IS IT REALLY Z ER O?
4. Conclusion
The questions raised in this article form an active area of research in computation. It has connections to computational geometry, computer algebra, transcendental number theory, geometric modeling, automatic theorem proving and complexity theory. The questions also brings new insights into the theory of real computation, an important area whose foundations are still unsettled. To read more about these topics, you may consult the survey paper[2].
You may also be interested to know that there are software libraries where these techniques are easily accessible by any programmer. That is, one can write an ordinary looking program2)with the property that no error is ever committed in its numerical operations, and where comparisons are error-free. This is true liberation from the uncertainty caused by numerical errors in conventional programming languages. We believe that such libraries will become a standard fare in the future.
Acknowledgment
I thank Andreas Bender and Sungwoo Choi for their insightful comments.
어떤 수식이 0인지 아닌 지를 판별하는 문제를 생각해 보자.
예를 들어 이 0인가? 아마도 계산기를 이용해서 다음과 같은 식 으로 생각해 볼 수 있을것이다.
이와 같은 방식으로 보면 주어진 수식이 0인 것 같지만, 그런 결론을 얻는 것이 반올림이나 버림에 의한 것인지 분명하지 않 다. 그래서 답을 얻을 때까지 점점 더 높은 정확도로 계산을 해 볼 수 있을 것이다. 하지만 조금 생각해 보면, 정확도를 높임으 포써 이 수식이 0이 아님을 확인할 수는 있지만, 0임을 보일 수 는 없다는 것을 알 수 있다.
많은 계산문제들을 해결하는 데에는 어떤 수식이 0임을 결정 하는 일이 핵심적인 역할을 한다. 특히 모든 기하학 현상은 적당 한 기하적 술어(geometric predicate)들을 적용하여 생기는 이 산적 관계에 의해 일어나고, 기하적 술어는 그에 대응하는 수식 이 0임을 결정하는 것과 같기 때문이다. 그리고 0을 판별하는 문 제는 많은 기하적인 알고리듬의 치명적인 에러 현상을 해결하는 데 중요하다는 것을 알 수 있다.
위와 같은 대수적 수식의 경우에는 0을 결정하는 알고리듬이 존재한다. 문제는 이런 알고리듬이 계산적으로 효율적이지 못할 수도 있다는 것이다. 그리고 더 일반적인 0의 결정문제는 아직 도 알려진 것이 별로 없다.
이러한 이유로 0을 결정하는 문제는 계산연구분야에서 활발 히 연구되고 있고, 계산기하, 계산대수, 초월수이론, 수치계산론 과 복잡도이론 등에 연관되어 있다.
⁄2 1 ⁄3 -fl5 1 6⁄6 = 1.4142 1 1.7320 - 5 1 232.4494 (1) = 3.1462 - fl9.8989
= 3.1462 - 3.1462
= ?
한글요약본
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요약 _ 배성일·고등과학원 계산과학부 연구원
징검다리
내 하루의 처음과 마지막 기도,한 해의 처음과 마지막 기도
그리고 내 한 생애의 처음과 마지막 기도는‘감사합니다!’라는 말이 되도록 감사를 하나의 숨결같은 노래로 부르고 싶습니다.
감사하면 아름다우리라. 감사하면 행복하리라.
감사하면 따뜻하리라. 감사하면 웃게 되리라.
감사가 힘들 적에도 주문을 외우듯이 시를 읊듯이 항상 이렇게 노래 해 봅니다.
오늘 하루도 이렇게 살아서 하늘과 바다와 산을 바라볼 수 있음을 감사합니다.
하늘의 높음과 바다의 넓음과 산의 깊음을 통해 오래 오래 사랑하는 마음을 배울 수 있어 행복합니다.
마음만 먹으면 언제나 사계절이 아름다운 정원으로 산책을 나갈 수 있고 새들이 지저귀는 숲길에서 고요히 기도할 수 있어 행복합니다.
마음만 먹으면 언제나 좋은 책을 골라 읽을 수 있고 벗들에게 편지를 쓸 수 있는 조그만 사색의 공간이 있는 것도 행복합니다.
모든 것을 은총의 선물로 받아 안을 수 있는 신앙 안에서
절망 보다는 희망과 용기를 더 자주 선택할 수 있음을 감사합니다.
열심히 가꾸지 않으면 신앙의 나무도 이내 시들어버리기에 조금은 긴장하며 살고 있고 이 긴장이 나의 삶을 더욱 탄력있게 만들어 줌을 믿기에 행복합니다.
이 해 인
감사 의 행복
나와 특별한 인연을 맺은 가족, 친지, 이웃...
얼굴과 목소리와 성격이 다른 많은 사람들을 통해 삶의 다양성을 배우고 나 자신을 다시 볼 수 있게 해 주어 감사합니다.
그들이 나에게 준 웃음,칭찬,격려 그리고 눈물,비난,충고가 모두 삶의 양식이 되고 나의 성숙에 보탬이 되었음을 새롭게 깨달아 행복합니다.
지구촌에서 일어나는 아프고 슬픈 일들에 눈물 흘릴 줄 알고
멀리 있는 이웃의 고통과 불행에 함께 괴로워할 수 있는 따뜻한 연민의 마음과 구체적으로 도우려는 의지와 열정이 있음을 감사합니다
선과 악을 분별하는 차가운 지혜, 자신을 객관화 할 수 있는 서늘한 지성을 필요할 때마다 적절하게 활용할 수 있어 행복합니다.
인간의 삶은 유한하다는 것, 만남의 끝에는 이별이 있다는 것을 좀 더 예민하게 알아듣고 주어진 순간 순간을 보물처럼 소중히 여길 수 있어 감사합니다.
사랑하는 이들과의 사별에서 오는 깊은 슬픔을 통해 삶의 태도가 조금은 변화되었음을 감사합니다.
세속적인 욕심을 줄이고 영적인 갈망을 늘여 가는 기쁨을 새롭게 발견하여 행복합니다.
좀 더 겸손한 눈길로 사람들을 바라보고 삶을 이해하는 법을 배울 수 있게 한 크고 작은 사건들과 이름 모를 비애에게도 감사합니다.
때로 나를 외롭게 하는 하느님과 말이 필요할 때 오히려 침묵하는 나의 벗들에게도 감사합니다.
사랑의 또 다른 모습은 참회와 용서임을 날마다 새롭게 배울 수 있어 감사합니다.
지난 한해를 마무리하며 돌아보는 나의 게으름과 불충실함을 참회하고 나름대로 선하고 진실하게 살려고 노력했던 부분들에 대하여 감사합니다.
때로는 부끄러워 얼굴을 못 드는 자신의 모습을 겸허히 받아들이고 다시 시작할 수 있는 힘과 용기를 지닐 수 있기에 행복합니다.
감사하기 힘든 때일수록 더 자주 감사함으로써
감사가 기도의 시작임을 새롭게 배우고 확신할 수 있기에 행복합니다.
오직 감사 안에서 새날 새 삶으로 이어지는 순결한 기쁨이여,빛나는 행복이여 이제 다시 향기로운 꽃으로 피어나려는 나의 다른 이름이 바로‘감사’이게 하소서!
Conference Report
글 _ 박 권·고등과학원 물리학부 조교수