01 ⑴ 중복조합, n+r-1 C r
2. 중복조합과 이항정리
01 ⑴ 중복조합,n+r-1Cr ⑵ an-rb®r, 이항정리
⑶nCkan-k(=nCn-kan-k)
02 ⑴ 거짓 ⑵ 거짓 ⑶ 거짓 03 풀이 참조
Review Quiz S U M M A C U M L A U D E 본문 071쪽
‹A → E → B로 가는 경로의 수는 1
⁄, ¤, ‹에 의하여 [그림 2]에서 A지점에서 B지점까 지 최단거리로 가는 경로의 수는
25+16+1=42
따라서 구하는 경로의 수는 42_2=84
다음 그림과 같이 A지점에서 B지점까지 최 단거리로 가는 경로의 수를 구하면 42이다.
84 1
1 1
1 2 3 4 5 2 5 9 14 5 14 28
14 42
42
1 1 1 A
B
047
EXERCISES -`Ⅰ. 경우의 수
EXERCISES
로 x˚ 의 계수는 mCiam-i¥nCjbn-j=mCi¥nCjam-ibn-j 으로 나타내어진다.
이때 i+j=k를 만족시키는 i, j의 값을 위의 식에 대 입하여 더한 값이 x˚ 의 계수이다.
⑶ ⁄ 방정식 x¡+x™+y+x«=r의 음이 아닌 정수해 는 «H®개
⑶¤x«에 주목하여 생각해 보자.
x«=0일 때, ⁄의 방정식은 x¡+x™+y+x«–¡=r
이므로 음이 아닌 정수해는«–¡H®개이다.
x«=1일 때, ⁄의 방정식은 x¡+x™+y+x«–¡=r-1
이므로 음이 아닌 정수해는«–¡H®–¡개이다.
⋮
x«=r일 때, ⁄의 방정식은 x¡+x™+y+x«–¡=0
이므로 음이 아닌 정수해는«–¡Hº개이다.
⑶⁄, ¤에 의하여
⑶ «H®=«–¡H®+«–¡H®–¡+«–¡H®–™+y+«–¡Hº 풀이 참조
0184 02 45 03 36 04 130 05 36 06 120 07 ⑴ 280 ⑵ 105 08 ④ 09 3 10 165
EXERCISES S U M M A C U M L A U D E 본문 072`~`073쪽
01
£H®=®≠™C®=®≠™C™=•C™이므로 r+2=8 ∴ r=6∴ ¢H®=¢H§=¢≠§–¡C§=ªC§=ªC£=84 84
02
(a+b+c)⁄ ⁄ 의 전개식에서 세 문자 a, b, c가 모두 들어 있는 서로 다른 항이 되려면 먼저 a, b, c를 각 각 한 개씩 택한 후 나머지 8개를 택하면 된다.따라서 구하는 항의 개수는 a, b, c에서 중복을 허락하여 8개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로
£H•=£≠•–¡C•=¡ºC•=¡ºC™=45 45
03
⁄ 숫자 2가 0개인 경우2를 제외한 1, 3, 4의 3개에서 중복을 허락하여 5개 를 택하는 중복조합의 수와 같으므로
£H∞=£≠∞–¡C∞=¶C∞=¶C™=21 yy ❶
¤ 숫자 2가 1개인 경우
2를 제외한 1, 3, 4의 3개에서 중복을 허락하여 4개 를 택하는 중복조합의 수와 같으므로
£H¢=£≠¢–¡C¢=§C¢=§C™=15 yy ❷
⁄, ¤에 의하여 구하는 경우의 수는
21+15=36 yy ❸
36
채점 기준 배점
❶ 숫자 2가 0개인 경우의 수 구하기
❷ 숫자 2가 한 개인 경우의 수 구하기
❸ 숫자 2가 한 개 이하인 경우의 수 구하기
40 % 40 % 20 %
∴ £H™=£≠™–¡C™=¢C™=6 따라서 구하는 함수의 개수는
20×6=120 120
07
⑴ (x+a)‡ 의 전개식의 일반항은¶C®x7-rar
xfi 항은 7-r=5에서 r=2일 때이므로 xfi 의 계수는
¶C™a¤
이때 xfi 의 계수가 84이므로
¶C™a¤ =84, 21a¤ =84, a¤ =4
∴ a=2 (∵ a>0)
x› 항은 7-r=4에서 r=3일 때이므로 x› 의 계수는
¶C£a‹ =¶C£2‹ =35_8=280
⑵ (x¤ +1)‹ 의 전개식의 일반항은
£C®(x¤ )3-r1r=£C®x6-2r (x-y)‡ 의 전개식의 일반항은
¶Cßx7-s(-y)ß =¶Cß(-1)sx7-sys
따라서 (x¤ +1)‹ (x-y)‡ 의 전개식의 일반항은
£C®x6-2r¥¶Cß(-1)sx7-sys
=£C®¥¶Cß(-1)sx13-2r-sys
이때 xfi y› 항은 13-2r-s=5, s=4일 때이므로 r=2, s=4
따라서 xfi y› 의 계수는
£C™¥¶C¢(-1)› =3_35_1=105
(x-y)‡ 의 전개식에서만 y› 을 포함하고 있는 항을 얻을 수 있다.
¶C¢x‹ (-y)› =¶C¢(-1)› x‹ y› 이므로 xfi y› 항은 (x-y)‡ 의 전개식에서 x‹ y› 항과 (x¤ +1)‹ 의 전개식 에서 x¤ 항이 곱해질 때 나타난다.
(x¤ +1)‹ 의 전개식에서 x¤ 의 계수는 £C™이므로 xfi y›
의 계수는
£C™¥¶C¢(-1)› =3_35_1=105
⑴ 280 ⑵ 105
04
구하는 경우의 수는 사탕 8개를 4명에게 모두 나누어 주는 경우의 수에서 4명 모두 적어도 한 개의 사 탕을 받는 경우의 수를 뺀 것과 같다.사탕 8개를 4명에게 모두 나누어 주는 경우의 수는 서로 다른 4개에서 중복을 허락하여 8개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로
¢H•=¢≠•–¡C•=¡¡C•=¡¡C£=165
4명 모두 적어도 한 개의 사탕을 받는 경우, 먼저 4명에 게 사탕을 한 개씩 나누어 주고 남은 사탕 4개를 4명에게 나누어 주면 된다. 즉 이때의 경우의 수는 서로 다른 4개 에서 중복을 허락하여 4개를 택하는 중복조합의 수와 같 으므로
¢H¢=¢≠¢–¡C¢=¶C¢=¶C£=35 따라서 구하는 경우의 수는
165-35=130 130
05
x, y, z가 모두 홀수인 자연수이므로 x=2x'+1, y=2y'+1, z=2z'+1로 놓으면 x+y+z=17에서(2x'+1)+(2y'+1)+(2z'+1)=17
∴ x'+y'+z'=7 (단, x'æ0, y'æ0, z'æ0) 따라서 구하는 순서쌍 (x, y, z)의 개수는 3개의 문자 에서 중복을 허락하여 7개를 택하는 중복조합의 수와 같 으므로
£H¶=£≠¶–¡C¶=ªC¶=ªC™=36 36
06
f(1)…f(2)…f(3)…f(4)이고, f(4)=4이므 로 f(1), f(2), f(3)의 값을 정하는 경우의 수는 공역 A의 원소 1, 2, 3, 4에서 중복을 허락하여 3개를 택하는 중복조합의 수와 같다.∴ ¢H£=¢≠£–¡C£=§C£=20
f(5)…f(6)…f(7)이고, f(5)=5이므로 f(6), f(7) 의 값을 정하는 경우의 수는 공역 A의 원소 5, 6, 7에서 중복을 허락하여 2개를 택하는 중복조합의 수와 같다.
049
EXERCISES -`Ⅰ. 경우의 수
EXERCISES
08
¡ºCº+7_¡ºC¡+7¤ _¡ºC™+y+7⁄ ‚ _¡ºC¡º=¡ºCº1⁄ ‚ +¡ºC¡1· 7+¡ºC™1° 7¤ +y+¡ºC¡º7⁄ ‚
=(1+7)⁄ ‚ =8⁄ ‚ =2‹ ‚ ④
09
«Cº+«C¡+«C™+«C£+y+«C«=2« 이므로«C¡+«C™+«C£+y+«C«=2« -1 따라서 주어진 부등식은
500<2« -1<2050, 501<2« <2051 2· =512, 2⁄ ‚ =1024, 2⁄ ⁄ =2048이므로
구하는 자연수 n의 개수는 9, 10, 11로 3이다. 3
10
™Cº+£C¡+¢C™+y+¡ºC•=£Cº+£C¡+¢C™+y+¡ºC• (∵ ™Cº=£Cº)
=¢C¡+¢C™+y+¡ºC• (∵ £Cº+£C¡=¢C¡)
=∞C™+∞C£+y+¡ºC• (∵ ¢C¡+¢C™=∞C™)
⋮
=¡ºC¶+¡ºC•
=¡¡C•=¡¡C£=165
파스칼의 삼각형의 하키스틱의 법칙에 의하 여 ™Cº=1에서 시작하여 대각선 방향으로 더하면 꺾여 내려간 곳의 수와 같으므로
™Cº+£C¡+¢C™+y+¡ºC•=¡¡C•=¡¡C£=165
165
¡ºCº ¡ºC¡ ¡ºC™
™Cº ™C¡ ™C™
£Cº £C¡ £C™ £C£
¡Cº ¡C¡
…
…
…
¡ºC• ¡ºCª ¡ºC¡º
¡¡Cº ¡¡C¡ ¡¡C™ ¡¡C£ ¡¡C• ¡¡Cª ¡¡C¡º ¡¡C¡¡
01
천, 백, 십, 일의 자리의 숫자를 각각 a, b, c, d 라 하면 각 자리의 숫자의 합이 8이므로a+b+c+d=8 (단, aæ1, bæ0, cæ0, dæ0) 이때 a=a'+1로 놓고 위 방정식에 대입하면
(a'+1)+b+c+d=8
∴ a'+b+c+d=7 (단, a'æ0, bæ0, cæ0, dæ0) yy ㉠ 따라서 구하는 자연수의 개수는 방정식 ㉠의 음이 아닌 정수해의 개수와 같고, 이는 서로 다른 4개에서 중복을 허락하여 7개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로
¢H¶=¢≠¶–¡C¶=¡ºC¶=¡ºC£=120
천, 백, 십, 일의 자리의 숫자를 각각 a, b, c, d라 하면 구하는 자연수의 개수는 방정식 a+b+c+d=8의 음이 아닌 정수해의 개수에서 방정식 b+c+d=8의 음이 아닌 정수해의 개수를 뺀 것과 같다.
방정식 a+b+c+d=8을 만족시키는 음이 아닌 정수 해의 개수는 서로 다른 4개에서 중복을 허락하여 8개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로
¢H•=¢≠•–¡C•=¡¡C•=¡¡C£=165
방정식 b+c+d=8을 만족시키는 음이 아닌 정수해의 개수는 서로 다른 3개에서 중복을 허락하여 8개를 택하 는 중복조합의 수와 같으므로
£H•=£≠•–¡C•=¡ºC•=¡ºC™=45 따라서 구하는 자연수의 개수는
165-45=120 120
02
구하는 경우의 수는 2…x…y…z…6인 경우의 수와 2…x…z…y…6인 경우의 수를 더한 후 공통인 경 우의 수, 즉 2…x…y=z…6인 경우의 수를 뺀 것과 같다.01 120 02 55 03 200 04 345
05 405 06 1260 07 60 08 ② 09 ④ 10 4845
EXERCISES S U M M A C U M L A U D E 본문 074`~`075쪽
⁄2…x…y…z…6인 경우
이를 만족시키는 자연수 x, y, z의 순서쌍 (x, y, z) 의 개수는 5개의 자연수 2, 3, 4, 5, 6에서 중복을 허 락하여 3개를 택하는 중복조합의 수와 같다.
∴ ∞H£=∞≠£–¡C£=¶C£=35
¤2…x…z…y…6인 경우
이를 만족시키는 자연수 x, y, z의 순서쌍 (x, y, z) 의 개수는 5개의 자연수 2, 3, 4, 5, 6에서 중복을 허 락하여 3개를 택하는 중복조합의 수와 같다.
∴ ∞H£=35
‹2…x…y=z…6인 경우
이를 만족시키는 자연수 x, y, z의 순서쌍 (x, y, z) 의 개수는 5개의 자연수 2, 3, 4, 5, 6에서 중복을 허 락하여 2개를 택하는 중복조합의 수와 같다.
∴ ∞H™=∞≠™–¡C™=§C™=15
⁄, ¤, ‹에 의하여 구하는 경우의 수는
35+35-15=55 55
03
엘리베이터가 2층에서 7층까지 6개의 층 중 3 개의 층에서 사람이 내리므로 내린 층을 정하는 경우의 수는§C£=20
이때 6개의 층 중 3개의 층을 뽑아서 낮은 층부터 a층, b층, c층이라 하고 a층, b층, c층에서 내리는 사람 수를 각각 x, y, z라 할 때, 6명이 내렸으므로 내리는 사람 수 를 정하는 경우의 수는
x+y+z=6 (단, x, y, z는 자연수)
을 만족시키는 자연수 x, y, z의 해의 개수와 같고 이것 은 x=x'+1, y=y'+1, z=z'+1로 놓으면
x'+y'+z'=3 (단, x', y', z'은 음이 아닌 정수) 의 해의 개수와 같으므로
£H£=£≠£–¡C£=∞C£=∞C™=10 따라서 구하는 경우의 수는
20_10=200 200
04
8개의 흰 공을 서로 다른 3개의 상자에 넣는 경 우의 수는 £H•=£≠•–¡C•=¡ºC•=¡ºC™=45또 3개의 검은 공을 서로 다른 3개의 상자에 넣는 경우의 수는 £H£=£≠£–¡C£=∞C£=∞C™=10
이므로 서로 다른 3개의 상자에 흰 공 8개와 검은 공 3개 를 넣는 경우의 수는 45_10=450
하지만 문제에서 각 상자에 공을 반드시 넣어야 하므로 상자가 비어 있는 경우를 찾아 빼 준다.
⁄ 공을 넣지 않는 상자가 1개인 경우의 수 공을 넣지 않는 상자 1개를 택하는 경우의 수는
£C¡=3
나머지 2개의 상자에 적어도 1개의 공을 넣는 경우의 수는
™H•_™H£-2=™≠•–¡C•_™≠£–¡C£-2
=ªC•_¢C£-2
=ªC¡_¢C¡-2=9_4-2=34
∴ 3_34=102
¤ 공을 넣지 않는 상자가 2개인 경우의 수
상자 1개에 11개의 공을 모두 넣는 경우이므로 공을 넣는 상자 1개를 택하는 경우의 수는
£C¡=3
⁄, ¤에 의하여 구하는 경우의 수는
450-(102+3)=345 345
05
⁄ 조건 ㈎에서 x…3이면 f(x)…3이므로 f(1), f(2), f(3)의 값은 각각 1, 2, 3 중 하나이다.따라서 f(1), f(2), f(3)의 값을 정하는 경우의 수 는 공역 A의 원소 1, 2, 3의 3개에서 중복을 허락하 여 3개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로
£P£=3‹ =27 yy ❶
¤ 조건 ㈏에서 f(4)æf(5)이므로 공역 A의 원소 중 중복을 허락하여 2개를 택하면 f(4), f(5)의 값이 정해진다.
따라서 f(4), f(5)의 값을 정하는 경우의 수는 공역
051
EXERCISES -`Ⅰ. 경우의 수
EXERCISES
A의 원소 1, 2, 3, 4, 5의 5개에서 중복을 허락하여 2개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로
∞H™=∞≠™–¡C™=§C™=15 yy ❷
⁄, ¤에 의하여 구하는 함수의 개수는
27_15=405 yy ❸
405
06
x축과 y축을 따로 구분해서 생각하자.⁄x축 방향
개구리가 x축의 방향으로 1, 2, 3번째에 점프한 칸 수 를 x¡, x™, x£이라 하면 x축의 방향으로 3번 점프하여 8의 위치에 있는 경우의 수는 x¡+x™+x£=8을 만족 시키는 음이 아닌 정수해의 개수와 같다.
∴ £H•=£≠•–¡C•=¡ºC•=¡ºC™=45
¤y축 방향
개구리가 y축의 방향으로 1, 2, 3번째에 점프한 칸 수 를 y¡, y™, y£이라 하면 y축의 방향으로 3번 점프하여 6의 위치에 있는 경우의 수는 y¡+y™+y£=6을 만족 시키는 음이 아닌 정수해의 개수와 같다.
∴ £H§=£≠§–¡C§=•C§=•C™=28
⁄, ¤에 의하여 구하는 경우의 수는
45_28=1260 1260
07
(1+ax)« (1-x)fi 의 전개식에서 x¤ 의 계수를 구하려면(1+ax)« 의 상수항과 (1-x)fi 의 x¤ 의 계수, (1+ax)« 의 x의 계수와 (1-x)fi 의 x의 계수, (1+ax)« 의 x¤ 의 계수와 (1-x)fi 의 상수항 을 각각 곱하여 모두 더해야 한다.
채점 기준 배점
❶ f(1), f(2), f(3)의 값을 정하는 경우의 수 구 하기
❷ f(4), f(5)의 값을 정하는 경우의 수 구하기
❸ 함수의 개수 구하기
40 % 40 % 20 %
이때 (1+ax)« 의 전개식의 일반항은«C®(ax)® 이고, (1-x)fi 의 전개식의 일반항은 ∞Cß(-x)ß 이므로 x¤ 의 계수는 다음과 같다.
1¥∞C™+«C¡¥a¥(-∞C¡)+«C™¥a¤ ¥1
=10-5an+ =-6
a¤ n(n-1)-10an=-32 an(an-a-10)=-32
한편 자연수 a, n에 대하여 n은 næ4이므로 an이 될 수 있는 수는 4, 8, 16, 32이다.
⁄an=4, an-a-10=-8인 경우 a=2, n=2
이므로 næ4에 모순이다.
¤an=8, an-a-10=-4인 경우 a=2, n=4
‹an=16, an-a-10=-2인 경우 a=8, n=2
이므로 næ4에 모순이다.
›an=32, an-a-10=-1인 경우 a=23, n=
이므로 n이 자연수임에 모순이다.
⁄~›에 의하여 a=2, n=4이므로 구하는 값은
10(a+n)=10_(2+4)=60 60
08
0.98=1-0.02이므로 (0.98)‡ =(1-0.02)‡=¶Cº-¶C¡(0.02)+¶C™(0.02)¤
-¶C£(0.02)‹ +y-¶C¶(0.02)‡
이때 소수점 아래 넷째 자리까지 계산하는 데 영향을 미 치는 항은 네 번째 항까지이다.
1-¶C¡(0.02)+¶C™(0.02)¤ -¶C£(0.02)‹
=1-0.14+0.0084-0.00028=0.86812
따라서 (0.98)‡ 을 반올림하여 소수점 아래 넷째 자리까
지 나타내면 0.8681이다. ②
1443223 a¤ n(n-1) 11112442
09
•C•_¡™C¶+•C¶_¡™C§+•C§_¡™C∞x'+y'+z'+u'=0, x'+y'+z'+u'=1, y, x'+y'+z'+u'=16