146
오른쪽 그림과 같이 정육각형의 대 각선이 만나는 점을 O라 하자.
⑴ |a^>+b^>|=|^-AO^>|=1
⑵ |a^>-b^>|=|^-BF^>|
=2\ rt32 =rt3
⑶ 오른쪽 그림과 같이 선분 OD의 연장선 위에 선분 OG의 중점이 점 D가 되도록 하는 점 G를 잡으면
|a^>+b^>+c^>|
=|^-AF^>+^-AB^>+^-AD^>|
=|^-AF^>+^-FO^>+^-OG^>|
=|^-AO^>+^-OG^>|
=|^-AG^>|=3
⑷ |a^>+b^>-c^>|=|^-AF^>+^-AB^>-^-AD^>|
=|^-AF^>+^-FO^>+^-DA^>|
=|^-DA^>+^-AF^>+^-FO^>|
=|^-DF^>+^-FO^>|
=|^-DO^>|=1
답 ⑴ 1 ⑵ rt3 ⑶ 3 ⑷ 1
147
^-OE^>=^-AO^>=-^-OA^>, ^-OF^>=^-BO^>=-^-OB^>
^-OG^>=^-CO^>=-^-OC^>, ^-OH^>=^-DO^>=-^-OD^> 이므로
|^-OA^>+^-OB^>+^-OC^>+^-OD^>+^-OE^>+^-OF^>+^-OG^>+^-OH^>|
=|^-OA^>+^-OB^>+^-OC^>+^-OD^>-^-OA^>-^-OB^>-^-OC^>-^-OD^>|
=|(^-OA^>-^-OA^>)+(^-OB^>-^-OB^>)+(^-OC^>-^-OC^>)
+(^-OD^>-^-OD^>)|
=|0^>+0^>+0^>+0^>|=|0^>|=0
답0
149
⑴ b^>-3(a^>+b^>)-2(2a^>-b^>)
=b^>-3a^>-3b^>-4a^>+2b^>
=(-3-4)a^>+(1-3+2)b^>=-7a^>
⑵ 5/2(4a^>+3b^>)-1/4(4a^>-2b^>)
=10a^>+15/2&b^>-a^>+1/2&b^>
=(10-1)a^>+(15/2+1/2)b^>
=9a^>+8b^>
답 ⑴ -7a^> ⑵ 9a^>+8b^>
A B
F C O
D E
b a
c
A B
C
F O
D G E
151
⑴ 2x^>+(a^>+b^>)=2a^>-(b^>-x^>)에서 2x^>+a^>+b^>=2a^>-b^>+x^>
2x^>-x^>=2a^>-b^>-a^>-b^>
.t3 x^>=a^>-2b^>
⑵ x^>+2y^>=-a^> .c3.c3 ㉠ 3x^>-y^>=4a^> .c3.c3 ㉡
㉠\3-㉡ 을 하면 7y^>=-7a^>
.t3 y^>=-a^>
y^>=-a^>~를 ㉠에 대입하면 x^>-2a^>=-a^>
.t3 x^>=-a^>+2a^>=a^>
답 ⑴ -2b^> ⑵ x^>=a^>, y^>=-a^>
153
⑴ ^-CD^>=^-CO^>+^-OD^>=^-BA^>+^-BC^>
=-^-AB^>+^-BC^>=-a^>+b^>
⑵ ^-CE^>=^-CO^>+^-OE^>=^-BA^>+^-CD^>
=-^-AB^>+^-CD^>=-a^>+(-a^>+b^>)=-2a^>+b^>
⑶ ^-BE^>=^-BO^>+^-OE^>=2^-BO^>=2(^-BC^>+^-CO^>)
=2(^-BC^>+^-BA^>)=2(^-BC^>-^-AB^>)
=2(b^>-a^>)=-2a^>+2b^>
답 ⑴ -a^>+b^> ⑵ -2a^>+b^>
⑶ -2a^>+2b^>
155
⑴ ^-CQ^>=1/2^-CB^>~이고
^-CB^>=^-CA^>+^-AB^>=-^-AC^>+^-AB^>=-b^>+a^>이므로
^-CQ^>=1/2&a^>-1/2&b^>
⑵ ^-GR^>=1/3^-BR^>이고
^-BR^>=^-BA^>+^-AR^>=-^-AB^>+1/2^-AC^>=-a^>+1/2&b^>
이므로 ^-GR^>=-1/3&a^>+1/6&b^>
⑶ ^-GQ^>=1/3^-AQ^>이고
^-AQ^>=^-AB^>+^-BQ^>=^-AB^>+1/2^-BC^>
=a^>+1/2(-a^>+b^>)=1/2&a^>+1/2&b^>
이므로 ^-GQ^>=1/6&a^>+1/6&b^>
답 ⑴ 2&a^>-1/2&b^> ⑵ -1/3&a^>+1/6&b^>
⑶ 1/6&a^>+1/6&b^>
157
.t3 |-a^>+b^>+c^>|=|^-AQ^>|
=^-AQ^-=12 다른 풀이
벡터의 덧셈(말꼬리 잡기)을 이용한다.
⑴ a^>+b^>=^-AB^>+^-BC^>=^-AC^>
⑵ a^>+b^>-c^>=^-AB^>+^-BC^>-^-CD^>
=^-AB^>+^-BC^>+^-DC^>
=^-FA^>+^-AB^>+^-BC^>=^-FC^>
⑶ -a^>+b^>+c^> =-^-AB^>+^-BC^>+^-CD^>
=^-BA^>+(^-BC^>+^-CD^>)
=^-DE^>+^-BD^>
=^-BD^>+^-DE^>=^-BE^>
답 ⑴ 6rt3 ⑵ 12 ⑶ 12
159
⑴ (m-2)a^>+(n+1)b^>=0^>~에서 m-2=0, n+1=0
.t3 m=2, n=-1
⑵ m^2`&a^>-(n+1)b^>=(2m-1)a^>+(m-2)b^>~에서 m^2=2m-1, -(n+1)=m-2 즉, 4a^>+(m+1)b^>=4k&a^>-kb^>~에서 4=4k, m+1=-k
^-OP^>-a^>=k(3/5&b^>-a^>) .t3 ^-OP^>=(1-k)a^>+3/5&k&b^>
^-OP^>-^-OB^>=l(^-OM^>-^-OB^>)
^-OP^>-b^>=l(1/3&a^>-b^>) .t3 ^-OP^>=1/3&l&a^>+(1-l)b^>
두 방향에서 구한 ^-OP^>의 계수를 비교하면 1-k=1/3&l, 3/5&k=1-l
두 식을 연립하여 풀면 k=5/6, l=1/2 .t3 ^-OP^>=1/6&a^>+1/2&b^>
답1/6&a^>+1/2&b^>
166
3b^>+3/2(2a^>-4b^>)-2(a^>-b^>)
=3b^>+3a^>-6b^>-2a^>+2b^>
.t3 |2a^>-b^>-c^>|
=|^-AQ^>|=▣~1^2&+2^2 (m+3)a^>+6b^>=k(6a^>+2b^>) (단, k는 0이 아닌 실수) (m+3)a^>+6b^>=6k&a^>+2kb^>
이때 ^-OC^>=m^-OA^>+n^-OB^>~이므로 -a^>+2b^>=m(-2a^>+b^>)+n(a^>+2b^>)
즉, ^-AE^-=2^-AH^-=2rt3이므로
|^-AE^>|=^-AE^-=2rt3
이때 ^-AE^-=^-BF^-=^-CA^-=^-DB^-=^-EC^-=^-FD^-이므로 벡터 ^-AE^>와 크기가 같은 벡터는
^-EA^>, ^-BF^>, ^-FB^>, ^-CA^>, ^-AC^>, ^-DB^>,
^-BD^>, ^-EC^>, ^-CE^>, ^-FD^>, ^-DF^- 의 11개이다.
답2rt3, 11
173
① ^-AB^>+^-BC^>+^-BD^>+^-CB^>+^-DC^>
=^-AB^>+^-BC^>+^-CB^>+^-BD^>+^-DC^>=^-AC^>
② ^-AC^>-^-AE^>-^-BC^>+^-BD^>+^-DE^>
=^-AC^>+^-EA^>+^-CB^>+^-BD^>+^-DE^>
=^-AC^>+^-CB^>+^-BD^>+^-DE^>+^-EA^>=^-AA^>=0^>
③ ^-AC^>-^-BC^>+^-BE^>-^-CD^>-^-DC^>
=^-AC^>+^-CB^>+^-BE^>+^-DC^>+^-CD^>
=^-AC^>+^-CB^>+^-BE^>+0^>=^-AE^>
④ ^-AE^>+^-BE^>-^-BC^>-^-CE^>+^-EB^>
=^-AE^>+^-BE^>+^-CB^>+^-EC^>+^-EB^>
=^-AE^>+^-EB^>+^-BE^>+^-EC^>+^-CB^>=^-AB^>
⑤ ^-AD^>-^-BC^>-^-CD^>-^-CE^>-^-EB^>
=^-AD^>+^-CB^>+^-DC^>+^-EC^>+^-BE^>
=^-AD^>+^-DC^>+^-CB^>+^-BE^>+^-EC^>=^-AC^>
따라서 벡터 ^-AE^>와 항상 같은 벡터는 ③이다.
답 ③
174
x^>-2y^>=a^> .c3.c3 ㉠ 3x^>+2y^>=2b^> .c3.c3 ㉡
㉠+㉡ 을 하면 4x^>=a^>+2b^> .t3 x^>=1/4&a^>+1/2&b^>
이를 ㉠에 대입하면 (1/4&a^>+1/2&b^>)-2y^>=a^>
2y^>=-3/4&a^>+1/2&b^> .t3 y^>=-3/8&a^>+1/4&b^>
.t3 x^>+2y^>=(1/4&a^>+1/2&b^>)+2(-3/8&a^>+1/4&b^>)
=-1/2&a^>+b^>
따라서 m=-1/2, n=1이므로 2m+n=2\(- 12 &)+1=0
답0
175
⑴ a^>+b^>+c^>=(a^>+c^>)+b^>=b^>+b^>=2b^>
.t3 |a^>+b^>+c^>|=|2b^>|=2|^-AC^>|
=2AC=2▣~1^2&+1^2=2rt2
⑵ 오른쪽 그림에서 2a^>-b^>-c^>=^-AE^>
.t3 |2a^>-b^>-c^>|
=|^-AE^>|=^-AE^-
=▣~1^2&+2^2=rt5
⑶ 오른쪽 그림에서 a^>+b^>+3c^>=^-AF^>
.t3 |a^>+b^>+3c^>|
=|^-AF^>|=^-AF^-
=▣~2^2&+4^2=2rt5
답 ⑴ 2rt2 ⑵ rt5 ⑶ 2rt5
176
(m^2&+1)a^>-(2m+3)b^>=(4m-3)a^>+(n-4)b^>에서 m^2&+1=4m-3 .c3.c3 ㉠
-(2m+3)=n-4 .c3.c3 ㉡
㉠에서 m^2&-4m+4=0, (m-2)^2=0 .t3 m=2 m=2를 ㉡에 대입하면 -7=n-4 .t3 n=-3
답m=2, n=-3
177
세 점 A, B, C가 한 직선 위에 있으므로
^-AB^>=k^-AC^> (단, k는 0이 아닌 실수)
^-OB^>-^-OA^>=k(^-OC^>-^-OA^>)이므로
m&a^>-(a^>-2b^>)=k{(-2a^>+b^>)-(a^>-2b^>)}
(m-1)a^>+2b^>=-3k&a^>+3kb^>에서
m-1=-3k, 2=3k .t3 k=2/3, m=-1
답-1
178
^-PA^>+^-PC^>=^-PB^>+^-PD^>에서 ^-PA^>-^-PB^>=^-PD^>-^-PC^>
.t3 ^-BA^>=^-CD^>
즉, ^-BA^>, ^-CD^>~는 서로 같으므로 사각형 ABCD에서 BA=CD, BA//CD
따라서 사각형 ABCD는 평행사변형이다.
답 평행사변형
A E
1 -c B
-b
2a C D
A a
b 1 B
3`c C
F D
179
^-AB^>+^-AC^>+^-AD^>+^-AE^>
=(^-OB^>-^-OA^>)+(^-OC^>-^-OA^>)+(^-OD^>-^-OA^>)
+(^-OE^>-^-OA^>)
=(^-OB^>+^-OC^>+^-OD^>+^-OE^>)-4^-OA^>
=(^-OA^>+^-OB^>+^-OC^>+^-OD^>+^-OE^>)-5^-OA^>
이때 ^-OA^-=^-OB^-=^-OC^-=^-OD^-=^-OE^-이므로 오른쪽 그림과 같이 선분 OA를 한 변으로 하는 정오각형을 그리 면
^-OA^>+^-OB^>+^-OC^>+^-OD^>+^-OE^>
=^-OA^>+^-AF^>+^-FG^>+^-GH^>+^-HO^>
=0^>
.t3 |^-AB^>+^-AC^>+^-AD^>+^-AE^>|=|-5^-OA^>|
=5|^-OA^>|=100 따라서 |^-OA^>|=^-OA^-=20이므로 원 O의 넓이는 pai\20^2=400pai
답400pai
180
오른쪽 그림과 같이 a^>, b^>
를 정하면
^-AB^>=-a^>-2b^>,
^-AC^>=3a^>-2b^>,
^-AD^>=4a^>+b^>
이때 ^-AD^>=m^-AB^>+n^-AC^>이므로 4a^>+b^>=m(-a^>-2b^>)+n(3a^>-2b^>) 4a^>+b^>=(-m+3n)a^>+(-2m-2n)b^>
두 벡터 a^>, b^>는 서로 평행하지 않으므로 4=-m+3n, 1=-2m-2n
두 식을 연립하여 풀면 m=-11/8, n7 /= 8 .t3 m+n=-11/8+7/8=-1/2
답1/-2
181
x^>-3b^>=-a^>+b^>에서 x^>=-a^>+4b^>
x^>=-a^>+4b^>~를 x^>+y^>=m(a^>+2b^>)+3b^>에 대입하면 (-a^>+4b^>)+y^>=m(a^>+2b^>)+3b^>
.t3 y^>=(m+1)a^>+(2m-1)b^>
이때 두 벡터 x^>, y^>가 서로 평행하므로 y^>=kx^> (단, k는 0이 아닌 실수)
F A G
H B
O C
E D
Aa B C
b D
즉, (m+1)a^>+(2m-1)b^>=-k&a^>+4kb^>에서 m+1=-k, 2m-1=4k
두 식을 연립하여 풀면 k=-1/2, m=-1/2
답1/-2
182
오른쪽 그림과 같이 정사각형 OADB를 그리면
^-OD^>=^-OA^>+^-OB^>=a^>+b^>
또, 세 점 O, C, D는 한 직선 위에 있고
^-OC^-=1, ^-OD^-=rt2이므로
^-OC^>= 1rt2 ^-OD^>= 1
rt2 (a^>+b^>)=rt2 2 &a^>+rt2
2 &b^>
따라서 m=n= rt22 이므로 100mn=100\ rt22 \rt2
2 =50
답50
183
^-AB^>=a^>, ^-AC^>=b^>로 놓으면
^-AM^>=1/2^-AB^>+1/2^-AC^>=1/2&a^>+1/2&b^>
^-AN^>=1/3^-AC^>=1/3&b^>
세 점 A, P, M이 한 직선 위에 있으므로
^-AP^>=k^-AM^> (k는 0이 아닌 실수)으로 놓으면
^-AP^>=1/2&k&a^>+1/2&kb^> .c3.c3 ㉠ 또, 세 점 B, P, N이 한 직선 위에 있으므로
^-BP^>=l~^-BN^> (l은 0이 아닌 실수)으로 놓으면
^-AP^>-^-AB^>=l(^-AN^>-^-AB^>),^-AP^>-a^>=l(1/3&b^>-a^>)
^-AP^>=(1&-l)a^>+1/3&l~&b^> .c3.c3 ㉡
㉠, ㉡에서 1/2&k=1-l, 1/2&k=1/3&l 두 식을 연립하여 풀면 k=1/2, l=3/4 따라서 ^-AP^>=1/4&a^>+1/4&b^>이므로 m=1/4, n1 /= 4 .t3 m+n=1/4+1/4=1/2
답1/2
A
B D
C
O a
b
185
선분 AB를 1~&:~2로 내분하는 점 P의 위치벡터는 p^>= b^>+2a^>1+2 =2/3&a^>+1/3&b^>
선분 AB를 1~&:~2로 외분하는 점 Q의 위치벡터는 q^>= b^>-2a^>1-2 =2a^>-b^>
.t3 p^>+q^>=(2/3&a^>+1/3&b^>)+(2a^>-b^>)
=8/3&a^>-2/3&b^>
따라서 m=8/3, n=-2/3이므로 m+n=8/3+(-2/3&)=2
답2
187
선분 AB의 중점 M의 위치벡터는
^-OM^>= a^>+b^>2
선분 BC를 1~&:~2로 내분하는 점 N의 위치벡터는
^-ON^>= c^>+2b^>1+2 =2/3&b^>+1/3&c^>
.t3 ^-MN^>=^-ON^>-^-OM^>=(2/3&b^>+1/3&c^>)- a^>+b^>2
=-1/2&a^>+1/6&b^>+1/3&c^>
답-1/2&a^>+1/6&b^>+1/3&c^>
189
semoABC의 세 꼭짓점 A, B, C의 위치벡터를 각각 a^>, b^>, c^>~라 하면
^-GA^>+^-GB^>=(^-OA^>-^-OG^>)+(^-OB^>-^-OG^>)
=^-OA^>+^-OB^>-2^-OG^>
=a^>+b^>-2\ a^>+b^>+c^>3
= a^>+b^>-2^>c3
^-GC^>=^-OC^>-^-OG^>=c^>- a^>+b^>+c^>3
= -a^>-b^>+2^>c3
따라서 ^-GA^>+^-GB^>=-^-GC^>이므로 k=-1
답-1