=49 이고 모표준편차가 6, 표본의 크기가 9이므로 모평균 m 을 신뢰도 99%로 추정한 신뢰구간은
49-2.58_ …m…49+2.58_
∴ 43.84…m…54.16 43.84…m…54.16
07
표본평균의 값을 xÆ라 하면 모표준편차가 1.4, 표본의 크기가 49이므로 모평균 m에 대한 신뢰도 95 % 의 신뢰구간은xÆ-1.96_ …m…xÆ+1.96_
∴ xÆ-0.392…m…xÆ+0.392
이때 위의 신뢰구간이 a…m…7.992와 일치해야 하므로 xÆ+0.392=7.992 ∴ xÆ=7.6
∴ a=xÆ-0.392=7.6-0.392=7.208 ②
08
표본평균이 1050, 모표준편차가 r, 표본의 크기 1.4'∂49 1.4
'∂49
126 'ß9 126
'ß9
50+54+55+48+55+45+55+30+49 11111111111111111559
0.3-m 111440.016
0.3-m 111440.016
0.3-m 111440.016 0.3-m
111440.016 112344X’-m0.016 0.064 115444
093
EXERCISES -`Ⅲ. 통계
EXERCISES
가 25이므로 모평균 m을 신뢰도 95%로 추정한 신뢰구 간은
1050-1.96_ …m…1050+1.96_
이때 1050-1.96_ =1030.4이므로
1.96_ =19.6 ∴ r=50
따라서 a=1050+1.96_ =1069.6이므로 a+r=1069.6+50=1119.6 1119.6
09
표본의 크기가 36일 때 신뢰도 99%로 추정한 모평균에 대한 신뢰구간의 길이는2_3_ =12 yy ❶
표본의 크기가 n일 때 신뢰도 95%로 추정한 모평균에 대한 신뢰구간의 길이는
2_2_ = yy ❷
두 신뢰구간의 길이가 같으므로
=12, 'ßn=4
∴ n=16 yy ❸
16
10
ㄱ. A도시 고등학교 학생들의 몸무게의 모표준 편차가 B도시 고등학교 학생들의 몸무게의 모표준편 차보다 작으므로 A도시의 분포가 B도시의 분포보다 더 고르다. (참)12548 'ßn
12548 'ßn 12512
'ßn 11512
'∂36
12505 1r5
1r5
115r '∂25 115r
'∂25
채점 기준 배점
❶ 신뢰도 99%로 추정한 모평균에 대한 신뢰구 간의 길이 구하기
❷ 신뢰도 95%로 추정한 모평균에 대한 신뢰구 간의 길이를 n에 대한 식으로 나타내기
❸ n의 값 구하기
40 %
40 % 20 %
ㄴ. A도시의 모평균을 신뢰도 95%로 추정한 신뢰구간 의 길이는 2_1.96_ =1.176이고 B도시의 모평균을 신뢰도 99%로 추정한 신뢰구간의 길이는 2_2.58_ =1.032이므로 A도시의 모평균 을 신뢰도 95%로 추정한 신뢰구간의 길이가 B도시 의 모평균을 신뢰도 99%로 추정한 신뢰구간의 길이 보다 길다. (거짓)
ㄷ. 모집단이 정규분포 N(m, r¤ )을 따르고
P(|Z|…k)= 라 할 때, 이 모집단에서 크기가 n인 표본을 임의추출하여 신뢰도 a %로 추정한 모평 균의 신뢰구간의 길이는 2k 이다.
이때 신뢰도 a %가 일정하면 k의 값이 일정하므로 표본의 크기를 크게 하면 2k 의 값이 작아진다.
즉, 신뢰구간의 길이는 짧아진다. (참)
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. ㄱ, ㄷ 1544r
'ßn 1544r 'ßn 11100a
115444 'ƒ400
115443 'ƒ100
01 02 03 ③ 04 0.5929
112345X’-m10 112345X’-m30
14530¤9 11124(n+2)¤4n
5 11124(n+2)¤n¤
합계
1
095
EXERCISES -`Ⅲ. 통계
EXERCISES
∴ P(Y’æ68.5)=0.5+0.4878=0.9878 yy ❸
0.9878
06
모집단이 정규분포 N(1, 0.1¤ )을 따르고, 표본097
EXERCISES -`Ⅲ. 통계
EXERCISES
x’-2.58_ …m…x’+2.58_
∴ x’-0.86r…m…x’+0.86r
∴ P(X’£§’…m+2k)=P(X’¡¢¢”…m+k) (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. ③
01
[전략]ㄱ. 주어진 조건과 확률의 총합이 1임을 이용하여 p™의 값을 구한다.ㄴ, ㄷ. 0…p˚…1 (k=1, 2, 3)임을 이용하여 참, 거짓을 판단한다.
ㄱ. 2p™=p¡+p£이고 확률의 총합이 1이므로 p¡+p™+p£=3p™=1
∴ p™=
∴ P(X=2)= (참) ㄴ. 0…p¡…1, 0…p£…1이고,
p¡+p£=1- = 이므로 p£-p¡의 최댓값은
p£= , p¡=0일 때 이다. (참)
ㄷ. p£= -p¡이므로
E(X)=1_p¡+2_ +5_{ -p¡}
E(X)=4-4p¡
이때 0…p¡…1이므로 E(X)의 최댓값은 p¡=0일 때 4이다. (참)
따라서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다. ㄱ, ㄴ, ㄷ
02
[전략]X가 가질 수 있는 값을 일반화하는 표현을 구하면 계산이 쉽다.임의로 1개를 골라서 지운 수를 1 (x=1, 2, 3, 4, 5) 1x
123 113
123
123 123
123 113
113 113
01ㄱ, ㄴ, ㄷ 02평균： , 표준편차：
03⑤ 04⑤ 0533 0616 0718 088 090.2 100.266 1162 12 13⑤ 140.6131 152004 16357.5 1798 1825 191600
1443516
1344120'ß2 144401
Chapter
III
Exercises S U M M A C U M L A U D E 본문 240`~`245쪽 이라 할 때, 확률변수 X가 가질 수 있는 값은이고, 그 각각의 확률은 이므로
E(X)= _{ }
E(X)= =
V(X)= _[ ]-{ }¤
V(X)=
r(X)="√V(X) r(X)= =
평균： , 표준편차：
03
[전략]확률변수 X, Y, Z가 가질 수 있는 값을 각각 구해 본다.확률변수 X가 가질 수 있는 값은 1, 2, 3, y, 99
확률변수 Y, Z가 가질 수 있는 값은 2, 4, 6, y, 198
한편 1…k…99인 정수 k에 대하여
P(X=k)=P(Y=2k)=P(Z=2k)이므로 Y=Z=2X
따라서 V(Y)=V(2X)=4V(X), V(Z)=V(2X)=4V(X)이므로
V(X)<V(Y)=V(Z) ⑤
04
[전략]과정을 따라 빈칸에 알맞은 수를 구한다.주어진 X의 값이
0.1+0.021, 0.2+0.021, 0.3+0.021
11120'ß2 12401
1'ß2 1224444120 1544'ß25!
11444(5!)¤2
23445!3 1¤ +2¤ +3¤ +4¤ +5¤
11111112444(5!)¤
115 11 12240 23445!3
1+2+3+4+5 1111113445!
115
115 23445!x
099
EXERCISES -`Ⅲ. 통계
EXERCISES
0.121 0.221 0.321 합계
-1 0 1
06
[전략]확률변수 X가 이항분포 B(n, p)를 따를 때 E(X)=np이다.그래프에서 f(1)>0, f(2)>0, f(3)>0, f(4)>0, f(5)=0, f(6)<0이므로
P(A)= =
따라서 확률변수 X가 이항분포 B{24, }를 따르므로
E(X)=24_ =16 16
07
[전략]확률변수 X가 이항분포 B(n, p)를 따를 때 E(X)=np, V(X)=np(1-p)이다.E(3X)=3E(X)=18이므로 E(X)=6 E(3X¤ )=3E(X¤ )=120이므로 E(X¤ )=40
∴ V(X)=E(X¤ )-{E(X)}¤ =40-6¤ =4 확률변수 X가 이항분포 B(n, p)를 따르므로
E(X)=np=6 yy ㉠ V(X)=np(1-p)=4 yy ㉡
㉠을 ㉡에 대입하면 6(1-p)=4
1-p= ∴ p=
p= 을 ㉠에 대입하면 n_ =6
∴ n=18 18
08
[전략]주사위를 9번 던졌을 때 2의 눈이 나오는 횟수를 확 률변수 Y라 하고 X를 Y에 대한 식으로 나타낸다.주사위를 한 번 던졌을 때, 2가 나올 확률은 이고, 1이
나올 확률은 이다.
주사위를 9번 던졌을 때 2가 나오는 횟수를 확률변수 Y 라 하면
X=3Y+(9-Y)
=2Y+9 (Y=0, 1, y, 9) 이므로
113
123 113
113
113 123
123
123 123
146
V(X)=V(2Y+9)=4V(Y)
이때 확률변수 Y는 이항분포 B{9, }를 따르므로
V(Y)=9_ _ =2
∴ V(X)=4V(Y)=4_2=8 8
09
[전략]범위를 적당히 나눈 후 각 범위에 해당하는 확률을 미지수로 놓고 조건에 맞게 방정식을 세운다.P{0…X… }=a, P { …X… }=b,
P{ …X…1}=c라 하면 X의 확률밀도함수 f(x)가 f(-x)=f(x)를 만족시키므로 함수 y=f(x)의 그래프 는 직선 x=0을 기준으로 대칭이다. 즉,
P(-1…X…0)=P(0…X…1)=0.5 이므로
a+b+c=0.5 yy㉠
4P{0…X… }=3P { …X…1}에서 4(a+b)=3(b+c)
∴ 4a+b-3c=0 yy㉡
2P{0…X… }=P { …X…1}에서
2a=c yy㉢
㉠, ㉡, ㉢을 연립하여 풀면 a=0.1, b=0.2, c=0.2
∴ P{- …X…- }
∴=P{ …X… }=b=0.2 0.2
10
[전략]먼저 P(Xæ73)과 P(X<73)을 각각 구한다.이 회사 직원들의 이 날의 출근 시간을 확률변수 X라 하 면 X는 정규분포 N(66.4, 15¤ )을 따른다.
144107 144103
144103 144107
144107 144103
144103 144107
144107
144107 144103
144103 113 123
123
101
EXERCISES -`Ⅲ. 통계
EXERCISES
V(X)=100_ _ =25
이때 100은 충분히 큰 수이므로 X는 근사적으로 정규분
11234a-505 11234a-505
12441001 112345X-505
112
15 이때 P(0…Z…2.4)=0.49이므로
æ2.4 ∴ aæ62 112533V(X)4
123512 11234a-505
따라서 Z= 로 놓으면 확률변수 Z는 표준 ㄷ. P(X’>b)=P{Z> }=0.01이므로
P(Z>c)>P(Z>b-75)
P{ …Z…0}+0.5=0.9772
P{0…Z… }+0.5=0.9772
∴ P{0…Z… }=0.4772 이때 P(0…Z…2.0)=0.4772이므로
=2, m-2000=4
∴m=2004 2004
m-2000 155311X’-m2
1110¤25
103
EXERCISES -`Ⅲ. 통계
EXERCISES xÆ-1.96_ …m…xÆ+1.96_11223355r
'∂49
xÆ-1.96_ …m…xÆ+1.96_
이때 xÆ-1.96_ =1.73, xÆ+1.96_ =1.87 이므로 두 식을 연립하여 풀면
xÆ=1.8, r=0.25
∴ 180k=180_
∴ 180k=180_ =25 25
19
[전략]신뢰구간을 나타낸 식에서 적당히 이항하면 x ’와 m1.96_ …0.0196 'ßn æ40 ∴ næ1600
01
평균이 5.4분이고, 표준편차는 1.5분이므로 2.4 분과 8.4분은 평균으로부터 표준편차의 2배만큼 차이가 난다. 따라서 체비세프의 부등식에 의하여 2.4분에서 8.4분 사이로 연착되는 비행기는 전체의 1- = , 즉 75 %임을 추정할 수 있다. 75%134 132¤1 [APPLICATION] 0175%
Chapter