(ⅰ) 우변의 시점을 P로 통일하면 2^-PA^>+^-PB^>+2^-PC^>=^-PB^>-^-PA^>
.t3 ^-PC^>=-3/2^-PA^>
요게 뭔 소리?
벡터 ^-PA^>~를 3/2배로 늘려 방향을 바꾸면 벡터 ^-PC^>
가 된다는 소리.
따라서 점 P는 선분 AC를 1~&:~3/2으로 내분하는 점.
1~&:~3/2=2~&:~3이므로 오른 쪽 그림과 같은 상황.
(ⅱ) semoPAB와 semoPBC는 높이가 같으므로 밑변의 길이 의 비가 넓이의 비.
.t3 semoPAB~&:~semoPBC=2~&:~3
답2~&:~3
192
선분 AB를 2~&:~3으로 내분하는 점 P의 위치벡터는
^-OP^>= 2b^>+3a^>2+3 =3/5&a^>+2/5&b^>
선분 PC를 2~&:~3으로 외분하는 점 Q의 위치벡터는
^-OQ^>= 2c^>-3^-OP^>2-3 =3^-OP^>-2c^>
=3(3/5&a^>+2/5&b^>)-2c^>=9/5&a^>+6/5&b^>-2c^>
답9/5&a^>+6/5&b^>-2c^>
193
3a^>+b^>=4p^>에서 p^>= 3a^>+b^>4 =b^>+3a^>
1+3
따라서 점 P는 선분 AB를 1~&:~3으로 내분하는 점이다.
답 선분 AB를 1~&:~3으로 내분하는 점
194
선분 BC를 3~&:~1로 내분하는 점 P의 위치벡터는
^-OP^>= 3^-OC^>+^-OB^>3+1 =1/4^-OB^>+3/4^-OC^> .c3.c3 ㉠ 이때 ^-OC^>=^-OA^>+^-OB^>~이므로 이를 ㉠에 대입하면
^-OP^>=1/4^-OB^>+3/4(^-OA^>+^-OB^>)=3/4^-OA^>+^-OB^>
.t3 m=3/4, n=1
A B
P C 3 2
다른 풀이
nemo OACB는 직사각형이고 ^-BP^-：^-PC^-=3~&:~1이므로
^-BP^>=3/4^-BC^>=3/4^-OA^>
.t3 ^-OP^>=^-OB^>+^-BP^>=^-OB^>+3/4^-OA^>=3/4^-OA^>+^-OB^>
.t3 m=3/4, n=1
답m=3/4, n=1
195
삼각형의 내각의 이등분선의 성질에 의하여
^-BD^-~&:~^-CD^-=^-AB^-~~&:~~^-AC^-=4~&:~3
즉, 점 D는 선분 BC를 4~&:~3으로 내분하는 점이므로
^-AD^>= 4^-AC^>+3^-AB^>4+3 =3/7^-AB^>+4/7^-AC^>
따라서 m=3/7, n=4 /7이므로 mn=3/7\4/7=12/49
답12/49
196
두 선분 AB, AC의 중점이 각각 M, N이므로
^-OM^>= a^>+b^>2 , ^-ON^>=a^>+c^>
2 점 G는 semoABC의 무게중심이므로
^-OG^>= a^>+b^>+c^>3
.t3 ^-GM^>+^-GN^>=(^-OM^>-^-OG^>)+(^-ON^>-^-OG^>)
=^-OM^>+^-ON^>-2^-OG^>
= a^>+b^>2 +a^>+c^>
2 -2\a^>+b^>+c^>
3
=1/3&a^>-1/6&b^>-1/6&c^>
답1/3&a^>-1/6&b^>-1/6&c^>
198
⑴ a^>=(4, 3), b^>=(-2, 4), c^>=(2, -3)
⑵ a^>=e^>_1&+2e^>_2=(1, 2)
벡터 b^>~를 시점이 원점 O가 되도록 평행이동하면 오른쪽 그림과 같으므로
b^>=2e^>_1&-2e^>_2=(2, -2)
답 ⑴ 풀이 참조 ⑵ 풀이 참조
b x b O
2
-2
2 4
y a A
B
200
c^>-2a^>-3b^>=(-1, 1)-2(1, 2)-3(-2, 1)
=(3, -6)
.t3 |c^>-2a^>-3b^>|=▣~3^2&+(-6)^2=3rt5
답3rt5
202
c^>=k&a^>+lb^>를 성분으로 나타내면 (5, 7)=k(1, 1)+l(-1, 2)
=(k, k)+(-l, 2l)
=(k-l, k+2l) 이므로 k-l=5, k+2l=7 두 식을 연립하여 풀면 k=17/3, l=2/3
.t3 k+5l=17/3+5\2/3=9
답9
204
D(x, y)라 하면
^-AB^>=^-OB^>-^-OA^>=(5, -1)-(2, 3)=(3, -4)
^-CD^>=^-OD^>-^-OC^>=(x, y)-(-2, 2)=(x+2, y-2)
^-AB^>=^-CD^>이므로 (3, -4)=(x+2, y-2) 즉, x+2=3, y-2=-4에서
x=1, y=-2 .t3 D(1, -2)
답D(1, -2)
206
a^>+2b^>=(1, 4)+2(x, 1)=(2x+1, 6) 2a^>+b^>=2(1, 4)+(x, 1)=(x+2, 9) 두 벡터 a^>+2b^>, 2a^>+b^>~가 서로 평행하므로 a^>+2b^>=k(2a^>+b^>) (단, k는 0이 아닌 실수) 즉, (2x+1, 6)=k(x+2, 9)에서
2x+1=k(x+2), 6=9k .t3 k=2 /3
따라서 =2 /k 3를 2x+1=k(x+2)에 대입하면 2x+1=2/3(x+2), 4x=1
.t3 x=1/4
답1/4
208
P(x, y)라 하면
^-PA^>+^-PB^>+^-PC^>
=(^-OA^>-^-OP^>)+(^-OB^>-^-OP^>)+(^-OC^>-^-OP^>)
=^-OA^>+^-OB^>+^-OC^>-3^-OP^>
=(1, 1)+(4, 1)+(1, 4)-3(x, y)
=(6-3x, 6-3y)
이때 |^-PA^>+^-PB^>+^-PC^>|=3이므로
▣~(6-3x)^2&+(6-3y)^2=3
양변을 제곱하면 (6-3x)^2&+(6-3y)^2=9 .t3 (x-2)^2&+(y-2)^2=1
따라서 점 P의 자취는 중심의 좌표가 (2, 2), 반지름의
길이가 1인 원이므로 그 길이는
2pai\1=2pai
답2pai
210
⑴ semoOAB는 한 변의 길이가 2인 정삼각형이고 정삼각형의 한 내각의 크기는 60°이므로
^-OA^>•^-OB^>=2\2\cos`60°=2
⑵ 정육각형의 한 내각의 크기는 120°이므로
^-AB^>•^-AF^>=2\2\cos`120°=-2
⑶ ^-BC^>=^-AO^>이므로
(두 벡터 ^-AB^>, ^-BC^>가 이루는 각의 크기)
=∠BAO=60°
.t3 ^-AB^>•^-BC^>=2\2\cos`60°=2
⑷ 두 벡터 ^-AB^>, ^-CF^>는 평행하고 방향이 반대이므로 (두 벡터 ^-AB^>, ^-CF^>가 이루는 각의 크기)=180°
.t3 ^-AB^>•^-CF^>=2\4\cos`180°=-8
답 ⑴ 2 ⑵ -2 ⑶ 2 ⑷ -8
212
a^>•b^>=1이므로 (2x+1)(x-2)+3\(-2)=1 2x^2&-3x-9=0, (2x+3)(x-3)=0
.t3 x=3 (.T3 x>0)
답3
214
|a^>|=1, |b^>|=2이고, 두 벡터 a^>, b^>가 이루는 각의 크 기가 60*이므로
a^>•b^>=|a^>||b^>|cos`60*=1\2\1/2=1
이때 (a^>+kb^>)•(a^>-b^>)=6이므로
|a^>|^2&+(k-1)a^>•b^>-k|b^>|^2=6 1^2&+(k-1)\1-k\2^2=6, -3k=6 .t3 k=-2
답-2
216
|a^>-b^>|=rt13의 양변을 제곱하면
|a^>|^2&-2a^>•b^>+|b^>|^2=13 4^2&-2a^>•b^>+3^2=13 .t3 a^>•b^>=6
|2a^>+b^>|^2=4|a^>|^2&+4a^>•b^>+|b^>|^2
=4\4^2&+4\6+3^2=97 .t3 |2a^>+b^>|=rt97
답rt97
218
a^>-b^>=(1, 2)-(-1, 3)=(2, -1) a^>-c^>=(1, 2)-(2, -1)=(-1, 3)
이므로 두 벡터 a^>-b^>, a^>-c^>~가 이루는 각의 크기를 theta (0*-<theta-<180*)라 하면
cos`theta= (a^>-b^>)•(a^>-c^>)
|a^>-b^>||a^>-c^>|
= 2\(-1)+(-1)\3
▣~2&^2&+(-1)^2~▣~(-1)^2&+3&^2~
= -5rt5rt10 =-rt2 2 .t3 theta=135*
답135*
220
|a^>+3b^>|=3rt3의 양변을 제곱하면
|a^>|^2&+6a^>•b^>+9|b^>|^2=27 3^2&+6a^>•b^>+9\2^2=27 .t3 a^>•b^>=-3
두 벡터 a^>, b^>가 이루는 각의 크기를 theta (0*-<theta-<180*)라 하면
cos`theta= a^>•b^>
|a^>||b^>|= -33\2 =-1 /2 .t3 theta=120*
답120*
222
^-OA^>=a^>, ^-OB^>=b^>~라 하면
|a^>|=▣~2^2&+4^2=2rt5, |b^>|=▣~4^2&+2^2=2rt5, a^>•b^>=2\4+4\2=16
따라서 ∠AOB=theta라 하면 cos`theta= a^>•b^>
|a^>||b^>|= 16
2rt5\2rt5 =4/5 .t3 semoOAB= 12 |a^>||b^>|sin`theta
= 12 |a^>||b^>|▣~1-cos^2`&theta
= 12 \2rt5\2rt5\▤~1-(4/5)^^2
= 12 \2rt5\2rt5\3/5=6 다른 풀이
좌표평면 위의 세 점 (0, 0), (a_1, a_2), (b_1, b_2)를 꼭 짓점으로 하는 삼각형의 넓이는 12 |a_1&b_2&-a_2&b_1|로 구할 수 있다.
.t3 semoOAB= 12 |2\2-4\4|=1
2 \|-12|=6
답6
224
두 벡터 a^>=(-1, 3), c^>가 서로 평행하므로 c^>=k&a^> (단, k는 0이 아닌 실수)
.t3 c^>=(-k, 3k) .c3.c3 ㉠ b^>=c^>+d^>에서
d^>=b^>-c^>=(2+k, 1-3k) .c3.c3 ㉡ 또, 두 벡터 a^>=(-1, 3), d^>가 서로 수직이므로 a^>•d^>=0에서 -(2+k)+3(1-3k)=0 10k=1 .t3 k1= /10
이것을 ㉠, ㉡에 각각 대입하면 c^>=(-1/10, 3/10), d^>=(21/10, 7/10)
답c^>=(-1/10, 3/10), d^>=(21/10, 7/10)
225
^-PA^>+^-PB^>+^-PC^>=^-AB^>+^-CA^>에서
^-OA^>-^-OP^>+^-OB^>-^-OP^>+^-OC^>-^-OP^>
=^-OB^>-^-OA^>+^-OA^>-^-OC^>
^-OA^>+^-OB^>+^-OC^>-3^-OP^>=^-OB^>-^-OC^>
3^-OP^>=^-OA^>+2^-OC^>
.t3 ^-OP^>=1/3^-OA^>+2/3^-OC^>
=(1/3, -2/3)+(2/3, 8/3)=(1, 2) 따라서 x=1, y=2이므로
x+y=1+2=3 다른 풀이
^-PA^>+^-PB^>+^-PC^>=^-AB^>+^-CA^>에서
^-PA^>+^-PB^>+^-PC^>=(^-PB^>-^-PA^>)+(^-PA^>-^-PC^>)
^-PA^>=-2^-PC^>
.t3 ^-PA^>=2^-CP^>
즉, (1-x, -2-y)=2(x-1, y-4)이므로 1-x=2x-2, -2-y=2y-8
.t3 x=1, y=2 .t3 x+y=1+2=3
답3
226
두 벡터 a^>, b^>~가 서로 평행하므로 b^>=k&a^> (단, k는 0이 아닌 실수) 즉, (-2, x-2)=k(x+1, -2)에서 k(x+1)=-2 .c3.c3 ㉠
x-2=-2k .c3.c3 ㉡
㉡에서 k=- x-22 를 ㉠에 대입하면 - (x-2)(x+1)2 =-2
(x-2)(x+1)=4, x^2&-x-6=0
따라서 근과 계수의 관계에 의하여 모든 x의 값의 합은 1이다.
답1
227
|a^>|=2, |b^>|=2rt3~~이고,
두 벡터 a^>, b^>~가 이루는 각의 크기가 30*이므로 a^>•b^>=|a^>||b^>|cos`30*=2\2rt3\ rt32 =6 .t3 |3a^>+2b^>|^2=9|a^>|^2&+12a^>•b^>+4|b^>|^2
=9\2^2&+12\6+4\(2rt3&)^2
=156 .t3 |3a^>+2b^>|=2rt39
답2rt39
228
|2a^>+b^>|=|a^>-3b^>|의 양변을 제곱하면 4|a^>|^2&+4a^>•b^>+|b^>|^2=|a^>|^2&-6a^>•b^>+9|b^>|^2 3|a^>|^2&+10a^>•b^>-8|b^>|^2=0
두 벡터 a^>, b^>가 이루는 각의 크기를 theta (0*-<theta-<180*)라 하면
3|a^>|^2&+10|a^>||b^>|cos`theta-8|b^>|^2=0 .c3.c3 ㉠
|b^>|=|a^>|를 ㉠에 대입하면 3|a^>|^2&+10|a^>|^2cos`theta-8|a^>|^2=0 -5|a^>|^2(1-2`cos`theta)=0
|a^>|not=0이므로 1-2`cos`theta=0 .t3 cos`theta=1/2 .t3 theta=60*
답60*
229
∠AOB=theta라 하면
semoOAB=1/2\^-OA^-\^-OB^-\sin`theta
= 12 |^-OA^>||^-OB^>|sin`theta .c3.c3 ㉠ 이때 cos`theta= ^-OA^>•^-OB^>
|^-OA^>||^-OB^>|= 63\4 =1/2이므로 theta=60* (.T3 0*<theta<180*)
따라서 ㉠에서
semoOAB=1/2\3\4\sin`60*=3rt3
답3rt3
230
두 벡터 b^>=(4, 4-y), c^>=(2, 3)이 서로 평행하므로 b^>=kc^> (단, k는 0이 아닌 실수)
즉, (4, 4-y)=k(2, 3)에서 4=2k, 4-y=3k .t3 k=2, y=-2
.t3 b^>=(4, 6)
또, 두 벡터 a^>=(x, -2), b^>=(4, 6)이 서로 수직이므 로 a^>•b^>=0에서
4x-12=0 .t3 x=3 .t3 x^2&+y^2=3^2&+(-2)^2=13
답13
232
⑴ x-2-2 =y-1 3
⑵ 방향벡터의 x성분이 0이므로 직선의 방정식은 x=-1
답 ⑴ x-2-2 =y-1
3 ⑵ x=-1
234
⑴ x-22-3 =y-3
3-1 .t3 -x+2=y-3 2
⑵ 2(x-2)+3(y-3)=0 .t3 2x+3y-13=0
답 ⑴ -x+2= y-32 ⑵ 2x+3y-13=0
236
직선 2x-y-5=0의 법선벡터가 n^>=(2, -1)이므로 이 직선에 수직인 직선의 방향벡터는 n^>=(2, -1) 따라서 점 (2, -1)을 지나고 방향벡터가 n^>=(2, -1)인 직선의 방정식은
x-22 =y+1
-1 .t3 x-2
2 =-y-1
답 x-22 =-y-1
238
⑴ 두 직선의 방향벡터는 각각 u^>=(2, -1), v^>=(4, 3)이므로 cos`theta= |u^>•v^>|
|u^>||v^>| = |2\4+(-1)\3|
▣~2&^2&+(-1)^2~▣~4^2&+3&^2~
= 5rt5\5 =rt5 5
.t3 sin`theta=▣~1-cos^2~&theta=▒~1-( rt55 )^^2=2rt5 5
⑵ 두 직선의 방향벡터는 각각 u^>=(2, 1), v^>=(1, 3)이므로 cos`theta= |u^>•v^>|
|u^>||v^>| = |2\1+1\3|
▣~2&^2&+1^2~▣~1^2&+3&^2~
= 5rt5rt10 =rt2 2
.t3 sin`theta=▣~1-cos^2&`theta=▒~1-( rt22 )^^2=rt2 2
답 ⑴ 2rt55 ⑵ rt2 2
240
⑴ 두 직선의 법선벡터는 각각 n_18=(1, 2),
6n_28=(3, 1)이므로 두 직선이 이루는 예각의 크기를 theta (0*-<theta-<90*)라 하면
cos`theta= |6n_18•6n_28|
|6n_18||6n_28| = |1\3+2\1|▣~1&^2&+2^2~▣~3^2&+1&^2~
= 5rt5rt10 =rt2 2 .t3 theta=45*
⑵ 두 직선의 법선벡터는 각각 6n_18=(rt3, 1), 6n_28=(1, rt3&~)이므로 두 직선이 이루는 예각의 크기를 theta (0*-<theta-<90*)라 하면 cos`theta= |6n_18•6n_28|
|6n_18||6n_28| = |rt3\1+1\rt3&|
◐(rt3&~)^2&+1^2◐1^2&+(rt3&~)^2&
= 2rt32\2 =rt3 2 .t3 theta=30*
답 ⑴ 45* ⑵ 30*
242
⑴ 두 직선의 방향벡터는 각각 u^>=(2, 3), v^>=(a, 1)
두 직선이 평행하면 v^>=ku^> (단, k는 0이 아닌 실수) 즉, (a, 1)=k(2, 3)에서 a=2k, 1=3k
.t3 k=1/3, a=2 /3
두 직선이 수직이면 u^>•v^>=0 즉, 2a+3=0에서 a=-3/2
⑵ 두 직선의 법선벡터는 각각 6n_18=(3, a), 6n_28=(2, -1) 두 직선이 평행하면
6n_18=k6n_28 (단, k는 0이 아닌 실수)
즉, (3, a)=k(2, -1)에서 3=2k, a=-k .t3 k=3/2, a=-3/2
두 직선이 수직이면 6n_18•6n_28=0
즉, 3\2+a\(-1)=0에서 a=6
답 ⑴ 평행&: 2/3, 수직&: -3/2
⑵ 평행&: -3/2, 수직&: 6
244
점 H는 주어진 직선 위의 점이므로 x-42 =y-5
3 =t (t는 실수)로 놓으면 x=2t+4, y=3t+5
.t3 H(2t+4, 3t+5)
.t3 ^-AH^>=^-OH^>-^-OA^>=(2t+5, 3t+1)
직선의 방향벡터는 u^>=(2, 3)이므로 u^>•^-AH^>=0에서 2(2t+5)+3(3t+1)=0
13t+13=0 .t3 t=-1 .t3 H(2, 2)
따라서 a=2, b=2이므로 a+b=2+2=4
답4
246
⑴ 원 위의 점을 P(x, y), 원의 중심을 C(1, 2)라 하 고 두 점 P, C의 위치벡터를 각각 p^>, c^>~라 하면
|p^>-c^>|=2
이때 p^>-c^>=(x-1, y-2)이므로
▣~(x-1)^2&+(y-2)^2=2 .t3 (x-1)^2&+(y-2)^2=4
⑵ 원 위의 점을 P(x, y), 지름의 양 끝점을 A(-3, 1), B(5, -5)라 하고 세 점 P, A, B의 위치벡터를 각각 p^>, a^>, b^>라 하자.
semoPAB는 ∠APB=90°인 직각삼각형이므로
^-AP^>⊥^-BP^> NLO ^-AP^>•^-BP^>=0^>
NLO (p^>-a^>)•(p^>-b^>)=0
이때 p^>-a^>=(x+3, y-1), p^>-b^>=(x-5, y+5) 이므로 (x+3)(x-5)+(y-1)(y+5)=0 x^2&-2x+y^2&+4y-20=0
.t3 (x-1)^2&+(y+2)^2=25
답 ⑴ (x-1)^2&+(y-2)^2=4
⑵ (x-1)^2&+(y+2)^2=25
247
두 점 (2, -1), (-1, 5)를 지나는 직선의 방향벡터는 u^>=(-1,5)-(2,-1)=(-3, 6)
이므로 이 직선에 평행한 직선의 방향벡터도 u^>=(-3, 6)이다.
점 A(4, 1)을 지나고 방향벡터가 u^>=(-3, 6)인 직선 의 방정식은 x-4-3 =y-1
6 .t3 x-4= y-1-2 따라서 a=4, b=1이므로 ab=4\1=4
답4
248
직선 l의 방향벡터는
u^>=(2, 4)-(-1, 3)=(3, 1) 직선 x+1a =y-3
2 의 방향벡터는 v^>=(a, 2) 두 직선이 서로 수직이면 두 직선의 방향벡터도 서로 수 직이므로
u^>•v^>=0에서 3\a+1\2=0 .t3 a=-2/3
답2/-3
249
직선 x-23 =y+3
4 의 방향벡터는 u^>=(3, 4)
x축, y축의 방향벡터를 각각 x^>, y^>~라 하면 x^>=(1, 0), y^>=(0, 1)
.t3 cos`alpha= |u^>•x^>|
|u^>||x^>| = |3\1+4\0|
▣~3&^2&+4^2~▣~1^2&+0&^2~3/=5 cos`beta= |u^>•y^>|
|u^>||y^>| = |3\0+4\1|
▣~3&^2&+4^2~▣~0^2&+1&^2~4/=5 .t3 cos`alpha+cos`beta=3/5&+4/5=7/5
답7/5
250
a^>=(1, 2), p^>=(x, y)이므로 p^>-a^>=(x-1, y-2)
⑴ p^>•(p^>-a^>)=0에서 (x, y)•(x-1, y-2)=0 이므로 x(x-1)+y(y-2)=0
x^2&-x+y^2&-2y=0
.t3 (x-1/2)^^2&+(y-1)^2=5/4
따라서 점 P는 중심의 좌표가 (1/2, 1)이고 반지름의 길이가 rt52 인 원 위에 있다.
⑵ a^>•(p^>-a^>)=0에서 (1, 2)•(x-1, y-2)=0 이므로 (x-1)+2(y-2)=0 .c3.c3 ㉠ 이때 ㉠은 법선벡터가 a^>=(1, 2)이고 한 점 (1, 2) 를 지나는 직선의 방정식이다.
따라서 점 P는 벡터 a^>에 수직이고 점 A를 지나는 직 선 위에 있다.
답 풀이 참조
251
⑴ |p^>|=3이므로 ▣~x^2&+y^2=3 .t3 x^2&+y^2=9 따라서 점 P는 중심이 원점이고 반지름의 길이가 3 인 원 위에 있다.
⑵ p^>-c^>=(x-2, y+1)이므로 |p^>-c^>|=1에서
▣~(x-2)^2&+(y+1)^2=1 .t3 (x-2)^2&+(y+1)^2=1
따라서 점 P는 중심이 C(2, -1)이고 반지름의 길 이가 1인 원 위에 있다.
답 풀이 참조
252
P(x, y)라 하면
^-PA^>=^-OA^>-^-OP^>=(4-x, -3-y)
^-PB^>=^-OB^>-^-OP^>=(2-x, -1-y) 이때 ^-PA^>•^-PB^>=0이므로
(4-x)(2-x)+(-3-y)(-1-y)=0 (x-4)(x-2)+(y+3)(y+1)=0 x^2&-6x+y^2&+4y+11=0
.t3 (x-3)^2&+(y+2)^2=2
따라서 점 P의 자취는 중심의 좌표가 (3, -2)이고 반 지름의 길이가 rt2인 원이므로
a=3, b=-2, r=rt2
.t3 abr=3\(-2)\rt2=-6rt2
답-6rt2
253
점 G는 semoABC의 무게중심이므로
^-OG^>= a^>+b^>+c^>3 .t3 a^>+b^>+c^>=3^-OG^>
.t3 |a^>+b^>+c^>|=|3^-OG^>|=3^-OG^-=3▣~3^2&+4^2=15
답15
254
b^>-c^>=^-OB^>-^-OC^>=^-CB^>이므로
|b^>-c^>|=20에서 ^-CB^-=20 이때 5a^>=3b^>+2c^>에서 a^>= 3b^>+2c^>5 = 3b^>+2c^>3+2 이므로
점 A는 선분 CB를 3~&:~2로 내분하는 점이다.
.t3 ^-AB^-=2/5^-CB^-=2/5\20=8
답8
255
(ⅰ) 5^-PA^>=-(2^-PB^>+3^-PC^>)에서
^-PA^>=- 3^-PC^>+2^-PB^>3+2 요게 뭔 소리?
3^-PC^>+2^-PB^>
3+2 는 선분 BC를 3~&:~2로 내분하는 점 D 를 가리키는 시점이 P인 위치벡터.
이 벡터의 방향을 바꾸면 벡터
^-PA^>가 된다는 소리.
따라서 점 P는 오른쪽 그림 과 같이 선분 AD의 중점.
(ⅱ) semoPBC는 semoABC와 밑변은 같고,높이는 1/2이므 로 삼각형 ABC의 넓이를 S라 하면
semoPBC=1/2&S semoABD=3/5&S이므로 semoPAB=1/2×3/5&S=3/10&S semoACD=2/5&S이므로 semoPCA=1/2×2/5&S=1/5&S .t3 semoPAB`&:`semoPBC`&:`semoPCA
=3/10&S`&:`1/2&S`&:`1/5&S
=3~&:~5~&:~2
답3~&:~5~&:~2
256
a^>=(k+1, 3)에서 |a^>|=5이므로
▣~(k+1)^2&+3^2=5
양변을 제곱하면 (k+1)^2&+9=25 (k+1)^2=16, k+1=/+-4 .t3 k=3 또는 k=-5 (ⅰ) k=3일 때,
a^>=(k+1, 3)=(4, 3)이고 b^>=(-2, k-1)=(-2, 2)이므로 a^>•b^>=4\(-2)+3\2=-2 (ⅱ) k=-5일 때,
a^>=(k+1, 3)=(-4, 3)이고 b^>=(-2, k-1)=(-2, -6)이므로 a^>•b^>=(-4)\(-2)+3\(-6)=-10
A
B D
P 3 2 C
(ⅰ), (ⅱ)에서 a^>•b^>의 값은 -2 또는 -10이다.
답-2, -10
257
a^>+b^>=(1, -x)+(x+4, -1)
=(x+5, -x-1) a^>-b^>=(1, -x)-(x+4, -1)
=(-x-3, -x+1)
두 벡터 a^>+b^>, a^>-b^>가 서로 수직이므로 (a^>+b^>)•(a^>-b^>)=0
(x+5)(-x-3)+(-x-1)(-x+1)=0 -x^2&-8x-15+x^2&-1=0, 8x=-16 .t3 x=-2
답-2
258
두 벡터 a^>, b^>~가 서로 수직이므로 a^>•b^>=0에서 2x-y=0 .t3 y=2x .c3.c3 ㉠
|b^>|=2rt5이므로 x^2&+y^2=(2rt5&~)^2
㉠을 위의 식에 대입하면 x^2&+4x^2=20 5x^2=20, x^2=4
.t3 x=2 또는 x=-2
따라서 x=2일 때 y=4, x=-2일 때 y=-4이므로
x+y=6 또는 x+y=-6
답6, -6
259
두 벡터 a^>-b^>, 5a^>+2b^>가 서로 수직이므로 (a^>-b^>)•(5a^>+2b^>)=0
5|a^>|^2&-3a^>•b^>-2|b^>|^2=0
두 벡터 a^>, b^>가 이루는 각의 크기를 theta (0*-<theta-<180*)라 하면
5|a^>|^2&-3|a^>||b^>|cos`theta-2|b^>|^2=0 .c3.c3 ㉠
|b^>|=2|a^>|를 ㉠에 대입하면 5|a^>|^2&-6|a^>|^2cos`theta-8|a^>|^2=0 -3|a^>|^2(1+2`cos`theta)=0 이때 |a^>|not=0이므로 1+2`cos`theta=0 .t3 cos`theta=-1/2
.t3 theta=120*
답120*
260
직선 l&: x+23 =2-y의 방향벡터는 u^>=(3, -1)이 고,직선 m&: x-2y+3=0의 법선벡터는 n^>=(1, -2) 이다.
이때 오른쪽 그림과 같이 두 벡 터 u^>, n^>의 시점을 두 직선의 교점으로 잡고 생각하면 두 직 선 l, m이 이루는 예각의 크기
가 theta이면 두 벡터 u^>, n^>이 이루는 각의 크기는 90*-theta이 므로
cos`(90*-theta)= |u^>•n^>|
|u^>||n^>|
= |3\1+(-1)\(-2)|
▣~3&^2&+(-1)^2~▣~1^2&+(-2)&^2~
= 5rt10rt5 =rt2 2 따라서 90*-theta=45*이므로 theta=45*
답45*
261
p^>-c^>=(x-3, y+1)이므로 (p^>-c^>)•(p^>-c^>)=10에서 (x-3)^2&+(y+1)^2=10
즉, 점 P(x, y)는 중심이 C(3, -1)이고 반지름의 길 이가 rt10인 원 위의 점이다.
이때 |p^>|의 값이 최대가 되는 것 은 오른쪽 그림과 같이 ^-OP^-가 원 의 지름이 될 때이므로 원의 중심 C는 ^-OP^-의 중점이다.
즉, x/2=3, y/2=-1이므로 x=6, y=-2
.t3 P(6, -2)
답P(6, -2)
262
^-OA^-의 중점 C의 위치벡터는
^-OC^>=1/2^-OA^>
^-BC^-의 중점 D의 위치벡터는
^-OD^>= ^-OB^>+^-OC^>2
l
m u
n -
P O
-1 C 3 y
x
A B
O
E C D
2 1
=^-OB^>+ 12 ^-OA^>
2
=1/4^-OA^>+1/2^-OB^>
^-AB^-~를 2~&:~1로 내분하는 점 E의 위치벡터는
^-OE^>= 2^-OB^>+^-OA^>2+1 =1/3^-OA^>+2/3^-OB^>
.t3 ^-DE^>=^-OE^>-^-OD^>
=(1/3^-OA^>+2/3^-OB^>)-(1/4^-OA^>+1/2^-OB^>)
=1/12^-OA^>+1/6^-OB^>=1/4(1/3^-OA^>+2/3^-OB^>)
=1/4^-OE^>
.t3 m=1/4
답1/4
263
P(x, y)라 하면
^-OP^>=m^-OA^>+n^-OB^>에서
^-OA^>=(3, 4), ^-OB^>=(4, 3), ^-OP^>=(x, y)이므로 (x, y)=m(3, 4)+n(4, 3)=(3m+4n, 4m+3n)
즉, x=3m+4n, y=4m+3n이므로
두 식을 연립하여 m, n을 x, y를 이용하여 나타내면 m=- 3x-4y7 , n= 4x-3y7
이때 m->0&, n->0&이고 m+n-<1이므로 - 3x-4y7 ->0, 4x-3y7 ->0,
- 3x-4y7 + 4x-3y7 -<1 .t3 y-> 3&4 x, y-<4/3&x, y-<-x+7 따라서 점 P가 나타내는 도 형은 오른쪽 그림의 색칠한
부분(경계선 포함)과 같이
semoOAB의 경계 및 내부이
semoOAB의 경계 및 내부이