③SAS합동 ④RHS합동
22
△
BCEª△
BDE(RHS합동)이므로∠BEC=∠BED
△
EBC에서∠BEC=180ù-(90ù+22ù)=68ù∴∠DEA=180ù-2_68ù=44ù
23 △
ADMª△
CEM(RHS합동)이므로∠C=∠A=35ù
따라서
△
ABC에서∠B=180ù-2_35ù=110ù24 △
ADEª△
ACE(RHS합동)이므로DEÓ=CEÓ=8`cm한편,
△
ABC는직각이등변삼각형이므로∠B=∠BAC=45ù
△
DBE에서∠DEB=180ù-(90ù+45ù)=45ù이므로∠B=∠DEB ∴DBÓ=DEÓ=8`cm
∴
△
DBE=;2!;_8_8=32`(cmÛ`)25 △
ADBª△
BEC(RHA합동)이므로DBÓ=ECÓ=3`cm,BEÓ=ADÓ=1`cm
∴DEÓ=DBÓ+BEÓ=3+1=4`(cm)
26 △
ADBª△
CEA(RHA합동)이므로AEÓ=BDÓ=5`cm
∴CEÓ=ADÓ=DEÓ-AEÓ=8-5=3`(cm)
∴
△
ABC=(사다리꼴DBCE의넓이)-2△
ADB∴
△
ABC=;2!;_(5+3)_8-2_{;2!;_3_5}∴
△
ABC=32-15=17`(cmÛ`)27 △
ABC에서ABÓ=ACÓ이므로∠ABC=∠ACB
△
EBC와△
DCB에서∠BEC=∠CDB=90ù,∠EBC=∠DCB,BCÓ는공통
이므로
△
EBCª△
DCB(RHA합동)∴∠PBC=∠PCB
따라서
△
PBC는PBÓ=PCÓ인이등변삼각형이다.28 △
BCPª△
BDP(RHS합동)이므로∠PBC=∠PBD=;2!;∠ABC=;2!;_42ù=21ù
따라서
△
PBC에서∠x=180ù-(21ù+90ù)=69ù29
점D에서BCÓ에내린수선의발을E A
B
D
C 16 cm
6 cm E라하면
△
BADª△
BED(RHA합동)이므로
DEÓ=DAÓ=6`cm
∴
△
BCD=;2!;_16_6=48`(cmÛ`)30
점D에서ABÓ에내린수선의발을 AB D C
E 14 cm
E라하면
△
ABD=;2!;_14_DEÓ=28∴DEÓ=4`(cm)
이때
△
AEDª△
ACD(RHA합동)이므로CDÓ=EDÓ=4`cm
31
△
AEDª△
ACD(RHA합동)이므로DEÓ=DCÓ,AEÓ=ACÓ=10`cm
∴EBÓ=ABÓ-AEÓ=26-10=16`(cm)
∴(
△
EBD의둘레의길이)=EBÓ+BDÓ+DEÓ∴(
△
EBD의둘레의길이)=EBÓ+BDÓ+DCÓ∴(
△
EBD의둘레의길이)=EBÓ+BCÓ∴(
△
EBD의둘레의길이)=16+24=40`(cm)2. 삼각형의 외심과 내심 p.123~126
32 8 33 ③, ⑤ 34 ①, ③ 35 124ù 36 112ù 37 10`cm 38 ∠B=35ù, ∠C=55ù 39 24ù 40 110ù 41 36p`cmÛ`` 42 150ù 43 34ù 44 ③ 45 136ù 46 174ù 47 18ù 48 27ù 49 85ù 50 60ù 51 49ù 52 ④ 53 44`cm 54 6 55 30`cm 56 7`cm 57 18`cm 58 84`cmÛ` 59 {9-;4(;p}`cmÛ` 60 114ù 61 18ù 62 21p`cmÛ` 63 60ù
32
OÕAÓ=OBÓ이므로x=5,BDÓ=CDÓ이므로y=3∴x+y=5+3=8
34
①ODÓ=OEÓ=OFÓ인지알수없다.③
△
BODª△
AOD,△
BOEª△
COE이지만△
BODª△
BOE인지는알수없다.35 △
OAB에서OÕAÓ=OBÓ이므로∠OBA=;2!;_(180ù-75ù)=52.5ù
△
OBC에서OBÓ=OCÓ이므로∠OBC=;2!;_(180ù-37ù)=71.5ù
∴∠ABC=∠OBA+∠OBC
=52.5ù+71.5ù=124ù
36
점M이△
ABC의외심이므로MAÓ=MBÓ∴∠BAM=∠B=56ù
따라서
△
ABM에서∠AMC=56ù+56ù=112ù37
점O가△
ABC의외심이므로OÕAÓ=OBÓ=OCÓ=;2!;ABÓ=;2!;_20=10`(cm)
△
AOC에서OÕAÓ=OCÓ이므로∠OCA=∠A=60ù
즉
△
AOC는정삼각형이므로ACÓ=OÕAÓ=10`cm38 △
AMH에서∠AMH=180ù-(20ù+90ù)=70ù점M이
△
ABC의외심이므로MAÓ=MCÓ
△
AMC에서∠C=;2!;_(180ù-70ù)=55ù
△
ABC에서∠B=180ù-(90ù+55ù)=35ù39 △
OAB에서OÕAÓ=OBÓ이므로∠OAB=∠OBA=38ù
∠OAB+∠OBC+∠OCA=90ù이므로
38ù+28ù+∠x=90ù ∴∠x=24ù
40 △
OCA에서OÕAÓ=OCÓ이므로∠OAC=∠OCA=30ù
∴∠BAC=∠OAB+∠OAC=25ù+30ù=55ù
∴∠x=2∠BAC=2_55ù=110ù
41
∠AOC=2∠B=2_45ù=90ù이므로△
AOC는직각삼각형이다.이때
△
AOC의외접원의반지름의길이는;2!;ACÓ=;2!;_12=6`(cm)
따라서
△
AOC의외접원의넓이는p_6Û`=36p`(cmÛ`)42
∠ABC=180ù_ 54+5+3=180ù_;1°2;=75ù
∴∠AOC=2∠B=2_75ù=150ù
43
OÕAÓ를그으면△
OAB에서20∞ 72∞
x y
A
B C
O OÕAÓ=OBÓ이므로
∠OAB=∠OBA=20ù
따라서
△
OCA에서OÕAÓ=OCÓ이므로
∠x=∠OAC=∠BAC-∠OAB=72ù-20ù=52ù
또,
△
OBC에서OBÓ=OCÓ이므로∠OBC=∠OCB=∠y∠OAB+∠OBC+∠OCA=90ù이므로
20ù+∠y+52ù=90ù ∴∠y=18ù
∴∠x-∠y=52ù-18ù=34ù
44
③삼각형의외심에대한설명이다.45
점I가△
ABC의내심이므로∠IBC=∠IBA=28ù,∠ICB=∠ICA=16ù
따라서
△
IBC에서∠BIC=180ù-(28ù+16ù)=136ù46
∠BAD=∠x,∠ABE=∠y라고하면 점I가△
ABC의내심이므로∠EAD=∠BAD=∠x,∠EBD=∠ABE=∠y
△
ABC에서2∠x+2∠y+56ù=180ù이므로2(∠x+∠y)=124ù ∴∠x+∠y=62ù
한편,
△
ADC에서∠ADB=∠x+56ù,
△
BCE에서∠AEB=∠y+56ù∴∠ADB+∠AEB=(∠x+56ù)+(∠y+56ù)
=∠x+∠y+112ù
=62ù+112ù=174ù
47
∠IAB+∠IBC+∠ICA=90ù이므로38ù+34ù+∠ICA=90ù ∴∠ICA=18ù
∴∠ICB=∠ICA=18ù
48
점I가△
ABC의내심이므로∠IBC=∠IBA=28ùICÓ를그으면
28∞ 70∞
A
B C
I
∠ICA=;2!;∠C=;2!;_70ù=35ù
∠IAB+∠IBC+∠ICA=90ù
이므로∠IAB+28ù+35ù=90ù
∴∠IAB=27ù
49
∠AIC=90ù+;2!;∠B이므로115ù=90ù+;2!;∠x;2!;∠x=25ù ∴`∠x=50ù
점I가
△
ABC의내심이므로∠IAC=∠IAB=30ù
△
ICA에서∠ICA=180ù-(30ù+115ù)=35ù∴`∠y=∠ICA=35ù
∴`∠x+∠y=50ù+35ù=85ù
50
∠BIC=360ù_11+12+1312 =360ù_;3!6@;=120ù∠BIC=90ù+;2!;∠BAC이므로
120ù=90ù+;2!;∠BAC,;2!;∠BAC=30ù
∴∠BAC=60ù
51
점I는△
ABC의내심이므로∠BIC=90ù+;2!;∠A=90ù+;2!;_52ù=116ù
∠IBC=∠ABD=30ù이고,점I'은
△
DBC의내심이므로∠IBI'=;2!;∠IBC=;2!;_30ù=15ù
따라서
△
IBI'에서∠II'B=180ù-(116ù+15ù)=49ù52
④점I가△
ABC의내심이므로∠IBC=∠DBI=35ù,∠ICB=∠ECI=25ù
이때DEÓ∥BCÓ이므로
∠DIB=∠IBC=35ù(엇각),
∠EIC=∠ICB=25ù(엇각)
따라서∠DBI=∠DIB,∠ECI=∠EIC이므로
IDÓ=BDÓ,IEÓ=CEÓ이지만IDÓ+IEÓ이다.
53
점I가△
ABC의내심이므로∠DBI=∠IBC,∠ECI=∠ICB
이때DEÓ∥BCÓ이므로
∠DIB=∠IBC(엇각),∠EIC=∠ICB(엇각)
따라서∠DBI=∠DIB,∠ECI=∠EIC이므로
DIÓ=DBÓ,EIÓ=ECÓ
∴`(
△
ADE의둘레의길이)=ADÓ+DEÓ+EAÓ=ADÓ+(DIÓ+EIÓ)+EÕAÓ
=(ADÓ+DBÓ)+(ECÓ+EÕAÓ)
=ABÓ+ACÓ
=24+20=44`(cm)
54
점I가△
ABC의내심이므로∠DBI=∠IBC,∠ECI=∠ICB
이때DEÓ∥BCÓ이므로
∠DIB=∠IBC(엇각),∠EIC=∠ICB(엇각)
따라서∠DBI=∠DIB,∠ECI=∠EIC이므로
DIÓ=DBÓ,EIÓ=ECÓ
∴(
△
ADE의둘레의길이)=ADÓ+DEÓ+EÕAÓ=ADÓ+(DIÓ+EIÓ)+EÕAÓ
=(ADÓ+DBÓ)+(ECÓ+EÕAÓ)
=ABÓ+ACÓ=12
이때ABÓ=ACÓ이므로2ABÓ=12 ∴`ABÓ=6
55
BDÓ=BEÓ=6`cm이므로AFÓ=ADÓ=11-6=5`(cm)
CEÓ=CFÓ=4`cm
∴(
△
ABC의둘레의길이)=ABÓ+BCÓ+CÕAÓ=11+(6+4)+(4+5)
=30`(cm)
56
BDÓ=x`cm라고하면BEÓ=BDÓ=x`cmAFÓ=ADÓ=(12-x)`cm,CFÓ=CEÓ=(10-x)`cm
이때ACÓ=AFÓ+CFÓ이므로8=(12-x)+(10-x)
2x=14,x=7 ∴`BDÓ=7`cm
57 △
ABC의둘레의길이를x`cm라고하면36=;2!;_4_x,36=2x ∴`x=18
따라서
△
ABC의둘레의길이는18`cm이다.58
내접원의반지름의길이를r`cm라고하면21=;2!;_14_r ∴r=3
∴
△
ABC=;2!;_3_(26+14+16)=84`(cmÛ`)59
내접원의반지름의길이를rcm라고하면;2!;_12_9=;2!;_r_(15+12+9)
54=18r ∴r=3
이때IEÓ,IFÓ를그으면사각형IECF A
B C
D
E I F
12 cm 15 cm 9 cm
는정사각형이므로
(색칠한부분의넓이)
=3_3-p_3Û`_;3»6¼0;
=9-;4(;p`(cmÛ`)
60 △
OBC에서OBÓ=OCÓ이므로∠BOC=180ù-2_42ù=96ù
따라서∠A=;2!;∠BOC=;2!;_96ù=48ù이므로
∠BIC=90ù+;2!;∠A=90ù+;2!;_48ù=114ù
61 △
ABC에서ABÓ=ACÓ이므로∠A=180ù-2_72ù=36ù
점O가
△
ABC의외심이므로∠BOC=2∠A=2_36ù=72ù
△
OBC에서OBÓ=OCÓ이므로∠OBC=;2!;_(180ù-72ù)=54ù
점I가
△
ABC의내심이므로∠IBC=;2!;∠ABC=;2!;_72ù=36ù
∴`∠OBI=∠OBC-∠IBC=54ù-36ù=18ù
62
직각삼각형의외심은빗변의중점이므로(외접원의반지름의길이)=;2!;ABÓ=;2!;_10=5`(cm)
내접원의반지름의길이를rcm라고하면
;2!;_6_8=;2!;_r_(10+6+8)
24=12r ∴r=2
따라서외접원과내접원의넓이의차는
p_5Û`-p_2Û`=25p-4p=21p`(cmÛ`)
63
점I가△
ABC의내심이므로∠BAC=2∠IAC=2_34ù=68ù
OBÓ,OCÓ를그으면점O가
△
ABC19∞ 34∞
x A
B D C
O I 의외심이므로
∠BOC=2∠BAC
=2_68ù=136ù
△
OBC에서OBÓ=OCÓ이므로∠OBC=;2!;_(180ù-136ù)=22ù
△
OAB에서OÕAÓ=OBÓ이므로∠OBA=∠OAB=19ù따라서
△
ABD에서∠x=19ù+(19ù+22ù)=60ù3. 사각형의 성질 p.127~131
64 21 65 8`cm 66 5`cm 67 4`cm 68 71ù 69 105ù 70 60ù 71 55ù 72 13 73 19`cm 74 ⑤ 75 ①, ④ 76 ② 77 10`cmÛ` 78 46`cmÛ` 79 8`cmÛ` 80 10`cm 81 108ù 82 ①, ③ 83 54ù 84 ∠x=60ù, ∠y=30ù 85 ①, ⑤ 86 65ù 87 28 88 52 89 ①, ⑤ 90 75ù
91 36`cmÛ`` 92 13 93 75ù 94 17`cm 95 ②, ④ 96 7 97 ④ 98 13`cmÛ` 99 18`cmÛ` 100 8`cmÛ``
101 27`cmÛ` 102 ②, ④ 103 4`cmÛ``
64
ABÓ=DCÓ이므로2x+3=3x-2 ∴x=5∴ADÓ=BCÓ=4x+1=4_5+1=21
65
평행사변형ABCD의둘레의길이가24`cm이므로2(ABÓ+ADÓ)=24 ∴ABÓ+ADÓ=12`(cm)
이때ABÓ=2ADÓ이므로2ADÓ+ADÓ=12
3ADÓ=12 ∴ADÓ=4`(cm)
∴ABÓ=2ADÓ=2_4=8`(cm)