평면좌표와 직선의 방정식

Ⅲ. 도형의 방정식

07

1.

^②

2.

^⑤

3.

^(10, 4)

4.

^③

5.

^③

6.

:ª9°:

기본 유형

익히기 유제 본문 69~71쪽

1.

점 P(a,b)는 x축 위의 점이므로 b=0

점 P(a,0)은 두 점 A(-2, 4), B(3, 5)에서 같은 거리에 있 으므로

APÓ=BPÓ에서 APÓÛ`=BPÓÛ`

(a+2)Û`+(-4)Û`=(a-3)Û`+(-5)Û`

aÛ`+4a+4+16=aÛ`-6a+9+25 10a=14, a=;5&;

따라서 점 P의 좌표는 {;5&;, 0}이므로

a+b=;5&;+0=;5&;

 ②

2.

평행사변형의 대각선은 서로 다른 것을 이등분하므로 선 분 AC의 중점과 선분 BD의 중점은 일치한다.

선분 AC의 중점은 {1+(-3)

2 , 5+32 }에서 (-1, 4)

선분 BD의 중점은 { -5+a2 , -1+b2 }

즉, -5+a2 =-1, -1+b2 =4에서 a=3, b=9이므로 a+b=3+9=12

 ⑤

3.

세 점 A(4, 7), B(a, b), C(c, d)를 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC의 무게중심의 좌표는 { 4+a+c3 , 7+b+d3 } 이므로

4+a+c

3 =8에서 a+c=20 7+b+d

3 =5에서 b+d=8

(상) 해 20-41 올림기본 2단원-오2.indd 41 2017-11-01 오전 10:40:16

42 올림포스•수학 (상)

선분 BC의 중점의 좌표는 { a+c2 , b+d 2 }이므로 a+c2 =20

2 =10 b+d2 =8

2 =4

따라서 선분 BC의 중점의 좌표는 (10, 4)이다.

 (10, 4)

4.

x축의 양의 방향과 60ù의 각을 이루는 직선의 기울기는 tan 60ù='3이므로 점 (-2, 1)을 지나고 기울기가 '3인 직 선의 방정식은 y-1='3(x+2)에서 y='3x+2'3+1 이 직선이 점 (-1, a)를 지나므로 대입하면

a=-'3+2'3+1='3+1

 ③

5.

두 점 A(-1, 1), B(5, 3)을 지나는 직선의 기울기는 3-1

5-(-1)=;6@;=;3!;

이므로 이 직선에 수직인 직선의 기울기는 -3이다.

그러므로 기울기가 -3이고 y절편이 6인 직선의 방정식은 y=-3x+6

따라서 a=-3, b=6이므로 a+b=-3+6=3

 ③

6.

3x-4y+1=0의 기울기가 ;4#;이므로 구하는 직선의 기울 기는 -;3$;이다.

구하는 직선의 방정식을 y=-;3$;x+n으로 놓으면

4x+3y-3n=0 yy ㉠

원점과 직선 ㉠ 사이의 거리가 1이므로

|-3n|

"Ã4Û`+3Û`=1

|3n|=5

양변을 제곱하면 9nÛ`=25에서 nÛ`=:ª9°:

 :ª9°:

01

^④

02

^②

03

^①

04

^②

05

^②

06

²²

07

¹²

08

¹

09

^⑤

10

¹

11

^⑤

12

^②

13

^①

유형

확인 본문 72~73쪽

01

점 P(a, b)가 직선 y=x+1 위의 점이므로 b=a+1

a-b=-1 yy ㉠

APÓ=BPÓ에서 APÓ Û`=BPÓ Û`이므로 (a-1)Û`+(b+2)Û`=(a-3)Û`+(b-1)Û`

4a+6b=5 yy ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-;1Á0;, b=;1»0;

따라서

a+b=-;1Á0;+;1»0;=;5$;

 ④

02

A(-1, 2), B(3, 0), C(-2, -5)에서 ABÓ='Ä16+4='2Œ0,

BCÓ='Ä25+25='5Œ0, CAÓ='Ä1+49='5Œ0

이므로 BCÓ=CAÓ인 이등변삼각형이다.

 ②

03

세 점 A(2, 0), B(7, -2), C(3, -1)을 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC의 외심의 좌표를 O(a, b)라 하면

OAÓ=OBÓ=OCÓ OAÓ Û`=OBÓ Û`에서

(a-2)Û`+bÛ`=(a-7)Û`+(b+2)Û`

10a-4b=49 yy ㉠

OAÓ Û`=OCÓ Û`에서

(a-2)Û`+bÛ`=(a-3)Û`+(b+1)Û`

a-b=3 yy ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=:£6¦:, b=:Á6»:

따라서 a+b=:£6¦:+:Á6»:=:ª3¥:

 ①

(상) 해 42-64 올림기본 3단원-오2.indd 42 2017-11-01 오전 10:40:32

정답과 풀이 43

04

세 점 A(2, 1), B(4, 5), C(4, 0)에 대하여 ∠A의 이 등분선이 변 BC와 만나는 점이 D(a, b)이므로

ABÓ : ACÓ=BDÓ : DCÓ

ABÓ="Ã(4-2)Û`+(5-1)Û`=2'5 ACÓ="Ã(4-2)Û`+(0-1)Û`='5

ABÓ : ACÓ=2 : 1이므로 점 D는 선분 BC를 2 : 1로 내분한다.

따라서 점 D(a, b)에 대하여 두 점 B(4, 5), C(4, 0)의 x좌 표가 4로 같으므로

a=4, b= 2_0+1_52+1 = 53 따라서

a+b=4+;3%;=:Á3¦:

 ②

참고 삼각형 ABC에서 ∠A의 이등분선

D C

B A

이 변 BC와 만나는 점을 D라 하면 ABÓ : ACÓ=BDÓ : DCÓ가 성립한다.

05

두 점 A(-3, 2), B(6, -4)에 대하여 선분 AB를 m : n으로 내분하는 점의 좌표는

{ 6m-3nm+n , -4m+2n m+n }

이 점이 x축 위의 점이므로 y좌표가 0이 된다.

-4m+2n=0, n=2m 에서 m : n=1 : 2

m, n이 서로소인 두 자연수이므로 m=1, n=2 따라서 m-n=1-2=-1

 ②

06

세 점 A(2, 3), B(a, -2b), C(3-b, a-1)을 꼭짓점 으로 하는 삼각형 ABC의 무게중심의 좌표가 (7, 5)이므로

2+a+3-b

3 =7에서 a-b=16 3-2b+a-1

3 =5에서 a-2b=13 두 식을 연립하여 풀면 a=19, b=3이므로 a+b=19+3=22

 22

07

세 점 A(2, 0), B(3, 1), C(1, 5)에 대하여 각 변의 내 분점을 구하면

P { 1_3+2_21+2 , 1_1+2_01+2 }에서 P {;3&;, ;3!;}

Q { 1_1+2_31+2 , 1_5+2_11+2 }에서 Q {;3&;, ;3&;}

R { 1_2+2_11+2 , 1_0+2_51+2 }에서 R {;3$;, :Á3¼:}

삼각형 PQR의 무게중심 G(a, b)에 대하여 3a=;3&;+;3&;+;3$;=:Á3¥:=6,

3b=;3!;+;3&;+:Á3¼:=:Á3¥:=6

이므로 3(a+b)=3a+3b=6+6=12

 12

다른풀이

삼각형 ABC의 각 변 AB, BC, CA를 각각 m : n으로 내분 하는 점을 각각 P, Q, R라 할 때, 삼각형 PQR의 무게중심 G(a, b)는 삼각형 ABC의 무게중심과 일치하므로 세 점 A(2, 0), B(3, 1), C(1, 5)에 대하여 삼각형 ABC의 무게중 심을 구하면

a= 2+3+13 =2, b= 0+1+53 =2 따라서

3(a+b)=3(2+2)=12

08

직선 (a+1)x+by-3=0이 x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 45ù이므로 b+0이고 y=- a+1b x+;b#; 에서 - a+1b =tan 45ù=1, a+1=-b yy ㉠ 이 직선이 점 (3, 0)을 지나므로

3(a+1)+0-3=0에서 a=0 a=0을 ㉠에 대입하면 b=-1 따라서 a-b=0-(-1)=1

 1

09

세 점 A(-1, 2), B(4, 2-k), C(k+1, -5)가 한 직 선 위에 있으려면 두 직선 AB, AC의 기울기가 서로 같아야 하므로

(2-k)-2

4-(-1) = -5-2

(k+1)-(-1), -k5 = -7 k+2

(상) 해 42-64 올림기본 3단원-오2.indd 43 2017-11-01 오전 10:40:32

44 올림포스•수학 (상)

-kÛ`-2k=-35, kÛ`+2k-35=0

따라서 근과 계수의 관계에 의하여 모든 실수 k의 값의 곱은 -35이다.

 ⑤

10

두 직선의 방정식 2x+y+4=0, x-y+2=0을 연립하 여 풀면 두 직선의 교점은 (-2, 0)이다.

직선 x+2y+7=0에 평행하면 기울기가 같으므로 y=-;2!;x-;2&;에서 구하는 직선의 기울기는 -;2!;이다.

그러므로 점 (-2, 0)을 지나고, 기울기가 -;2!;인 직선의 방정 식은 y-0=-;2!;(x+2)에서 y=-;2!;x-1

따라서 A(-2, 0), B(0, -1)이므로 삼각형 OAB의 넓이는

;2!;_2_1=1

 1

다른풀이

두 직선 2x+y+4=0, x-y+2=0의 교점을 지나는 직선의 방정식은

2x+y+4+k(x-y+2)=0(k는 실수) 으로 나타낼 수 있다.

(2+k)x+(1-k)y+(4+2k)=0 yy ㉠ 이 직선이 직선 x+2y+7=0과 평행하므로

2+k1 =1-k

2 +4+2k 7

4+2k=1-k, 3k=-3에서 k=-1 이때 1-k2 +4+2k

7 이다.

k=-1을 ㉠에 대입하면 x+2y+2=0

따라서 A(-2, 0), B(0, -1)이므로 삼각형 OAB의 넓이는

;2!;_2_1=1

11

두 직선 x+ay-1=0, 5x+(2-3a)y+2=0이 서로 수직이 되려면

1_5+a_(2-3a)=0 3aÛ`-2a-5=0

근과 계수의 관계에 의하여 모든 실수 a의 값의 곱은 -;3%;이다.

 ⑤

12

점 (0, k)에서 두 직선 2x+3y=1, 3x-2y=4에 이르 는 거리가 같으므로

|0+3k-1|

"Ã2Û`+3Û` = |0-2k-4|

"Ã3Û`+(-2)Û`

|3k-1|=|2k+4|

3k-1=Ñ(2k+4) 3k-1=2k+4에서 k=5

3k-1=-(2k+4)에서 5k=-3, k=-;5#;

따라서 모든 실수 k의 값의 합은 5+{-;5#;}=:ª5ª:

 ②

다른풀이

점 (0, k)에서 두 직선 2x+3y=1, 3x-2y=4에 이르는 거 리가 같으므로

|0+3k-1|

"Ã2Û`+3Û` = |0-2k-4|

"Ã3Û`+(-2)Û`

|3k-1|=|2k+4|

양변을 제곱하면

9kÛ`-6k+1=4kÛ`+16k+16 5kÛ`-22k-15=0

따라서 주어진 이차방정식은 서로 다른 두 실근을 가지고, 근과 계수의 관계에서 모든 실수 k의 값의 합은 :ª5ª: 이다.

13

3x-2y+2-k(x+2y)=0에서 (3-k)x-2(k+1)y+2=0 원점과 이 직선 사이의 거리는

2

"Ã(k-3)Û`+4(k+1)Û`= 2

"Ã5kÛ`+2k+13

이므로 이 값이 최대가 될 때 분모 "Ã5kÛ`+2k+13 은 최소가 된 다. 즉,

5kÛ`+2k+13=5 {k+;5!;}2`+:¤5¢:

에서 k=-;5!;일 때 분모가 최소가 되므로 거리는 최대가 된다.

 ①

(상) 해 42-64 올림기본 3단원-오2.indd 44 2017-11-01 오전 10:40:33

정답과 풀이 45

01

^(4, 5)

02

⁴⁴

문서에서 EBS 올림포스 수학(상) 답지 정답 (페이지 41-45)