=3135
⑶ k=10sig20k=k=1sig20k-sigk=1^9 k= 20.c1212 -9.c110 2 =165
답 ⑴ n^2+4n ⑵ 3135 ⑶ 165
530
⑴ sigk=1^5(2^k-4k)=sigk=1^5 2^k-4sigk=1^5 k
=(2^1+2^2+.c3+2^5)-4.c1 5.c162 = 2(2^5-1)2-1 -60=2
⑵ sigk=1^6(3^k^-^1+5)=sigk=1^6 3^k^-^1+sigk=1^6 5
=(1+3^1+3^2+.c3+3^5)+5.c16 = 1.c1(3^6-1)3-1 +30=394
답 ⑴ 2 ⑵ 394
532
⑴ [1단계] 1.c12, 2.c13, 3.c14, …에서 제~k~항은 a_k=k(k+1)=k^2+k
[2단계] S_n=sigk=1^n(k^2+k) =sigk=1^n k^2+sigk=1^n k
= n(n+1)(2n+1)6 + n(n+1)2 = n(n+1)(n+2)3
⑵ [1단계] 3^2, 5^2, 7^2, …에서 제~k~항은 a_k=(2k+1)^2=4k^2+4k+1 [2단계] S_n=sigk=1^n(4k^2+4k+1) =4sigk=1^n k^2+4sigk=1^n k+sigk=1^n 1 =4.c1 n(n+1)(2n+1)6
+4.c1 n(n+1)2 +n = n(4n^2+12n+11)3
답 ⑴ n(n+1)(n+2)
3 ⑵ n(4n^2+12n+11) 3
2 수열의 합
534
[1단계] 1, 1+2, 1+2+2^2, …에서 제~k~항은 a_k=1+2+2^2+.c3+2^k^-^1
= 1.c1(2^k-1)2-1
=2^k-1
[2단계] S_n=sigk=1^n(2^k-1)=sigk=1^n 2^k-sigk=1^n 1
= 2(2^n-1)2-1 -n
=2^n^+^1-2-n
답2^n^+^1-n-2
536
[1단계] 수열 {a_n}의 첫째항부터 제~n~항까지의 합 S_n이 S_n=n^2+n이므로
n_>2일 때, a_n=S_n-S_n_-_1
=(n^2+n)-{(n-1)^2+(n-1)}
=2n …… ㉠
n=1일 때, a_1=S_1=1+1=2
그런데 이것은 ㉠에 n=1을 대입한 값과 같다.
.t3 a_n=2n (n_>1)
[2단계] a_2_k_-_1=2(2k-1)=4k-2이므로 sigk=1
^10 a_2_k_-_1=sigk=1^10(4k-2)
=4sigk=1^10 k-sigk=1^10 2
=4.c1 10.c1112 -2.c110
=200
답200
538
⑴ sigj=1^4(i.c1j ^3)=isigj=1^4 j ^3=i.c1( 4.c152 )^^2=100i .t3 (주어진 식)=sigi=1^10 100i=100sigi=1^10 i .t3 (주어진 식)=100.c1 10.c1112 =5500
⑵ sign=1^5(m-n)=sign=1^5 m-sign=1^5 n =5m- 5.c162
=5m-15
.t3 sigm=1^5{sign=1^5(m-n)}=sigm=1^5(5m-15) =5sigm=1^5 m-15.c15
=5.c1 5.c162 -75=75-75=0
⑶ sigk=1^j 6=6j이므로 sigj=1
^i (sigk=1^j 6)=sigj=1^i 6j=6sigj=1^i j
=6.c1 i(i+1)2 =3(i ^2+i)
.t3 sigi=1^6{sigj=1^i(sigk=1^j 6)}=sigi=1^6 3(i ^2+i)=3 (sigi=1^6 i ^2+sigi=1^6 i) =3 ( 6.c17.c1136 +6.c17
2 )=336
답 ⑴ 5500 ⑵ 0 ⑶ 336
539
ㄱ. sigk=1^n k^2=1^2+2^2+3^2+.c3+n^2 sigk=0
^n k^2=0^2+1^2+2^2+3^2+.c3+n^2 .t3 sigk=1^n k^2=sigk=0^n k^2 (참)
ㄴ. sigk=1^n 2^k=2^1+2^2+2^3+.c3+2^n sigk=0
^n 2^k=1+2^1+2^2+2^3+.c3+2^n .t3 sigk=1^n 2^knot=sigk=0^n 2^k (거짓) ㄷ. sigi=1^m a_i+j=m+1signa_j
=(a_1+a_2+a_3+.c3+a_m)
+(a_m_+_1+a_m_+_2+a_m_+_3+.c3+a_n)
=sigk=1^n a^k (참) ㄹ. sigk=1^n(a_2_k_-_1+a_2_k)
=(a_1+a_2)+(a_3+a_4)+(a_5+a_6)
+.c3+(a_2_n_-_1+a_2_n)
=k=1sig2na_k (참)
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ, ㄹ이다.
답 ④
540
sigk=1
^10(a_k+1)^2=sigk=1^10(a_k^2+2a_k+1)
=sigk=1^10 a_k^2+2sigk=1^10 a_k+sigk=1^10 1
=sigk=1^10 a_k^2+2.c110+10
=sigk=1^10 a_k^2+30=80
.t3 sigk=1^10 a_k^2=80-30=50
답50
541
sigk=1
^10(k+5)(k-2)-sigk=1^10(k-5)(k+2)
=sigk=1^10(k^2+3k-10)-sigk=1^10(k^2-3k-10)
=sigk=1^10{(k^2+3k-10)-(k^2-3k-10)}
=sigk=1^10 6k=6sigk=1^10 k
=6.c1 10.c1112 =330
답330
542
1.c13+2.c15+3.c17+…+12.c125에서 제~k~항은 a_k=k(2k+1)=2k^2+k
.t3 sigk=1^12 a_k=sigk=1^12(2k^2+k)
=2sigk=1^12 k^2+sigk=1^12 k
=2.c1 12.c113.c1256 + 12.c1132
=1300+78=1378
답1378
543
[1단계] 수열 {a_n}의 첫째항부터 제~n~항까지의 합 S_n이 S_n=2^n^+^1-2이므로
n_>2일 때, a_n=S_n-S_n_-_1
=(2^n^+^1-2)-(2^n-2)
=2^n .c3.c3 ㉠
n=1일 때, a_1=S_1=4-2=2
그런데 이것은 ㉠에 n=1을 대입한 값과 같다.
.t3 a_n=2^n (n_>1) [2단계] a_k^2=2^2^k이므로
sigk=1
^4 a_k^2=sigk=1^4 2^2^k=sigk=1^4 4^k
= 4(4^4-1)4-1
= 4.c12553
=340
답340
544
sigm=1
^n mn=nsigm=1^n m=n.c1 n(n+1)2 =1/2(n^3+n^2) .t3 sign=1^4 ( sigm=1^n mn)=sign=1^4 1/2(n^3+n^2)
=1/2 (sign=1^4n^3+sign=1^4n^2)
=1/2{( 4.c152 )^2+4.c15.c196 }
=65
답65
546
⑴ 제~k~항 a_k를 구하여 부분분수로 변형하면 a_k= 1
k(k+1) =1/k- 1 k+1 .t3 sigk=1^na_k=sigk=1^n(1/k- 1k+1 )
=(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4) +.c3+(1/n- 1n+1 )
=1- 1n+1 = n n+1
⑵ 제~k~항 a_k를 구하여 부분분수로 변형하면 a_k= 1
(2k+1)^2-1
= 1
{(2k+1)-1}{(2k+1)+1}
= 1
2k(2k+2)
= 1
4k(k+1)
=1/4(1/k- 1k+1 ) .t3 sigk=1^na_k=1/4sigk=1^n(1/k- 1k+1 )
=1/4{(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4) +.c3+(1/n- 1n+1 )}
=1/4(1- 1n+1 )
= n
4(n+1)
답 ⑴ n
n+1 ⑵ n 4(n+1)
548
제~k~항 a_k를 구하여 분모를 유리화하면
a_k= 1 1k+1z+1k+2z
= 1k+1a-1k+2a
(1k+1z+1k+2z)(1k+1z-1k+2z)
=-(1k+1z-1k+2z) .t3 sigk=1^47 a_k=-sigk=1^47(1k+1z-1k+2z) =-{(12-13)+(13-14)
+(14-15)+.c3+(148q-149q)}
=-(12-149q)=7-12
답7-12
550
⑴ [1단계] 진수를 정리하면 1-1/k= k-1k [2단계] sigk=2^10`log~(1-1/k)
=sigk=2^10`log k-1k
=log`1/2+log`2/3+log`3/4+.c3+log`9/10 =log (1/2\2/3\3/4\…\9/10)
=log`1/10=-1
⑵ [1단계] 진수를 정리하면 k^2
k^2-1 = k.c1k (k-1)(k+1) [2단계] sigk=2^15`log` k^2k^2-1
=sigk=2^15`log` k.c1k (k-1)(k+1) =log 2.c121.c13 +log 3.c13
2.c14 +.c3+log 15.c115 14.c116 =log ( 2.c121.c13 \3.c13
2.c14 \.c3\15.c115 14.c116 ) =log 2.c1151.c116 =log 15/8
답 ⑴ -1 ⑵ log 15/8
552
[1단계] S_n=sigk=1^n a_k=1/3n(n+1)(n+2)이므로
n_>2일 때, a_n=S_n-S_n_-_1
=1/3n(n+1)(n+2)
-1/3n(n-1)(n+1) =1/3n(n+1){(n+2)-(n-1)}
=n(n+1) .c3.c3 ㉠
n=1일 때,
a_1=S_1=1/3.c11.c12.c13=2
그런데 a_1=2는 ㉠에 n=1을 대입한 값과 같으 므로 a_n=n(n+1) (n_>1)
[2단계] a_k=k(k+1)에서 a_k =1 1
k(k+1) =1/k- 1 k+1 .t3 sigk=1^n 1a_k=sigk=1^n (1/k- 1k+1 )
=(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4) +.c3+(1/n- 1n+1 )
=1- 1n+1 = n n+1
답 n n+1
554
주어진 식의 양변에 2를 곱하여 변끼리 빼면 S=1.c12+2.c12^2+3.c12^3+…+10.c12^1^0
-* 2 S= K 1.c1K2^2+K2.c12^3+K…+9.c12K^1^0+1K0.c12^1^1 K - S=(2+2^2+2^3+…+2^1^0)-10.c12^1^1
= 2(2^1^0-1)2-1 -10.c12^1^1=2^1^1-2-10.c12^1^1
=-9.c12^1^1-2 .t3 S=9.c12^1^1+2
답9.c12^1^1+2
555
제~k~항 a_k를 구하여 부분분수로 변형하면 a_k= 1
(2k)^2-1 = 1 (2k-1)(2k+1)
=1/2( 12k-1 - 1 2k+1 )
주어진 식은 첫째항부터 제~10~항까지의 합이므로 sigk=1
^10 a_k=sigk=1^10 1/2( 12k-1 - 1 2k+1 )
=1/2sigk=1^10 ( 12k-1 - 1 2k+1 )
=1/2{(1/1-1/3)+(1/3-1/5)+(1/5-1/7) +…+(1/19-1/21)}
=1/2(1-1/21)=10/21
답10/21
556
제~k~항 a_k를 구하여 분모를 유리화하면
a_k= 2
12k+2z+12kq
= 2(12k+2z -12kq ) (12k+2z +12kq )12k+2z-12kq )
= 2(12k+2z -12kq )2
=12k+2z -12kq
주어진 식은 첫째항부터 제~17~항까지의 합이므로 sigk=1
^17 a_k=sigk=1^17 (12k+2z -12kq )
=(14 -12 )+(16 -14 )+(18 -16 )
+.c3+(136q -134q )
=136q -12=6-12
답6-12
557
로그의 진수를 정리하면 k+3 +1=1 k+4
k+3 sigk=1
^60 log_2 ( 1k+3 +1)
=sigk=1^60 log_2 k+4k+3
=log_2 5/4+log_2 6/5+log_2 7/6+.c3+log_2 64/63
=log_2 (5/4\6/5\7/6\.c3\64/63)
=log_2 64/4=log_2~2^4=4
답4
558
sigk=1
^n 2 1k+1k+1z
=sigk=1^n 2(1k-1k+1z) (1k+1k+1z)(1k-1k+1z)
=2sigk=1^n(1k+1z-1k)
=2{(12-1)+(13-12)+.c3+(1n+1z-1n)}
=2(1n+1z-1)
2(1n+1z-1)=10이므로 1n+1z=6, n+1=36 .t3 n=35
답35
559
[1단계] sigk=2^n`log (1- 1k^2)
=sigk=2^n`log k^2-1k^2 =sigk=2^n`log (k-1)(k+1)k.c1k
=log 1.c132.c12 +log 2.c14
3.c13 +log 3.c15 4.c14
+.c3+log (n-1)(n+1)n.c1n
=log { 1.c132.c12 \2.c14 3.c13 \3.c15
4.c14
\.c3\ (n-1)(n+1)n.c1n }
=log (1/2\ n+1n )=log n+1 2n [2단계] sigk=2^n log~(1- 1k^2)=log 5/9에서 log n+1
2n =log 5/9 n+12n =5/9, 9n+9=10n .t3 n=9
답9
560
[1단계] 수열 {a_n}의 첫째항부터 제~n~항까지의 합 S_n이 S_n=2n^2+n이므로
n_>2일 때, a_n=S_n-S_n_-_1
=2n^2+n-{2(n-1)^2+(n-1)}
=2n^2+n-(2n^2-3n+1)
=4n-1 …… ㉠
n=1일 때, a_1=S_1=2+1=3
그런데 이것은 ㉠에 n=1을 대입한 값과 같다.
.t3 a_n=4n-1 (n_>1) [2단계] 1a_ka_k_+_1 = 1
(4k-1)(4k+3)
=1/4( 14k-1 - 1 4k+3 ) .t3 sigk=1^10 1a_ka_k_+_1
=1/4sigk=1^10 ( 14k-1 - 1 4k+3 )
=1/4{(1/3-1/7)+(1/7-1/11)
+(1/11-1/15)+…+(1/39-1/43)}
=1/4(1/3-1/43)=11/209
답11/209
561
[1단계] 처음 몇 항을 구해 규칙성을 찾는다. 8^1의 일의 자리 수는 8 .t3 a_1=8 8\8=64이므로
8^2의 일의 자리 수는 4 .t3 a_2=4 4\8=32이므로
8^3의 일의 자리 수는 2 .t3 a_3=2 2\8=16이므로
8^4의 일의 자리 수는 6 .t3 a_4=6 6\8=48이므로
8^5의 일의 자리 수는 8 .t3 a_5=8 [2단계] 8, 4, 2, 6이 반복되므로
sign=1
^100`a_n=(8+4+2+6)+…+(8+4+2+6) =(8+4+2+6)\25=500
답500
562
sigk=1
^n`(k^2+2)-sigk=1^n-1`(k^2+3)
=(sigk=1^n`k^2+sigk=1^n`2)-(sigk=1^n-1`k^2+sigk=1^n-1`3)
=(sigk=1^n`k^2-sigk=1^n-1`k^2)+2n-3(n-1)
=n^2+2n-3n+3=n^2-n+3 따라서 n^2-n+3=59이므로 n^2-n-56=0, (n-8)(n+7)=0 이때 n은 자연수이므로 n=8
답8
563
sigk=1
^10`a_k=a_1+a_2+…+a_9+a_1_0 =(a_1+a_2)+…+(a_9+a_1_0) =sigk=1^5`(a_2_k_-_1+a_2_k)
=5^2=25
답25
564
sigk=1
^10 (k^2+ak)=sigk=1^10 k^2+asigk=1^10 k
= 10.c111.c1216 +a ( 10.c1112 )
=385+55a=495 55a=110 .t3 a=2
답2
25번
565
f(a)=sigk=1^9 (k^2-2ak+a^2)
=sigk=1^9 k^2-2asigk=1^9 k+sigk=1^9 a^2
= 9.c110.c1196 -2a.c1 9.c1102 +9a^2
=9a^2-90a+285
=9(a-5)^2+60
따라서 이차함수 f(a)는 a=5에서 최솟값을 가지므 로 f(a)를 최소로 하는 상수 a의 값은 5이다.
답 ①
566
이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
m+n=16, mn=10 …… ㉠
sigj=1
^n (i+j)=sigj=1^n i+sigj=1^n j=ni+ n(n+1)2 .t3 sigi=1^m {sigj=1^n (i+j)}=sigi=1^m {ni+ n(n+1)2 }
=nsigi=1^m i+ mn(n+1)2
=n.c1 m(m+1)2 + mn(n+1)2
= mn(m+n+2)2
= 10(16+2)2 (.T3 ㉠)
=90
답90
567
[1단계] 수열 {a_n}의 첫째항부터 제n항까지의 합 S_n이 S_n=n^2+4n이므로
n_>2일 때, a_n=S_n-S_n_-_1
=n^2+4n-{(n-1)^2+4(n-1)}
=2n+3 …… ㉠
n=1일 때, a_1=S_1=1+4=5
그런데 이것은 ㉠에 n=1을 대입한 값과 같다.
.t3 a_n=2n+3 (n_>1) [2단계] a_2_k=2.c12k+3=4k+3이므로
sigk=1
^10 a_2_k=sigk=1^10 (4k+3)=4sigk=1^10 k+3.c110
=4.c1 10.c1112 +30=250
답250
568
주어진 조건에서 S_n=2^n^+^1+3이므로
a_1=S_1=7 …… ㉠
a_n=S_n-S_n_-_1=(2^n^+^1+3)-(2^n+3)=2^n (n_>2) {
이때 a_n=2^n에 n=1을 대입하면 a_1=2로 ㉠의 값과 일 치하지 않는다.
.t3 a_1=7, a_n=2^n (n_>2)
a_n=2^n에서 a_2_k_-_1=2^2^k^-^1=1/2.c14^k이고 sigk=1
^5 a_2_k_-_1=a_1+a_3+a_5+a_7+a_9이므로 sigk=1
^5 a_2_k_-_1=7+sigk=2^5 1/2.c14^k
=7+1/2sigk=2^5 4^k=7+1/2.c1 16(4^4-1)4-1
=7+ 8.c12553 =7+680=687
답687
569
[1단계] 제~k~항 a_k는 a_k= 1
k(k+1) 2 = 2
k(k+1)
=2 ( 1k- 1 k+1 ) [2단계] sigk=1^100`2( 1k- 1
k+1 )
=2{(1/1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)+…
+(11/00-11/01)}
=2 (1-11/01)=200/101
답200/101
570
(A-B)(A^2+AB+B^2)=A^3-B^3이므로
^31k =A, ^3!k+1q =B로 놓고 분모, 분자에 A-B를 곱 하면
1
^32k ^2 w+^3@k(k+1)x +^3@(k+1)^2x
= 1
A^2+AB+B^2
= A-B
(A^2+AB+B^2)(A-B) = A-B A^3-B^3
= ^31k-^31k+1zk-(k+1) =-(^31k~-^31k+1z~)
.t3 (주어진 식)=sigk=1^7{-(^31k~-^31k+1z~)}
=-{(^311~-^312~)+(^312~-^313~)+…
+(^317~-^318~)}
=-(^311~-^318~)=2-1=1
답1
571
로그의 기본 성질에 의하여 log_3(k+1)-log_3 k=log_3 k+1k .t3 sigk=1^80`{log_3 (k+1)-log_3 k}
=sigk=1^80`log_3 k+1k
=log_3 2/1+log_3 3/2+log_3 4/3+…+log_3 80/79+log_3 81/80
=log_3 (2/1.c13/2.c14/3.c1….c180/79.c181/80)
=log_3 81=4
답 ②
572
f(2)=1+3.c12+5.c12^2+…+19.c12^9+21.c12^1^0 …… ㉠
㉠의 양변에 2를 곱하여 빼면
f(2)=1+3.c12+5.c12^2+…+19.c12^9+21.c12^1^0 -* 2 f(2)= 1.c12+3.c12^2+…+17.c12^9+19.c12^1^0+21.c12^1^1 - f(2)=1+2.c12+2.c12^2+…+2.c12^9+2.c12^1^0-21.c12^1^1
=1+2(2+2^2+…+2^1^0)-21.c12^1^1
=1+2.c1 2(2^1^0-1)2-1 -21.c12^1^1
=1+2.c12^1^1-4-21.c12^1^1
=-19.c12^1^1-3 .t3 f(2)=19.c12^1^1+3
답 ②
573
양의 약수의 개수가 홀수인 수는 완전제곱수뿐이므로 100부터 400까지의 자연수 중 완전제곱수들의 총합을 구한다.
100=10^2, 11^2, 12^2, …, 20^2=400의 총합은 sig20
k=10 k^2=k=1sig20 k^2-sigk=1^9 k^2
= 20.c121.c1416 - 9.c110.c1196 =2585
답2585
574
일의 자리 또는 나머지 문제는 처음 몇 항을 구하여 규 칙성을 찾는다. 1부터 n까지의 합을 S_n이라 하면 S_n= n(n+1)2 이므로
n=1일 때 S_1=1 ➡ 1/1=1 .t3 a_1=0 n=2일 때 S_2=3 ➡ 3/2=1 … 1 .t3 a_2=1 n=3일 때 S_3=6 ➡ 6/3=2 .t3 a_3=0 n=4일 때 S_4=10 ➡ 10/4=2 … 2 .t3 a_4=2 n=5일 때 S_5=15 ➡ 15/5=3 .t3 a_5=0 n=6일 때 S_6=21 ➡ 21/6=3 … 3 .t3 a_6=3 n=7일 때 S_7=28 ➡ 28/7=4 .t3 a_7=0 n=8일 때 S_8=36 ➡ 36/8=4 … 4 .t3 a_8=4 {a_n}은 0, 1, 0, 2, 0, 3, 0, 4, …이므로 sign=1
^100 a_n=0+1+0+2+0+3+0+4+…+0+50 =1+2+3+…+50= 50.c1512 =1275
답1275
575
sigk=1
^n k= n(n+1)2 = n^2+n2 에서 n^2+n=2sigk=1^n k이므로 sigk=1
^n b_k=2sigk=1^n k=sigk=1^n 2k .t3 b_k=2k
n^2(n+1)^2
2 =2.c1 n^2(n+1)^24 =2{ n(n+1)2 }^2 =2sigk=1^n k^3=sigk=1^n 2k^3
이므로 sigk=1
^n a_kb_k-5sigk=1^n b_k=sigk=1^n (a_k-5)b_k=sigk=1^n 2k^3 이때 b_k=2k를 대입하면
(a_k-5)2k=2k^3
a_k-5=k^2 .t3 a_k=k^2+5 .t3 a_1_0=10^2+5=105
답105
576
한 변에 놓인 성냥개비의 개수가 n인 정사각형을 만들 때 필요한 성냥개비의 개수를 a_n이라 하면
… a¢
a£
a™
a¡
a_1=4 a_2=4+8 a_3=4+8+12 a_4=4+8+12+16 ⋮
a_1_0=4.c11+4.c12+4.c13+4.c14+…+4.c19+4.c110
=sigk=1^10 4k=4.c1 10.c1112
=220
답220
577
7번째 행 1번째 열의 수에 1을 더하면 7번째 행 2번째 열의 수이므로 먼저 7번째 행 1번째 열의 수를 구한다.
1번째 열의 수를 나열하면
1, 1+1, 1+(1+3), 1+(1+3+5), … .t3 a_n=1+sigk=1^n-1`(2k-1)
=1+2`sigk=1^n-1`k-(n-1)=2.c1 (n-1)n2 -n+2
=n^2-2n+2
즉, 7번째 행 1번째 열의 수는 a_7=7^2-2.c17+2=37 따라서 7번째 행 2번째 열인 곳에 오는 수는 37+1=38
답38
579
⑴ 첫째항이 1, 공차가 2인 등차수열이므로 a_n=1+(n-1).c12=2n-1
⑵ 첫째항이 1, 공비가 2인 등비수열이므로 a_n=1.c12^n^-^1=2^n^-^1
⑶ a_1=2, a_2=5인 등차수열이므로 공차: a_2-a_1=3
.t3 a_n=2+(n-1).c13=3n-1
⑷ a_1=2, a_2=4인 등비수열이므로 공비: a_2/a_1=2 .t3 a_n=2.c12^n^-^1=2^n
답 ⑴ a_n=2n-1 ⑵ a_n=2^n^-^1
⑶ a_n=3n-1 ⑷ a_n=2^n
581
a_n_+_1=a_n+4n의 n에 1, 2, 3, .c3, n-1을 차례로 대 입하여 변끼리 더하면
a_2=a_1+4.c11 a_3=a_2+4.c12 a_4=a_3+4.c13 .c3
+
*
a_n=ak
_n_-_1k
+k
4(nk
-1k
)k
a_n=1+4{1+2+3+…+(n-1)}
=1+4sigk=1^n-1 k=1+4\ (n-1)n2
=2n^2-2n+1
답a_n=2n^2-2n+1
583
a_n_+_1= nn+1 a_n의 n에 1, 2, 3, .c3 , n-1을 차례로 대입하여 변끼리 곱하면
a_2=1/2a_1 a_3=2/3a_2 a_4=3/4a_3
.c3
\ a_n= n-1n a_n_-_1
a_n=a_1\1/2\2/3\3/4\.c3\ n-1n = a_1\1/n
a_1=5이므로 a_n=5\1/n=5/n
답a_n=5/n
585
⑴ 올해의 씨앗 10개 중 20~%는 죽고, 나머지는 각각 5 배씩 씨앗을 내게 되므로
(10-10\21/000)\5=40 .c3.c3 ㉠
⑵ (n+1)년 후가 되면 n년 후의 씨앗 중 20%는 죽고, 나머지는 각각 5배씩 씨앗을 내게 되므로
a_n_+_1=(a_n-a_n\21/000)\5
.t3 a_n_+_1=4a_n .c3.c3 ㉡
⑶ ㉠에서 a_1=40이므로 ㉡에 n=1, 2, 3, 4를 차례로 대입하면
a_2=4a_1=4\40
=160
a_3=4a_2=4\160
=640
a_4=4a_3=4\640
=2560
a_5=4a_4=4\2560
=10240
따라서 5년 후에 뿌릴 씨앗의 개수는 10240이다.
답 ⑴ 40 ⑵ a_n_+_1=4a_n ⑶ 10240 다른 풀이
⑶ ㉠, ㉡에서 수열 {a_n}은 첫째항이 40이고 공비가 4 인 등비수열이므로
a_n=40\4^n^-^1
.t3 a_5=40\4^4=10240
따라서 5년 후에 뿌릴 씨앗의 개수는 10240이다.
587
[1단계] a_n=S_n-S_n_-_1을 S_n=n^2a_n에 대입하면 S_n=n^2(S_n-S_n_-_1)
.t3 S_n= n^2n^2-1 S_n_-_1
= n.c1n
(n-1)(n+1) S_n_-_1(n_>2) [2단계] S_n= n.c1n
(n-1)(n+1)S_n_-_1은 대입하여 곱하면 소거되는 대표적인 유형!
n에 2, 3, 4,.c3, n을 차례로 대입하여 변끼리 곱 한다.