03 a-b=(3'3-1)-('3+2)=2'3-3>0
∴ a>b
a-c=(3'3-1)-(2'3+1)='3-2<0
∴ a<c
∴ b<a<c
04 {;3!;a+;4#;b}{;3!;a-;4#;b}=;9!;aÛ`-;1»6;bÛ`
=;9!;_9-;1»6;_16
=-8
05 xÛ`+yÛ`=(x-y)Û`+2xy이므로 12=4Û`+2xy 2xy=-4 ∴ xy=-2
06 ⑤ -4x2y+16xy3=-4xy(x-4y2) 07 (x-2)(x+6)+k=x2+4x+k-12
완전제곱식이 될 조건은 k-12={;2$;}2=4
∴ k=16
08 2x2-px-6=0에서 근의 공식에 의하여 x= -(-p)Ñ"Ã(-p)2-4_2_(-6)
2_2
= pÑ"Ãp2+48
4 = -5Ñ'q 4
즉, p=-5이고, p2+48=q에서 q=73
∴ q-p=73-(-5)=78
09 한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이는 '2이 므로
A(-'2), B(1-'2), C(-1+'2), D(2-'2), E(1+'2)
학업성취도 테스트 [1회] 184-187쪽
01 ⑤ 02 ③ 03 ③ 04 ② 05 ② 06 ⑤ 07 ⑤ 08 ③ 09 ⑤ 10 ① 11 ② 12 ④ 13 ① 14 ③ 15 ③ 16 ① 17 ⑤ 18 ① 19 16+4'6 20 3a+2b 21 10 22 -20 23 3 24 21
학업성취도 테스트
10 4x2-2ax+a-1=0에 x=3을 대입하면 4_32-2a_3+a-1=0
5a=35 ∴ a=7 즉, 4x2-14x+6=0이므로
2x2-7x+3=0, (x-3)(2x-1)=0
∴ x=3 또는 x=b=;2!;
∴ a-b=7-;2!;=:Á2£:
11 준희: (x-6)(x+4)=x2-2x-24
상수항 -24
유림: (x+2)(x-7)=x2-5x-14
일차항의 계수 -5
따라서 처음 이차식은 x2-5x-24이므로 인수분해하 면 x2-5x-24=(x+3)(x-8)
12 가장 큰 자연수를 x라 하면 연속하는 세 자연수는 x-2, x-1, x이므로
x2=(x-2)2+(x-1)2-21 x2-6x-16=0, (x+2)(x-8)=0
∴ x=8 (∵ x는 자연수)
13 x2y2-16y2 =y2(x2-16)=y2(x+4)(x-4) 2x2-3x-20=(2x+5)(x-4)
따라서 두 다항식의 공통인수는 x-4이다.
14 x2-4x-k=0에서 근의 공식에 의하여 x=2Ñ'¶4+k
이때 해가 정수가 되려면 k+4는 0 또는 제곱수가 되 어야 하므로
k+4=0, 1, 4, 9, 16, 25, y, 100, y
따라서 두 자리 자연수 k의 값은 12, 21, y, 96의 7개 이다.
15 x2+6x+a=0이 중근을 가지므로 a={;2^;}2=9
x2-bx+c=0의 해가 x=1 또는 x=4이므로 (x-1)(x-4)=0, x2-5x+4=0
∴ b=5, c=4
∴ a-b-c=9-5-4=0
16 y=x2+8x+15=(x+4)2-1의 그래프를 x축의 방 향으로 p만큼, y축의 방향으로 q만큼 평행이동하면 y=(x+4-p)2-1+q
이 식이 y=x2+2x-5=(x+1)2-6과 일치하므로 4-p=1, -1+q=-6에서
p=3, q=-5
∴ p+q=3+(-5)=-2
학업성취도 테스트
77
17 ① 꼭짓점의 좌표는 (-2, -3)이다.
② 직선 x=-2를 축으로 한다.
③ 위로 볼록한 포물선이다.
④ x=0일 때, y=-7이므로 y축과 점 (0, -7)에서 만난다.
18 꼭짓점의 좌표가 (2, -3)이므로 y=a(x-2)2-3 이 그래프가 점 (0, 3)을 지나므로
3=4a-3, 4a=6 ∴ a=;2#;
따라서 y=;2#;(x-2)2-3=;2#;x2-6x+3이므로 a=;2#;, b=-6, c=3
∴ a+b+c=;2#;+(-6)+3=-;2#;
19 (넓이)=;2!;_('¶18+'2+'¶12)_'¶32
(넓이)=
2!;_(4'2+2'3)_4'2(넓이)=2
'2(4'2+2'3)(넓이)=16+4
'6 20 ㈎의 넓이는3a(5a+3b)+2b(2a+b) =15a2+9ab+4ab+2b2
=15a2+13ab+2b2
=(5a+b)(3a+2b) 이때 ㈎, ㈏의 넓이는 같고, ㈏의 세로의 길이가 5a+b 이므로 가로의 길이는 3a+2b이다.
21 2x2+ax+b=0의 두 근을 a, 2a라 하면 두 근의 합이 3이므로 a+2a=3 3a=3 ∴ a=1
즉, 두 근이 1, 2이므로
2(x-1)(x-2)=0, 2(x2-3x+2)=0
∴ 2x2-6x+4=0
따라서 a=-6, b=4이므로 b-a=10 22 y=;2!;x2-2ax+2=;2!;(x-2a)2-2a2+2
이므로 꼭짓점의 좌표는 (2a, -2a2+2) y =-x2+8x+b=-(x-4)2+16+b 이므로 꼭짓점의 좌표는 (4, 16+b) 두 그래프의 꼭짓점이 같으므로 2a=4에서 a=2
-2a2+2=16+b에서 b=-22
∴ a+b=2+(-22)=-20
23 y=x2-2x-3=(x-1)2-4의 그래프의 꼭짓점의 좌 표는 P(1, -4)
y=x2-8x+12=(x-4)2-4의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 Q(4, -4)
∴ PQÓ=3
24 x2-(10-k)x+k2+ 134 =0이 중근을 가지려면 kÛ`+:Á4£:=[-(10-k)
2 ]2 4k2+13=k2-20k+100
3k2+20k-87=0, (3k+29)(k-3)=0
∴ k=3 (∵ k>0)
즉, x2-7x+ 494 =0이므로 {x-;2&;}
2=0
∴ x=a=;2&;(중근)
∴ 2ak=21
01 ① 제곱근 25는 '¶25=5이다.
② '¶16=4의 제곱근은 Ñ2이다.
③ 0.4의 양의 제곱근은 '¶0.4이다.
④ "Ã(-3)2=3의 제곱근은 Ñ'3이다.
⑤ 0의 제곱근은 0이다.
02 '¶0.54=®É 54100 =®É2_33 100 =3'6
10
= 3_'2_'310 = 310 ab
03 3A-4B =3(5'3-'2)-4(3'2-2'3)
=15'3-3'2-12'2+8'3
=-15"2+23"3
04 (3x+5y)(4x-9y)=12xÛ`-7xy-45yÛ`
05 (a+b)Û`=(a-b)Û`+4ab=5Û`+4_(-3)=13`
06 x2-2kx+3k+4=0이 중근을 가지려면 3k+4={ -2k2 }
2에서 k2-3k-4=0 (k+1)(k-4)=0 ∴ k=-1 또는 k=4 따라서 모든 k의 값의 합은 -1+4=3 07 A =(x+1)(8x-2)-3=8x2+6x-5
=(2x-1)(4x+5)
B =4xy-2x-2y+1=2x(2y-1)-(2y-1)
=(2x-1)(2y-1)
두 다항식 A, B의 공통인수는 2x-1이므로 C =6x2-x+a=(2x-1)(3x-a)
=6x2-(2a+3)x+a
즉, 2a+3=1이므로 2a=-2 ∴ a=-1 08 a2+2ab+b2-9 =(a2+2ab+b2)-9
=(a+b)2-32
=(a+b+3)(a+b-3) 09 x2+2xy+y2=(x+y)2=(2'3)2=12 10 1014_1015+1014
10152-1 = 1014(1015+1) (1015+1)(1015-1)
= 1014_10161016_1014 =1
학업성취도 테스트 [2회] 188-191쪽
01 ④ 02 ③ 03 ⑤ 04 ⑤ 05 ② 06 ③ 07 ② 08 ② 09 ⑤ 10 ② 11 ⑤ 12 ③ 13 ③ 14 ⑤ 15 ③ 16 ② 17 ① 18 ③ 19 1-3'5 20 '5 21 13 22 3 23 4 24 (x-2)(x-5)
11 2x2+x-5=0에서 근의 공식에 의하여 x= -1Ñ'¶414
따라서 a=-1, b=41이므로 a+b=40 12 높이가 32`m가 되는 시간 t를 구하면
40t-8t2=32에서 t2-5t+4=0 (t-1)(t-4)=0 ∴ t=1 또는 t=4
따라서 물체가 32`m 이상의 높이에서 머무는 것은 4-1=3(초) 동안이다.
13 x2-yÛ`+4x-4y =(x+y)(x-y)+4(x-y)
=(x-y)(x+y+4)
=5_7=35
14 두 근이 -2, 1이고 이차항의 계수가 3인 이차방정식은 3(x+2)(x-1)=0 ∴ 3xÛ`+3x-6=0
따라서 a=3, b=-6이므로 a-b=3-(-6)=9 15 일차항의 계수와 상수항을 바꾼 이차방정식은
x2+kx-(k+1)=0
이 방정식에 x=-5를 대입하면 25-5k-k-1=0, 6k=24 ∴ k=4 즉, 처음 이차방정식은 x2-5x+4=0이므로 (x-1)(x-4)=0 ∴ x=1 또는 x=4 따라서 처음 이차방정식의 모든 근의 합은 1+4=5 16 꼭짓점의 좌표가 (2, 0)이므로 y=a(x-2)2
이 그래프가 점 (0, 2)를 지나므로 2=a(0-2)2, 4a=2 ∴ a=;2!;
∴ y=;2!;(x-2)2
17 y=-(x+3)2의 그래프를 x축의 방향으로 4만큼, y축 의 방향으로 -2만큼 평행이동한 그래프의 식은 y=-(x+3-4)2-2=-(x-1)2-2
18 그래프가 위로 볼록하므로 a<0
꼭짓점 (p, q)가 제1사분면 위에 있으므로 p>0, q>0
19 ABÓ=ADÓ="Ã1Û`+2Û`='5
따라서 a=-1-'5, b=-1+'5이므로 a-2b =(-1-'5)-2(-1+'5)
=-1-'5+2-2'5=1-3'5
20 주어진 삼각형과 직사각형의 넓이가 서로 같으므로
;2!;_'¶12_'¶30='¶18 x에서
;2!;_2'3_'¶30=3'2 x
∴ x= 3'¶10 3'2 ='5
학업성취도 테스트
79
21 y=-;3!;x2의 그래프를 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 a만큼 평행이동하면
y=-;3!;(x-2)2+a
이 그래프가 점 (8, -4)를 지나므로 -4=-12+a ∴ a=8
또 y=-;3!;(x-2)2+8의 그래프가 점 (-1, b)를 지나므로
b=-;3!;_(-3)2+8=5
∴ a+b=13
22 5x2+Ax+1=0에 x=-1을 대입하면 5-A+1=0 ∴ A=6
즉, 3x2+6x+1=0에서 근의 공식에 의하여 x= -3Ñ'6
3 = -3Ñ'C
B ∴ B=3, C=6
∴ A+B-C=3
23 y=ax2+2x+3의 그래프가 점 (1, 4)를 지나므로 4=a+2+3 ∴ a=-1
따라서 이차함수의 식은 y=-x2+2x+3이고 y=0일 때, -x2+2x+3=0이므로
x2-2x-3=0, (x+1)(x-3)=0
∴ x=-1 또는 x=3 즉, A(-1, 0), B(3, 0)이다.
따라서 x축과 만나는 두 점 A, B 사이의 거리는 ABÓ=3-(-1)=4
24 종광: (x+2)(x+5)=x2+7x+10
상수항은 10 ∴ b=10 병욱: (x-4)(x-3)=x2-7x+12
x의 계수는 -7 ∴ a=-7
따라서 처음 이차식은 x2-7x+10이므로 인수분해하 면 x2-7x+10=(x-2)(x-5)