01
⁄ 여학생끼리 이웃하여 앉는 경우여학생 3명을 한 사람으로 생각하여 4명이 원탁에 둘 러앉는 경우의 수는
(4-1)!=3!=6
여학생 3명이 자리를 바꾸는 경우의 수는 3!=6
따라서 구하는 경우의 수는 6_6=36
∴ a=36
¤ 남학생과 여학생이 교대로 앉는 경우 남학생 3명이 원탁에 둘러앉는 경우의 수는
(3-1)!=2!=2
이고, 이 각각에 대하여 여학생 3명이 남학생 사이사 이에 앉는 경우의 수는
3!=6
따라서 구하는 경우의 수는 2_6=12
∴ b=12
∴ a+b=48 48
02
⁄ 부부끼리 이웃하여 앉는 경우부부를 한 사람으로 생각하여 네 사람이 원탁에 둘러 앉는 경우의 수는
(4-1)!=3!=6
부부끼리 자리를 바꾸어 앉는 경우의 수는 2!=2이 므로 구하는 경우의 수는
6_2_2_2_2=96
∴ m=96 yy ❶
01 48 02 48 03 ④ 04 ⑤ 05 8 06 240 07 1500 08 09 ⑤ 10 110
12961
EXERCISES S U M M A C U M L A U D E 본문 043`~`044쪽
041
EXERCISES -`Ⅰ. 경우의 수
EXERCISES
¤ 부부끼리 마주 보고 앉는 경우
네 쌍의 부부를 (A, a), (B, b), (C, c), (D, d) 라 할 때, (A, a)가 먼저 앉는 경우의 수는 1이고, 다 음에 (B, b)가 앉는 경우의 수는 6, (C, c)가 앉는 경우의 수는 4, 마지막으로 (D, d)가 앉는 경우의 수는 2이므로 구하는 경우의 수는
1_6_4_2=48
∴ n=48 yy ❷
∴ m-n=96-48=48 yy ❸
48
03
8가지 색 중 안쪽 원의 내부를 칠할 4가지 색을 선택하는 경우의 수는 •C¢선택한 4가지 색으로 안쪽 원의 내부를 칠하는 경우의 수 는 (4-1)!=3!
나머지 4가지 색으로 안쪽 원의 외부를 칠하는 경우의 수는 4! (∵ 서로 구별되므로 원순열이 적용되지 않는다.) 따라서 구하는 경우의 수는
•C¢_3!_4!= _3!_4!= ④
04
10명이 원탁에 둘러앉는 경우의 수는 (10-1)!=9!주어진 직사각형 모양의 탁자에 둘러앉으면 서로 다른 경 우가 되는 자리가 5군데이다.
18!
1224 11554!4!8!
채점 기준 배점
❶ m의 값 구하기
❷ n의 값 구하기
❸ m-n의 값 구하기
40 % 40 % 20 %
따라서 구하는 경우의 수는 9!_5
처음 앉는 사람의 위치를 고정할 때, 가능한 자리는 다음 그림과 같이 ㉠~㉤의 5개이다.
각각의 자리마다 나머지 9명이 앉는 경우의 수는 9!이므 로 구하는 경우의 수는
5_9! ⑤
05
n개의 문제에 답하는 경우의 수는 ○, ×의 2개 중에서 중복을 허락하여 n개를 택하는 중복순열의 수와 같다.이때의 경우의 수가 256이므로
™P«=2« =256=2°
∴ n=8 8
06
서로 다른 사탕 6개 중에서 그릇 A에 2개를 담 는 경우의 수는§C™=15
각 경우에 대하여 나머지 4개의 사탕을 두 그릇 B, C에 담는 경우의 수는
™P¢=2› =16
따라서 구하는 경우의 수는
15_16=240 240
07
만의 자리에는 1, 2, 3, 4의 4가지만 올 수 있 고, 천의 자리, 백의 자리, 십의 자리에는 0, 1, 2, 3, 4로 각각 5가지가 올 수 있으며 일의 자리에는 0, 2, 4의 3가 지만 올 수 있으므로 구하는 짝수의 개수는ㄱ
ㄷ ㄴ
ㄹ ㅁ
4_∞P£_3=4_5‹ _3=1500 1500
08
c는 s보다 앞에 오고, i는 h보다 앞에, h는 e보다 앞에 오므로 c, s는 모두 A로 생각하고, i, h, e는 모두 B 로 생각하여 matBBmatBAA, 즉 mmaattAABBB 를 일렬로 나열한 다음 2개의 A 중 첫 번째 것을 c로, 두 번째 것을 s로 바꾸고, 3개의 B 중 첫 번째 것을 i로, 두 번째 것을 h로, 세 번째 것을 e로 바꾸면 된다.따라서 구하는 경우의 수는
= _11!
∴ k=
09
c가 맨 앞에 나오는 문자열의 개수는 o, f, f, e, e를 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로=30
e가 맨 앞에 나오는 문자열의 개수는 c, o, f, f, e를 일 렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로
=60
f, c, e가 앞에서부터 순서대로 나오는 문자열의 개수는 o, f, e를 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로
3!=6
f, c, f가 앞에서부터 순서대로 나오는 문자열의 개수는 o, e, e를 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로
=3
즉, 30+60+6+3=99이므로 fcfoee가 99번째 문자 열이 된다.
따라서 100번째 나오는 문자열은 fcoeef이다. ⑤ 1553!2!
1555!2!
11552!2!5!
12961 11
12296 12961 12111232!2!2!2!3!11!
10
다음 그림과 같이 도로를 연결해 놓고 보면 문제 에서 구하고자 하는 최단 경로의 수는 A지점에서 B지점 까지 가는 모든 최단 경로의 수에서 P지점을 거쳐 가는 최단 경로의 수를 뺀 것과 같다.A지점에서 B지점까지 가는 최단 경로의 수는
=210
A지점에서 P지점을 거쳐 B지점까지 가는 최단 경로의 수는
_ =100
따라서 구하는 최단 경로의 수는 210-100=110
A지점에서 B지점까지 가는 최단 경로의 수는 A⁄ Q ⁄ B의 경우 : _1=5
A⁄ R ⁄ B의 경우 : _ =50 A⁄ S ⁄ B의 경우 : _ =50
A⁄ T ⁄ B의 경우 : 1_ =5 이므로
5+50+50+5=110 110
125!4!
11552!3!5!
125!4!
125!4!
11552!3!5!
125!4!
A Q
R
S T
B 11553!2!5!
11553!2!5!
11556!4!10!
A
P
B
043
EXERCISES -`Ⅰ. 경우의 수
EXERCISES
01
조건에 의하여 여학생이 앉는 자리를 ●, 남학생 이 앉는 자리를 ○, 앉을 수 없는 자리를 ×라 하면 다음 그림과 같다.여학생 2명이 ● 표시된 곳에 앉는 경우의 수는 2 남학생 4명이 ○ 표시된 곳에 앉는 경우의 수는
4!=24
따라서 구하는 경우의 수는
2_24=48 48
02
서로 다른 면이 세 쌍 있으므로 고정시킬 수 있는 면이 3가지이다. 이 중 한 면에 임의의 1가지 색을 칠하여 고정시키면 마주 보는 면에는 5가지의 색을 칠할 수 있다.이때 옆면에 나머지 4가지 색을 칠하는 경우의 수는 2_(4-1)!=2_3!=12
따라서 직육면체를 칠하는 경우의 수는
3_5_12=180 180
03
⁄ 만들 수 있는 한 자리 자연수의 개수는 5¤ 만들 수 있는 두 자리 자연수의 개수
십의 자리에 올 수 있는 숫자는 0을 제외한 5개, 일의 자리에 올 수 있는 숫자는 6개이므로
5_6=30
01 48 02 180 03 ⑤ 04 ① 05 ⑤ 06 781 07 1380 0872 09 180 10 84
EXERCISES S U M M A C U M L A U D E 본문 045`~`047쪽 ‹ 만들 수 있는 세 자리 자연수의 개수
백의 자리에 올 수 있는 숫자는 0을 제외한 5개, 십, 일의 자리에 올 수 있는 숫자는 각각 6개이므로
5_§P™=5_6¤ =180
› 만들 수 있는 4000 미만의 네 자리 자연수의 개수 천의 자리에 올 수 있는 숫자는 1, 2, 3의 3개, 백, 십, 일의 자리에 올 수 있는 숫자는 각각 6개이므로
3_§P£=3_6‹ =648
⁄~›에 의하여 만들 수 있는 4000 미만의 자연수의 개수는
5+30+180+648=863
이므로 4000은 864번째 수이다. ⑤
04
천의 자리의 숫자가 1인 네 자리 자연수는¢P£=4‹ (개)
만들어지고, 이 수들의 천의 자리의 수의 합은 4‹ _10‹ 이다.
같은 방법으로 천의 자리의 숫자가 2, 3, 4인 네 자리 자 연수들의 천의 자리의 수의 합은 각각
2_4‹ _10‹ , 3_4‹ _10‹ , 4_4‹ _10‹
따라서 만들 수 있는 네 자리 자연수의 천의 자리의 수의 합은
4‹ _(1+2+3+4)_10‹
백, 십, 일의 자리에 대해서도 같은 방법으로 생각하면 각 자리의 수의 합은 다음과 같다.
백의 자리Δ 4‹ _(1+2+3+4)_10¤
십의 자리Δ 4‹ _(1+2+3+4)_10 일의 자리Δ 4‹ _(1+2+3+4)_1
따라서 만들 수 있는 모든 네 자리 자연수의 총합은 결국 각 자리의 수의 총합과 같으므로
4‹ _(1+2+3+4)_10‹
+4‹ _(1+2+3+4)_10¤
+4‹ _(1+2+3+4)_10 +4‹ _(1+2+3+4)_1
=4‹ _10_1111 ①
05
1을 네 번 이상 사용하면 반드시 1끼리 서로 이 웃하게 되므로 1은 세 번 이하로 사용해야 한다.⁄1을 사용하지 않는 경우
만의 자리에는 2만 올 수 있고 나머지 자리의 숫자를 택하는 경우의 수는 0, 2의 2개에서 중복을 허락하여 4개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로
™P¢=2› =16
¤1을 한 번 사용하는 경우
① 만의 자리에 1이 오면 나머지 자리에는 0 또는 2가 올 수 있으므로 ™P¢=2› =16
② 만의 자리에 2가 오면 나머지 자리의 숫자 중 하나 는 1이고 남은 세 자리에는 0 또는 2가 올 수 있으 므로 ¢C¡_™P£=4_2‹ =32
①, ②에서 자연수의 개수는 16+32=48
‹1을 두 번 사용하는 경우
① 만의 자리에 1이 오면 천의 자리를 제외한 나머지 자리의 숫자 중 하나는 1이고 남은 세 자리에는 0 또는 2가 올 수 있으므로
£C¡_™P£=3_2‹ =24
② 만의 자리에 2가 오면 천의 자리와 십의 자리 또는 천의 자리와 일의 자리 또는 백의 자리와 일의 자리 에 1이 와야 하고 남은 두 자리에는 0 또는 2가 올 수 있으므로 3_™P™=3_2¤ =12
①, ②에서 자연수의 개수는 24+12=36
›1을 세 번 사용하는 경우
만의 자리, 백의 자리, 일의 자리에 1이 와야 하고 남 은 두 자리에는 0 또는 2가 올 수 있으므로
™P™=2¤ =4
⁄~›에 의하여 구하는 자연수의 개수는
16+48+36+4=104 ⑤
06
두 부분집합 A, B에 대하여 순서쌍 (A, B)의 개수는 5개의 원소를 각각 다음 그림과 같은 ①, ②, ③,④의 4개의 영역 중 한 군데에 배치하는 경우의 수와 같 으므로
¢P∞=4fi =1024
이때 A;B=0인 순서쌍 (A, B)의 개수는 5개의 원 소를 각각 다음 그림에서 색칠한 부분을 제외한 3개의 영 역 중 한 군데에 배치하는 경우의 수와 같으므로
£P∞=3fi =243
따라서 구하는 순서쌍 (A, B)의 개수는
1024-243=781 781
07
a, b, b, c, c, c, d, d를 일렬로 나열하는 경우 의 수는=1680 yy ❶
⁄ 양 끝에 b가 오는 경우의 수는
a, c, c, c, d, d를 일렬로 나열하는 경우의 수와 같 으므로
=60
¤ 양 끝에 c가 오는 경우의 수는
a, b, b, c, d, d를 일렬로 나열하는 경우의 수와 같 으므로
=180
‹ 양 끝에 d가 오는 경우의 수는
a, b, b, c, c, c를 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으 므로
6! =60 1122!3!
1122!2!6!
1123!2!6!
11122!3!2!8!
U
A B
U
A B
1
2 3 4
045
EXERCISES -`Ⅰ. 경우의 수
EXERCISES
⁄, ¤, ‹에 의하여 양 끝에 서로 같은 문자가 오는 경 우의 수는
60+180+60=300 yy ❷
따라서 구하는 경우의 수는
1680-300=1380 yy ❸
1380
08
홀수이므로 일의 자리에는 1 또는 5가 와야 한다.⁄ 1 꼴의 자연수의 개수
0, 1, 4, 4, 5를 일렬로 나열하는 경우의 수는
=60
이 중 맨 앞에 0이 오는 경우의 수는
=12 이므로
1 꼴의 자연수의 개수는 60-12=48
¤ 5 꼴의 자연수의 개수
0, 1, 1, 4, 4를 일렬로 나열하는 경우의 수는
=30
이 중 맨 앞에 0이 오는 경우의 수는
=6 이므로
5 꼴의 자연수의 개수는 30-6=24
⁄, ¤에 의하여 구하는 홀수의 개수는
48+24=72 72
1122!2!4!
1122!2!5!
124!2!
125!2!
채점 기준 배점
❶ 8개의 문자를 일렬로 나열하는 경우의 수 구하기
❷ 양 끝에 서로 같은 문자가 오는 경우의 수 구하기
❸ 양 끝에 서로 다른 문자가 오는 경우의 수 구하기 30 % 50 % 20 %
09
4, 5, 6이 적힌 칸에 넣는 세 개의 공에 적힌 수 의 합이 5이고, 세 개의 공이 모두 같은 색인 경우는 다음 과 같다.⁄4, 5, 6이 적힌 칸에 흰 공 1, 2, 2를 넣는 경우의 수는
=3
이고, 나머지 5개의 칸에 흰 공 1과 검은 공 1, 1, 2, 2를 넣는 경우의 수는
=30
이므로 이때의 경우의 수는 3_30=90
¤4, 5, 6이 적힌 칸에 검은 공 1, 2, 2를 넣는 경우의 수는 ⁄과 같으므로 90
⁄, ¤에 의하여 구하는 경우의 수는
90+90=180 180
10
5개의 지점 중 어느 한 지점도 지나지 않고 A지 점에서 B지점까지 최단거리로 가려면 [그림 1]에서 색칠 한 부분만 지나야 한다.[그림 1] [그림 2]
[그림 2]에서 중간 지점 C, D, E를 잡아 A지점에서 B 지점까지 최단거리로 가는 경로의 수를 구하면
⁄A → C → B로 가는 경로의 수는
{ -1}_{ -1}=5_5=25
¤A → D → B로 가는 경로의 수는 _4!=16
123!
124!3!
1122!2!4!
1122!2!4!
1122!2!5!
123!2!
A
S R Q
T
P
B
A E
D C
B