➌
a>;3@; 일 때, a의 값을 구한 경우 30`%
➍
a의 값을 구한 경우 10`%
03
산책로의 폭이 x`m이므로 x>0 산책로의 넓이는(18+2x)(12+2x)-18_12=4xÛ`+60x 이므로
136É4xÛ`+60xÉ400
34ÉxÛ`+15xÉ100 yy ➊
Ú xÛ`+15x¾34에서
xÛ`+15x-34¾0 (x+17)(x-2)¾0 xÉ-17 또는 x¾2
x>0이므로 x¾2 yy ➋
Û xÛ`+15xÉ100 xÛ`+15x-100É0 (x+20)(x-5)É0 -20ÉxÉ5
x>0이므로 0<xÉ5 yy ➌ Ú, Û 에서 공통 부분은 2ÉxÉ5 yy ➍
2ÉxÉ5
단계 채점 기준 비율
➊ 산책로의 넓이를 식으로 나타내어 부등식을 세
운 경우
30`%
➋ 이차부등식의 해를 구한 경우
30`%
➌ 이차부등식의 해를 구한 경우
30`%
➍ 조건을 만족시키는 연립부등식의 해를 구한 경우
10`%
01
1402
④03
9고난도 문항
내신
+수능
본문 61쪽01
xÝ`-(2a+1)xÛ`+aÛ`+a-6=0에서 xÛ`=X라 하면 XÛ`-(2a+1)X+(a+3)(a-2)=0{X-(a-2)}{X-(a+3)}=0 X=a-2 또는 X=a+3 xÛ`=a-2 또는 xÛ`=a+3 a<-3일 때 f(a)=0 a=-3일 때 f(a)=1 -3<a<2일 때 f(a)=2 a=2일 때 f(a)=3 a>2일 때 f(a)=4 따라서
f(-5)+f(-3)+f(-1)+f(2)+f(4)+f(6)
=0+1+2+3+4+4
=14
14
(상) 해 20-41 올림기본 2단원-오2.indd 35 2017-11-01 오전 10:40:14
36 올림포스•수학 (상)
f(2)=2Û`-2(2m+4)-m=-5m-4,
f(-2)=(-2)Û`+2(2m+4)-m=3m+12이므로 (-5m-4)(3m+12)É0
(5m+4)(3m+12)¾0에서 mÉ-4 또는 m¾-;5$;
Û `f(-2) f(2)>0인 경우
f(2)=-5m-4>0에서 m<-;5$; yy ㉡ f(-2)=3m+12>0에서 m>-4 yy ㉢ 대칭축이 x=m+2이므로 -2<m+2<2가 성립해야 한
다.
-2<m+2<2에서 -4<m<0 yy ㉣ ㉠, ㉡, ㉢, ㉣에서
03
ABÓ=3x, ADÓ=3x+6이라 하자.삼각형 BCPÁ의 넓이 SÁ은 SÁ=;2!;_(3x+6)_3x
=;2(;(xÛ`+2x)
사각형 PÁQªQÁPª의 넓이 Sª는 삼각형 PÁQªD의 넓이에서 삼 각형 PªQÁD의 넓이를 뺀 값과 같으므로
Sª=;2!;{2x(2x+4)-x(x+2)}=;2#;(xÛ`+2x) 그러므로
SÁ-Sª=;2(;(xÛ`+2x)-;2#;(xÛ`+2x)=3(xÛ`+2x) 9ÉSÁ-SªÉ24에서 9É3(xÛ`+2x)É24 3ÉxÛ`+2xÉ8
àxÛ`+2x¾3 yy ㉠
xÛ`+2xÉ8 yy ㉡
㉠에서 xÛ`+2x-3¾0 (x+3)(x-1)¾0
xÉ-3 또는 x¾1 yy ㉢
㉡에서 xÛ`+2x-8É0
정답과 풀이 37
01
x1+i =(1+i)(1-i)x(1-i) = x-xi2 ,1-i =y
y(1+i)
(1-i)(1+i)= y+yi2 이므로 1+i +x y
1-i =x-xi
2 +y+yi 2 = x+y2 +-x+y
2 i
=4+3i
복소수가 서로 같을 조건에 의하여 x+y2 =4, -x+y
2 =3 x+y=8, -x+y=6 위의 두 식을 연립하여 풀면 x=1, y=7
따라서 xy=7
7
02
이차방정식 xÛ`+2(2-m)x+3m=0의 판별식을 D라 할 때,D4 =(2-m)Û`-3m=0 mÛ`-4m+4-3m=0 mÛ`-7m+4=0
근과 계수의 관계에 의하여 m의 값의 합은 7이다.
⑤
03
f(x)=xÛ`-(k-3)x+k-2라 하면f(0)<0일 때, x축과 서로 다른 두 점에서 만나고 두 점의 x좌 표의 부호가 다르다.
f(0)=k-2<0 k<2
따라서 정수 k의 최댓값은 1이다.
①
04
x에 대한 이차방정식 xÛ`-mx+m+2=0의 한 근이 다 른 근의 2배이므로 두 근을 a, 2a라 하면 근과 계수의 관계에서a+2a=m yy ㉠
a_2a=m+2 yy ㉡
㉠에서 a= m3 이고 이 식을 ㉡에 대입하면 2mÛ`9 =m+2
2mÛ`-9m-18=0
따라서 모든 상수 m의 값의 합은 근과 계수의 관계에서 ;2(; 이다.
⑤
05
à3x+y=5 xÛ`+yÛ`=5 yy ㉠yy ㉡㉠에서 y=5-3x yy ㉢
㉢을 ㉡에 대입하면
xÛ`+(5-3x)Û`=5, xÛ`+25-30x+9xÛ`=5 10xÛ`-30x+20=0, xÛ`-3x+2=0 (x-1)(x-2)=0
x=1 또는 x=2
㉢에 대입하면
x=1일 때 y=2이므로 x-y=-1 x=2일 때 y=-1이므로 x-y=3 따라서 x-y의 최솟값은 -1이다.
①
06
이차함수 y=xÛ`+(k-3)x+k의 그래프가 x축과 만나 지 않으려면 이차방정식 xÛ`+(k-3)x+k=0이 실근을 갖지 않아야 한다.이차방정식 xÛ`+(k-3)x+k=0의 판별식을 D라 할 때, D=(k-3)Û`-4k<0, kÛ`-6k+9-4k<0
kÛ`-10k+9<0 (k-1)(k-9)<0 1<k<9
따라서 정수 k의 개수는 9-1-1=7
7
07
z =(x+i)(x-3i)+(xÛ`+4xi)i=xÛ`-2xi-3i Û`+xÛ` i+4x i Û`
=(xÛ`-4x+3)+(xÛ`-2x)i
z가 실수가 되려면 (허수부분)=0이 되어야 하므로 xÛ`-2x=0, x(x-2)=0
x=0 또는 x=2
이때 x=0이면 z=3, x=2이면 z=-1이므로 z가 음의 실수 가 되도록 하는 x의 값은 2이다.
⑤
(상) 해 20-41 올림기본 2단원-오2.indd 37 2017-11-01 오전 10:40:15
38 올림포스•수학 (상)
xÜ`+4xÛ`-8x+16 =x(xÛ`-2x+4)+6xÛ`-12x+16
=6(xÛ`-2x+4)-8 aÜ`-4aÛ`+b(a+3) =a(aÛ`-4a)+ab+3b
=3a+ab+3b
=3(a+b)+ab
12
방정식 | f(x)|=2에서 f(x)=2 또는 f(x)=-2이고, 함수 y=f(x)의 그래프는 x축과 두 점 (-1, 0), (3, 0)에서 만난다.f(x)=a(x+1)(x-3)으로 놓으면 y y=f(x)
x
13
이차함수 y=xÛ`-x+3의 그래프와 직선 y=kx-1이 접 하려면 xÛ`-x+3=kx-1, 즉 이차방정식xÛ`-(k+1)x+4=0 yy ㉠
의 판별식을 D라 할 때,
정답과 풀이 39 1+2x+3xÛ`+4xÜ`+5xÝ` =1+2x+3xÛ`+4+5x
=5+7x+3xÛ`
=5+7x+3(-x-1)
=2+4x 따라서 a=2, b=4이므로 a+b=2+4=6
①
15
-xÛ`+ax+b>2x+1에서 xÛ`+(2-a)x+(1-b)<0 의 해가 -1<x<3이고 이차항의 계수가 1이므로3-kÉ0, k¾3 yy ㉠
f(2)É0에서
4-4k+3-kÉ0, 5k¾7, k¾;5&; yy ㉡
㉠, ㉡에서 k¾3
(a+2)+(b+2)=(a+b)+4=2+4=6 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.
②
18
f(x)=a(x+2)(x-4)라 하면 y=f(x)의 그래프가 점 (0, -8)을 지나므로 -8=a_2_(-4)에서 a=1 f(x) =(x+2)(x-4)=xÛ`-2x-8
k=6, 7일 때 g(6)=g(7)=2 O
k=8일 때 g(8)=3
㉡에서 uÛ`-u-2v=12 yy ㉣
㉢에서 v=-u-5를 ㉣에 대입하면
40 올림포스•수학 (상)
Ú x+y=-2, xy=-3인 경우 x, y를 두 근으로 하는 t에 대한 이차방정식은 tÛ`+2t-3=0, (t+3)(t-1)=0
t=-3 또는 t=1 àx=-3
y=1 또는 àx=1 y=-3
Û x+y=1, xy=-6인 경우 x, y를 두 근으로 하는 t에 대한 이차방정식은 tÛ`-t-6=0, (t+2)(t-3)=0
t=-2 또는 t=3 àx=-2
y=3 또는 àx=3 y=-2 Ú, Û 에서
àx=-3
y=1 또는 àx=1
y=-3 또는 àx=-2
y=3 또는 àx=3 y=-2 따라서 xÛ`+yÛ`의 값은 10 또는 13이므로 최댓값은 13이다.
⑤
20
|x-1|+2|x+3|<10에서 Ú x<-3일 때,-(x-1)-2(x+3)<10, -3x-5<10 x>-5
그런데 x<-3이므로 -5<x<-3 yy ㉠ Û -3Éx<1일 때,
-(x-1)+2(x+3)<10, x+7<10 x<3
그런데 -3Éx<1이므로 -3Éx<1 yy ㉡ Ü x¾1일 때,
(x-1)+2(x+3)<10, 3x+5<10 x<;3%;
그런데 x¾1이므로 1Éx<;3%; yy ㉢
㉠, ㉡, ㉢에 의하여 주어진 부등식의 해는 -5<x<;3%;
따라서 해가 -5<x<;3%; 이고 이차항의 계수가 3인 이차부등 식은
3 {x-;3%;}(x+5)<0, (3x-5)(x+5)<0 3xÛ`+10x-25<0
⑤
21
f(x)=xÜ`-(a+3)xÛ`+4ax-aÛ`이라 하면f(a)=aÜ`-(a+3)aÛ`+4aÛ`-aÛ`=0이므로 인수정리에 의하여 x-a를 인수로 갖는다.
조립제법을 이용하여 인수분해하면
a 1 -a-3 4a -aÛ`
a -3a aÛ`
1 -3 a 0
(x-a)(xÛ`-3x+a)=0 yy ➊
서로 다른 세 실근을 가지려면 xÛ`-3x+a=0이 a가 아닌 서로 다른 두 실근을 가져야 하므로
aÛ`-3a+a+0, aÛ`-2a+0, a(a-2)+0
a+0이고 a+2 yy㉠ yy ➋
또한 xÛ`-3x+a=0의 판별식을 D라 할 때, D=9-4a>0
a<;4(; yy㉡
㉠, ㉡을 만족하는 자연수 a는 1로 1개이다. yy ➌
1
단계 채점 기준 비율
➊ 삼차식을 인수분해한 경우