함수

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08

f(3)=5이므로 3-a=5 ∴ a=-2

∴ f(x)=x+2

즉, f(-3)=-3+2=-1, f(-1)=-1+2=1이고 f(k)=k+2이다.

따라서 f(k)=-f(-3)+3f(-1)에서

k+2=-(-1)+3_1, k+2=4 ∴ k=2 답 ②

Step 2

A등급을 위한 문제 pp. 74~77

01 ④ 02 -18 03 8 04 ④ 05 ② 06 ③ 07 ③ 08 ① 09 y=1.5x 10 ⑤ 11 동네 문구점 : y=x-2000, 도매상가 : y=17

20x+2500 12 y= 3

2000x 13 y=25x 14 y=-72x+152 15 3

4 16 ④ 17 35 18 6

5 19 ④ 20 ① 21 4 22 17 23 ④ 24 -6

01

ㄷ. 키가 170`cm인 사람의 몸무게는 60`kg, 70`kg 등으로 여러 가지가 있을 수 있다. 즉, x의 값이 정해짐에 따라 y의 값이 하나로 정해지지 않으므로 y는 x의 함수가 아니다.

ㅂ. 오른쪽 그림의 두 사각형의 둘레의 길이는 모두 8`cm 이지만 넓이는 각각 4`cmÛ`,

3`cmÛ`이다. 즉, x=8일 때, y의 값이 하나로 정해지지 않으 므로 y는 x의 함수가 아니다.

따라서 y가 x의 함수가 아닌 것은 ㄷ, ㅂ이다. 답 ④

● blacklabel 특강 ●^풀이첨삭

ㄱ. y=12000x ㄴ. y= 60x ㄹ. y= x100_300 ∴ y=3x ㅁ. y= 20x

2`cm

2`cm 3`cm

1`cm

02

f { 3a }=5a에서 -12_ a3+9=5a -4a+9=5a, -9a=-9 ∴ a=1

03

x

4=1에서 x=4이므로 f(1)=f { 44 }=4-2=2 x-2=0에서 x=2이므로 g(0)=g(2-2)=3_2=6

∴ f(1)+g(0)=2+6=8 답 8

04

두 자리의 자연수 중 19의 배수는 19, 38, 57, 76, 95이므로 f(19)=1+9=10, f(38)=3+8=11,

f(57)=5+7=12, f(76)=7+6=13, f(95)=9+5=14

따라서 f(x)의 값 중 가장 큰 값은 14, 가장 작은 값은 10이므로 그 차는

14-10=4 답 ④

05

f { 13 }=| 13 |Û``

1 3

= 1 9 1 3

= 19_3= 1 3

f(-12)= |-12|Û`

-12 = 144 -12=-12

∴ f { 13 }_f(-12)= 13_(-12)=-4 답 ②

다른풀이

f(x)= |x|Û`

x 에서

Ú x>0일 때, |x|=x이므로 f(x)= xÛ`x=x

Û x<0일 때, |x|=-x이므로 f(x)= (-x)Û`x = xÛ`

x=x

Ú, Û에서 x+0일 때, f(x)=x이다.

∴ f { 13 }_f(-12)= 13_(-12)=-4

∴ f(a+1)-f(-a) =f(2)-f(-1)

={- 122+9}-{- 12-1+9}

=3-21=-18 답 -18

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본문 pp.73~75

06

① 12=2Û`_3이므로 12의 약수의 개수는

(2+1)_(1+1)=6(개) ∴ f(12)=6+4

② 6=2_3이므로 6의 약수의 개수는 (1+1)_(1+1)=4(개) ∴ f(6)=4 9=3Û`이므로 9의 약수의 개수는

2+1=3(개) ∴ f(9)=3 ∴ f(6)+f(9)

③ 13은 소수이므로 13의 약수의 개수는 2개 ∴ f(13)=2

13Û`의 약수의 개수는 2+1=3(개)이므로 ∴ f(13Û`)=3

∴ 1+f(13)=1+2=3=f(13Û`)

④ n=4일 때, nÛ`=4Û`=2Ý`이므로 약수의 개수는 4+1=5(개) ∴ f(nÛ`)=5+3

⑤ 약수의 개수가 2개인 자연수 x는 소수이므로 x=2, 3, 5, y

즉, f(x)=2를 만족하는 자연수 x는 무수히 많다.

따라서 옳은 것은 ③이다. 답 ③

● blacklabel 특강 ●^필수개념

자연수의 약수의 개수

⑴ 자연수 N이 N=a^m_bⁿ (a, b는 서로 다른 소수, m, n은 자연수)으로 소인수 분해될 때, N의 약수의 개수는

(m+1)(n+1) (개)

⑵ 소수의 약수의 개수는 항상 2개이고, 소수의 제곱수의 약수의 개수는 항상 3개 이다.

⑶ n이 1이 아닌 자연수일 때, nÛ`의 약수의 개수는 3개 이상의 홀수이고, n이 1이면 nÛ`의 약수의 개수는 1개이다.

07

㈎에서

g(①)=-3이므로 -12

①=-3 ∴ ①=4 f(x), g(x), h(x)를 각각 ②에 대입해 보면 f(-3)=4_(-3)=-12+6

g(-3)=-12

-3=4+6 h(-3)=-(-3)+3=6

∴ ②=h(x) g(6)=-12

6 =-2이므로 ③=-2

㈏에서

f(2)=4_2=8이므로 ④=8

09

주스의 높이가 2초에 3`cm씩 높아지므로 1초에는 1.5`cm씩 높 아진다.

따라서 x초 후에는 주스의 높이가 1.5x`cm 높아지므로 x, y 사 이의 관계를 식으로 나타내면

y=1.5x 답 y=1.5x

10

① 정가가 x원인 물건을 10`% 인상한 가격이 y원이므로 y=x_{1+ 10100 }, 즉 y=1.1x

② 시속 x`km로 2시간 30분, 즉 52시간 동안 달린 거리가

y`km이므로 y= 52x

③ 시계의 분침은 1분에 6ù씩 회전하고, 시계의 분침이 x분 동안 회전한 각도가 yù이므로 y=6x

④ 한 번 통화하는 데 기본 요금이 7원이고 x초 동안 통화한 통 화 요금이 2x원이므로 y=2x+7

08

1단계 f(n)=f(nÛ`)의 의미를 파악한다.

2단계 f(n)=f(nÛ`)이 성립하는 n의 값을 찾는다.

3단계 모든 f(n)의 값의 합을 구한다.

f(n)=(n의 일의 자리의 숫자)이므로 f(nÛ`)=(nÛ`의 일의 자리의 숫자)

즉, f(n)=f(nÛ`)을 만족하는 n은 n과 nÛ`의 일의 자리의 숫자가 같은 자연수이다.

이때 1Û`=1, 2Û`=4, 3Û`=9, y, 9Û`=81, 10Û`=100이고 11Û`, 12Û`, 13Û`, y의 일의 자리의 숫자는 1, 4, 9, y, 0이 이 순서대로 계 속 반복된다.

즉, n과 nÛ`의 일의 자리의 숫자가 같은 자연수 n은 일의 자리의 숫자가 1, 5, 6, 0인 자연수이다.

따라서 f(n)=f(nÛ`)을 만족하는 모든 f(n)의 값의 합은

1+5+6+0=12 답 ①

f(x), g(x), h(x)를 각각 ⑤에 대입해 보면 f(8)=4_8=32+- 32

g(8)=-12 8 =- 3

2 h(8)=-8+3=-5+- 32

∴ ⑤=g(x) 답 ③

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11

Ú 동네 문구점에서 구매하는 경우 `y=x-2000

Û 도매상가에서 구매하는 경우

`y=x_{1- 15100 }+2500 ∴`y= 1720x+2500

답 동네 문구점 : y=x-2000,

도매상가 : y= 1720x+2500

12

y가 x에 반비례하므로 y= a

x (a+0)라 하자.

1.5`mm=0.0015`m이고 폭이 1.5`mm인 것까지 판별할 수 있 는 사람의 시력이 1.0이므로

1.0= a

0.0015 ∴ a=0.0015

따라서 x, y 사이의 관계를 식으로 나타내면 y= 0.0015

x , 즉 y= 3

2000x ^답 y= 3

2000x

14

도형의 각 변의 길이는 다음 그림과 같다.

2\10-9x

2 2

2\10-9x 2\10-9x-2

2\10-9x-2

… … … …

2\10-9x-2

따라서 구하는 도형의 둘레의 길이는

y =2_(2_10-9x)+6_(2_10-9x-2)+2_2

=40-18x+120-54x-12+4

=-72x+152 답 y=-72x+152

13

기차의 길이를 a`m라 하자.

Ú 855`m 길이의 터널을 완전히 빠져나가기 위해 기차가 움직 이는 거리는 (855+a)`m이고, 36초가 걸리므로 기차의 속 력은 초속 855+a

36 `m이다.

Û 405`m 길이의 터널을 완전히 빠져나가기 위해 기차가 움직 이는 거리는 (405+a)`m이고, 18초가 걸리므로 기차의 속 력은 초속 405+a

18 `m이다.

Ú, Û에서 기차의 속력은 일정하므로 855+a

36 = 405+a 18

18(855+a)=36(405+a) 15390+18a=14580+36a -18a=-810 ∴ a=45

기차의 길이가 45`m이므로 Ú에서 기차의 속력은 초속 855+45

36 = 900

36=25(m)

따라서 기차가 x초 동안 움직인 거리가 y`m일 때, x, y 사이의 관계를 식으로 나타내면

y=25x

답 y=25x

단계 채점 기준 배점

㈎ 두 터널을 지나는 기차의 속력을 각각 구한 경우 40%

㈏ 기차의 속력이 항상 일정함을 이용하여 기차의 길이를 구

한 경우 30%

㈐ x, y 사이의 관계를 식으로 나타낸 경우 30%

㈎

㈏

㈐

15

y가 x에 정비례하므로 f(x)=ax`(a+0)라 하자.

2f(2)+f(-1) =2_a_2+a_(-1)

=4a-a

=3a 4f(k)=4_a_k=4ak

⑤ 넓이가 30`cmÛ`인 마름모의 한 대각선의 길이가 x`cm일 때, 다른 대각선의 길이는 y`cm이므로

1

2_x_y=30, xy=60 ∴ y= 60x

따라서 x, y가 반비례 관계인 함수는 ⑤이다. 답 ⑤

● blacklabel 특강 ●^필수개념

⑴ 정비례 관계인 함수

0이 아닌 상수 a, b에 대하여 다음과 같은 꼴은 모두 x, y 사이에 정비례 관계가 있는 함수이다.

① y= x

a ② x

y=a ③ y

x=a

④ ay=bx ⑤ ax+by=0

⑵ 반비례 관계인 함수

0이 아닌 상수 a, b에 대하여 다음과 같은 꼴은 모두 x, y 사이에 반비례 관계가 있는 함수이다.

① xy=a ② x= a

y ③ y= a

bx

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본문 pp.75~77

16

y가 x에 반비례하므로 y= ax`(a+0)라 하자.

x=1, y=1이므로

1= a1에서 a=1 ∴ y= 1x

x=A일 때, y= 54이므로 5 4= 1

A ∴ A= 45 x= 815일 때, y=B이므로 B= 18

15

= 158

∴ AB= 45_ 15 8 = 3

2 ^답 ④

이때 2f(2)+f(-1)=4f(k)이므로 3a=4ak, 3=4k`(∵ a+0)

∴ k= 34 ^답 3

4

● blacklabel 특강 ●^필수개념

정비례 관계인 함수의 식 구하기

y가 x에 정비례하고, x= 일 때 y= 인 함수의 식은 y=ax`(a+0)로 놓고 x= , y= 를 대입하여 a의 값을 구한 후 식을 완성한다.

=a_ 에서 a= ∴ y= x

17

f(5)-f(2)=15에서 -5a-(-2a)=15 -3a=15 ∴ a=-5

따라서 f(x)=-(-5)_x=5x이므로

f(7)=5_7=35 답 35

18

조건 ㈎에서 xy=a`(a+0)라 하면 y= ax

즉, f(x)= ax`(a+0)이고 조건 ㈏에서 f(2)-f(4)=3이므로 a2- a

4=3, 14a=3 ∴ a=12 따라서 f(x)= 12x 이므로 f(10)= 1210= 6

5 ^답 6

5

19

y가 x에 반비례하므로 f(x)= a

x (a+0)라 하자.

13`f(5)- 12`f(-3) = 13_ a 5- 1

2_ a -3

= a15+ a 6= 7a

30 15f(k)= 15_ a

k= a 5k 이때 1

3`f(5)- 12`f(-3)= 15`f(k)이므로 7a30= a

5k, 35ak=30a, 35k=30 (∵ a+0)

∴ k= 67 ^답 ④

● blacklabel 특강 ●^필수개념

반비례 관계인 함수의 식 구하기

y가 x에 반비례하고, x= 일 때 y= 인 함수의 식은 y= a

x (a+0)로 놓고 x= , y= 를 대입하여 a의 값을 구한 후 식을 완성한다.

= a 에서 a= _ ∴ y= _x

20

f(1)=- 15이므로 m=- 15

∴ f(x)=- 15x f(3)=- 15_3=- 3

5

이때 f(3)=- a-b5 이므로 -3

5=- a-b 5

∴ a-b=3 yy㉠

∴ f(a)-f(b) =- a5-{- b5 }= -a+b 5

=- a-b 5

=- 35 (∵ ㉠) 답 ①

21

-4x+2

5 =-2에서 -4x+2=-10 -4x=-12 ∴ x=3

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22

f(0)=-3이므로 b=-3

∴ f(x)=ax-3

이때 f(1)=a-3이고, 3{`f(1)+1}=4이므로 3(a-3+1)=4, 3(a-2)=4

3a-6=4, 3a=10 ∴ a= 103

따라서 f(x)= 103 x-3이므로 f(6)= 10

3_6-3=17 답 17

x=3을 `f { -4x+25 }=ax-3에 대입하면 f(-2)=3a-3

이때 f(-2)=9이므로 3a-3=9

3a=12 ∴ a=4 답 4

23

4(x-1)=10-3x에서 4x-4=10-3x, 7x=14

∴ x=2 즉, a=2 5-x= x-1

3 에서

3(5-x)=x-1, 15-3x=x-1 -4x=-16 ∴ x=4 즉, b=4

따라서 함수 f(x)=x+k에서 f(-1)=-1+k이고

b a= 4

2=2이므로

-1+k=2 ∴ k=3 답 ④

24

f(x)=ax+4a에서 f(-5)=3이므로 a_(-5)+4a=3 ∴ a=-3 즉, f(x)=-3x-12이므로

f(2)=-3_2-12=-18 또한, g(x)=b

x-2에서 g(1)=b-2 이때 f(2)+g(1)=-8이므로

-18+b-2=-8 ∴ b=12 즉, g(x)=12

x-2

따라서 f(-2)=-3_(-2)-12=-6, g(4)=12

4 -2=1이 므로

f(-2) g(4) = -6

1 =-6 답 -6

Step 3

종합 서술형 도전 문제 pp. 78~79

01 ⑴ 1, 2, 2, 3, 2, 4 ⑵ 풀이 참조

02 ⑴ a=0.5, b=6 ⑵ y=6x ⑶ y=0.5x+90 03 ⑴ 18`mÛ` ⑵ y=18

x

04 ⑴ 붉은색 : 12개, 푸른색 : 6개 ⑵ y=2x+4 ⑶ y=2x-2 05 -27 06 78 07 y=20-x

25 08 -9 2

01

● blacklabel 답안 ●

⑴ x=1일 때, 1=1_1이므로 (a, b)는 (1, 1)의 1개이다.

x=2일 때, 2=1_2이므로 (a, b)는 (1, 2), (2, 1)의 2개 이다.

x=3일 때, 3=1_3이므로 (a, b)는 (1, 3), (3, 1)의 2개 이다.

x=4일 때, 4=1_4=2_2이므로 (a, b)는 (1, 4), (2, 2), (4, 1)의 3개이다.

x=5일 때, 5=1_5이므로 (a, b)는 (1, 5), (5, 1)의 2개 이다.

x=6일 때, 6=1_6=2_3이므로 (a, b)는 (1, 6), (2, 3), (3, 2), (6, 1)의 4개이다.

따라서 대응표의 빈칸을 채우면 다음과 같다.

x 1 2 3 4 5 6 y

y 1 2 2 3 2 4 y

⑵ x의 값이 정해짐에 따라 y의 값이 하나로 정해지므로 y는 x 의 함수이다.

답 ⑴ 1, 2, 2, 3, 2, 4 ⑵ 풀이 참조

단계 채점 기준 배점

⑴ 주어진 조건에 맞게 대응표를 완성한 경우 50%

⑵ y가 x의 함수인지 판단하고 그 이유를 서술한 경우 50%

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본문 pp.77~79

02

● blacklabel 답안 ●

⑴ 시침은 1시간 동안 360ù

12 =30ù를 회전하므로 1분 동안 회전 하는 각의 크기는

aù=30ùÖ60=0.5ù ∴ a=0.5

분침은 1시간 동안 360ù를 회전하므로 1분 동안 회전하는 각 의 크기는

bù=360ùÖ60=6ù ∴ b=6

⑵ 분침은 1분에 6ù씩 움직이므로 y=6x

⑶ 시침은 3시일 때의 분침의 위치로부터 90ù 회전한 상태에서 시작하여 1분에 0.5ù씩 움직이므로

y=90+0.5x

답 ⑴ a=0.5, b=6 ⑵ y=6x ⑶ y=0.5x+90

단계 채점 기준 배점

⑴ a, b의 값을 각각 구한 경우 20%

⑵ x, y 사이의 관계를 식으로 나타낸 경우 40%

⑶ x, y 사이의 관계를 식으로 나타낸 경우 40%

● blacklabel 특강 ●^참고

시계에 대한 문제

⑴ 분침은 1시간, 즉 60분 동안 360ù를 움직이므로 1분에 6ù씩 움직인다.

∴ (분침이 a분 동안 움직인 각의 크기)=6aù

⑵ 시침은 1시간, 즉 60분 동안 30ù를 움직이므로 1분에 0.5ù씩 움직인다.

∴ (시침이 a분 동안 움직인 각의 크기)=0.5aù

03

● blacklabel 답안 ●

⑴ 넓이가 8`mÛ`인 직사각형 모양의 그늘막을 설치하는 데 드는 비용이 5600원이므로 넓이가 1`mÛ` 인 직사각형 모양의 그늘 막을 설치하는 데 드는 비용은

56008 =700(원)

따라서 12600원으로 설치할 수 있는 그늘막의 넓이를 A`mÛ`

라 하면

700A=12600 ∴ A=18(mÛ`)

⑵ 직사각형 모양의 그늘막의 가로, 세로의 길이가 각각 x`m, y`m이므로 그늘막의 넓이는 xy`mÛ`이다.

이때 12600원으로 설치할 수 있는 그늘막의 넓이가 18`mÛ`이 므로

xy=18 ∴ y= 18x

답 ⑴ 18`mÛ` ⑵ y= 18x

단계 채점 기준 배점

⑴

넓이가 1`mÛ` 인 그늘막을 설치하는 데 드는 비용을 구한

경우 30%

12600원으로 설치할 수 있는 그늘막의 넓이를 구한 경우 30%

⑵ x, y 사이의 관계를 식으로 나타낸 경우 40%

04

● blacklabel 답안 ●

⑴ 양 끝의 고리에는 붉은색 구슬이 4개씩, 중간에 끼어 있는 고 리에는 붉은색 구슬이 2개씩 사용되므로 고리가 4개일 때, 붉 은색 구슬의 개수는

4+2+2+4=12(개)

고리끼리 연결되는 부분에는 푸른색 구슬이 2개씩 사용되므 로 고리가 4개일 때, 푸른색 구슬의 개수는

2+2+2=6(개)

⑵ 고리가 x개일 때, 양 끝의 고리를 제외한 중간에 끼어 있는 고리의 개수는 (x-2)개이다.

이때 양 끝의 고리에는 붉은색 구슬이 4개씩, 중간에 끼어 있 는 고리에는 붉은색 구슬이 2개씩 사용되므로

y=4+2(x-2)+4 ∴ y=2x+4

⑶ 고리가 x개일 때, 연결되는 부분은 (x-1)개이다.

이때 고리끼리 연결되는 부분에 푸른색 구슬이 2개씩 사용되 므로

y=2(x-1) ∴ y=2x-2

답 ⑴ 붉은색 : 12개, 푸른색 : 6개

⑵ y=2x+4 ⑶ y=2x-2

단계 채점 기준 배점

⑴ 고리가 4개일 때의 붉은색 구슬의 개수와 푸른색 구슬의

개수를 각각 구한 경우 20%

⑵ x, y 사이의 관계를 식으로 나타낸 경우 40%

⑶ x, y 사이의 관계를 식으로 나타낸 경우 40%

05

● blacklabel 답안 ●

조건 ㈎에서 f(100)=f(10)+f(10)=2f(10)이고, 조건 ㈏에 서 f(100)=10이므로

2f(10)=10 ∴ f(10)=5

조건 ㈎에서 f(50)=f(10)+f(5)=5+f(5)이고, 조건 ㈏에서 f(50)=3이므로

5+f(5)=3 ∴ f(5)=-2

즉, f(5)=f { 102 }=f(10)+f { 12 }=5+f { 12 }=-2이므로 f { 12 }=-7

㈎

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따라서

f(125) =f(25)+f(5)

=f(5)+f(5)+f(5)

=3f(5) f { 18 } =f { 14 }+f { 12 }

=f { 12 }+f { 12 }+f { 12 }

=3f { 12 } 이므로

f { 1258 } =f(125)+f { 18 }

=3f(5)+3f { 12 } =3_(-2)+3_(-7) =-6+(-21)=-27

답 -27

단계 채점 기준 배점

㈎ f(5)와 f { 12 }의 값을 각각 구한 경우 40%

㈏ f { 1258 }를 f(5)와 f { 12 }로 나타낸 경우 40%

㈐ f { 1258 }의 값을 구한 경우 20%

㈏

㈐

06

● blacklabel 답안 ●

M( f(x), 5)=5이므로 f(x)É5

이때 f(x)는 개수이므로 f(x)=0, 1, 2, 3, 4, 5 f(x)=0을 만족하는 x의 값은 1

f(x)=1을 만족하는 x의 값은 2 f(x)=2를 만족하는 x의 값은 3, 4 f(x)=3을 만족하는 x의 값은 5, 6 f(x)=4를 만족하는 x의 값은 7, 8, 9, 10 f(x)=5를 만족하는 x의 값은 11, 12 따라서 조건을 만족하는 모든 x의 값의 합은 1+2+3+y+11+12=78

답 78

단계 채점 기준 배점

㈎ M( f(x), 5)=5를 이용하여 f(x)의 값을 구한 경우 30%

㈏ f(x)의 값에 따른 x의 값을 구한 경우 50%

㈐ 모든 x의 값의 합을 구한 경우 20%

㈎

㈏

㈐

07

● blacklabel 답안 ●

20`%의 소금물 500`g에서 소금물 x`g을 퍼낸 후, 남아 있는 소 금물에 들어 있는 소금의 양은

10020_(500-x)=100- x5(g)

남아 있는 소금물 (500-x)`g에 물 x`g을 부어 만든 소금물의 양은 500`g이므로

y=

100- x5

500 _100 ∴ y=20- x 25

답 y=20- x25

단계 채점 기준 배점

㈎ 소금물 500`g에서 소금물 x`g을 퍼낸 후, 남아 있는 소금

물에 들어 있는 소금의 양을 구한 경우 50%

㈏ x, y 사이의 관계를 식으로 나타낸 경우 50%

● blacklabel 특강 ●^필수개념

소금물의 농도

⑴ (소금물의 농도)= (소금의 양)

(소금물의 양)_100(%)

⑵ (소금의 양)=(소금물의 농도)

100 _(소금물의 양)

㈎

㈏

08

● blacklabel 답안 ●

조건 ㈎에서 3y가 x+2에 정비례하므로 3y=a(x+2) (a+0) yy㉠

라 할 수 있다.

조건 ㈏에 의하여 x=-6, y=3을 ㉠에 대입하면 3_3=a(-6+2), -4a=9

∴ a=- 94

즉, 3y=- 94(x+2)이므로 y=- 34x- 32

∴ f(x)=- 34x- 32

∴ f(4)=- 34_4- 3

2=-3- 3 2=- 9

2

답 - 9 2

단계 채점 기준 배점

㈎ 조건 ㈎를 이용하여 3y=a(x+2)로 놓은 경우 40%

㈏ 함수 y=f(x)를 구한 경우 40%

㈐ f(4)의 값을 구한 경우 20%

㈎

㈏

㈐

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본문 pp.79~81

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