Double-Pendulum 시스템은 각기 다른 주파수를 가진 Hook와 Payload가 couple되어 하나의 주파수만을 고려하도록 기존 Single-Pendulum에 개발된 Input Shaper를 그대로 활용할 시 잔류변위가 발생한다. Multi-Mode System을 제어하기 위하여 다양한 연구가 개발되었으며, 이중 대표적으로 활용되는 방법은 기존 Input Shaper를 각각의 주파수에 대해 Solution을 계산 후 Convolution을 통하여 여러 주파수 혹은 각각의 Mode를 고려 한 Input Shaper를 적용하는 방법이다. 본 논문에서는 Double-Pendulum의 System에 대하 여 이상적인 액츄에이터가 활용되었다고 가정하며, 운용중 Trolley부터 Hook까지 연결
3.2.1. System modeling
시스템은 Bridge Crane의 Double-Pendulum 시스템을 기준으로 하며 해당 시스템은 아래의 Fig. 3-1과 같이 나타난다. 브릿지 크레인의 Hook와 Payload에 대해서 각각의 연결된 케이블의 길이와 지면과의 수직인 직선과 케이블의 각도에 대해서 정의한 후 Lagrange equation을 활용하여 운동방정식을 정리한다. Daichi Fujioka에 의해 정리된 Hoisting이 포함된 Double-Pendulum의 비선형 운동방정식[32]은 아래의 식(3.1), (3.2)과 같이 나타난다.
Fig. 3-1 Bridge Crane Double-Pendulum Structure
sin
cos
sin
cos
(3.1)
sin
sin
sin
cos
cos
cos
(3.2)
위 식에서
는 시스템의 입력이다. 이전까지 논문의 경우 문제의 간소화를 위해선형화를 진행하기 위하여 작은 각도(sin cos )가정 및 줄길이를 고정하기 위하여 를 적용하였으나, 비선형성을 고려하며 시스템의 케이블 길이가 변화 하므로 위 가정을 적용하지 않는다. 위 식(3.5)와 (3.6)을 각각의 각도에 대해 정리하면 아래와 같다.
cos
cos
(3.3)
cos
(3.4)
위 식에서 A와 B는 계산 결과식의 간소화를 위하여 축약된 부분이며 각각이 의미 하는 부분은 아래와 같다.
sin
sin
cos
(3.5)
sin
sin
sin
cos
cos
(3.6)
R, Blevins[34]에 의하여 Double-Pendulum의 두 모드의 주파수는 각각 아래와 같이 나타난다. 아래 주파수를 활용하여 two-mode Shaper의 각각의 mode에 따른 입력 시퀀 스를 계산할 수 있다.
∓
(3.7)
(3.8)위 식에서
은 Hook와 Payload의 중량비를 의미한다.(
)3.2.2. Two-Mode Input Shaper
Double-Pendulum System에 맞춰 잔류변위를 제어하기 위한 입력성형기는 기존 Gantry Crane 및 2-mass System에 대해 개발된 입력성형기를 기준으로 개발되었다. 그 중 대표적인 방법으로 Double-Pendulum의 각기 다른 2개의 모드의 주파수를 계산 및 Convolution하여 만들어진 2-mode Input Shaper를 활용하여 잔류변위를 제어한 방법이 주로 사용되었으며 잔류변위 성능이 분석되었다.
본 논문에서는 2개 모드의 잔류변위를 제어할 수 있도록 ZV2 Shaper를 Neural Network의 Training Data set로서 활용한다. ZV2 Shaper는 Double-Pendulum의 2개 모드 의 주파수 각각에 대해서 ZV Shaper의 잔류변위 제어 조건식을 만족하도록 계산된 Solution을 Convolution을 활용하여 계산된다. ZV Shaper는 식(3.9)와 같이 exact solution 으로서 나타낼 수 있으며, Shaper의 Amplitude는 고정된다.
(3.9)2-mode ZV Shaper의 경우 2개 주파수에 의해 계산된 2개의 ZV Shaper Solution을 Convolution하여 식(3.10)과 같이 나타난다.[34] 만일 1모드의 주파수가 2모드의 주파수 보다 클 경우, 아래 식에서
과
가 교체된다.
(3.10)ZV2 Shaper는 종료시간(
) 이후의 정지명령이 상승명령과 동일하므로, 입력 시퀀 스 중 고정된 Amplitude를 제외하고
~
를 Neural Network의 출력으로서 총 3가지로 제한한다. ZV2 Shaper는 아래의 Fig. 3-2와 같이 4개의 입력으로 나뉘어 속도가 상승하 는 것을 확인할 수 있다.Fig. 3-2 Two-Mode Zero Vibration(ZV2) Shaper