⑵ l=2pai, S=3pai이므로 S=1/2rl에서 3pai=1/2\r\2pai .t3 r=3 l=rtheta에서 2pai=3theta .t3 theta=2/3pai
답 ⑴ 중심각의 크기: 5/4pai, 호의 길이: 5pai ⑵ 반지름의 길이: 3, 중심각의 크기: 2/3pai
251
부채꼴의 반지름의 길이를 r, 호 의 길이를 l이라 하면 둘레의 길 이가 20이므로
2r+l=20 .t3 l=20-2r
이때 20-2r>0, r>0이므로 0<r<10
부채꼴의 넓이를 S라 하면
S=1/2rl=1/2r(20-2r)=-r^2+10r
=-(r-5)^2+25
따라서 r=5, 즉 반지름의 길이가 5일 때, 부채꼴의 넓 이는 최대가 되고 그때의 넓이는 25이다.
답25
252
① -240*=360*\(-1)+120* ➡ 제 2 사분면의 각
② -120*=360*\(-1)+240* ➡ 제 3 사분면의 각
③ 120* ➡ 제 2 사분면의 각
④ 480*=360*\1+120* ➡ 제 2 사분면의 각
⑤ 820*=360*\2+100* ➡ 제 2 사분면의 각 따라서 나머지 넷과 다른 것은 ②이다.
답 ②
253
각 3theta를 나타내는 동경과 각 5theta를 나타내는 동경이 y축 에 대하여 대칭이므로
3theta+5theta=360*\n+180* (단, n은 정수) 8theta=360*\n+180*, 즉 theta=45*\n+22.5*
.t3 theta=22.5*, 67.5*, 112.5*, …
이 중에서 예각은 22.5*, 67.5*이므로 구하는 합은 22.5*+67.5*=90*
답90*
r
r 20-2r
254
① 30*=30\pai1/80=pai/6
② 108*=108\pai1/80=3/5pai
③ 200*=200\pai1/80=10/9pai
④ 3/4pai=3/4\180*=135*
⑤ 5/3pai=5/3\180*=300*
따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.
답 ⑤
255
부채꼴의 반지름의 길이를 r, 호의 길이를 l, 중심각의 크기를 theta라 하자.
둘레의 길이가 14이므로 2r+l=14 .c3.c3 ㉠ theta=1/3이므로 l=rtheta에서 l=1/3r .c3.c3 ㉡
㉡을 ㉠에 대입하면
2r+1/3r=14, 7/3r=14 .t3 r=6
.t3 S=1/2r^2theta=1/2\6^2\1/3=6
답6
256
반지름의 길이가 6, 중심각의 크기가 pai/3인 부채꼴의 넓 이는 1/2\6^2\pai/3=6pai
반지름의 길이가 r, 호의 길이가 6pai인 부채꼴의 넓이는 1/2\r\6pai=3pair
두 부채꼴의 넓이가 같으므로 6pai=3pair .t3 r=2
답2
258
semoADC는 세 변의 길 이의 비가 12~`:`1`:`1인
직각삼각형이다. -π4
-π8
-π8 A
B D C
Â2a
Â2a a
a
또 gakADC=gakABD+gakBAD이므로 gakBAD=gakADC-gakABD=pai/4-pai/8=pai/8 즉, semoABD는 AD^_=BD^_인 이등변삼각형이다.
답sin`theta=-5/13, cos`theta=12/13, tan`theta=-5/12
264
.t3 sin`theta=-1/2, cos`theta=- 13~2 , tan`theta=13~
3
답sin`theta=-1/2, cos`theta=- 13~2 , tan`theta=13~
3
cos`theta~sin`theta >0에서
cos`theta>0, sin`theta>0 또는 cos`theta<0, sin`theta<0
이므로 theta는 제 1 사분면 또는 제 3 사분면의 각이다.
cos`theta~tan`theta <0에서
cos`theta>0, tan`theta<0 또는 cos`theta<0, tan`theta>0
이므로 theta는 제 4 사분면 또는 제 3 사분면의 각이다. 즉, sin`theta>0, cos`theta<0, tan`theta<0이므로 tan`theta-sin`theta<0
(주어진 식)= cos^2`theta~(1+sin`theta)+cos^2`theta~(1-sin`theta)(1-sin`theta)(1+sin`theta) = 2~cos^2`theta1-sin^2`theta =2~cos^2`theta
cos^2`theta =2
답2
272
cos`theta=12/13이므로
sin^2`theta=1-cos^2`theta=1-(12/13)^^2=21/659 .t3 sin`theta=z5/13
그런데 theta는 제 4 사분면의 각이므로 sin`theta<0 .t3 sin`theta=-5/13
.t3 tan`theta= sin`thetacos`theta = -5/13
12 /
13 =-5/12
답sin`theta=-5/13, tan`theta=-5/12
다른 풀이
theta를 예각 x로 가정하면 cos`theta=12/13를 만족시키 는 직각삼각형은 그림과 같다.
이 직각삼각형에서 sin`x=5/13, tan`x=5/12
그런데 theta는 제 4 사분면의 각이므로 cos만 양수이다.
.t3 sin`theta=-5/13, tan`theta=-5/12
274
⑴ sin`theta-cos`theta=1/2의 양변을 제곱하면 sin^2`theta-2sin`theta`cos`theta+cos^2`theta=1/4
1-2sin`theta`cos`theta=1/4 .t3 sin`theta`cos`theta=3/8
⑵ (sin`theta+cos`theta)^2=1+2`sin`theta`cos`theta
=1+2.c13/8=7/4 ⑴ .t3 sin`theta+cos`theta=z 17~2
⑶ sin^3`theta-cos^3`theta
=(sin`theta-cos`theta)(sin^2`theta+sin`theta`cos`theta+cos^2`theta)
=1/2.c1(1+3/8)=11/16 ⑴
답 ⑴ 3/8 ⑵ z 17~2 ⑶ 11/16
276
이차방정식 2x^2-(13~+1)x+a=0의 두 근이 sin`theta, cos`theta이므로 근과 계수의 관계에 의하여 sin`theta+cos`theta= 13~~+12 …… ㉠
sin`theta`cos`theta=a/2 …… ㉡
㉠의 양변을 제곱하면
sin^2`theta+2`sin`theta`cos`theta+cos^2`theta= 4+213~4 1+2`sin`theta`cos`theta= 2+13~2
㉡을 이 식에 대입하면
1+2.c1a/2= 2+13~2 .t3 a=13~
2
답 13~2
12 13
x 5
277
OP^_=2(-4)^2+(x-3)^2x~=5 이므로
sin`theta=y/r=-3/5, cos`theta=x/r=-4/5, tan`theta=y/x=3/4 .t3 4`tan`thetasin`theta-cos`theta =
4.c13/4
-3/5-(-4/5)=15
답15
278
제 2 사분면은 사인네 동네 ➡ 사인만 양수
① sin`theta<0, cos`theta<0이므로 제 3 사분면의 각
② sin`theta<0, cos`theta>0이므로 제 4 사분면의 각
③ sin`theta>0, tan`theta>0이므로 제 1 사분면의 각
④ sin`theta>0, tan`theta<0이므로 제 2 사분면의 각
⑤ cos`theta>0, tan`theta<0이므로 제 4 사분면의 각
답 ④
279
1+cos`theta 1-cos`theta =4에서 1+cos`theta=4(1-cos`theta) 1+cos`theta=4-4`cos`theta 5`cos`theta=3 .t3 cos`theta=3/5 sin^2`theta=1-cos^2`theta
=1-(3/5)^^2=16/25 .t3 sin`theta=z4/5
그런데 theta가 제 4 사분면의 각이므로 sin`theta<0 .t3 sin`theta=-4/5
따라서 tan`theta= sin`thetacos`theta =-4/3이므로
10`cos`theta-9`tan`theta=10.c13/5-9.c1(-4/3)=18
답18
280
⑴ (sin`theta+cos`theta)^2=1+2`sin`theta`cos`theta
=1+2.c11/4=3/2
O
P -4
5 Ω
-3 y
x
.t3 sin`theta+cos`theta=z43/2~=z 16~2
⑵ (sin`theta-cos`theta)^2=1-2`sin`theta`cos`theta
=1-2.c11/4=1/2 .t3 sin`theta-cos`theta=z41/2~=z 12~2
⑶ (주어진 식)= cos^4`theta+sin^4`thetasin^2`theta`cos^2`theta~
= (sin^2`theta+cos^2`theta)^2-2`sin^2`theta`cos^2`thetasin^2`theta`cos^2`theta
= 1
(sin`theta`cos`theta)^2 -2
= 1(1/4)^^2-2=14
답 ⑴ z 16~2 ⑵ z12~
2 ⑶ 14
281
이차방정식 5x^2-7x+a=0의 두 근이 sin`theta, cos`theta이 므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 sin`theta+cos`theta=7/5 …… ㉠
sin`theta`cos`theta=a/5 …… ㉡
㉠의 양변을 제곱하면
sin^2`theta+cos^2`theta+2`sin`theta`cos`theta=49/25 1+2`sin`theta`cos`theta=49/25
.t3 sin`theta cos`theta=12/25
따라서 ㉡에서 a/5=12/25이므로 a=12/5
(sin`theta-cos`theta)^2=sin^2`theta+cos^2`theta-2`sin`theta`cos`theta
=1-2.c112/25=1/25 이므로 sin`theta-cos`theta=z1/5
그런데 sin`theta>cos`theta이므로 sin`theta-cos`theta>0 .t3 sin`theta-cos`theta=1/5
.t3 a sin`theta-cos`theta =
12 / 5 1 / 5 =12
답12
282
각 theta를 나타내는 동경과 각 5theta를 나타내는 동경이 x축
에 대하여 대칭이므로
theta+5theta=360*\n (단, n은 정수) 6theta=360*\n .t3 theta=60*\n
이때 0*<theta<180*이므로 theta=60* 또는 theta=120*
.t3 sin`theta=sin`60*=sin`120*=rt^3/2
답rt^3/2
283
원의 둘레의 길이는 2pair이고, 호의 길이는 중심각의 크 기에 비례하므로
l`:`alpha*=2pair`:`360*
2pairl = alpha*~360*
이때 l=r이면 2pair =r~ alpha*~
360* , 12pai = alpha*~
360*
.t3 alpha*= 360*~2pai =180*
pai
따라서 ㈎, ㈏에 알맞은 것은 각각 2pair, 180*pai 이다. 답 ㈎ 2pair, ㈏ 180*pai
284
부채꼴의 반지름의 길이를 r, 중심각의 크기를 theta라 하면 r=2, theta=360*-60*=2pai-pai/3=5/3pai
⑴ 호의 길이 l은 l=rtheta=2.c15/3pai=10/3pai
.t3 (부채꼴의 둘레의 길이)=l+2r=10/3pai+4
⑵ (부채꼴의 넓이)=1/2r^2theta
⑵ (부채꼴의 넓이)=1/2.c12^2.c15/3pai=10/3pai
답 ⑴ 10/3pai+4~ ⑵ 10/3pai
285
주어진 부채꼴의 호의 길이와 넓이는 각각 l=rtheta, S=1/2r^2theta이고,
theta를 1/2배 하면 1/2theta, r를 4배 하면 4r이다.
변화된 부채꼴의 호의 길이와 넓이를 각각 l', S'이라 하면
l'=(4r).c1(1/2theta)=2rtheta=2l S'=1/2(4r)^2.c1(1/2theta)=8.c11/2r^2theta=8S
따라서 호의 길이는 2배가 되고, 넓이는 8배가 된다.
답 ⑤
286
cos`thetaL0이고, 5 sin`theta~cos`theta t =-1sin`thetaz ~ 1cos`thetaz 이므로 sin`theta>0, cos`theta<0
즉, theta는 제2사분면의 각이므로
sin`theta-tan`theta>0, cos`theta-sin`theta<0, tan`theta<0 .t3 @(sin`theta-xtanx`theta)^2 x~-|cos`theta-sin`theta|-2tan^2`thetax
=(sin`theta-tan`theta)+(cos`theta-sin`theta)+tan`theta
=cos`theta
답cos`theta
287
sin`theta+cos`theta=13 의 양변을 제곱하면 sin^2`theta+2`sin`theta`cos`theta+cos^2`theta=3 1+2`sin`theta`cos`theta=3
.t3 sin`theta`cos`theta=1
답1
288
2x^2-kx+2=0의 두 근이 sin`theta, cos`theta이므로 sin`theta+cos`theta=k/2 …… ㉠
sin`theta`cos`theta=1 …… ㉡
㉠의 양변을 제곱하면
sin^2`theta+2`sin`theta`cos`theta+cos^2 theta= k^24 1+2`sin`theta`cos`theta= k^24
㉡을 이 식에 대입하면 3= k^24 .t3 k^2=12
답12
289
직선 y=x가 x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 theta 라 하면
tan`theta=1 .t3 theta=45*
a>0, b>0일 때, 직선 y=x에 대하여 대칭인 두 직선 y=ax, y=bx가 이루는 각의 크기가 30*인 경우는 그 림과 같다.
두 직선 y=ax, y=bx가 x축의 양의 방향과 이루는 각 의 크기는 각각 60*, 30*이므로
a=tan`60*=13 b=tan`30*=rt^3/3
.t3 3(a^2+b^2)=3 (3+1/3)=10
답10
290
부채꼴의 반지름의 길이를 r, 호의 길이를 l이라 하면 부채꼴의 넓이가 9이므로
9=1/2rl .t3 l=18/r 따라서 부채꼴의 둘레의 길이는 2r+l=2r+18/r
이때 2r>0, 18/r>0이므로
산술평균과 기하평균의 대소 관계에 의하여 2r+18/r_>242r.c118/rf =2.c16=12
(단, 등호는 2r=18/r, 즉 r=3일 때 성립) 따라서 부채꼴의 둘레의 길이의 최솟값은 12이다.
답12
291
OA^_=OB^_=1이므로 삼각함수의 정의를 이용하여 세 선분 OQ, AP, BQ의 길이를 각각 theta로 나타내면 OQ^_= OQ^_OB^_ =cos`theta
AP^_= AP^_OA^_ =tan`theta BQ^_= BQ^_OB^_ =sin`theta OQ^_=2 AP^_.c1BQ^_에서
cos`theta=2`tan`theta`sin`theta, cos`theta=2\ sin`thetacos`theta \sin`theta .t3 cos^2 theta=2`sin^2`theta
sin^2 theta+cos^2 theta=1이므로 1-sin^2 theta=2`sin^2`theta, 3`sin^2 theta=1 .t3 sin^2 theta=1/3
답1/3