Ⅱ. 방정식과 부등식
06
1.
⑴ x=1 또는 x= 3Ñ14132
⑵ x= -1Ñ17 i2
또는 x= 1Ñ17 i2
2.
①3.
⑴ àx=-3
y=-2
또는 àx=1 y=2
⑵ àx=-1
y=-2
또는 àx=-2 y=-1
4.
15.
⑤6.
①기본 유형
익히기 유제 본문 55~57쪽1.
⑴ xÜ`-4xÛ`+2x+1=0에서 f(x)=xÜ`-4xÛ`+2x+1이 라 하면 f(1)=1-4+2+1=0이므로 f(x)는 인수정리에 의하여 x-1을 인수로 갖는다. 조립제법을 이용하여 방정식 의 좌변을 인수분해하면1 1 -4 2 1
1 -3 -1
1 -3 -1 0
f(x)=(x-1)(xÛ`-3x-1)=0에서 x-1=0 또는 xÛ`-3x-1=0 따라서 x=1 또는 x=3Ñ149+4
2 =3Ñ1313 2 이다.
⑵ xÝ`+3xÛ`+4=0에서 xÛ`=X로 치환하여도 인수분해가 어려 우므로 주어진 식을 AÛ`-BÛ`의 꼴로 변형한다.
(xÝ`+4xÛ`+4)-xÛ`=0, (xÛ`+2)Û`-xÛ`=0 (xÛ`+x+2)(xÛ`-x+2)=0이므로 xÛ`+x+2=0에서 x=-1Ñ17 i
2 xÛ`-x+2=0에서 x=1Ñ17 i
2 따라서 x=-1Ñ17 i
2 또는 x=1Ñ17 i 2 이다.
⑴ x=1 또는 x=3Ñ1313 2 ⑵ x=-1Ñ17 i
2 또는 x=1Ñ17 i 2
03
f(x)=xÛ`+5x+2에서 f(a)=b, f(b)=a를 만족시키 므로aÛ`+5a+2=b yy ㉠
bÛ`+5b+2=a yy ㉡
㉠-㉡에서
(aÛ`-bÛ`)+5(a-b)=-(a-b) (aÛ`-bÛ`)+6(a-b)=0 (a-b)(a+b+6)=0 a+b이므로
a+b=-6 yy ㉢
㉠+㉡에서
(aÛ`+bÛ`)+5(a+b)+4=a+b (a+b)Û`-2ab+4(a+b)+4=0
㉢에서
36-2ab-24+4=0
ab=8 yy ㉣
㉢, ㉣에서
y =(x-a)(x-b)=xÛ`-(a+b)x+ab
=xÛ`+6x+8=(x+3)Û`-1
이므로 x=-3일 때, 최솟값 -1을 갖는다.
②
(상) 해 20-41 올림기본 2단원-오2.indd 30 2017-11-01 오전 10:40:13
정답과 풀이 31
xÛ`-2x(x+1)-(x+1)Û`=-7 xÛ`-2xÛ`-2x-xÛ`-2x-1=-7 -2xÛ`-4x+6=0
xÛ`+2x-3=0
xy=2 에서 x, y를 두 근으로 갖는 t에 대한 이차방정 식은 tÛ`+3t+2=0이므로 (t+1)(t+2)=0에서
t=-1 또는 t=-2
㉡에서 3x¾6, x¾2 yy ㉣
㉢, ㉣을 수직선 위에 나타내면
-3(x+1)-2(x-1)É5, 5x¾-6, x¾-;5^;
즉, -;5^;Éx<-1 yy ㉠ Û -1Éx<1일 때,
3(x+1)-2(x-1)É5, xÉ0
즉, -1ÉxÉ0 yy ㉡
Ü x¾1일 때,
3(x+1)+2(x-1)É5, 5xÉ4, xÉ;5$;
이므로 조건을 만족시키지 않는다.
xÛ`-5x-6¾0 yy ㉡
㉠에서 (x-4)(x+2)<0
-2<x<4 yy ㉢
㉡에서 (x-6)(x+1)¾0
xÉ-1 또는 x¾6 yy ㉣
(상) 해 20-41 올림기본 2단원-오2.indd 31 2017-11-01 오전 10:40:14
32 올림포스•수학 (상) x=-1Ñ12 또는 x=1Ñ12
이 중 양수인 것은 -1+12 , 1+12이므로 양수인 모든 실근 의 합은
(-1+12)+(1+12)=212
①
05
xÜ`=-1에서 xÜ`+1=0, 즉 (x+1)(xÛ`-x+1)=0이므 로 이차방정식 xÛ`-x+1=0의 한 허근이 x이다.01
f(x)=xÝ`+2xÜ`+3xÛ`-2x-4라 하면 f(1)=0, f(-1)=0이므로 인수정리에 의하여 f(x)는 (x-1)(x+1)xÜ`+axÛ`+bx-6 =(xÛ`-2x+2)(x-3)
=xÜ`-5xÛ`+8x-6 따라서 a=-5, b=8이므로 a+b=-5+8=3
③
(상) 해 20-41 올림기본 2단원-오2.indd 32 2017-11-01 오전 10:40:14
정답과 풀이 33
06
à4xÛ`-yÛ`=0 yy ㉠8xÛ`-xy-yÛ`=12 yy ㉡
㉠의 좌변을 인수분해하면 (2x+y)(2x-y)=0에서 y=-2x 또는 y=2x
Ú y=-2x일 때, ㉡에 대입하면 8xÛ`+2xÛ`-4xÛ`=12, 6xÛ`=12, xÛ`=2 x=Ñ12
x=12일 때, y=-212 x=-12일 때, y=212 Û y=2x일 때, ㉡에 대입하면
8xÛ`-2xÛ`-4xÛ`=12, 2xÛ`=12, xÛ`=6 x=Ñ16
따라서 x+2y의 값은 차례로 -312, 312, 516, -516이므로 x+2y의 최댓값은 516이다.
⑤
2x-1¾x+k yy ㉡
㉠에서 2x<2, x<1 yy ㉢
㉡에서 x¾k+1 yy ㉣
à7x-a<2x-1 yy ㉠
2x-1<4x-5 yy ㉡
㉠에서 5x<a-1, x< a-15 yy ㉢
㉡에서 2x>4, x>2 yy ㉣
주어진 연립부등식의 해가 없으려면 -2(x-3)+3x¾4 x+6¾4
x¾-2이므로 -2Éx<3 Û x¾3일 때,
2(x-3)+3x¾4 5x-6¾4
-(x+1)-(x-2)É7, -2xÉ6, x¾-3이므로 -3Éx<-1
Û -1Éx<2일 때,
(x+1)-(x-2)É7, 3É7 항상 성립하므로
-1Éx<2
(상) 해 20-41 올림기본 2단원-오2.indd 33 2017-11-01 오전 10:40:14
34 올림포스•수학 (상)
Ü x¾2일 때,
(x+1)+(x-2)É7, 2xÉ8, xÉ4이므로 2ÉxÉ4
Ú~Ü 에서 -3ÉxÉ4
따라서 정수 x의 개수는 4-(-3)+1=8
③
12
xÛ`-|x|-12<0에서|x|Û`-|x|-12<0 (|x|-4)(|x|+3)<0
그런데 |x|+3>0이므로 |x|-4<0
|x|<4에서 -4<x<4
따라서 a=-4, b=4이므로 b-a=4-(-4)=8
④
13
f(x)=xÛ`-(k-1)x+(k+2)라 하면 함수 y=f(x)의 그래프는 아래로 볼록하므로 모든 실수 x에 대하여 f(x)¾0이 기 위해서는 함수 y=f(x)의 그래프가 x축과 접하거나 x축보 다 위에 있어야 한다,즉, 이차방정식 f(x)=0의 판별식을 D라 할 때, D={-(k-1)}Û`-4(k+2)É0, kÛ`-6k-7É0 (k+1)(k-7)É0
-1ÉkÉ7
따라서 정수 k의 개수는 7-(-1)+1=9
④
14
이차방정식 xÛ`+2x+(aÛ`-8)=0이 서로 다른 두 실근 을 가지므로 판별식을 DÁ이라 할 때,DÁ
4 =1Û`-(aÛ`-8)>0, 9-aÛ`>0, (a+3)(a-3)<0
-3<a<3 yy ㉠
이차방정식 xÛÛ`+(a-1)x+(a-1)=0이 서로 다른 두 허근 을 가지려면 판별식을 Dª라 할 때,
Dª=(a-1)Û`-4(a-1)<0 (a-1)(a-5)<0
1<a<5 yy ㉡
㉠, ㉡의 공통 부분은 1<a<3
따라서 부등식을 만족하는 정수 a의 개수는 1이다.
①
01
-;3@;02
0, 103
2ÉxÉ5연습장
본문 60쪽서술형
01
xÜ`+(2a+1)xÛ`+ax-a=0에서f(x)=xÜ`+(2a+1)xÛ`+ax-a라 하면 f(-1)=0이므로 인 수정리에 의하여 x+1을 인수로 갖는다.
조립제법을 이용하여 방정식의 좌변을 인수분해하면
-1 1 2a+1 a -a
-1 -2a a
1 2a -a 0
(x+1)(xÛ`+2ax-a)=0이므로
x=-1 또는 xÛ`+2ax-a=0 yy ➊
주어진 삼차방정식이 중근을 가지려면 이차방정식
xÛ`+2ax-a=0의 한 근이 x=-1이거나 -1이 아닌 중근을 가져야 한다.
Ú x=-1을 근으로 가질 때
(-1)Û`-2a-a=0이므로 a=;3!; yy ➋ xÛ`+;3@;x-;3!;=0
(x+1){x-;3!;}=0
따라서 주어진 식은 (x+1)Û`{x-;3!;}=0으로 x=-1을 중 근으로 가진다.
Û 중근을 가질 때
이차방정식 xÛ`+2ax-a=0의 판별식을 D라 하면 D
4 =aÛ`+a=0, a(a+1)=0
a=0 또는 a=-1 yy ➌
a=0이면 f(x)=(x+1)xÛ`=0으로 x=0을 중근으로 갖 는다.
a=-1이면 f(x)=(x+1)(xÛ`-2x+1)=0 (x+1)(x-1)Û`=0으로 x=1을 중근으로 갖는다.
Ú, Û 에서 모든 실수 a의 값의 합은
(상) 해 20-41 올림기본 2단원-오2.indd 34 2017-11-01 오전 10:40:14
정답과 풀이 35
;3!;+0+(-1)=-;3@; yy ➍
-;3@;
단계 채점 기준 비율
➊ 삼차식을 인수분해한 경우