ㄱ. ㄴ.
ㄷ. ㄹ.
ㄱ. l⊥m이고 m⊥n이면 l⊥n일 수도 있다. (거짓)
ㄷ. l&//alpha이고 m&//&alpha이면 l⊥m일 수도 있다. (거짓) ㄹ. l&//&alpha이고 alpha⊥beta이면 l&//&beta일 수도 있다. (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄴ이다.
^-CE^-=rt3~~&a이므로 직각삼각형 DEC에서 cos`alpha= ^-DC^-^-CE^- = a
rt3&a =rt3 3
.t3 cos`beta=cos`45°= rt22 .t3 cos`alpha\cos`beta= rt33 \rt2
2 =rt6
ㄴ. 오른쪽 그림과 같이 l⊥alpha이고 ㄷ. 오른쪽 그림에서 l&//&alpha이고 alpha⊥beta
이지만 직선 l과 평면 beta는 수직
.t3 cos`theta=cos`60*=1/2
답1/2
2\^-OA^-\^-OB^-=1/ 2\^-AB^-\^-OH^-1
/
2\1\2=1/ 2\rt5\^-OH^-.t3 ^-OH^-= 2rt55
따라서 직각삼각형 OHC에서
^-CH^-=◐^-OC^-^2&+^-OH^-^2&=▩~3^2&+( 2rt55 )^^2= 7rt55
답 7rt5
^-OE^-=^-OF^-= rt32 ^-AB^-=rt3,
^-EH^-=^-FH^-=1/2^-EF^-=1/2^-AB^-=1
cos`theta= ^-EH^-^-OE^- = 1 rt3 =rt3
3
답 rt3
3
290
단면인 타원의 장축의 길이를 l이라 하면 장축의 밑면 위로의 정사영은 밑면의 지름이므로
2\3=l\cos`60°
.t3 l=6\2=12
답12
292
평면 ABED와 평면 BEFC의 교선 BE 위의 점 B에 서 수직으로 각 평면 위로 뻗어나간 두 직선은 각각 직 선 AB, 직선 BC이므로 두 평면이 이루는 각의 크기는
∠ABC의 크기와 같다.
이때 semoABC가 정삼각형이므로 ∠ABC=60°
한편 □ABED의 넓이는 4\6=24
따라서 구하는 정사영의 넓이는 24\cos`60°=24\&1/2=12
답12
294
semoCHF의 평면 EFGH 위로의 정사영은 semoGHF이므 로 semoGHF=semoCHF\cos`theta .c3.c3 ㉠
semoCHF는 한 변의 길이가 4rt2인 정삼각형이므로 semoCHF= rt34 \(4rt2&~)^2=8rt3
semoGHF는 ^-HG^-=^-FG^-=4인 직각이등변삼각형이므로 semoGHF=1/2\4\4=8
따라서 ㉠에 의해 8=8rt3`cos`theta .t3 cos`theta= 88rt3 =rt3
3
답 rt3
3
296
정면에서 본 상황을 간단하 게 그림으로 나타내면 오른 쪽과 같다.
이때 햇빛과 수직으로 만나 는 애드벌룬의 지름이 지면
3 l
60,
햇빛
그림자 지면
60, t
과 이루는 각의 크기를 theta라 하면 햇빛이 지면과 이루는 각의 크기가 60°이므로
theta=90°-(햇빛과 지면이 이루는 각의 크기)
=90*-60*=30°
애드벌룬의 반지름의 길이를 r m라 하면 그림자의 넓 이가 12rt3pai m^2이고, 그림자의 정사영은 구의 중심을 지나도록 자른 단면인 원이므로
pair^2=12rt3pai\cos`30°, r^2=18 .t3 r=3rt2 &m
답3rt2 &m
297
^-PO^-⊥alpha이고 ^-OH^-⊥^-AB^-이므로 삼수선의 정리에 의하여
^-PH^-⊥^-AB^-
즉, semoPAH는 직각삼각형이므 로
^-PH^-=◐^-PA^-^2&-^-AH^-^2&=▣~5^2&-3^2=4
또 semoPHO는 직각삼각형이므로
^-OH^-=◐^-PH^-^2&-^-PO^-^2&=◐4^2&-(2rt3&~)^2=2 따라서 semoPHO에서
cos`theta= ^-OH^-^-PH^- =2/4=1/2
답1/2
298
[1단계] 밑면이 정사각형인 직육 면체이므로 평면 DEG 와 평면 EFGH의 교선 EG의 중점 M은 밑면의 두 대각선의 교점이다.
즉, 점 M에서 수직으로 뻗어나간 두 직선을 생
각하면 위의 그림과 같이 각각 점 D, 점 H를 지 난다.
따라서 평면 DEG와 평면 EFGH가 이루는 각 은 ∠DMH이므로 ∠DMH=60°
[2단계] 직각삼각형 DHM에서
^-HM^-=1/2^-HF^-=1/2\4rt2=2rt2 이때 ∠DMH=60°이므로
^-DH^-=^-HM^-`tan`60°=2rt2\rt3=2rt6
답2rt6
H O
P
A B 3
5 213
t a
D A
C
E F
H G
4 M 4 60,B
299
semoMFN=semoPQR\cos`theta .c3.c3 ㉠ semoPQR는 한 변의 길이가 4rt2~~인 정삼각형이므로 semoPQR= rt34 \(4rt2&~)^2=8rt3
semoMFN은 ^-MF^-=^-NF^-=4인 직각이등변삼각형이므로 semoMFN=1/2\4\4=8
따라서 ㉠에 의해 8=8rt3`cos`theta .t3 cos`theta= 88rt3 =rt3
3
S~cos`30°=16rt3, rt32& S=16rt3 .t3 S=32
semoA&'BC=semoABC~cos`theta .c3.c3 ㉠
한편, 점 A&'은 정사각형 BCDE의 두 대각선의 교점이
2rt13 =3rt13 13
한편 컵의 밑면의 넓이는 9pai이고 수면의 정사영이 컵의 밑면이므로 수면의 넓이를 S라 하면
S\cos`theta=9pai .t3 S= 9paicos`theta = 9pai
`3rt13`
평면 DEH, 평면 EFH, 평면 EGH
이 중 평면 EFH와 평면 EGH는 같은 평면이다.
즉, 이 경우의 서로 다른 평면의 개수는
3+1+2=6
(ⅲ) 만나는 두 직선&: 직선 AB와 직선 BC로 만들어지 는 평면은 평면 ABC이지만 이 평면은 평면 ABD 와 같은 평면이므로 이 경우의 서로 다른 평면은 없 다.
(ⅳ) 평행한 두 직선&: 직선 BC와 직선 EH로 만들어지 는 평면은 평면 BCHE의 1개
이상에서 구하는 서로 다른 평면의 개수는 1+6+1=8
답8
305
모서리 AB와 꼬인 위치에 있는 직선은 직선 CF, 직선 DF, 직선 EF의 3개 .t3 a=3
모서리 AD와 수직으로 만나는 직선은
직선 AB, 직선 AC, 직선 DE, 직선 DF의 4개 .t3 b=4
모서리 BC와 한 점에서 만나는 평면은 평면 ABED, 평면 ADFC의 2개 .t3 c=2
.t3 a+b+c=3+4+2=9
답9
306
정육면체의 모서리를 직선으로, 면을 평면으로 생각하 면 다음 그림과 같다.
ㄱ. ㄴ.
ㄷ. ㄹ.
ㄴ. l&//&alpha이고 l&//&beta이면 alpha⊥beta일 수도 있다. (거짓) ㄹ. l&//&alpha이고 alpha⊥beta이면 l⊥beta일 수도 있다. (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.
답 ㄱ, ㄷ
l a
b l
a b
l m
a
l a b
307
직각삼각형 ACD에서
^-AC^-=◐2^2&+(2rt2&~)^2
=2rt3
이때 ^-AD^-⊥^-BD^-, ^-AD^-⊥^-CD^-이므로 ^-AD^-⊥(평면 BCD)
또 ^-CD^-⊥^-BC^-이므로 삼수선의 정리에 의하여
^-AC^-⊥^-BC^-.t3 semoABC=1/2\3\2rt3=3rt3
답3rt3
308
^-AE^-⊥(면 EFGH), ^-AO^-⊥^-FH^-이므로 삼수선의 정리에 의해 ^-EO^-⊥^-FH^- 직각삼각형 EFH에서
^-EF^-\^-EH^-=^-FH^-\^-EO^-이고, ^-FH^-=▣~3^2&+4^2=5이므로
3\4=5\^-EO^-.t3 ^-EO^-=12/5
.t3 ^-AO^-=◐^-AE^-~^2&+^-EO^-~^2&=▩~2^2&+(12/5)^^2
= 2rt615
답 ③
309
오른쪽 그림과 같이 모서리 BC의 중점을 M이라 하면
^-AM^-⊥^-BC^-, ^-FM^-⊥^-BC^-이므로
∠AMF=theta
정팔면체의 한 모서리의 길이 를 2a라 하면
^-AM^-= rt32 \2a=rt3&a
^-ED^-의 중점을 N이라 하면 ∠AMN=theta/2이므로 cos`theta/2=1/2^-MN^-~
^-AM^- ~= art3&a =rt3 3
답 rt3
3 C
B
A
3 212 D
213 2
A
B E N D
M C F
310
잘린 단면의 넓이를 S, 단면의 밑면 위로의 정사영인 반원의 넓이를 S&'이라 하면
S&'=1/2\pai\3^2=9/2&pai이므로 S&'=S`cos`60°에서 9/2&pai=1/2&S .t3 S=9pai
답9pai
311
두 선분 PQ, SR는 모두 모서리 AC와 평행하고, 두 선분 PS, QR는 모두 모서리 BD와 평행하므로 사각형 PQRS는 평행사변형이다.
semoABD와 semoAPS에서 ^-BD^-&//&^-PS^-이므로 semoABD∽semoAPS(AA 닮음)
이때 정사면체의 모든 면은 정삼각형이므로 semoAPS도 정삼각형이다.
.t3 ^-AP^-=^-PS^-
같은 방법으로 semoABC∽semoPBQ에서 ^-BP^-=^-PQ^-.t3 (평행사변형 PQRS의 둘레의 길이)
=^-PQ^-+^-QR^-+^-RS^-+^-PS^-=2(^-PS^-+^-PQ^-)
=2(^-AP^-+^-BP^-)=2^-AB^-=2\10=20
답20
312
㈎ 서로 다른 세 평면 alpha, beta,~gamma에 대 하여 alpha&//&beta이고 beta&//&~gamma이면 alpha&//&~gamma 이므로 세 평면의 위치 관계는 오른쪽 그림과 같다.
즉, 이 세 평면 alpha, beta,~gamma에 의해 공간은 4개로 분할되 므로
a=4
㈏ 서로 다른 세 평면 alpha, beta,~gamma에 대 하여 두 평면 alpha, beta의 교선을 l 이라 하고 교선 l에 평행한 평 면~ gamma가 두 평면 alpha, beta와 만나 생 기는 교선을 각각 m, n이라 하
면 l&//&m&//&n이므로 세 평면의 위치 관계는 위의 그 림과 같다.
즉, 이 세 평면 alpha, beta,~gamma에 의해 공간은 최대 7개로 분 할되므로
b=7
a b r
l
m n
a
b r
.t3 a^2&+b^2=4^2&+7^2=65
답65
313
오른쪽 그림과 같이 ^-BC^-, ^-AD^-의 중점을 각각 M, N이라 하자.
semoABC는 정삼각형이므로
^-BC^-⊥^-AM^-^-AM^-= rt32 ~^-AB^-=rt3
2 \2=rt3 semoBCD는 정삼각형이므로
^-BC^-⊥^-DM^-
&‘직⊥평의 정리&’에 의하여
^-BC^-⊥(평면 AMD) .t3 ^-BC^-⊥^-MN^-
또 ^-MN^-은 이등변삼각형 MDA의 중선이므로
^-AD^-⊥^-MN^-, ^-AN^-=1/2^-AD^-=1
따라서 구하는 최단 거리는 ^-MN^-의 길이이므로 직각삼 각형 AMN에서
^-MN^-=◐^-AM^-~^2&-^-AN^-~^2&
=◐(rt3&~)^2&-1^2=rt2
답rt2
314
오른쪽 그림과 같이 두 선분 EH, FG의 중점을 각각 M, N이라 하자.
이때 선분 MN은 선분 DC와
평행하고 점 P를 지나므로 두 선분 AP, DC가 이루는 각의 크기는 두 선분 AP, MP가 이루는 각의 크기와 같다.
또 ^-MN^-⊥(면 AEHD)이므로
^-AM^-⊥^-MP^-
즉, 삼각형 AMP는 직각삼각형이다.
따라서 삼각형 AMP에서
^-AM^-=▩~2^2&+(3/2)^^2=5/2, ^-MP^-=1/2^-MN^-=2이므로 tan`theta= ^-AM^-^-MP^- =
`5`2 2=5/4
답5/4
B A
C N
D M
A B
E F
P G
D C
M H N
3 4 2
315
오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 D에서 선 분 EG에 내린 수선의 발을 I라 하면
^-DH^-⊥(평면 EFGH),
^-DI^-⊥^-EG^-이므로 삼수선의 정리에 의해
^-HI^-⊥^-EG^-
직각삼각형 EGH에서 1
/
2\^-EH^-\^-HG^-=1/2\^-EG^-\^-HI^-이고,
^-EG^-=▣~2^2&+1^2=rt5이므로 1
/
2\2\1=1/2\rt5\^-HI^- .t3 ^-HI^-= 2rt55
.t3 ^-DI^-=◐^-DH^-~^2&+^-HI^-~^2&=▩~3^2&+( 2rt55 )^^2
= 7rt55
답 ④
316
두 삼각형 ABC, ACD&'은 직각 이등변삼각형이므로 오른쪽 그 림과 같이 선분 AC의 중점을 M 이라 하면
^-BM^-⊥^-AC^-, D&'M⊥^-AC^-
이때 두 평면 ABC, ACD&'이 이루는 각의 크기를 theta라 하면 theta는 두 직선 BM, D&'M이 이루는 각의 크기와 같 으므로
∠BMD&'=theta
한편 ^-BC^-=D&'C=1이고 ∠BCD&'=60°이므로 삼각형 D&'BC는 정삼각형이다.
.t3 BD&'=1 .c3.c3 ㉠ 두 삼각형 BCM, CD&'M에서
^-BM^-=D&'M= 1rt2 =rt2
2 .c3.c3 ㉡
㉠, ㉡에서 BD&'^2=^-BM^-~^2+D&'M^2이므로
삼각형 BMD&'은~gakBMD&'=90°인 직각삼각형이다.
.t3 theta=90°
답90°
317
평면 OAB와 평면 ABCD가 이루는 각의 크기를 theta 라 하면 semoOAB의 평면 ABCD 위로의 정사영은
A B
E F GI D C
3 H 2
1
A
B 1
1 C D' D
60, t
M
semoMAB이므로
semoMAB=semoOAB\cos`theta .c3.c3 ㉠ 이때 semoMAB=1/4□ABCD=1/4\1\1=1/4, semoOAB= rt34 \1^2=rt3
4 이므로 ㉠에 의해 1/4= rt34 \cos`theta .t3 cos`theta= rt33
따라서 semoMAB의 평면 OAB 위로의 정사영의 넓이는
semoMAB\cos`theta=1/4\ rt33 =rt3 12
답 rt3
12
318
[가] 태양열 집열판의 지면 위로의 정사영이 그림자이고 태양열 집열판과 지면이 이루는 각의 크기가 30°이 므로
S_1=120\cos`30°=120\ rt32 =60rt3&(m^2) [나] 그림자의 태양열 집열판 위로의 정사영이 태양열
집열판이고 태양열 집열판과 지면이 이루는 각의 크기가 30°이므로
120=S_2&\cos`30°
.t3 S_2= 120cos`30° =``120``
``2``rt3
=80rt3&(m^2) .t3 S_2S_1 =80rt3
60rt3 =4/3
답4/3
320
좌표가 (0, 0, 5)인 점은 C, 좌표가 (3, 0, 5)인 점 은 F, 좌표가 (0, 4, 0)인 점은 B
답 차례로 C, F, B
322
⑴ 점 P(-1, 2, -2)와 y축에 대하여 대칭인 점의 좌표는 (1, 2, 2)
이 점에서 xy평면에 내린 수선의 발은 A(1, 2, 0)
⑵ 점 P(-1, 2, -2)를 xy평면에 대하여 대칭이동 한 점의 좌표는 (-1, 2, 2)
이 점을 x축에 대하여 대칭이동한 점은 B(-1, -2, -2)
⑶ 점 P(-1, 2, -2)와 원점에 대하여 대칭인 점의 좌표는 (1, -2, 2)
이 점을 yz평면에 대하여 대칭이동한 점은 C(-1, -2, 2)
답 ⑴ A(1, 2, 0) ⑵ B(-1, -2, -2)
⑶ C(-1, -2, 2)
324
^-AB^-=^-BC^-에서 ^-AB^-~^2=^-BC^-~^2이므로 (3-5)^2&+{1-(-2)}^2&+(2-3)^2
=(a-3)^2&+(-1-1)^2&+(1-2)^2
14=a^2&-6a&+14, a^2&-6a=0, a(a-6)=0 .t3 a=6 (.T3 a>0)
답6
326
점 P(a, b, c)는 yz평면 위의 점이므로 a=0 .t3 P(0, b, c)
^-PA^-=^-PB^-에서 ^-PA^-~^2=^-PB^-~^2이므로
(0-4)^2&+b^2&+c^2=(0-2)^2&+(b-1)^2&+{c-(-1)}^2 .t3 b-c+5=0 .c3.c3 ㉠
^-PA^-=^-PC^-에서 ^-PA^-~^2=^-PC^-~^2이므로
(0-4)^2&+b^2&+c^2={0-(-3)}^2&+(b-2)^2&+(c-1)^2 .t3 2b+c+1=0 .c3.c3 ㉡
2 공간좌표
㉠, ㉡ 을 연립하여 풀면 b=-2, c=3.t3 a+b+c=0+(-2)+3=1
답1
328
두 점 A, B의 x좌표의 부호가 같으므로 두 점은 yz 평면을 기준으로 같은 쪽에 있다.
점 A와 yz평면에 대하여 대칭인 점을 A&'이라 하면 yz평면 위의 점 P에 대하여 ^-AP^-=A&'P~이므로
^-AP^-+^-BP^-=A&'P+^-BP^-->A&'B
이때 ^-AP^-+^-BP^-의 최솟값, 즉 A&'B의 길이가 3rt6이고 A&'(2, -4, 6), B(-1, 2, a)이므로
▣~(-1-2)^2&+{2-(-4)}^2&+(a-6)^2=3rt6 양변을 제곱하여 정리하면
a^2&-12a+27=0, (a-3)(a-9)=0 .t3 a=9 (.T3 a>5)
답9
330
A(1, 2, 3), B(4, 6, 8)이므로
^-AB^-=▣~(4-1)^2&+(6-2)^2&+(8-3)^2
=5rt2
두 점 A, B의 xy평면 위로의 정사영을 각각 A&', B&'이라 하 면
A&'(1, 2, 0), B&'(4, 6, 0)
.t3 A&'B&'=▣~(4-1)^2&+(6-2)^2&+(0-0)^2=5 직선 AB와 xy평면이 이루는 각의 크기를 theta (0*-<theta-<90*)라 하면 A&'B&'=^-AB^-`cos`theta이므로 5=5rt2`cos`theta, cos`theta= rt22
.t3 theta=45* (.T3 0*-<theta-<90*)
답45*
332
선분 AB를 2：1로 내분하는 점이 P이므로
P( 2\2+1\(-1)2+1 , 2\0+1\32+1 , 2\1+1\42+1 ) .t3 P(1, 1, 2)
선분 AB를 2：1로 외분하는 점이 Q이므로
Q( 2\2-1\(-1)2-1 , 2\0-1\32-1 , 2\1-1\42-1 ) .t3 Q(5, -3, -2)
x
y z
O A' B' A
B t
따라서 두 점 P, Q 사이의 거리는
^-PQ^-=▣~(5-1)^2&+(-3-1)^2&+(-2-2)^2=4rt3
답4rt3
334
선분 AB가 yz평면에 의해 1：m으로 내분되므로 yz 평면 위의 점이 선분 AB를 1：m으로 내분한다.
이때 yz평면 위의 점의 x좌표는 0이므로 내분점의 x
좌표도 0이다.
즉, 0= 1\(-3)+m\11+m 이므로 m-3=0 .t3 m=3
답3
336
평행사변형의 한 꼭짓점 D의 좌표를 D(a, b, c)라 하면 BD의 중점 M의 좌표가 M(-1, 3, 4)이므로
2+a2 =-1, 5+b
2 =3, 3+c 2 =4 .t3 a=-4, b=1, c=5
.t3 D(-4, 1, 5) 따라서 ^-AD^-의 길이는
▣~{-4-(-3)}^2&+(1-2)^2&+(5-5)^2=rt2
답rt2
338
A(x_1, y_1, z_1), B(x_2, y_2, z_2), C(x_3, y_3, z_3)이라 하 면 ^-BC^-의 중점 M의 좌표가 M(3, 4, -1)이므로
x_2&+x_3
2 =3, y_2&+y_3
2 =4, z_2&+z_3 2 =-1 .t3 x_2&+x_3=6, y_2&+y_3=8, z_2&+z_3=-2 또, 무게중심 G의 좌표가 G(-1, 3, 0)이므로
x_1&+x_2&+x_3
3 =-1, y_1&+y_2&+y_33 =3, z_1&+z_2&+z_33 =0 즉, x_1&+63 =-1, y_1&+8
3 =3, z_1&+(-2)
3 =0이므로
x_1=-9, y_1=1, z_1=2 .t3 A(-9, 1, 2)
다른 풀이
semoABC의 무게중심 G는 선분 AM을 2~&:~1로 내분한 다.
A(a, b, c)라 하면
2\3+1\a
2+1 =-1, 2\4+1\b2+1 =3, 2\(-1)+1\c
2+1 =0
에서 a=-9, b=1, c=2 .t3 A(-9, 1, 2)
답A(-9, 1, 2)
339
2^-AB^-=^-BC^-에서 4^-AB^-~^2=^-BC^-~^2이므로 4[(1-2)^2&+(2-3)^2&+{2-(-1)}^2]
=(a-1)^2&+(-4-2)^2&+(0-2)^2 44=a^2&-2a&+41, a^2&-2a-3=0 (a-3)(a+1)=0
.t3 a=3 (.T3 a>0)
답3
340
A(-1, 4, 0), B(-1, 0, 2)이므로 선분 AB의 중점의 좌표는
( (-1)+(-1)2 , 4+02 , 0+2 2 ) .t3 (-1, 2, 1)
답(-1, 2, 1)
341
두 점 B, D의 좌표는
B(2, -p, -p+1), D(-q, -r, 2)
이때 두 점 B, D가 원점에 대하여 대칭이므로 선분 BD의 중점은 원점이다. 즉,
2+(-q)
2 =0, (-p)+(-r)2 =0, (-p+1)+2
2 =0
에서 p=3, q=2, r=-3 .t3 p+q+r=3+2+(-3)=2
답2
342
선분 AB를 1：2로 내분하는 점이 P이므로 P( 1\1+2\(-2)1+2 , 1\(-1)+2\21+2 ,
` 1\4+2\11+2 )
.t3 P(-1, 1, 2)
선분 BC를 2：1로 외분하는 점이 Q이므로
Q( 2\1-1\12-1 , 2\1-1\(-1)2-1 , 2\2-1\42-1 ) .t3 Q(1, 3, 0)
따라서 두 점 P, Q의 yz평면 위로의 정사영은 P&'(0, 1, 2), Q&'(0, 3, 0)
.t3 P&'Q&'=▣~(0-0)^2&+(3-1)^2&+(0-2)^2=2rt2
답2rt2
343
선분 AB가 xy평면에 의해 2：1로 내분되므로 내분
점은 xy평면 위의 점이다.
즉, 내분점의 z좌표는 0이므로 2\c+1\42+1 =0 .t3 c=-2
또 선분 AB가 z축에 의해 3：1로 외분되므로 외분점
또 선분 AB가 z축에 의해 3：1로 외분되므로 외분점