02 x2-2xy=x(x-2y) xy-2y2=y(x-2y)
따라서 공통인수는 x-2y이다.
03 ㄱ. { A2 }
2=36이 되어야 하므로 A2=144 ∴ A=Ñ12
ㄴ. B={;2^;}2=9
ㄷ. Cx2+54xy+81y2=(3x+9y)2 ∴ C=32=9 ㄹ. (x-2)(x+6)+D=x2+4x+(-12+D)에서 { 42}2=-12+D ∴ D=16
04 x2+Ax+18=(x+m)(x+n)으로 인수분해될 때 A=m+n, mn=18
Ú m=1, n=18이면 A=19 Û m=-1, n=-18이면 A=-19 Ü m=2, n=9이면 A=11 Ý m=-2, n=-9이면 A=-11 Þ m=3, n=6이면 A=9 ß m=-3, n=-6이면 A=-9 따라서 A의 값의 개수는 6개이다.
05 25x2-49=(5x)2-72=(5x-7)(5x+7)
∴ a+b+c+d=5+(-7)+5+7=10 06 xy+x-y-1 =x(y+1)-(y+1)
=(x-1)(y+1) 07 -1<a<0이므로 a-;a!;>0, a+;a!;<0
∴ ¾¨{a+;a!;}2-4-¾¨{a-;a!;}2+4 =¾¨{a-;a!;}2-¾¨{a+;a!;}2 =a-;a!;+a+;a!;=2a 08 ㄴ. x2-9y2=(x+3y)(x-3y)
ㄹ. 5x2-2x-3=(5x+3)(x-1) ㅁ. 4x2-20xy+25y2=(2x-5y)2 09 (주어진 식)
=(x+1)(x-1)
x+4 _(x+4)(x-2) (x+1)(x+3)
_(x+3)(x-1) (x-1)(x-2)
=x-1
10 ax2+bx-15 =(x-3)(2x+c)
=2xÛ`+(c-6)x-3c 즉, a=2, b=c-6, -15=-3c이므로 a=2, c=5, b=-1
∴ a+b+c=6
11 2x-3>0, x-3<0이므로
"Ô4x2-12x+9 -"Ôx2-6x+9
="Ô(2x-3)2-"Ô(x-3)2
=2x-3+x-3=3x-6
12 2x2+bx-3=(x+3)(2x+a)라 하면 2x2+bx-3=2x2+(a+6)x+3a 즉, 3a=-3에서 a=-1
∴ b=a+6=5
13 x2+(4k-2)x+25=(xÑ5)2에서 4k-2=Ñ10
4k=12 또는 4k=-8
∴ k=3 또는 k=-2 14 x2-4x+3=(x-1)(x-3)
2x2-5x+3=(2x-3)(x-1) 따라서 공통인수는 x-1이다.
15 x2+2x-3=(x-1)(x+3)이므로 두 일차식은 x-1, x+3이다.
따라서 두 일차식의 합은 (x-1)+(x+3)=2x+2
16 x2+Ax-21=(x-3)(x+p)에서 -3p=-21 ∴ p=7
∴ A=7+(-3)=4
2x2-5x+B=(x-3)(2x+q)에서 q-6=-5 ∴ q=1
∴ B=-3_1=-3
∴ A+B=4+(-3)=1
01 a4-81 =(a2)2-92
=(a2+9)(a2-9)
=(a2+9)(a+3)(a-3)
02 ④ aÛ`-2ab+4b-2a =a(a-2b)-2(a-2b)
=(a-2b)(a-2) 03 x2-yz+xy-xz =(x2-xz)+(xy-yz)
=x(x-z)+y(x-z)
=(x-z)(x+y) 따라서 두 일차식의 합은
(x-z)+(x+y)=2x+y-z 04 ① (95+5)2=1002
② (31.5-1.5)2=302
④ 2020(2020+2)+1 =20202+2_2020+1
=(2020+1)2=2021Û`
⑤ (200-3)2=1972 05 4.15_532-4.15_472
=4.15(53Û`-472) yy`ㄱ
=4.15(53+47)(53-47) yy`ㄴ 06 A는 x의 계수를 잘못 보았으므로
어떤 이차식의 상수항은 -28이고, B는 상수항을 잘못 보았으므로
어떤 이차식의 일차항의 계수는 -3이다.
따라서 이차식은 x2-3x-28이므로 인수분해하면 (x+4)(x-7)
소단원 테스트 [1회] 086-087쪽
01 ③ 02 ④ 03 ⑤ 04 ③ 05 ① 06 ⑤ 07 ① 08 ③ 09 ③ 10 ③ 11 ② 12 ② 13 ⑤ 14 ① 15 ④ 16 ③
07 2x-3=A로 놓으면 2(2x-3)2-5(3-2x)-12
=2A2+5A-12
=(A+4)(2A-3)
=(2x-3+4){2(2x-3)-3}
=(2x+1)(4x-6-3)
=(2x+1)(4x-9)
08 ㄱ. 2xÛ`-x-1=(2x+1)(x-1) ㄴ. xÛ`-12는 인수분해할 수 없다.
ㄷ. xy-y+3x-3 =y(x-1)+3(x-1)
=(x-1)(y+3) ㄹ. xÛ`-5x-4는 인수분해할 수 없다.
ㅁ. 6xy+1-9xÛ`-yÛ` =1-(9xÛ`-6xy+yÛ`)
=1-(3x-y)Û`
=(1+3x-y)(1-3x+y) ㅂ. x2y2-x2-y2+1 =x2(y2-1)-(y2-1)
=(x2-1)(y2-1)
=(x+1)(x-1)(y+1)(y-1) 09 도형 ㈎의 넓이는
(2x+4)2-32 ={(2x+4)+3}{(2x+4)-3}
=(2x+7)(2x+1)
도형 ㈎, ㈏의 넓이가 같고, 도형 ㈏의 세로의 길이가 2x+1이므로 도형 ㈏의 가로의 길이는 2x+7이다.
10 3<'§10<4이므로 2<'§10-1<3 즉, '§10-1의 정수 부분은 2,
소수 부분은 x=('§10-1)-2='§10-3
∴ (x-1)Û`+8(x-1)+16 ={(x-1)+4}Û`
=(x+3)Û`
=('§10-3+3)Û`
=('§10 )Û`=10 11 a2-2ab+4b-2a =a(a-2b)-2(a-2b)
=(a-2)(a-2b) 따라서 인수인 것은 ② a-2b이다.
12 aÛ`+bÛ`-2ab-8a+8b =(a-b)Û`-8(a-b)
=(a-b)(a-b-8)
=12_4=48 13 x-3y=t로 놓으면
(x-3y)(x-3y-1)-6
=t(t-1)-6=t2-t-6
=(t+2)(t-3)=(x-3y+2)(x-3y-3)
∴ |A-B|=|(x-3y+2)-(x-3y-3)|=5 14 x= 1
'5+2='5-2, y= 1'5-2='5+2
∴ x2-y2=(x+y)(x-y)=2'5_(-4)=-8'5
⑷ (x-y+4)(x-y-4)
⑸ (x-1)(y-1)
⑹ (a-b)(x+y)
⑺ (a+c)(b-a)
⑻ (x+y)(x-y+1)
⑼ (x+y+3)(x+y-3)
03 ⑴ 190 ⑵ 530 ⑶ 400 ⑷ 100
⑸ 399 ⑹ 10000 ⑺ 4000 ⑻ 5000 04 ⑴ 10000 ⑵ 10000 ⑶ 190 ⑷ '2 ⑸ '3 ⑹ 2 ⑺ 5 ⑻ 16'2
Ⅱ
. 인수분해와 이차방정식31
01 x2+2xy+y2+2x+2y+1
=(x+y)2+2(x+y)+1=(x+y+1)2 x+y=2를 대입하면 (x+y+1)2=(2+1)2=9 02 x2+4xy+3y2+x+3y =(x+3y)(x+y)+(x+3y)
=(x+3y)(x+y+1)
∴ (주어진 식)= x+y+1
(x+3y)(x+y+1) = 1 x+3y
∴ = 1
(4-3'2)+3('2-3)=-;5!;
03 242-222+202-182+y+82 2-62+42-22
=;2!;{(24+22)(24-22)+(20+18)(20-18)+y +(8+6)(8-6)+(4+2)(4-2)}
=;2!;_2_(24+22+20+18+y+8+6+4+2)
=24+22+20+18+y+8+6+4+2=156 04 x2+y2-z2+2xy =(x2+2xy+y2)-z2
=(x+y)2-z2
=(x+y+z)(x+y-z)
∴ (두 일차식의 합) =(x+y+z)+(x+y-z)
=2x+2y
05 주어진 그림의 직사각형의 넓이의 합을 구해 보면 2x2+3x+1
이를 인수분해하면 (x+1)(2x+1)
따라서 직사각형의 가로와 세로의 길이는 각각 x+1, 2x+1이므로 합은
(x+1)+(2x+1)=3x+2
소단원 테스트 [2회] 088-089쪽
01 9 02 -;5!; 03 156 04 2x+2y 05 3x+2 06 2a-6 07 (x-4)(2x-3) 08 8x-11 09 -3 10 10000
11 6x-8 12 ;4@0!; 13 a=12, b=8 14 2022 15 6 16 4'5
15 a3-a2-4a+4
=a2(a-1)-4(a-1)
=(a-1)(a2-4)
=(a-1)(a+2)(a-2)
={-(1-a)}(a+2){-(2-a)}
=(1-a)(a+2)(2-a)
16 정사각형의 넓이는 4a2+4ab+b2이므로 4a2+4ab+b2=(2a+b)2
따라서 정사각형의 한 변의 길이는 2a+b이다.
06 a2-b2-4c2-6a+4bc+9
=(a2-6a+9)-(b2-4bc+4c2)
=(a-3)2-(b-2c)2
=(a+b-2c-3)(a-b+2c-3) 따라서 두 다항식의 합은 2a-6이다.
07 (2x-9)(x-1)=2x2-11x+9
이 식이 어떤 이차식의 상수항보다 3만큼 작으므로 처음 이차식은
(2x2-11x+9)+3 =2x2-11x+12
=(x-4)(2x-3)
08 (평행사변형의 넓이)=(밑변의 길이)_(높이)이므로 64x2-121=(8x+11)(8x-11)
따라서 평행사변형의 높이는 8x-11이다.
09 (x-2)(x-1)(x+4)(x+5)+9
=(x-2)(x+5)(x-1)(x+4)+9
=(x2+3x-10)(x2+3x-4)+9 x2+3x=A로 놓으면
(A-10)(A-4)+9
=A2-14A+40+9
=A2-14A+49
=(A-7)2=(x2+3x-7)2
따라서 a=1, b=3, c=-7이므로 a+b+c=-3 10 x2-2xy+y2 =(x-y)2=(111-11)2
=1002=10000
11 A: (3x+4)(3x-5)=9x2-3x-20 B: (3x-4)2=9x2-24x+16
A는 일차항의 계수를 잘못 보았고 B는 상수항을 잘못 보았으므로 처음 이차식은 9x2-24x-20
즉, 9x2-24x-20=(3x-10)(3x+2)이므로 두 일차식의 합은 (3x-10)+(3x+2)=6x-8 12 {1- 1`22}{1- 1`32}_y_{1- 1`192}{1- 1`202}
={1-;2!;}{1+;2!;}{1-;3!;}{1+;3!;}
_y_{1- 1`19}{1+1`
19}{1-1`
20}{1+1`
20}
=;2!;_;2#;_;3@;_;3$;_y_;1!9*;_;1@9);_;2!0(;_;2@0!;
=;2!;_;2@0!;=;4@0!;
13 4a+4b=80이므로
a+b=20 yy`㉠
a2-b2=80이므로 (a+b)(a-b)=80 20(a-b)=80
∴ a-b=4 yy`㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=12, b=8
14 2021_2023+1 =(2022-1)(2022+1)+1
=20222-1+1=20222 따라서 어떤 자연수는 2022이다.
15 x2+x-6=0에서 x2+x=6
∴ x3+x2-6
x-1 =x(x2+x)-6
x-1 = 6x-6x-1
=6(x-1) x-1 =6 16 x= 2
'5-'3= 2('5+'3 )
('5-'3 )('5+'3 ) ='5+'3 y= 2
'5+'3 = 2('5-'3 )
('5+'3 )('5-'3 ) ='5-'3 이므로
x+y='5+'3+'5-'3=2'5 xy=('5+'3 )('5-'3 )=5-3=2
∴ x2y+xy2=xy(x+y)=2_2'5=4'5
01 2(x+4)(x-3)-(x-2)Û`
=2(xÛ`+x-12)-(xÛ`-4x+4)
=xÛ`+6x-28
이므로 일차항의 계수는 6이다.
02 ① (2x-3y)Û`=4xÛ`-12xy+9yÛ`
② (x+3)(x-2)=xÛ`+x-6
④ (2x-1)(x+1)=2xÛ`+x-1
⑤ (2x+1)(2x-1)=4xÛ`-1 03 xÛ`+ 1
xÛ`={x+;[!;}Û`-2_x_;[!;=2Û`-2=2 04 (3x-5)(x+1)=3xÛ`-2x-5 ∴ A=-2
(3x+2)(3x-2)=9xÛ`-4 ∴ B=-4
∴ A-B=-2-(-4)=2
중단원 테스트 [1회] 090-095쪽
01 ③ 02 ③ 03 ⑤ 04 ④ 05 ④ 06 ① 07 72 08 ① 09 ③ 10 ② 11 ① 12 ④ 13 ② 14 ③ 15 -9 16 19 17 ④ 18 -'2+'7 19 3 20 ③ 21 40 22 ④ 23 ④ 24 ② 25 ① 26 ④ 27 ② 28 3a(a+2) 29 ③ 30 4 31 26 32 ⑤ 33 ③ 34 ① 35 ③ 36 ⑤ 37 ⑤ 38 ③ 39 6 40 ⑤ 41 ③ 42 35 43 6 44 16 45 ③ 46 ;;ª4°;;
47 (4x+1)(x-5) 48 ③
05 -3aÛ`bÛ`+9abÜ`=-3abÛ`(a-3b)이므로 공통인수가 아닌 것은 ④ 3aÛ`b이다.
06 x2-4=(x+2)(x-2) x2-2x-8=(x+2)(x-4) 따라서 공통인수는 x+2이다.
07 2x2-4xy+2y2 =2(x2-2xy+y2)=2(x-y)2
=2(9.98-3.98)2=2_62=72 08 x-y=(2+'2 )-(2-'2 )=2'2
x+y=(2+'2 )+(2-'2 )=4
∴ x2-2xy+y2-2x-2y
=(x-y)2-2(x+y)
=(2'2 )2-2_4=8-8=0 09 ③ ''5-22 = '2('5+2)
('5-2)('5+2)='§10+2'2 10 x= 1
3-'8=3+'8=3+2'2에서 x-3=2'2, (x-3)Û`=8
xÛ`-6x+9=8 ∴ xÛ`-6x=-1
∴ xÛ`-6x+3=-1+3=2
11 (x-5y)(3x+4y)=3xÛ`-11xy-20yÛ`이므로 A=3, B=-20 ∴ A+B=3+(-20)=-17 12 ① '3x='3('3+2)=3+2'3
② ;[!;= 1'3+2=-('3-2)=2-'3
③ xÛ`=('3+2)Û`=7+4'3
④ x+;[!;=('3+2)+ 1'3+2 ='3+2-('3-2)=4
⑤ xÛ`-3x =('3+2)Û`-3('3+2)
=7+4'3-3'3-6=1+'3 13 ② 4x2+4xy+y2=(2x+y)2
14 25x2-Ax+4가 (5x-B)2으로 인수분해되므로 B2=4 ∴ B=2 (∵ B>0)
A=10B=20
∴ A+B=20+2=22
15 3x2+ax-6=(x-3)(3x+p)라 하면 a=-9+p, -6=-3p
∴ p=2, a=-7
x2+bx-3=(x-3)(x+q)라 하면 b=-3+q, -3=-3q
∴ q=1, b=-2
∴ a+b=-7+(-2)=-9
16 x2-100=(x+10)(x-10)이므로 a=10 2x2-5x-7=(x+1)(2x-7)이므로 b=2, c=7
∴ a+b+c=10+2+7=19
Ⅱ
. 인수분해와 이차방정식33
17 ① 99Û`=(100-1)Û`
② 102Û`=(100+2)Û`
③ 9.5_10.5=(10-0.5)(10+0.5)
④ 51_52=(50+1)(50+2)
⑤ 103_97=(100+3)(100-3)
18 '§x+'Äx+11 =-('§x-'Äx+1 )=-'§x+'Äx+1 이므로
'2+'31 + 1
'3+2+ 1
2+'5+ 1
'5+'6+ 1 '6+'7
=-'2+'3-'3+2-2+'5-'5+'6-'6+'7
=-'2+'7
19 aÛ`+ab+bÛ`=(a-b)Û`+3ab
=3Û`+3_(-2)
=3
20 ① 9x2-6x+1=(3x-1)2
② x2+14x+49=(x+7)2
④ 4a2-20ab+25b2=(2a-5b)2
⑤ ;9!;x2-2x+9={;3!;x-3}2 21 "Ã582-422 ="Ã(58+42)(58-42)
='Ä100_16
='¶1600=40
22 (x-1)2-3x+3-10에서 x-1=A로 놓으면 A2-3A-10 =(A-5)(A+2)
=(x-1-5)(x-1+2)
=(x-6)(x+1) 23 사다리꼴의 높이를 h라 하면
;2!;h{(a+3)+(a+5)}=3aÛ`+10a-8 (a+4)h=(3a-2)(a+4)
∴ h=3a-2
24 ② 16x2-x=x(16x-1) 25 Q=bÛ`, R=(a-b)Û`이므로
Q+R=bÛ`+(a-b)Û`=aÛ`-2ab+2bÛ`
26 (2x+2y)Û`={2(x+y)}Û`=4(x+y)Û` ∴ a=4 27 (4'5+a)(2'5-3)
=40+(-12+2a)'5-3a
=(40-3a)+(2a-12)'5
이 수가 유리수가 되려면 2a-12=0
∴ a=6
28 (2a+1)2-(a-1)2
={(2a+1)+(a-1)}{(2a+1)-(a-1)}
=3a(a+2)
29 x2y+xy2+2(x+y)=48에서
xy(x+y)+2(x+y)=48, (xy+2)(x+y)=48 이때 xy=6이므로 8(x+y)=48
∴ x+y=6
∴ x2+y2=(x+y)2-2xy=36-12=24 30 x2+2x+2 =(x+1)2+1
={('3-1)+1}2+1
=('3 )2+1=4
31 이차식 x2+8x+k-10이 완전제곱식이 되려면 k-10=16 ∴ k=26
32 0<a<1이므로 2a+ 3a >0, 2a-3 a <0
∴ ¾¨{2a- 3a}2+24+¾¨{2a+ 3a}2-24
=¾¨{2a+ 3a}2+¾¨{2a- 3a}2
=2a+ 3a -2a+3 a =6
a 33 x+'3=A로 놓으면
(x+'3+1)(x+'3-1)=(A+1)(A-1)
=AÛ`-1
=(x+'3)Û`-1
=xÛ`+2'3x+2 따라서 x의 계수는 2'3이다.
34 2(2x+y)Û`-(x+4y)(4x-y)
=2(4xÛ`+4xy+yÛ`)-(4xÛ`+15xy-4yÛ`)
=4xÛ`-7xy+6yÛ`
따라서 xy의 계수는 -7이다.
35 (a-2b)(a+2b)(aÛ`+4bÛ`)(aÛ`+16bÛ`)
=(aÛ`-4bÛ`)(aÛ`+4bÛ`)(aÝ`+16bÝ`)
=(aÝ`-16bÝ`)(aÝ`+16bÝ`)
=a¡`-256b¡`
36 a2-b2=24이고 a-b=3이므로
(a-b)(a+b)=24, 3(a+b)=24 ∴ a+b=8 37 13Ý`-1 =(13Û`+1)(13Û`-1)
=(13Û`+1)(13+1)(13-1)
=170_14_12
=2Ý`_3_5_7_17
따라서 13Ý`-1을 나누어떨어지게 하는 수가 아닌 것은
⑤ 18이다.
38 x2+ax+;4!;이 완전제곱식이 되려면 a=Ñ1 x2-8x+b가 완전제곱식이 되려면 b=16
∴ ab=(Ñ1)_16=Ñ16
39 x8-1 =(x4+1)(x4-1)=(x4+1)(x2+1)(x2-1)
=(x4+1)(x2+1)(x+1)(x-1)
∴ a+b=4+2=6
40 ⑤ 6x2+9xy의 인수는 3x, 2x+3y 이외에도 6x2+9xy가 있다.
41 (x-2y)Û`-(3x+y)(3x-y)+4xy
=(xÛ`-4xy+4yÛ`)-(9xÛ`-yÛ`)+4xy
=-8xÛ`+5yÛ`
=-8_(-2)Û`+5_(2'3 )Û`
=-32+60=28
42 xÛ`+5x-1=0에서 xÛ`+5x=1 (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)
={(x+1)(x+4)}{(x+2)(x+3)}
=(xÛ`+5x+4)(xÛ`+5x+6)
=(1+4)_(1+6)
=35
43 (x-y)Û`=(x+y)Û`-4xy이므로 25=7Û`-4xy, 4xy=24
∴ xy=6
44 3x2-ax+10=(x-1)(3x-10)이므로 a=13 4x2+bx-7=(x-1)(4x+7)이므로 b=3
∴ a+b=16
45 x2+5xy+6yx+3y+12+x+2y
= x+3y+1
(x+2y)(x+3y)+x+2y
= x+3y+1
(x+2y)(x+3y+1)= 1 x+2y
= 1
(5+4'2 )+2(2-2'2 )=;9!;
46 (x-1)(x+4)+k=x2+3x-4+k가 완전제곱식이 되려면 {;2#;}2=-4+k
∴ k=4+;4(;= 254
47 (4x-7)(x-3)=4x2-19x+21에서 A는 일차항의 계수를 바르게 보았으므로 처음의 이차식의 일차항의 계수는 -19 (4x-1)(x+5)=4x2+19x-5에서 B는 상수항을 바르게 보았으므로 처음의 이차식의 상수항은 -5
따라서 처음 주어진 이차식은 4x2-19x-5이므로 바르게 인수분해하면 (4x+1)(x-5)
48 정사각형 모양의 액자의 넓이가 4a2+20ab+25b2=(2a+5b)2 이므로 한 변의 길이는 2a+5b이다.
따라서 이 액자의 둘레의 길이는 4(2a+5b)=8a+20b
중단원 테스트 [2회] 096-101쪽
01 aÛ`-1 02 0 03 ⑤ 04 ④ 05 x+1 06 ① 07 ⑤ 08 -4'3 09 ① 10 ④ 11 12 12 ②, ⑤ 13 ①, ⑤ 14 ④ 15 x-3 16 ① 17 -1 18 ⑤ 19 ④ 20 ⑤ 21 ④ 22 ④ 23 ① 24 ① 25 ② 26 2 27 ④ 28 ⑤
29 (x-4)Û` 30 4x+6 31 ⑤ 32 ④ 33 -72 34 135 35 3
36 (xÛ`+3x-3)(xÛ`+3x+5) 37 3 38 ④ 39 ⑤ 40 3 41 ② 42 ② 43 22 44 3 45 12x-4 46 ④ 47 ② 48 ②
01 (-a-1)(-a+1)=(-a)Û`-1Û`=aÛ`-1 02 (4-2'3 )(1+'3 ) =4+4'3-2'3-6
=-2+2'3 즉, a=-2, b=2이므로 a+b=0
03 (2x+A)(4x-5)=8xÛ`+(4A-10)x-5A이므로 B=4A-10, -5A=-15 ∴ A=3, B=2
∴ A+B=3+2=5 04 (x+y-z)(x-y-z)
={(x-z)+y}{(x-z)-y}
=(x-z)Û`-yÛ`
=xÛ`-yÛ`+zÛ`-2xz
05 2<x<3에서 x-2>0, x-3<0이므로
"Òx2+"Òx2-4x+4+"Òx2-6x+9
="Òx2+"Ò(x-2)2+"Ò(x-3)2
=x+(x-2)-(x-3)
=x+1
06 3(x+1)2+10(x+1)-25에서 x+1=X로 놓으면
3X2+10X-25 =(X+5)(3X-5)
=(x+1+5){3(x+1)-5}
=(x+6)(3x-2) 07 ⑤ 9xy2-6xy+x=x(3y-1)2 08 x= 1
2+'3 =2-'3, y= 12-'3=2+'3 이므로 x+y=4, x-y=-2'3
∴ x2-y2-2x+2y =(x2-y2)-2(x-y)
=(x+y)(x-y)-2(x-y)
=(x-y)(x+y-2)
=-2"3_(4-2)=-4"3
Ⅱ
. 인수분해와 이차방정식35
19 ④ {x-;2!;}{x-;4!;}=xÛ`-;4#;x+;8!;
20 a2-a+b-b2 =a2-b2-a+b
=(a+b)(a-b)-(a-b)
=(a-b)(a+b-1) a2-b2+2b-1 =a2-(b2-2b+1)
=a2-(b-1)2
=(a+b-1)(a-b+1) 따라서 공통인수는 a+b-1이다.
21 a="Ã(2020-1)(2020+1)+1
a=
"Ã2020Û`-1Û`+1="Ã2020Û`=2020 b=70(1.18Û`-0.82Û`)3.6(3+4)
b=
70(1.18+0.82)(1.18-0.82) 3.6_7b= 70_2_0.36
3.6_7 =2c="Ã(8+7)(8-7)+(6+5)(6-5)+(4+3)(4-3)+(2+1)(2-1)
c=
'Ä8+7+6+5+4+3+2+1='§36=6∴ a+3b-c=2020+6-6=2020 22 a+b=4, a2+b2=12에서
2ab=(a+b)2-(a2+b2)=16-12=4
∴ ab=2
∴ 3a+3b-a2b-ab2=3(a+b)-ab(a+b)
=(a+b)(3-ab)
=4_(3-2)=4 23 A=3xÛ`+7x-10=(3x+10)(x-1)
B=xÛ`-3x+2=(x-1)(x-2) 즉, A, B의 공통인수가 x-1이므로 C=6xÛ`+x+a도 x-1을 인수로 갖는다.
6xÛ`+x+a=(x-1)(6x+b)라 하면 1=-6+b이므로 b=7
∴ a=-b=-7 24 (3a+2)2-(a-3)2
=(3a+2+a-3)(3a+2-a+3)
=(4a-1)(2a+5) 이므로 A=-1, B=5
∴ A-B=-1-5=-6
25 (Ax-3)Û`=AÛ`xÛ`-6Ax+9이므로 AÛ`=4,-6A=B, 9=C
A>0이므로 A=2, B=-12, C=9
∴ A+B+C=-1
26 {;3@;a-;5#;b}{;3@;a+;5#;b}=;9$;aÛ`-;2»5;bÛ`
=;9$;_45-;2»5;_50
=20-18
=2 09 xÛ`+yÛ`=(x-y)Û`+2xy
=5Û`+2_3
=31
10 'Äx+1+'§x1 ='Äx+1-'§x이므로 '2+11 + 1
'3+'2+ 1
'4+'3+ y + 1 '¶100+'§99
='2-1+'3-'2+'4-'3+y+'¶100-'§99
=-1+10=9
11 9998_10002=(10Ý`-2)(10Ý`+2)
=(10Ý`)Û`-2Û`
=10¡`-4
따라서 m=8, n=4이므로 m+n=12 12 ② -(-a-b)Û`=-(a+b)Û`
⑤ (a-b)Û`=(-a+b)Û`
13 -2a2x+6a2y=-2a2(x-3y) 14 ;3!;xÛ`+Ax+;2Á7;=B(x+C)Û`에서
;3!;{xÛ`+3Ax+;9!;}=;3!;{x+;3!;}2이므로 A=;9@;, B=;3!;, C=;3!;
∴ A+B+C=;9*;
15 도형 A의 넓이는
(x-5)2-22 =(x-5+2)(x-5-2)
=(x-3)(x-7)
이때 도형 A의 넓이는 도형 B와 그 넓이가 같고, 도형 B의 세로의 길이가 x-7이므로 가로의 길이는 x-3 이다.
16 x2(x-2y)-9x+18y =x2(x-2y)-9(x-2y)
=(x-2y)(x2-9)
=(x-2y)(x+3)(x-3) 17 (x-1)(x-3)(x+1)(x+3)
=(x-1)(x+1)(x-3)(x+3)
=(xÛ`-1)(xÛ`-9) xÛ`=A로 놓으면
(주어진 식)=(A-1)(A-9)
=AÛ`-10A+9
=xÝ`-10xÛ`+9
따라서 xÛ`의 계수는 -10, 상수항은 9이므로 그 합은 -1이다.
18 {x-;[!;}Û`={x+;[!;}Û`-4_x_;[!;
{x-;[!;}Û`=3Û`-4 {x-;[!;}Û`=5
27 ① xÛ`-2x+1 ② xÛ`-2x-15
③ xÛ`-2x-48 ④ 3xÛ`+2x-1
⑤ 8xÛ`-2x-3
28 밑변의 길이의 합에서 x+y=10 넓이의 차에서 ;2!;xÛ`-;2!;yÛ`=20 xÛ`-yÛ`=40, (x+y)(x-y)=40 이때 x+y=10이므로
10(x-y)=40 ∴ x-y=4 29 A: (x-2)(x-8)=x2-10x+16
올바른 상수항은 16
B: (x-2)(x-6)=x2-8x+12
올바른 x의 계수는 -8
따라서 처음 이차식은 x2-8x+16이므로 바르게 인수분해하면 x2-8x+16=(x-4)2 30 2x-1=A로 놓으면
(2x-1)2+8(2x-1)+12
=A2+8A+12
=(A+6)(A+2)
=(2x-1+6)(2x-1+2)
=(2x+5)(2x+1) 따라서 두 일차식의 합은 (2x+5)+(2x+1)=4x+6 31 주어진 직사각형의 넓이의 합은
x2+3x+2=(x+1)(x+2)
따라서 새로운 직사각형의 가로, 세로의 길이는 x+1, x+2이므로 구하는 둘레의 길이는 2{(x+1)+(x+2)}=4x+6
32 ① 256_231-256_235=256(231-235)
② 535_3.5Û`-535_2.5Û` =535(3.5Û`-2.5Û`)
=535(3.5+2.5)(3.5-2.5)
③ 2021Û`-1
2020_2021+2020 =(2021+1)(2021-1) 2020(2021+1)
⑤ 537Û`-2_537_437+437Û`=(537-437)Û`
33 (3x+2)Û`(3x-2)Û`={(3x+2)(3x-2)}Û`
=(9xÛ`-4)Û`
=81xÝ`-72xÛ`+16 따라서 xÛ`의 계수는 -72이다.
34 456Û`-321Û`777 = (456-321)(456+321)777
= 135_777777 =135 35 x='7+3에서 x-3='7
양변을 제곱하면 xÛ`-6x+9=7
∴ xÛ`-6x=-2
∴ xÛ`-6x+5=-2+5=3
36 x(x+1)(x+2)(x+3)-15
=x(x+3)(x+1)(x+2)-15
=(x2+3x)(x2+3x+2)-15
=A(A+2)-15 x2+3x=A로 치환
=A2+2A-15
=(A-3)(A+5)
=(x2+3x-3)(x2+3x+5)
37 x2+(6a+2)xy+100y2=x2+(6a+2)xy+(10y)2 에서 6a+2=Ñ(2_10)=Ñ20
∴ a=3 (∵ a>0) 38 1<x<4에서
x-1>0, x-4<0
∴ "Ãx2-2x+1+"Ãx2-8x+16
="Ã(x-1)2+"Ã(x-4)2
=(x-1)-(x-4)
=x-1-x+4=3
39 ⑤ 3x2-14x+8=(x-4)(3x-2) 40 x+1=A, y-1=B로 놓으면
2(x+1)2-(x+1)(y-1)-6(y-1)2
=2A2-AB-6B2
=(2A+3B)(A-2B)
={2(x+1)+3(y-1)}{(x+1)-2(y-1)}
=(2x+2+3y-3)(x+1-2y+2)
=(2x+3y-1)(x-2y+3) 따라서 a=2, b=3, c=-2이므로 a+b+c=2+3+(-2)=3 41 xÛ`-3x+1=0에서
x-3+;[!;=0 ∴ x+;[!;=3
∴ xÛ`+ 1
xÛ`={x+;[!;}Û`-2_x_;[!;
=3Û`-2=7
42 2x-y=A로 놓으면
(2x-y+3)(2x-y-1)-(2x-y+7)Û`
=(A+3)(A-1)-(A+7)Û`
=(AÛ`+2A-3)-(AÛ`+14A+49)
=-12A-52
=-24x+12y-52 43 xÛ`+ 1
xÛ`={x-;[!;}Û`+2_x_;[!;
=5Û`+2 =27
∴ xÛ`-x+;[!;+ 1xÛ`=xÛ`+ 1
xÛ`-{x-;[!;}
=27-5=22
Ⅱ
. 인수분해와 이차방정식37
44 x+1=A로 놓으면
(x+1)2-12(x+1)+36 =A2-12A+36
=(A-6)2
=(x+1-6)2
=(x-5)2 x=5+'3 을 대입하면
(x-5)2=(5+'3 -5)2=('3 )2=3 45 8x2-2x-3=(4x-3)(2x+1)
이므로 세로의 길이는 2x+1 따라서 둘레의 길이는
2{(4x-3)+(2x+1)}=12x-4
46 (x-1)(x+3)+k=xÛ`+2x+k-3이 완전제곱식이 되려면
k-3={;2@;}2=1 ∴ k=4 47 a3-a=a(a2-1)=a(a+1)(a-1)
따라서 인수가 아닌 것은 ② a2+1이다.
48 x+y=A로 놓으면 (x+y-2)(x+y+5)-30
=(A-2)(A+5)-30
=A2+3A-40
=(A+8)(A-5)
=(x+y+8)(x+y-5)
중단원 테스트 [서술형] 102-103쪽
01 18 02 10 03 -40'6 04 99 05 (x-2)(x+1)(x+2)(x+5) 06 11 07 -1 08 (x-2)(x+6)
01 (ax+5)(3x-b)
=3axÛ`+(15-ab)x-5b ……`➊
=cxÛ`+7x-10
3a=c, 15-ab=7,-5b=-10이므로
-5b=-10에서 b=2 ……`➋
15-ab=7에서 2a=8
∴ a=4 ……`➌
3a=c에서 c=12 ……`➍
∴ a+b+c=18 ……`➎