Tower Crane은 Slew방향의 한 종류의 입력만으로 Patyload가 Selw방향을 포함하여 Trolley방향의 2개 방향으로 움직임이 발생하는 특징이 존재하기 때문에, Slew방향의 입력만으로 모든 축 방향의 잔류 변위를 완벽히 제거하는 것은 불가능하다. 또한 Hoisting작업은 입력성형기의 중요한 입력 변수인 고유주파수 및 크레인 Dynamics에 영 향을 미치기 때문에 시스템을 정확하게 모델링하는 것이 중요하다. q본 논문에서 입력 은 Slewing의 한 방향으로 제한하며, 1차 구동기의 비선형성을 가진 On-Off 액츄에이터 를 탑재한 시스템이 실험중 Hoisting방향 움직임이 발생한 문제를 가정한다. 모델링은 Maple을 통하여 검증되었으며, 시뮬레이션은 MATLAB / Simulink를 활용하여 진행되었 다.
4.2.1. System modeling
Fig. 4-1 Tower Crane Structure
시스템은 Tower Crane의 Single-Pendulum 시스템을 기준으로 하며 해당 시스템은 위의 Fig 4-1과 같이 나타난다. 위와같은 타워크레인의 모델링 식을 계산하기 위하여 Payload의 각 축방향 좌표를 정의한 후 Lagrange equation을 활용한다.[35] Lagrange equation을 활용하기 위하여 시스템의 Kinetic energy와 Potential energy계산식을 세워야 한다. 수식 전개를 위하여 Payload의 각 축방향에 따른 위치를 정의하면 아래와 같다.
sin
(4.1)
(4.2)
cos
(4.3)L은 Trolley부터 Payload까지 연결된 Hoisting Length이다. 정의된 각 축방향 Payload 의 좌표를 활용하여 Payload의 속도를 계산하는 식은 아래와 같다.
(4.4)위 식에서 를 의미하며 는 jib의 slew방향 각속도를 의미한다. 위 Payload의
속도식 (4.4)에 대해서 Payload의 각 축방향 위치식 식(4.1)~식(4.3)을 활용하여 jib부터 trolley까지의 거리()와 각 축에 따른 Payload의 속도를 각각의 unit vector로 정리하면 아래와 같이 표현된다.
sincos sin sinsin
cos cos sin sin
coscos sincos sincos
(4.5)
위 정리된 Payload의 속도식 (4.5)을 활용하여 Kinetic energy를 계산한 식은 아래와 같이 표현된다.
(4.6)또한 Lagrange Equation계산을 위한 Potential energy 계산식은 아래와 같다.
cos
(4.7)Largrange Equation은
ℒ
과 같이 정의되며 이는 위 식(4.6)과 식(4.7)을 활용하여 계산이 가능하다. Largrange Equation을 통한 운동방정식 계산식은 아래와 같 이 나타난다. 운동방정식에 대해서
와
의 두 가지의 요소에 대해서 정리해야 하므 로,
에 대해 두 요소 각각에 대해서 대입하여( or
) 계산한다.
ℒ
ℒ
(4.8)이전까지의 연구에서 Input Shaper가 모델링 오차에 민감하다는 특성상 정확한
에 대해서 0을 대입하지 않고 위 Lagrange Equation을 통한 타워 크레인의 비선형 방 정식을 정리하면 아래와 같다.
sinsin
sincos
cos
cos coscos
sin
sin sin
sinsin
cos sin
cos
cos
(4.9)
cos cos
cos
sin
cos
cos sin sin cossin
cos cos coscossin
(4.10)
위 두 식을 통하여 Payload의 두 각도의 움직임을 제어하기 위하여 slew방향 가속 도, trolley방향 가속도, Hoisting방향의 속도값이 입력으로서 필요한 것을 확인할 수 있 으며, 타워크레인 Payload의 두 각도()가 서로 Coupled되어있음을 확인할 수 있다.
4.2.2. 1 차 구동기의 비선형성을 고려한 Input Shaper
비선형유연계의 잔류변위 제어를 위한 입력성형기는 기존 Gantry Crane과 2-mass System등의 시스템에서 개발된 입력성형기의 한계를 다양한 방법으로 대응하며 개발되 어왔다. 그 중 Tower Crane에서 Singhose는 타워크레인의 비선형 역학을 선형화하여 Linearlized input Shaper를 개발하였으며, 타워크레인의 각기 다른 2개의 모드의 주파수 를 활용하여 각 주파수를 활용한 Input Shaper를 Convolution한 2-mode Input Shaper를 활용하여 잔류변위를 제어하고자 하였다.
본 논문에서는 타워크레인의 First-order의 비선형 움직임을 고려하여 UMZVF Shaper를 활용한다. First-order Input Shaper는 모터의 전기적 특성과 물리적 특성이 반 영된 시상수를 고려하여 잔류변위 제어 성능을 확보하였으며, Solution의 계산과정은
Vector Matching 방법을 통하여 계산되었다. 시스템의 음의 방향의 입력이 가능한 On-Off 입력을 통하여 시스템을 제어하는 UMZV Shaper를 기초로 한 First-order Shaper 인 UMZVF Shaper를 Training Data set을 위한 Input Shaper로서 활용한다. UMZVF Shaper는 Start mode와 Stop mode각각 3개의 Amplitude와 Switch Time으로 구성되어 있 으며 각 Solution은 아래와 같다.
tan
tan
cos
cos
(4.11)
tan
tan
cos
cos
위 식에서
는 입력 명령이 종료되는 시간이며, 각 시상수에 따른 상승시 주파수 식 및 계산식
는 아래와 같다.
,
(4.12)
,
(4.13)위에서
는 시스템의 상승 시상수를
는 시스템의 하강 시상수를 의미한다. 위로 상승 및 하강하는 것으로 나타난다.
Fig. 4-2 1st-order UMZV(UMZVF) Shaper