

2

정사각형의 한 변의 길이를 x cm라 하면 '2x=4 ∴ x= =2'2

0

3

⑴ h= _4=2'3, S= _4¤ =4'3 ⑵ h= _8'3=12, S= _(8'3)¤ =48'3

0

4

⑴ x : 5'2=1 : '2, '2x=5'2 ∴ x=5 y : 5'2=1 : '2, '2y=5'2 ∴ y=5 ⑵ x : 4=1 : '2, '2x=4 ∴ x=2'2 y : 4=1 : '2, '2y=4 ∴ y=2'2 ⑶ 5 : x=1 : '3 ∴ x=5'3 5 : y=1 : 2 ∴ y=10 ⑷ x : 4=1 : '3, '3x=4 ∴ x= ⑷4 : y='3 : 2, '3y=8 ∴ y=

0

5

⑴ OA”="√3¤ +4¤ =5 ⑵ PQ”="√(3+2)¤ +(-2-3)¤ =5'2 8'3 3 4'3 3 '3 4 '3 2 '3 4 '3 2 4 '2 AD”¤ =20 ∴ AD”=2'5 cm (∵AD”>0)

△AOD에서 (2'5)¤ =2¤ +OD”¤ , OD”¤ =16 ∴ OD”=4 cm (∵ OD”>0) ∴ △AOD=;2!;_AO”_OD”=;2!;_2_4=4(cm¤ ) [다른 풀이] △ABO에서 BO”="√(2'2)¤ -2¤ =2(cm) △BCO에서 CO”="√('∂13)¤ -2¤ =3(cm) △CDO에서 DO”="√5¤ -3¤ =4(cm) ∴ △AOD=;2!;_AO”_DO”=;2!;_2_4=4(cm¤ )

10

AB”¤ +CD”¤ =AD”¤ +BC”¤ 이므로 6¤ +CD”¤ =5¤ +BC”¤ ∴ BC”¤ -CD”¤ =6¤ -5¤ =36-25=11

11

P+Q=R이므로 P+Q+R=2R=2_[;2!;_p_{;2!;_2'3}¤]=3p(cm¤ ) [다른 풀이] P+Q=R이고, R=;2!;_p_{;2!;BC”}¤ =;8!;pBC”¤ 이므로 P+Q+R=;8!;p(AB”¤ +AC”¤ +BC”¤ )=;8!;p(BC”¤ +BC”¤ ) P+Q+R_{=;4!;pBC”¤ =;4!;_p_12=3p(cm¤ )}

12

[단계❶] △ABC에서 AH”¤ =BH”_CH”=2_8=16 ∴ AH”=4 (∵ AH”>0) [단계❷] BC”=2+8=10이고, 점 M은 △ABC의 외심이므로 AM”=BM”=CM”=5

[단계❸] △AHM에서 AH”¤ =AQ”_AM”이므로 4¤ =AQ”_5 ∴ AQ”=:¡5§:

13

(색칠한 부분의 넓이)=△ABC이므로 yy❶ △ABC=;2!;_12_AC”=96(cm¤ ) ∴ AC”=16 cm yy❷ ∴ BC”="√12¤ +16¤ ='∂400=20(cm) yy❸ ❶ AH”의 길이 구하기 ❷ AM”의 길이 구하기 ❸ AQ”의 길이 구하기 30 % 30 % 40 % 채점 기준 배점 ❶ (색칠한 부분의 넓이)=△ABC임을 알기 ❷ AC”의 길이 구하기 ❸ BC”의 길이 구하기 30 % 40 % 30 % 채점 기준 배점

(01-18)실전서3-2해(Ⅴ-Ⅵ)칠 2015.5.11 8:56 PM 페이지12 DK

(13)

25a¤ =10000, a¤ =400 ∴ a=20 (∵ a>0) 따라서 TV 화면의 가로의 길이는 4a=4_20=80(cm)

1

-1 직사각형의 세로의 길이를 x cm라 하면 "√10¤ +x¤ =2'ß34, "√100+x¤ ='∂136, x¤ =36 ∴ x=6 (∵ x>0) 따라서 직사각형의 넓이는 10_6=60(cm¤ )

1

-2 정사각형의 한 변의 길이를 a cm라 하면

a¤¤ =200 ∴ a='∂200=10'2 (∵ a>0)

따라서 대각선의 길이는 '2_10'2=20(cm)

1

-3 정사각형의 한 변의 길이를 a cm라 하면 '2a=8 ∴ a=4'2 (∵ a>0) 따라서 정사각형의 둘레의 길이는

4a=4_4'2=16'2 (cm)

핵심유형

2

넓이가 12'3 cm¤ 이므로 a¤ =12'3 a¤ =48 ∴ a=4'3 (cm) (∵ a>0)

∴ h= a= _{_4'3=6(cm)}

2

-1 △ADE의 한 변의 길이를 a cm라 하면

a¤ =12'3, a¤ =48 ∴ a=4'3 (∵ a>0)

즉, △ABC의 높이는 4'3 cm이므로 △ABC의 한 변의 길이를 b cm라 하면 b=4'3 ∴ b=8 ∴ △ABC= _8¤ =16'3 (cm¤ )

2

-2 정육각형의 대각선을 모두 그으면 한 변의 길이가 4 cm인 정삼각형이 6개 생긴다. ∴ (정육각형의 넓이)=6_{ _4¤ }=24'3 (cm¤ )

2

-3 대각선 BD를 그으면 △ABD=;2!; ABCD=24'3 (cm¤ ) ∠ADB=60˘이므로 △ABD는 정삼각형이다. 따라서 △ABD의 한 변의 길이를 a cm라 하면

a¤ =24'3, a¤ =96 ∴ a=4'6 (∵ a>0)

따라서 마름모 ABCD의 한 변의 길이는 4'6 cm이다.

핵심유형

3

△ADC에서 AD”=CD”=5 cm, AC”=5'2 cm

△ABC에서 AC” : AB”='3 : 1이므로 5'2 : AB”='3 : 1 ∴ AB”=5'6₃ cm '3 4 '3 4 '3 4 '3 2 '3 4 '3 2 '3 2 '3 4 AB” : BC”=1 : 2이므로 : BC”=1 : 2 ∴ BC”= cm 따라서 ABCD의 둘레의 길이는 + +5+5=10+5'6 (cm)

3

-1 _{△BCD에서 CD” : BC”= 2 : '3이므로} 6 : BC”=2 : '3 ∴ BC”= 3'3 △ABC에서 AB” : BC”=1 : '2이므로 AB” : 3'3=1 : '2 ∴ AB”=

3

-2 △ABC에서 AB” : AC”=2 : 1 ∴ AC”=9 cm △ADC에서 ∠DAC=;2!;∠A=30˘이므로 AD” : AC”=2 : '3, AD” : 9=2 : '3 ∴ AD”=6'3 cm

3

-3 꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라 하면 △ABH에서 AB” : AH”=2 : '3이므로 4'3 : AH”=2 : '3 ∴ AH”=6 cm 따라서 평행사변형 ABCD의 넓이는 BC”_AH”=10_6=60(cm¤ ) 핵심유형

4

PQ”="√{3a-(-2)}¤ √+{a-(-2)}¤ =4'5이므로 (3a+2)¤ +(a+2)¤ =80, 5a¤ +8a-36=0 (5a+18)(a-2)=0 ∴ a=2 (∵ a＞0)

4

-1 PQ”="√(a-4)¤ +(-3ç-1)¤ =5이므로

a¤ -8a+16+16=25, a¤ -8a+7=0 (a-1)(a-7)=0 ∴ a=1 또는 a=7

4

-2 _{AC”="√(a+2)¤ +(1-4)¤ , BC”="√(a-5)¤ +(1+3)¤} AC”=BC”이므로 (a+2)¤ +(1-4)¤ =(a-5)¤ +(1+3)¤

a¤ +4a+4+9=a¤ -10a+25+16, 14a=28

∴ a=2

4

-3 AB”="√(-5-2)¤ +(0+4)¤ ='ß65 BC”="√(3+5)¤ +(3-0)¤ ='ß73 CA”="√(3-2)¤ +(3+4)¤ ='ß50

BC”¤ <AB”¤ +CA”¤ 이므로 △ABC는 예각삼각형이다. B D A C 60© 10`cm 4'3`cm H 3'6 2 10'6 3 5'6 3 10'6 3 5'6 3

(01-18)실전서3-2해(Ⅴ-Ⅵ)칠 2015.5.11 8:56 PM 페이지13 DK

(14)

따라서 △ABC는 정삼각형이다. △ABC의 한 변의 길이를 a cm라 하면 a=3 ∴ a=2'3 ∴ △ABC= _(2'3)¤ =3'3 (cm¤ )

0

6

AO”=BO”=4 cm이고, 점 O는 삼각형 ABC의 무게중심이므로

AO” : AH”=2 : 3, 4 : AH”=2 : 3 ∴ AH”=6 cm

정삼각형 ABC의 한 변의 길이를

a cm라 하면

AH”= a=6 ∴ a=4'3

∴ △ABC= _(4'3)¤ = _48=12'3 (cm¤ )

0

7

이등변삼각형에서 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분하 므로 BC”의 중점을 D라 하면 AD”="√13¤ -5¤ ='∂144=12(cm) ∴ △ABC=;2!;_10_12=60(cm¤ )

0

8

꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선의 발 을 H라 하고, BH”=x cm라 하면 HC”=(21-x) cm AH” ¤ =13¤ -x¤ =20¤ -(21-x)¤ 169-x¤ =400-441+42x-x¤ 42x=169+41=210 ∴ x=5 △ABH에서 AH”="√13¤ -5¤ =12(cm) ∴ △ABC=;2!;_BC”_AH”=;2!;_21_12=126(cm¤ )`

0

9

오른쪽 그림의 △ABC에서 AB” : BC”=2 : 1이므로 a : 10=2 : 1 ∴ a=20 △ECD에서 ED” : CD”='2 : 1 이므로 b : 10='2 : 1 ∴ b=10'2 ∴ a+b=20+10'2

10

꼭짓점 A에서 BC”의 연장선에 내린 수 선의 발을 D라 하면 ∠ACD=180˘-120˘=60˘ △CDA에서 AC” : CD” : AD”=2 : 1 : '3이므로 3`cm 6`cm A B D C 120© 10`m 60© _45© 10`m A B D E C b`m a`m A B H C 21`cm 20`cm 13`cm '3 4 '3 4 '3 2 C H B A O '3 4 '3 2 34~35쪽 기출문제로실・력・다・지・기 01② 02② 03③ 04④ 05① 06⑤ 07⑤ 08⑤ 09④ 10② 11③ 12② 13① 14_{12('3-1) cm¤} 15 5+2'∂10+3'5

0

1

직사각형의 가로, 세로의 길이를 각각 a cm, b cm라 하면 대각선의 길이가 10 cm이므로 "√a¤ +b¤ =10 ∴ a¤ +b¤ =100 둘레의 길이가 24 cm이므로 2(a+b)=24 ∴ a+b=12 (a+b)¤ =a¤ +b¤ +2ab이므로

12¤ =100+2ab, 2ab=44 ∴ ab=22

따라서 직사각형의 넓이는 22 cm¤ 이다.

0

2

정사각형의 한 변의 길이를 각각 a cm, b cm(a>b)라 하면 a¤ =36이므로 a=6, b¤ =9이므로 b=3 ∴ AB”="√a¤ +(a+b)¤ ="√6¤ +9¤ ='∂117=3'ß13 (cm)

0

3

△ABD에서 BD”="√12¤ +5¤ =13(cm) AB”_AD”=BD”_AH”이므로 5_12=13_AH” ∴ AH”= cm

0

4

점 G가 정삼각형 ABC의 무게중심이므로 BG” : EG”=2 : 1, 6 : EG”=2 : 1 ∴ EG”=3 cm

즉, BE”=9 cm이고 이는 △ABC의 높이이므로 △ABC의 한 변의 길이를 a cm라 하면 a=9 ∴ a=6'3 ∴ △ABC= _(6'3)¤ =27'3 (cm¤ )

0

5

∠BAC=∠CAD(접은 각), ∠CAD=∠ACB(엇각) ∴ ∠BAC=∠ACB ∴ ∠BAC=;2!;(180˘-60˘) ∴ ∠BAC=60˘ A B C D 60© '3 4 '3 2 60 13 A B a`cm a`cm b`cm b`cm 9`cm@ 36`cm@

(01-18)실전서3-2해(Ⅴ-Ⅵ) 2015.5.12 5:26 PM 페이지14 DK

(15)

6 : CD” : AD”=2 : 1 : '3 ∴ CD”=3 cm, AD”=3'3 cm 따라서 △ABD에서 AB”="√(3+3)¤ +(3'3)¤ =3'7 (cm)

11

점 B에서 OA”에 내린 수선의 발을 H, HA”=x cm라 하면 △OHB에서 OH” : OB”=1 : '2이므로 (30-x) : 30=1 : '2 '2(30-x)=30 '2x=30('2-1) ∴ x=30-15'2 따라서 점 B는 점 A보다 (30-15'2) cm 위에 있다.

12

AB”="√(-3+1)¤ +(3+3)¤ ABÚ=2'ß10 BC”="√(3+3)¤ +(5-3)¤ =2'ß10` CA”="√(-1-3)¤ +√(-3-5)¤ CAÚ=4'5

AB” ¤ +BC” ¤ =CA” ¤ 이므로 △ABC는

∠B=90˘이고 AB”=BC”인 직각이등변삼각형이다. ∴ △ABC=;2!;_2'ß10_2'ß10=20

13

y=x¤ +2x-3=(x+1)¤ -4이므로 꼭짓점은 A(-1, -4) 이고, x=0일 때 y=-3이므로 B(0, -3)이다. ∴ AB”="√(0+1)¤ +(-√3+4)¤ ='2

14

[단계❶] △ABC에서 AB” : BC”=1 : '3이므로 4 : BC”=1 : '3 ∴ BC”=4'3 cm [단계❷] 꼭짓점 E에서 BC”에 내린 수 선의 발을 H, EH”=h cm라 하면 BH”=h cm, CH”='3h cm이므로 '3h+h=h('3+1)=4'3 ∴ h= = ∴ h= _=6-2'3 [단계❸] ∴ △EBC=;2!;_4'3_(6-2'3) ∴ △EBC=12('3-1) (cm¤ ) 12-4'3 2 4'3('3-1) ('3+1)('3-1) 4'3 '3+1 60© 45© A B 4`cm C H D E O C B -3 -1 -3 A 3 5 3 x y H A B O 45© 45© x`cm 30`cm

15

y=-x¤ -x+6=-(x¤ +x-6)=-(x-2)(x+3)이므로 A(-3, 0), B(2, 0) y축과의 교점이 (0, 6)이므로 C(0, 6) yy❶ ∴ AB”=5 BC”="√(0-2)¤ +√(6-0)¤ =2'ß10 CA”="√(-3-0)¤ +√(0-6)¤ =3'5 yy❷ 따라서 △ABC의 둘레의 길이는 5+2'ß10+3'5이다. yy❸ ❶ BC”의 길이 구하기 ❷ △EBC의 높이 구하기 ❸ △EBC의 넓이 구하기 30 % 40 % 30 % 채점 기준 배점

06. 피타고라스 정리의 활용 ⑵ - 입체

36~37쪽 개・념・확・인 01_{⑴ 5'2} _{⑵ 6'3} ⑶ 4 ⑷ 7 02_{높이：2'6 cm, 부피：18'2 cm‹} 03_{⑴ 높이：3'7 cm, 부피：36'7 cm‹} ⑵ 높이：2'7 cm, 부피：24'7p cm‹ 04⑴ 풀이 참조 ⑵ 4'5 cm

0

1

⑴ x="√4¤ +3¤ +5¤ =5'2 ⑵ x='3_6=6'3 ⑶ "√x¤ +5¤ +7¤ =3'∂10이므로 "√x¤ +74='∂90, x¤ =16 ∴ x=4 (∵ x>0) ⑷ '3x=7'3 ∴ x=7

0

2

(높이)= _6=2'6 (cm) (부피)= _6‹ =18'2 (cm‹ )

0

3

⑴ (높이)=æ≠9¤ - =3'7 (cm) ⑴(부피)=1₃_6¤ _3'7=36'7 (cm‹ ) 6¤ 2 '2 12 '6 3 ❶ 세 점 A, B, C의 좌표 구하기 ❷ ABÚ, BCÚ, CAÚ의 길이 구하기 ❸ △ABC의 둘레의 길이 구하기 40 % 40 % 20 % 채점 기준 배점

(01-18)실전서3-2해(Ⅴ-Ⅵ) 2015.5.12 7:21 PM 페이지15 DK

(16)

2

-1 정사면체의 한 모서리의 길이를 a cm라 하면 a=6 ∴ a=3'6

2

-2 주어진 전개도로 만들 수 있는 정사면체의 한 모서리의 길이 는 5 cm이므로 정사면체의 부피는 _5‹ = (cm‹ )

2

-3 OH”= _6=2'6 (cm), CM”= _6=3'3 (cm) 이므로 MH”= CM”= _3'3='3 (cm) ∴ △OMH= _MH”_OH” ∴ △OMH= _'3_2'6=3'2 (cm¤ ) 핵심유형

3

(정사각뿔의 높이)=_æ≠10¤ - =5'2 (cm) ∴ (정사각뿔의 부피)= _10¤ _5'2= (cm‹ )

3

-1 (정사각뿔의 높이)=

æ≠

6¤ - =2'7 (cm)

3

-2 (정사각뿔의 높이)=æ≠8¤ -(정사각뿔의 높이)='∂46 (cm) ∴ (정사각뿔의 부피) ∴= _6¤ _'∂46 ∴=12'∂46 (cm‹ )

3

-3 AB” : OA” : OB”=2 : 1 : '3이므로 OA”=6 cm, OB”=6'3 cm 따라서 원뿔의 부피는 _p_(6'3)¤ _6=216p(cm‹ ) 핵심유형

4

선이 지나는 부분의 전개도는 오른 쪽 그림과 같고, 최단 거리는 AG”=

"√

(AB”+BC”)¤ +CG”¤ AG=

"√

(4+3)¤ +6¤ AG='∂85 (cm) A B C E F G 4`cm 3`cm 6`cm 1 3 1 3 6`cm 6`cm 8`cm 6¤ 2 4¤ 2 500'2 3 1 3 10¤ 2 1 2 1 2 1 3 1 3 '3 2 '6 3 125'2 12 '2 12 '6 3 핵심유형

1

BF”=x cm라 하면 "√5¤ +3¤ +x¤ =2'∂13, "√34+x¤ ='∂52, 34+x¤ =52 x¤ =18 _{∴ x=3'2 (∵ x>0)}

1

-1 AB”=GH”=2, BG”="√3¤ +4¤ =5, AG”="√3¤ +2¤ +4¤ ='∂29이므로 (△ABG의 둘레의 길이)=2+5+'∂29=7+'∂29

1

-2 AB”=a cm, AD”=3a cm, DH”=2a cm라 하면 AG”="√a¤ +(3a)¤ +(2a)¤ =2'∂14(cm)이므로 14a¤ =56 ∴ a=2 (∵ a>0)

따라서 AB”=2 cm, AD”=6 cm, DH”=4 cm이므로 직육면체의 부피는 2_6_4=48(cm‹ )

1

-3 정육면체의 한 모서리의 길이를 a cm라 하면 '3a=6 ∴ a=2'3 ∴ (정육면체의 부피)=2'3_2'3_2'3=24'3 (cm‹ ) 핵심유형

2

정사면체의 한 모서리의 길이를 a cm라 하면 CH”=2MH”=4'3 cm, CM”=6'3 cm이므로 a=6'3 ∴ a=12 따라서 정사면체의 부피는 _12‹ =144'2 (cm‹ ) '2 12 '3 2 ⑵ (높이)="√8¤ -6¤ =2'7 (cm) ⑵(부피)= _p_6¤ _2'7=24'7p (cm)

0

4

⑴ ⑵ AG”="√(5+3)¤ +4¤ =4'5 (cm) A E F G B C cm 4 cm cm 5 3 1 3 38~39쪽 핵심유형으로개・념・정・복・하・기 핵심유형 1 ④ 1-1④ 1-2④ 1-3④ 핵심유형 2 ③ 2-13'6 cm2-2⑤ 2-33'2 cm¤ 핵심유형 3 ④ 3-1⑤ 3-2⑤ 3-3216p cm‹ 핵심유형 4 ② 4-1③ 4-2⑤ 4-36'3 cm

(01-18)실전서3-2해(Ⅴ-Ⅵ) 2015.5.12 5:27 PM 페이지16 DK

(17)

4

-1 △ABC에서 AC”="√3¤ +4¤ =5(cm) 오른쪽 그림의 전개도에서 구 하는 최단 거리는 AD'”="√(3+4+5)¤ +8¤ AD'=4'∂13 (cm)

4

-2 원기둥의 옆면의 전개도는 오른 쪽 그림과 같고, 점 A에서 점 B 에 이르는 최단 거리는 AB'”="√6¤ +8¤ =10(cm)

4

-3 원뿔의 전개도에서 부채꼴의 중심각의 크기를 x라 하면 2p_6_ =2p_2 ∴ x=120˘ 원뿔의 옆면의 전개도는 오른쪽 그림과 같고, 꼭짓점 O에서 A’A'”에 내린 수선의 발을 H라 하면 △OAH에서 ∠AOH=60˘이므로 OA”：AH”=2：'3, 6：AH”=2：'3 ∴ AH”=3'3 cm 따라서 구하는 최단 거리는 AA'”=2_AH”=6'3 (cm) A _H A' O 6`cm _60© 6`cm x 360˘ A B A' B' 8`cm 6`cm A B C A' D _D' E4`cmF 5`cm 8`cm 3`cm

0

1

EG”="√8¤ +6¤ =10(cm) ∴ ET”=5 cm △AET에서 AT”="√12¤ +5¤ =13(cm)

0

2

BC”, FG”, EH”의 중점을 각각 N, P, Q라 하면 FM”은 직육면체 ABNM–EFPQ의 대각선이다. ∴ FM”=

"√

FP”¤ +PQ”¤ +QM” ¤ ∴ FM="√5¤ +4¤ +3¤ ∴ FM=5'2 (cm) A F P N _Q G C H E B D M 3`cm 4`cm 10`cm 40~41쪽 기출문제로실・력・다・지・기 01② 02② 03① 04③ 05① 06④ 07③ 08⑤ 09④ 10① 11③ 12③ 13⑤ 14 9'6₄ cm 1518'2p cm‹

0

3

정육면체의 한 모서리의 길이를 a cm라면 6a¤ =450, a¤ =75 ∴ a=5'3 (∵ a>0) 따라서 정육면체의 대각선의 길이는 '3_5'3=15(cm)

0

4

한 모서리의 길이가 3 cm이므로 AG”=3'3 cm, EG”=3'2 cm △AEG에서 AE”_EG”=AG”_EM” 3_3'2=3'3_EM” ∴ EM”='6 cm

0

5

DM”=DN”="√12¤ +6¤ =6'5 (cm), MN”="√6¤ +6¤ =6'2 (cm) 이등변삼각형 DMN의 높이를 h cm 라 하면 h="√(6'5)¤ -(3'2)¤ =9'2 (cm) ∴ △DMN=;2!;_6'2_9'2 ∴ △DMN=54(cm¤ )

0

6

MB”=MC”= _12=6'3 (cm) MH”="√(6'3)¤ -6¤ =6'2 (cm) ∴ △MBC=;2!;_12_6'2 ∴ △MBC=36'2 (cm¤ )

0

7

AC”="√6¤ +6¤ =6'2 (cm), AH”=;2!;AC”=3'2 (cm)이므로 OH”="√9¤ -(3'2)¤ =3'7 (cm) ∴ △OAC=;2!;_AC”_OH” ∴ △OAC=;2!;_6'2_3'7 ∴ △OAC=9'∂14 (cm¤ )

0

8

2_AB”+BC”=34+BC”=50(cm) ∴ BC”=16 cm BH”=;2!;_BC”=8(cm)이므로 △ABH에서 AH”="√17¤ -8¤ =15 따라서 원뿔의 부피는 ;3!;_p_8¤ _15=320p(cm‹ ) M H B C 6'3`cm 6`cm 12`cm '3 2 D 6'5`cm 6'5`cm 6'2`cm h`cm M N A B G H M E C F D

(01-18)실전서3-2해(Ⅴ-Ⅵ) 2015.5.12 7:22 PM 페이지17 DK

(18)

0

9

주어진 △ABC를 직선 l을 축으로 하여 1회전 시킬 때 생기는 입체도형은 원뿔이다. AB” : BC” : AC”=2 : 1 : '3에서 6 : BC”” : AC””=2 : 1 : '3 ∴ BC”=3 cm, AC”=3'3 cm 따라서 원뿔의 부피는 ;3!;_p_3¤ _3'3=9'3p(cm‹ )

10

주어진 전개도로 만든 원뿔의 높이를 h cm라 하면 h="√13¤ -5¤ =12 따라서 원뿔의 부피는 ;3!;_p_5¤ _12=100p(cm‹ )

11

평면과 구의 중심과의 거리는 OH”="√13¤ -12¤ ='∂25=5(cm)

12

최단 거리는 AE'” =

"√

A'E'” ¤ +AA'” ¤ ="√2¤ +(2+2+2+2)¤ ='∂68=2'∂17 (cm)

13

원뿔의 전개도는 오른쪽 그림과 같고 ∠B'AM=x라 하면 2_12_p_ =2_2_p ∴ x=60˘ △AMB'에서 ∠MAB'=60˘이고

AM” : AB'”=1 : 2이므로 △AMB'은 직각삼각형이다. ∴ MB'”="√12¤ -6¤ =6'3

14

[단계❶] AH”는 정사면체의 높이이므로 AH”= _9=3'6 (cm) [단계❷] 정삼각형 DBC의 높이는 _9= 이고 점 H는 정삼각형 DBC의 무 게중심이므로 DH”= _ DH=3'3 (cm) 9'3 2 2 3 9'3 2 '3 2 _9`cm B A C H D O '6 3 x 360 x B B' A 12 M 2 E H G F E' D C B A' A 2`cm 2`cm 2`cm 2`cm 2`cm 13`cm h`cm 5`cm l A B 60© C 6`cm [단계❸] 구의 반지름의 길이를 AO”=DO”=x cm라 하면 △OHD에서 OH”=AH”-AO”=3'6-x(cm) 이므로 x¤ =(3'6-x)¤ +(3'3)¤ , x¤ =54-6'6x+x¤ +27, 6'6x=81 ∴ x=

15

밑면의 반지름의 길이를 r cm라 하면 2rp=6p ∴ r=3 yy❶ 원뿔의 높이를 h cm라 하면 모선의 길이 는 9 cm이므로 h="√9¤ -3¤ ='ƒ81-9=6'2 yy❷ ∴ (원뿔의 부피)=;3!;_p_3¤ _6'2 ∴ (원뿔의 부피)=18'2p(cm‹ ) yy❸ h`cm r`cm 9`cm 9'6 4 ❶ AH”의 길이 구하기 ❷ DH”의 길이 구하기 ❸ 구의 반지름의 길이 구하기 30 % 40 % 30 % 채점 기준 배점 ❶ 밑면의 반지름의 길이 구하기 ❷ 원뿔의 높이 구하기 ❸ 원뿔의 부피 구하기 30 % 40 % 30 % 채점 기준 배점

(01-18)실전서3-2해(Ⅴ-Ⅵ) 2015.5.12 5:27 PM 페이지18 DK

(19)

42~43쪽 개・념・확・인 01⑴ ;5#; ⑵ ;5$; ⑶ ;4#; ⑷ ;5$; ⑸ ;5#; ⑹ ;3$; 02⑴ 1 ⑵ 0 ⑶ ⑷ 03⑴ 0.85 ⑵ 0.52 ⑶ 1.66 04⑴ 0 ⑵ 0 05⑴ 0.3584 ⑵ 0.9205 ⑶ 0.4040 1 3 '3 4

07. 삼각비의 값

삼각비

Ⅶ

핵심유형

1

피타고라스 정리에 의해 AB”="√13¤ -5¤ =12이므로 cos A= =;1!3@;, sin C= =;1!3@; ∴ cos A+sin C=;1!3@;+;1!3@;=;1@3$; AB” AC” AB” AC”

1

-1 ∠B=90˘, tan A= 이므로 오른쪽 그림과 같이 AB”=2, BC”='∂21인 직각 삼각형 ABC를 생각할 수 있다. 이때 AC”="√2¤ +('∂21)¤ =5이므로 sin A= =

1

-2 cos A= = 이므로 AC”=2'2 피타고라스 정리에 의해 BC”="√6¤ -(2'2)¤ =2'7

1

-3 △ABC에서 피타고라스 정리에 의해 AC”="√17¤ -8¤ =15 △AEDª△ACB(AA 닮음)이므로 ∠x=∠B ∴ tan x=tan B= =:¡8∞: 핵심유형

2

△ABC에서 tan 60˘= = ='3이므로 BC”='6 cm △DBC에서 tan 45˘= = =1이므로 CD”='6 cm

2

-1 ② sin 45˘+cos 45˘= + ='2 ③ = _÷;2!;='3 ④ tan 60˘_tan 30˘='3_ =1 ⑤ cos 60˘-tan 45˘=;2!;-1=-;2!;

2

-2 sin A= 이므로 ∠A=60˘ ∴ cos A÷tan A=cos 60˘÷tan 60˘

=;2!;_ =

2

-3 sin 60˘= = = 이므로 AB”=8 cm tan 60˘= = ='3이므로 AC”=4 cm ∴ AB”+AC”=8+4=12(cm) 4'3 AC” BC” AC” '3 2 4'3 AB” BC” AB” '3 6 1 '3 '3 2 '3 3 '3 2 cos 30˘ sin 30˘ '2 2 '2 2 '6 CD” BC” CD” BC” '2 BC” AB” AC” BC” '2 3 AC” 6 '∂21 5 BC” AC” A B C 2 '21 '∂21 2 44~45쪽 핵심유형으로개・념・정・복・하・기 핵심유형 1 1-1③ 1-22'7 1-3 핵심유형 2 '6 cm 2-1③ 2-2 2-312 cm 핵심유형 3 ⑤ 3-1⑤ 3-2④ 3-30 핵심유형 4 42˘ 4-1⑤ 4-28.09 cm '3 6 15 8 24 13

0

2

_{⑴ (주어진 식)=;2!;+;2!;=1} ⑵ (주어진 식)= - =0 ⑶ (주어진 식)= _;2!;= ⑷ (주어진 식)= ÷'3=;3!;

0

4

⑴ (주어진 식)=0+0=0 ⑵ (주어진 식)=1_0=0 '3 3 '3 4 '3 2 '2 2 '2 2

(19-32)실전서3-2해(Ⅶ-Ⅷ)육 2015.5.11 8:57 PM 페이지19 DK

(20)

핵심유형

3

① sin x= =AB” ② tan x= =CD” ③ sin y= =OB” ④ cos y= =AB” ⑤ tan z= =

3

-1 ① sin 55˘= =0.82 ② cos 55˘= =0.57 ③ tan 55˘= =1.43 ④ ∠OAB=35˘이므로 sin 35˘= =0.57 ⑤ cos 35˘= =0.82

3

-2 ① sin 0˘=0 ② cos 90˘=0 ③ tan 0˘=0 ④ tan 60˘='3, 2 sin 60˘=2_ ='3 ④∴ tan 60˘=2 sin 60˘

⑤ sin 90˘_cos 90˘-tan 60˘_cos 0˘

=1_0-'3_1=-'3

3

-3 0˘<A<90˘일 때, cos A<1이므로 cos A-1<0, 1-cos A>0 ∴ "(√cos √A-≈ç1)¤ -"(√1-c√os Aç)¤

=-(cos A-1)-(1-cos A) =-cos A+1-1+cos A=0

핵심유형

4

sin 31˘=0.5150이므로 x=31˘

tan 11˘=0.1944이므로 y=11˘ ∴ x+y=31˘+11˘=42˘

4

-1 ⑤ cos y=0.8660일 때, y=30˘

4

-2 ∠A=36˘이므로 ∠C=54˘ sin 54˘= = =0.8090이므로 AB”=10_0.8090=8.09(cm) AB” 10 AB” AC” '3 2 AB” OA” OB” OA” CD” OD” OB” OA” AB” OA” 1 CD” OD” CD” AB” OA” OB” OA” CD” OD” AB” OA”

0

1

피타고라스 정리에 의해 AC”="√5¤ +('2)¤ =3'3이므로 cos A= = =

0

2

tan A= =;5@;이므로 AB”=10 ∴ △ABC=;2!;_10_4=20

0

3

△ADC에서 AC”="√5¤ -3¤ =4 △ABC에서 BC”="√(4'5)¤ -4¤ =8 ∴ tan B= =;8$;=;2!;

0

4

정육면체의 한 모서리의 길이를 a라 하면 △DFH에서 FD”='3a, DH”=a이므로 sin x= = = =

0

5

일차함수의 식에 y=0을 대입하면 x=3이므로 점 A의 좌표 는 (3, 0)이고, x=0을 대입하면 y=4이므로 점 B의 좌표는 (0, 4)이다. △BOA에서 AB”="√3¤ +4¤ =5이므로 sin A= =;5$;

0

6

ㄱ. sin 30˘-cos 60˘=;2!;-;2!;=0 (거짓) ㄴ. tan 45˘-'2 sin 45˘=1-'2_ =0 (참) ㄷ. sin 45˘÷cos 45˘-tan 30˘_cos 30˘

ㄷ. = ÷ - _ =1-;2!;=;2!; (참) 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

0

7

tan 60˘='3이므로

x+30˘=60˘ ∴ x=30˘

∴ sin x-cos 2x=sin 30˘-cos 60˘=;2!;-;2!;=0 '3 2 '3 3 '2 2 '2 2 '2 2 OB” AB” '3 3 1 '3 a '3a DH” FD” AC” BC” 4 AB” 5'3 9 5 3'3 AB” AC” 46~47쪽 기출문제로실・력・다・지・기 01③ 02③ 03_;2!; 04② 05② 06⑤ 07③ 08④ 09② 101.24 11③ 1241˘ 13⑤ 14;5$; 15 3'3₈

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(21)

0

8

△ABD에서 tan 60˘= ='3이므로 x=3'3 △ADC에서 ∠C=30˘이므로 tan 30˘= = 이므로 y=9 ∴ xy=3'3_9=27'3

0

9

삼각형의 세 내각의 크기 중 가장 작은 각의 크기는 A=180˘_ =30˘이므로

sin A : cos A : tan A=sin 30˘ : cos 30˘ : tan 30˘

sin A : cos A : tan A=;2!; : :

sin A : cos A : tan A=3 : 3'3 : 2'3='3 : 3 : 2

10

cos 52˘= =0.62 ∠OAB=90˘-52˘=38˘이므로 sin 38˘= =0.62 ∴ cos 52˘+sin 38˘=0.62+0.62=1.24

11

sin a= = , cos a= =;2!;이므로 ∠a=60˘

12

BC”=1이므로 CD”=1-BD”=0.2453 ∴ BD”=0.7547 cos x= =0.7547이므로 ∠x=41˘

13

cos 45˘_(sin 45˘-tan 0˘)+cos 60˘_sin 90˘

= _{_{} _{-0}+;2!;_1=;2!;+;2!;=1}

14

[단계❶] 피타고라스 정리에 의해 BC”="√6¤ +8¤ =10 [단계❷] △ABCª△HBA(AA 닮음)이므로 ∠BCA=∠BAH=x △ABCª△HAC(AA 닮음)이므로 ∠CBA=∠CAH=y

[단계❸] △ABC에서 sin x=sin C= =;1§0;=;5#; tan y=tan B= =;6*;=;3$;

[단계❹_{] ∴ sin x_tan y=;5#;_;3$;=;5$;} AC” AB” AB” BC” '2 2 '2 2 BD” BA” OB” OA” '3 2 AB” OA” OB” OA” OB” OA” '3 3 '3 2 1 1+2+3 '3 3 3'3 y x 3

15

sin 60˘= =AB”= , tan 60˘= =CD”='3,

cos 60˘= =OB”=;2!; yy❶ ∴ (색칠한 부분의 넓이)=△COD-△AOB ∴ (색칠한 부분의 넓이)=;2!;_OD”_CD”-;2!;_OB”_AB” ∴ (색칠한 부분의 넓이)=;2!;_1_'3-;2!;_;2!;_ ∴ (색칠한 부분의 넓이)='3₂ -'3₈ =3'3₈ yy❷ '3 2 OB” OA” CD” OD” '3 2 AB” OA” ❶ BC”의 길이 구하기 ❷ ∠BCA=x, ∠CBA=y임을 알기 ❸ sin x, tan y의 값 구하기 ❹ sin x_tan y의 값 구하기

10 % 40 % 40 % 10 % 채점 기준 배점 ❶ AB”, CD”, OB”의 길이 구하기 ❷ 색칠한 부분의 넓이 구하기 60 % 40 % 채점 기준 배점

08. 삼각비의 활용

48~50쪽 개・념・확・인 01 ⑴ 6.4 cm ⑵ 7.7 cm 02 ⑴ 3 cm ⑵ 3'3 cm ⑶ 2'3 cm ⑷ '∂21 cm 03 ② 04 ⑴ h ⑵ h ⑶ 5(3-'3) 05 ⑴ 12 cm¤ ⑵ 15'2 cm¤ 06 ⑴ 6'2 cm¤ ⑵ 24 cm¤ '3 3

0

1

⑴ AC”=10_sin 40˘=10_0.64=6.4(cm) ⑵ BC”=10_cos 40˘=10_0.77=7.7(cm)

0

2

⑴ AH”=6_sin 30˘=6_;2!;=3(cm) ⑵ BH”=6_cos 30˘=6_ =3'3 (cm) ⑶ CH”=BC”-BH”=5'3-3'3=2'3 (cm) '3 2

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(22)

⑷ △AHC에서 피타고라스 정리에 의해 AC”="√(2'3)¤ +3¤ ='∂21 (cm)

0

3

(나무의 높이)=15_tan 30˘=15_ =5'3 (m)

0

4

⑴ ∠BAH=30˘이므로 BH”=h tan 30˘= h ⑵ ∠CAH=45˘이므로 CH”=h tan 45˘=h ⑶ 10= h+h, { }h=10 ∴ h=10_ =5(3-'3)

0

5

⑴ △ABC=;2!;_6_8_sin 30˘

05

⑴ △ABC=;2!;_6_8_;2!;=12(cm¤ ) ⑵ △ABC=;2!;_10_6_sin (180˘-135˘) ⑵ △ABC=;2!;_10_6_ =15'2 (cm¤ )

0

6

⑴ ABCD=3_4_sin 45˘=3_4_ =6'2 (cm¤ ) ⑵ ABCD=;2!;_8_4'3_sin 60˘ ⑵ ABCD=;2!;_8_4'3_'3 =24(cm¤ ) 2 '2 2 '2 2 3 3+'3 '3+3 3 '3 3 '3 3 '3 3 51~53쪽 핵심유형으로개・념・정・복・하・기 핵심유형 1 ①, ⑤ 1-1⑤ 1-210'3 1-3⑤ 핵심유형 2 2'∂21 cm2-12'∂10 cm 2-2② 2-3(3+3'3)cm 핵심유형 3 37.5 m 3-118 m 3-240 m 3-3⑤ 핵심유형 4 6(3-'3)m 4-175('3-1)m 4-26(3+'3)cm 4-330'3 m 핵심유형 5 16 cm¤ 5-1135˘ 5-2_{'2 cm¤} 5-312 cm 핵심유형 6 ③ 6-130˘ 6-212'3 cm¤ 6-34'3 cm 핵심유형

1

AC”=AB”_sin 37˘=10 sin 37˘ ∠A=90˘-37˘=53˘이므로 AC”=AB”_cos 53˘=10 cos 53˘

1

-1 ⑤ b=c cos에서

1

-2 △DBC에서 ∠DBC=30˘이므로 x= =10÷ =10'3

1

-3 FG”=4 cos 30˘=4_ =2'3 (cm) GC”=4 sin 30˘=4_;2!;=2(cm) 따라서 직육면체의 부피는 2'3_3_2=12'3 (cm‹ ) 핵심유형

2

△ADC에서 AD”=8_sin 60˘=8_ =4'3 (cm) CD”=8_cos 60˘=8_;2!;=4(cm) BD”=10-4=6(cm) △ABD에서 피타고라스 정리에 의해 AB”="√6¤ +(4'3)¤ =2'∂21 (cm)

2

-1 ∠B=180˘-135˘=45˘ 꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선 의 발을 H라 하면 AH”=4_sin 45˘ AH”=4_ =2'2 (cm) BH”=4_cos 45˘=4_ =2'2 (cm) ∴ CH”=6'2-2'2=4'2 (cm) △AHC에서 AC”="√(4'2)¤ +(2'2)¤ =2'∂10 (cm)

2

-2 꼭짓점 C에서 AB”에 내린 수선의 발 을 H라 하면 △BCH에서 CH”=10'2_sin 45˘ CH”=10'2_ =10(cm) ∠CAB=180˘-(45˘+75˘)=60˘이므로 △AHC에서 AC”= =10÷ = = (cm)

2

-3 꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라 하면 △ABH에서 AH”=6_sin 60˘ AH”=6_'3 =3'3 (cm) 2 A B C H 60© 45© 6`cm 20'3 3 20 '3 '3 2 CH” sin 60˘ '2 2 A H B 45© C 60© 75© 10'2`cm '2 2 '2 2 A B H _C D 135© 6'2`cm 4`cm '3 2 '3 2 '3 3 10 tan 30˘

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(23)

BH”=6_cos 60˘=6_;2!;=3(cm) △AHC에서 CH”=AH”=3'3 (cm) ∴ BC”=BH”+HC”=3+3'3 (cm) 핵심유형

3

직각삼각형 PAD에서 PD”=AD”_tan20˘=100_0.36=36(m)이므로 (건물의 높이)=PD”+CD”=36+1.5=37.5(m)

3

-1 오른쪽 그림에서 AB”=6'3_tan 30˘ AB”=6'3_ =6(m) AC”= =6'3÷ =12(m) ∴ (나무의 높이)=AB”+AC”=6+12=18(m)

3

-2 AC”= =20÷0.5=20_2=40(m)

3

-3 오른쪽 그림에서 AC”= = AC”=8000(m) 따라서 비행기가 착륙하는 데 걸리는 시간은 8000÷200=40(초) 핵심유형

4

AH”=h m라 하면 △ABH에서 ∠BAH=45˘이므로 BH”=h tan 45˘=h (m) △AHC에서 ∠CAH=30˘이므로 CH”=h tan 30˘= h (m) BC”=BH”+CH”이므로 12={1+ }h ∴ h= =6(3-'3)

4

-1 AH”=h m라 하면 △ABH에서 ∠BAH=45˘이므로 BH”=h tan 45˘=h (m) △AHC에서 ∠CAH=60˘이므로 CH”=h tan 60˘='3 h (m) BC”=BH”+CH”이므로 150=(1+'3)h ∴ h= 150 =75('3-1) '3+1 36 3+'3 '3 3 '3 3 2800 0.35 2800 sin 21˘ 2800`m 21© A B C 20 sin 28˘ '3 2 6'3 cos 30˘ '3 3 6'3`m 30© A B C

4

-2 AH”=h cm라 하면 ∠BAH=45˘, ∠CAH=30˘이므로 BH”=h tan 45˘=h(cm) CH”=h tan 30˘= h(cm) h- h=12이므로 h=12 ∴ h= =6(3+'3)

4

-3 AH”=h m라 하면 △ABH에서 ∠BAH=60˘이므로 BH”=h tan 60˘='3 h(m) △ACH에서 ∠CAH=30˘이므로 CH”=h tan 30˘= h(m) BC”=BH”-CH”이므로 60={'3- }h ∴ h=60_ =30'3 핵심유형

5

∠A=180˘-2_75˘=30˘이므로 (구하는 넓이)=;2!;_8¤ _sin 30˘ (구하는 넓이)=;2!;_64_;2!;=16(cm¤ )

5

-1 ;2!;_6_8_sin (180˘-∠C)=12'2 sin (180˘-∠C)= 따라서 180˘-∠C=45˘이므로 ∠C=135˘

5

-2 _{△ABC=;2!;_4_3_sin 45˘} △ABC=;2!;_4_3_ △ABC=3'2 (cm¤ ) ∴ △AGC=;3!;△ABC ∴ △AGC=;3!;_3'2 ∴ △AGC='2 (cm¤ )

5

-3 ;2!;_8_BC”_sin 60˘=24'3이므로 ;2!;_8_BC”_ =24'3, 2'3_BC”=24'3 ∴ BC”=12 cm '3 2 '2 2 '2 2 3 2'3 '3 3 '3 3 36 3-'3 3-'3 3 '3 3 '3 3

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(24)

핵심유형

6

AC”와 BD”의 교점을 O라 하면 ∠BOC=180˘-(55˘+80˘)=45˘ ∴ ABCD=;2!;_7_6_sin 45˘ ∴ ABCD=;2!;_7_6_ ∴ ABCD= (cm¤ )

6

-1 5_8_sin x=20, sin x=;2!; ∴ ∠x=30˘

6

-2 ABCD=12_8_sin 60˘ ABCD=12_8_ =48'3 (cm¤ ) ∴ △AOD=;4!;_ ABCD ∴ △AOD=;4!;_48'3=12'3 (cm¤ )

6

-3 등변사다리꼴의 두 대각선의 길이는 서로 같으므로 AC”=BD” ;2!;_BD”¤ _sin 45˘=12'2, ;2!;_BD”¤ _ =12'2 BD”¤ =48 _{∴ BD”=4'3 cm} '2 2 '3 2 21'2 2 '2 2

0

1

원뿔의 밑면의 반지름의 길이는 12_cos 60˘=12_;2!;=6(cm) 원뿔의 높이는 12_sin 60˘=12_'3 =6'3 (cm) 2 54~55쪽 기출문제로실・력・다・지・기 01⑤ 02 m 03④ 04③ 05_2'∂19 06_{(2+2'3) m} 0750('3+1) 08② 09④ 10② 118 cm 12③ 134 cm 14 7(1+'3) 1556'3 cm¤ 10(3+'3) 3 ∴ (부피)=;3!;_p_6¤ _6'3=72'3p(cm‹ )

0

2

오른쪽 그림에서 DH”=10 tan 30˘=10_ = (m) EH”=10 tan 45˘=10_1=10(m) ∴ (B건물의 높이)=DH”+EH” ∴ (B건물의 높이)= (m)

0

3

오른쪽 그림의 △OBH에서 OH”=50_cos 60˘ OH”=50_;2!;=25(cm)이므로 AH”=OA”-OH”=50-25=25(cm) 따라서 A지점과 B지점에서의 추의 높이의 차는 25 cm이다.

0

4

꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선의 발 을 H라 하면 △AHC에서 AH”=3'2_sin 45˘=3'2_ =3, HC”=3'2_cos 45˘ HC”=3'2_ =3이므로 BH”=8-3=5 △ABH에서 AB”="√5¤ +3¤ ='∂34

0

5

꼭짓점 D에서 BC”의 연장선에 내린 수 선의 발을 H라 하면 ∠DCH=60˘, DC”=4이므로 △DCH에서 DH”=4_sin 60˘=4_ =2'3, CH”=4_cos 60˘=4_;2!;=2, BH”=6+2=8 △DBH에서 BD”="√8¤ +(2'3)¤ =2'∂19

0

6

꼭짓점 C에서 AB”에 내린 수선의 발을 H 라 하면 △BCH에서 BH”=2'2_cos 45˘ BH=2'2_ =2(m) CH”=2'2_sin 45˘=2'2_ =2(m) △ACH에서 ∠A=90˘-60˘=30˘이므로 '2 2 '2 2 B H C A 60© 45© 45© 2'2 m '3 2 A D B ₆ 4 C H 60© '2 2 '2 2 B B' A H O 50`cm 60© 60© 10(3+'3) 3 10'3 3 '3 3 C E H D 10`m 30© 45© A B H C 8 3'2 45©