01 ③ 02 ② 03 ⑤ 04 22 05 ③ 06 ① 07 ④ 08 ③ 09 ③ 10 ① 11 ③ 12 ④ 13 ② 14 ①
15 x=-2 또는 x=3 16 ③ 17 -3 18 ⑤ 19 ① 20 ③ 21 ② 22 ② 23 ① 24 ① 25 ① 26 ③ 27 24 28 7 29 ④ 30 ① 31 ① 32 ③ 33 x=1 34 ③ 35 ④ 36 6 37 ③ 38 ② 39 288 40 ④ 41 ③ 42 ② 43 ② 44 x+7 45 ⑤ 46 ④
47 14, 16 48 ② 49 ③ 50 ② 51 9개 52 ③ 53 ② 54 ② 55 ⑤ 56 ③ 57 ② 58 a+6 59 ② 60 16초 후 61 ⑤ 62 ① 63 ④ 64 ⑤ 65 ② 66 ⑤ 67 ⑤ 68 -3 69 10살 70 x=-3 또는 x=3 71 ④ 72 1+'5
2 73 37 74 ①
75 ③, ⑤ 76 ④ 77 32 78 47 79 ⑤ 80 2`cm
01 ① xÛ`+4x+4 ② xÛ`-2xy+yÛ`
④ aÛ`+2ab+bÛ` ⑤ xÛ`-6xy+9yÛ`
02 x+y='7+'3+'7-'3=2'7 xy=('7+'3)('7-'3)=7-3=4
∴ ;[^;+;]^;=6(x+y)
xy =6_2'7 4 =3'7 03 -x2y+xy2=-xy(x-y)=-4_3=-12
04 이차방정식이 중근을 가지려면 좌변이 완전제곱식으로 인수분해되어야 한다.
x2-18x+6k+3=x2-2_x_9+92=(x-9)2 으로 인수분해될 수 있으므로 상수항끼리 비교하면 6k+3=81, 6k=78 ∴ k=13
(x-9)2=0이므로 x=9 (중근)
∴ m=9
∴ k+m=13+9=22
05 주어진 이차방정식의 양변에 15를 곱하면 15x-5(x2-1)=3(x+3)
15x-5x2+5=3x+9, -5x2+12x-4=0 5x2-12x+4=0, (5x-2)(x-2)=0
∴ x=;5@; 또는 x=2
그런데 a>b이므로 a=2, b=;5@;
∴ a-5b=2-5_;5@;=0 06 (x2-6x)2-2(x2-6x)-35
x2-6x=A로 놓으면
A2-2A-35 =(A-7)(A+5)
=(x2-6x-7)(x2-6x+5)
=(x-7)(x+1)(x-5)(x-1) 따라서 네 일차식의 합은
(x-7)+(x+1)+(x-5)+(x-1)=4x-12 07 a+b=('2+1)+('2-1)=2'2
a-b=('2+1)-('2-1)=2
∴ a2-b2=(a+b)(a-b)=2'2_2=4'2 08 x=a를 이차방정식 x2-5x+1=0에 대입하면
a2-5a+1=0
a+0이므로 양변을 a로 나누면 a-5+;a!;=0에서 a+;a!;=5
∴ a2+ 1a2={a+;a!;}2-2=5Û`-2=23 09 '§17+2'35 = 5('§17-2'3 )
('§17+2'3)('§17-2'3) ='§17-2'3
이므로 A=1, B=-2
∴ A+B=1+(-2)=-1
10 (2x+a)(bx-6)=2bxÛ`+(ab-12)x-6a
=6xÛ`+cx+18 이므로 2b=6, ab-12=c,-6a=18
∴ a=-3, b=3, c=-21
∴ a+b+c=-21
11 (x-3)2= k2 +27에서 x-3=Ñ®Ék 2 +27
∴ x=3Ñ®É k2 +27 두 근이 모두 정수가 되려면
k2 +27=(제곱수)가 되어야 한다.
30ÉkÉ80이므로 15É k2 É40이고 42Ék
2 +27É67 즉, k2 +27=49 또는 k
2 +27=64
∴ k=44 또는 k=74
따라서 모든 자연수 k의 값의 합은 44+74=118 12 8764_8766-8765Û`+8763 8762
= (8765-1)(8765+1)-8765Û`+(8765-2) 8765-3
= 8765Û`-1-8765Û`+8765-2 8765-3 =1
13 x2-y2-6x+9 =(x2-6x+9)-y2
=(x-3)2-y2
={(x-3)-y}{(x-3)+y}
=(x-y-3)(x+y-3) x+y=3+'3, x-y=4를 대입하면 (주어진 식)=(4-3)(3+'3-3)='3 14 x+2=A로 놓으면
A2+3A+2=0, (A+1)(A+2)=0
∴ A=-1 또는 A=-2
A=x+2이므로 x+2=-1 또는 x+2=-2
∴ x=-3 또는 x=-4
그런데 a>b이므로 a=-3, b=-4
∴ 2a+b=2_(-3)+(-4)=-10
15 이차항의 계수가 1이고 두 근이 -3과 4인 이차방정식은 (x+3)(x-4)=0, x2-x-12=0 yy`㉠
이차항의 계수가 1이고 두 근이 -1과 6인 이차방정식은 (x+1)(x-6)=0, x2-5x-6=0 yy ㉡
㉠은 상수항이 잘못되었고 ㉡은 일차항의 계수가 잘못 되었으므로 올바른 이차방정식은
x2-x-6=0, (x+2)(x-3)=0
∴ x=-2 또는 x=3
16 25x2-81y2=(5x)2-(9y)2=(5x+9y)(5x-9y) 이므로 60=(5x+9y)_5
∴ 5x+9y=12
17 다항식 x2+ax+21의 인수가 x-3, x-b이므로 x2+ax+21=(x-3)(x-b)
=x2-(3+b)x+3b 21=3b에서 b=7
a=-(3+b)=-(3+7)=-10
∴ a+b=-3
18 x2(x+1)-4(x+1) =(x+1)(x2-4)
=(x+1)(x+2)(x-2) 즉, 주어진 식을
(x+1)(x+2)(x-2) =(x+1)(x2-4)
=(x2-x-2)(x+2)
=(x2+3x+2)(x-2) 로 두 개 이상의 다항식의 곱으로 나타낼 수 있으므로 x+2, x-2, x+1, x2-4, x2-x-2, x2+3x+2는 모두 주어진 식의 인수이다.
19 a(a-b)-b(b-a) =a(a-b)+b(a-b)
=(a-b)(a+b)
즉, 주어진 식이 두 일차식 a-b와 a+b의 곱으로 인 수분해되므로 그 합은
a-b+a+b=2a
20 길의 폭을 x`m라고 하면 길을 제외하고 네 부분의 잔 디밭을 이어 붙이면 가로의 길이가 (30-x) m, 세로 의 길이가 (20-x) m인 직사각형 모양과 같으므로 길을 제외한 잔디밭의 넓이는 (30-x)(20-x)m2 이때 길을 제외한 잔디밭의 넓이가 416`m2이므로 (30-x)(20-x)=416, 600-50x+x2=416 x2-50x+184=0, (x-4)(x-46)=0
∴ x=4 또는 x=46
그런데 x>0, 20-x>0에서 0<x<20이므로 x=4 따라서 길의 폭은 4`m이다.
21 x2-8x+12=(x-2)(x-6)이므로 일차식인 두 인수는 x-2, x-6 따라서 두 일차식의 합은 (x-2)+(x-6)=2x-8 22 x= 1
'5-2='5+2에서 x-2='5 양변을 제곱하면 xÛ`-4x+4=5 xÛ`-4x=1
∴ 2xÛ`-8x =2(xÛ`-4x)=2_1=2 23 (x-5)2+3(x-5)-28=0에서
A=x-5로 놓으면 A2+3A-28=0 (A+7)(A-4)=0
(x-5+7)(x-5-4)=0 (x+2)(x-9)=0
∴ x=-2 또는 x=9
따라서 두 근의 곱은 (-2)_9=-18 24 9x2-12x-1=0에서
x=-(-6)Ñ"Ã(-6)2-9_(-1) 9
=6Ñ3'5
9 =2Ñ'5 3 따라서 a=2+'5
3 이므로 3a-'5=3_2+'5
3 -'5=2
25 (x+2a)(x-8)+4=x2+2(a-4)x-16a+4 가 완전제곱식이 되려면 (a-4)2=-16a+4에서 a2-8a+16+16a-4=0
a2+8a+12=0, (a+2)(a+6)=0
∴ a=-2 또는 a=-6
따라서 모든 a의 값의 합은 -2+(-6)=-8 26 ① 4x2-1=(2x+1)(2x-1)
② 4x2+2x=2x(2x+1)
③ 2x2+5x-3=(x+3)(2x-1)
④ 2x2+15x+7=(x+7)(2x+1)
⑤ 4x2+4x+1=(2x+1)2
Ⅱ
. 인수분해와 이차방정식51
27 연속하는 세 자연수 중에서 가운데 수를 x라고 하면 가장 큰 수는 x+1, 가장 작은 수는 x-1이므로 (x+1)2=2x(x-1)-31에서
x2+2x+1=2x2-2x-31, x2-4x-32=0 (x+4)(x-8)=0 ∴ x=-4 또는 x=8 그런데 x는 자연수이므로 x=8이다.
따라서 연속하는 세 자연수는 7, 8, 9이고 그 합은 7+8+9=24
28 a-1<0, a+6>0이므로
"Ãa2-2a+1+"Ãa2+12a+36
="Ã(a-1)2+"Ã(a+6)2
=-(a-1)+a+6=-a+1+a+6=7 29 ① 3x+2=0 (일차방정식)
② 3x+5=0 (일차방정식)
③ 5x-1=0 (일차방정식)
④ 4x2+2x-1=0 (이차방정식)
⑤ 2x3+5x2+3x-2=0 (이차방정식이 아니다.) 30 2x2-18=2(x2-9)=2(x+3)(x-3)
6x2-17x-3=(x-3)(6x+1)
따라서 두 다항식의 공통인수는 x-3이다.
31 xÛ`+yÛ`=(x+y)Û`-2xy이므로
15=3Û`-2xy, 2xy=-6
∴ xy=-3
∴ ;]{;+;[};= xÛ`+yÛ` xy = 15 -3 =-5 32 (x-3)(x-5)=24에서
x2-8x+15=24, x2-8x=9 x2-8x+16=9+16
(x-4)2=25이므로 p=-4, q=25
∴ p+q=-4+25=21
33 x2-6x+5=0에서 (x-1)(x-5)=0
∴ x=1 또는 x=5
2(x+2)2=18에서 (x+2)2=9 x+2=Ñ3 ∴ x=1 또는 x=-5
따라서 두 이차방정식의 공통인 해는 x=1이다.
34 ① a2-1=a2-12=(a+1)(a-1)
② -x2+y2=-(x2-y2)=-(x+y)(x-y)
③ 10x2-40 =10(x2-4)=10(x2-22)
=10(x+2)(x-2)
④ 36a2-25b2=(6a)2-(5b)2=(6a+5b)(6a-5b)
⑤ ax2-16ay2 =a(x2-16y2)=a{x2-(4y)2}
=a(x+4y)(x-4y) 35 x=-2를 x2-ax-8=0에 대입하면
(-2)2-a_(-2)-8=0 4+2a-8=0, 2a=4 ∴ a=2
따라서 주어진 이차방정식은 x2-2x-8=0이므로 (x+2)(x-4)=0 ∴ x=-2 또는 x=4 36 (x+b)2=x2+2bx+b2=x2-6x+a에서
2b=-6 ∴ b=-3 b2=a, (-3)2=a ∴ a=9
∴ a+b=9+(-3)=6
37 4x2+20xy+ y2 =(2x)2+2_2x_5y+(5y)2
=(2x+5y)2 으로 완전제곱식이 되므로 (5y)2=25y2 ∴ =25
x2+ x+ 254 =x2Ñ2_x_;2%;+{;2%;}2
={xÑ;2%;}2
으로 완전제곱식이 되므로 =Ñ5이다.
따라서 안에 알맞은 두 양수의 합은 25+5=30
38 x2-8x+15=0에서 (x-3)(x-5)=0
∴ x=3 또는 x=5
3x2-5x-12=0에서 (3x+4)(x-3)=0
∴ x=-;3$; 또는 x=3 따라서 공통인 해는 x=3이다.
39 x+y=4+'2+4-'2=8
xy=(4+'2)(4-'2)=16-2=14
∴ x3+x2y+xy2+y3 =x2(x+y)+y2(x+y)
=(x2+y2)(x+y)
={(x+y)2-2xy}(x+y)
=(64-28)_8
=288 40 a-b=A로 놓으면
(a-b-1)(a-b-4)=(A-1)(A-4)
=AÛ`-5A+4
=(a-b)Û`-5(a-b)+4
=aÛ`-2ab+bÛ`-5a+5b+4 따라서 ab항의 계수는 -2, 상수항은 4이므로 그 합은 2이다.
41 근이 존재하지 않으려면 (-2)2-4_4_(3-k)<0 4-48+16k<0, 16k<44 ∴ k< 114
따라서 k< 114 인 k의 값 중 가장 큰 정수는 2이다.
42 중근을 가지므로 (4k-3)2-36=0 (4k-3)2=36, 4k-3=Ñ6
∴ k=;4(; 또는 k=-;4#;
따라서 모든 k의 값의 곱은
;4(;_{-;4#;}=- 2716
43 (x+3)(x+A)=xÛ`+(3+A)x+3A에서 x의 계수 가 2이므로
3+A=2
∴ A=-1
따라서 상수항은 3A=-3
44 도형 A의 넓이는 (x+5)2-4=x2+10x+21 도형 B의 넓이는 도형 A의 넓이와 같으므로 x2+10x+21
이때 x2+10x+21=(x+3)(x+7)이므로 도형 B의 가로의 길이는 x+7이다.
45 2x+1=A로 놓으면
A2+2A-24=0, (A-4)(A+6)=0 A=2x+1을 대입하면
(2x+1-4)(2x+1+6)=0 (2x-3)(2x+7)=0
∴ x=;2#;=a 또는 x=-;2&;=b
∴ a-b=;2#;-{-;2&;}=5 46 (x-1)2+6(x-1)+9에서
x-1=A로 놓으면
A2+6A+9=(A+3)2이고
A=x-1이므로 (x-1+3)2=(x+2)2 이때 x='2-2를 위 식에 대입하면 ('2-2+2)2=('2 )2=2
47 두 카드에 적힌 수 중 작은 수를 x라 하면 큰 수는 x+2이므로
x2+(x+2)2=452, 2x2+4x-448=0 x2+2x-224=0, (x+16)(x-14)=0
∴ x=14 (∵ x>0)
따라서 연속하는 두 짝수는 14, 16이다.
48 x2+Ax+18 =(x+B)(x-2)
=x2-(2-B)x-2B 에서 18=-2B ∴ B=-9 A=-(2-B)=-(2+9)=-11
∴ A+B=-11+(-9)=-20 49 (5x+a)(x+b)=5x2+(a+5b)x+ab
이므로 3=ab, m=a+5b
따라서 a, b의 값을 순서쌍 (a, b)로 나타내면 (1, 3), (-1, -3), (3, 1), (-3, -1)
∴ m=Ñ16 또는 m=Ñ8
50 4xÛ`-11x-3=0에서 (4x+1)(x-3)=0
∴ x=-;4!; 또는 x=3 즉, xÛ`+ax+b=0의 두 근은
x=-;4!;+1=;4#; 또는 x=3+1=4이므로 {x-;4#;}(x-4)=0 ∴ xÛ`-:Á4»:x+3=0 따라서 a=-:Á4»:, b=3이므로
a+b=-:Á4»:+3=-;4&;
51 한 학생이 받게 되는 사탕의 개수를 x개라고 하면 학생 수는 한 학생이 받는 사탕의 수보다 6만큼 더 크므로 (x+6)명이다.
모두 사탕 135개를 나눠줬으므로 x(x+6)=135, x2+6x=135 x2+6x-135=0, (x+15)(x-9)=0
∴ x=-15 또는 x=9 이때 x>0이므로 x=9
따라서 한 학생이 받게 되는 사탕의 개수는 9개이다.
52 x3+x2-x-1 =x2(x+1)-(x+1)
=(x+1)(x2-1)
=(x+1)2(x-1) 따라서 x2+1은 인수가 아니다.
53 9x2-36y2 =9(x2-4y2)=9{x2-(2y)2}
=9(x+2y)(x-2y) 3x2-12xy+12y2 =3(x2-4xy+4y2)
=3(x-2y)2
따라서 두 다항식의 공통인수는 x-2y이다.
54 x=3+2'2이므로 x-3=2'2 양변을 제곱하면 (x-3)2=8 x2-6x+9-8=0, x2-6x+1=0 따라서 p=-6, q=1이므로 p+q=-5 55 x-1=-'3이므로
x2-2x+3 =(x2-2x+1)+2=(x-1)2+2
=(-'3 )2+2=5 56 5(x-2)2=30에서 (x-2)2=6
x-2=Ñ'6 ∴ x=2Ñ'6 따라서 a=2, b=6이므로 a+b=8
57 (x+1)(x-2)=2x-4에서 x2-x-2=2x-4, x2-3x+2=0 (x-1)(x-2)=0 ∴ x=1 또는 x=2 즉, a=2, b=1이므로 x2+2x+1=0을 풀면 (x+1)2=0 ∴ x=-1(중근)
Ⅱ
. 인수분해와 이차방정식53
58 (2x-1)(3x+1)=x(ax-5)에서 6x2-x-1=ax2-5x
(6-a)x2+4x-1=0
이차방정식이 되려면 6-a+0이어야 한다.
∴ a+6
59 x2+Ax-14=(x-2)(x+p)에서 -2p=-14 ∴ p=7
∴ A=7+(-2)=5
2x2-3x+B=(x-2)(2x+q)에서 q-4=-3 ∴ q=1
∴ B=-2_1=-2
∴ A+B=5+(-2)=3
60 수직으로 쏘아 올린 물체가 지면에 떨어질 때의 높이는 0`m이므로 80t-5t2=0에서
-5t2+80t=0, t2-16t=0, t(t-16)=0
∴ t=0 또는 t=16 그런데 t>0이므로 t=16
즉, 물체가 지면에 떨어지는 것은 쏘아 올리고 나서 16 초 후이다.
61 xÛ`+bx+a=0의 두 근이 -2, 7이므로 (x+2)(x-7)=0, xÛ`-5x-14=0
∴ a=-14, b=-5
따라서 처음 이차방정식 xÛ`-14x-5=0의 해는 x=-(-7)Ñ"Ã(-7)Û`-1_(-5)=7Ñ3'6 62 y-z=A로 놓으면
(주어진 식)={x+(y-z)}{x-(y-z)}+(y-z)Û`
=(x+A)(x-A)+AÛ`
=xÛ`-AÛ`+AÛ`
=xÛ`
63 x2+10x-k=0에서 x2+10x=k x2+10x+25=k+25, (x+5)2=k+25 x+5=Ñ'¶k+25 ∴ x=-5Ñ'¶k+25
이때 x가 정수가 되려면 k+25가 제곱수이어야 한다.
k는 두 자리 자연수이므로 k+25가 될 수 있는 수는 36, 49, 64, 81, 100, 121이다.
따라서 k의 값이 될 수 있는 수는 11, 24, 39, 56, 75, 96으로 6개이다.
64 ① 9 ② 4 ③ 8 ④ -2 ⑤ -3 따라서 안에 알맞은 수가 가장 작은 것은 ⑤이다.
65 (x+2)(x-12)=x2-10x-24이므로 A의 상수항은 -24
(x+6)(x-8)=x2-2x-48이므로 A의 x의 계수는 -2
따라서 A=x2-2x-24이고 인수분해하면 x2-2x-24=(x+4)(x-6)
66 2x2+ax-14=0에 x=2를 대입하면 a=3 2x2+3x-14=0에서 (2x+7)(x-2)=0
∴ x=-;2&; 또는 x=2
따라서 a=3, b=-;2&;이므로 a+b=-;2!;
67 x2-7x+2=0에 x=a를 대입하면 a2-7a+2=0
a+0이므로 양변을 a로 나누면 a-7+;a@;=0 ∴ a+;a@;=7 68 (2x-1)2-9x2 =4x2-4x+1-9x2
=-5x2-4x+1
=(x+1)(-5x+1) 에서 a=1, b=-5
∴ 2a+b=2+(-5)=-3
69 형의 나이를 x살이라고 하면 동생의 나이는 (x-3) 살이다.
형의 나이의 제곱은 x2이고 동생의 나이의 10배는 10(x-3)이므로
x2=10(x-3)+30, x2=10x-30+30 x2-10x=0, x(x-10)=0
∴ x=0 또는 x=10
그런데 x>0이므로 x=10이다.
따라서 형의 나이는 10살이다.
70 (2x-1)2+2(2x-1)-35=0에서 2x-1=A로 놓으면 A2+2A-35=0
(A+7)(A-5)=0 ∴ A=-7 또는 A=5 즉, 2x-1=-7 또는 2x-1=5이므로
x=-3 또는 x=3
71 x2-2xy+y2=(x-y)2=(x+y)2-4xy
=36-12=24 72 ABÓ=AEÓ=1이므로 DEÓ=x-1
ABCD와 DEFC는 닮음이므로 ADÓ : ABÓ=DCÓ : DEÓ, x : 1=1 : (x-1) x(x-1)=1, x2-x-1=0
x=-(-1)Ñ"Ã(-1)2-4_1_(-1) 2
=1Ñ"5 2
이때 x>0이므로 x=1+"5 2 73 (x+1)(x+2)(x-4)(x-5)
=(x+1)(x-4)(x+2)(x-5)
=(xÛ`-3x-4)(xÛ`-3x-10)
xÛ`-3x=A로 놓으면
(주어진 식)=(A-4)(A-10)
=AÛ`-14A+40
=(xÛ`-3x)Û`-14(xÛ`-3x)+40
=xÝ`-6xÜ`-5xÛ`+42x+40
따라서 xÛ`의 계수는 -5, x의 계수는 42이므로 구하는 합은 37이다.
74 x2-(k+2)x+(3k-3)=0이 중근을 가지려면 (k+2)2-4_1_(3k-3)=0
k2+4k+4-12k+12=0
k2-8k+16=0, (k-4)2=0 ∴ k=4 주어진 이차방정식에 k=4를 대입하면 x2-6x+9=0, (x-3)2=0 ∴ x=3 따라서 k의 값과 그 중근의 합은 4+3=7
75 216-1 =(28-1)(28+1)=(24-1)(24+1)(28+1)
=15_17_257
이므로 216-1은 15와 17에 의해 나누어떨어진다.
76 4x2+7x+A=0에서 x=-7Ñ"Ã72-4_4_A
2_4 =-7Ñ'Ä49-16A 8
=-7Ñ'§17 8
이므로 49-16A=17, 16A=32 ∴ A=2 77 a2+5a+3=0에서 aÛ`+5a=-3
a2+5a+7=-3+7=4 b2-3b-9=0에서 bÛ`-3b=9 2b2-6b-10=2_9-10=8
∴ (a2+5a+7)(2b2-6b-10)=4_8=32 78 aÛ`+ 1
aÛ`={a+;a!;}Û`-2_a_;a!;
=3Û`-2=7 이므로
aÝ`+ 1 aÝ`={aÛ`+ 1 aÛ` }Û`-2_aÛ`_ 1 aÛ`
=7Û`-2=47
79 4x2+ax+b가 2x+3, 2x-5를 인수로 가지므로 4x2+ax+b =(2x+3)(2x-5)
=4x2-4x-15 에서 a=-4, b=-15
∴ ab=(-4)_(-15)=60
80 잘라 낸 정사각형의 한 변의 길이를 x`cm라 하면 상자의 밑면의 한 변의 길이는 (12-2x)cm이고 밑면의 넓이는 (12-2x)2`cm2이다.
상자의 밑면의 넓이가 64`cm2이므로 (12-2x)2=64에서 4(x-6)2=64 (x-6)2=16, x-6=Ñ4
x=6Ñ4 ∴ x=10 또는 x=2 그런데 0<x<6이므로 x=2
따라서 잘라 내는 정사각형의 한 변의 길이는 2 cm이다.
01 xÛ`+9x-10=0에서 xÛ`+9x=10 (x+3)(x+4)(x+5)(x+6)
={(x+3)(x+6)}{(x+4)(x+5)}
=(xÛ`+9x+18)(xÛ`+9x+20)
=(10+18)(10+20)
=28_30=840
02 aÛ`-bÛ`=(a+b)(a-b)이므로 (a+b)(a-b)=13 이때 a, b는 자연수이므로 a-b<a+b
또 a+b>0이므로 a-b>0
∴ a-b=1, a+b=13
위의 두 식을 연립하여 풀면 a=7, b=6
∴ 2a-b=8
03 (주어진 식)= a+b+1
(a+2b)(a+b)+(a+2b)
= a+b+1 (a+2b)(a+b+1)
= 1 a+2b
= 1
(4-2'3 )+2('3-3)
=-1 2
04 x에 대하여 내림차순으로 정리하여 인수분해하면 x2-(4y+6)x+3y2+2y-16
=x2-(4y+6)x+(y-2)(3y+8)
1 -(y-2) -(y-2)
1 -(3y+8) -(3y+8)
-4y-6
=(x-y+2)(x-3y-8)
∴ a+b+c+d=-1+2-3-8=-10 05 A는 상수항은 바르게 보았으므로
(x+4)(6x-1)=6x2+23x-4 에서 처음 이차식의 상수항은 -4이다.
대단원 테스트 [고난도] 136-139쪽
01 840 02 8 03 ② 04 -10 05 (2x-1)(3x+4) 06 540p`cmÜ`
07 ③ 08 ③ 09 (x-3)(x-6) 10 15'§13 11 18가지 12 2 13 ① 14 ④ 15 3 16 ⑤ 17 3 18 (2+5'2 )`cm 19 4 20 25 21 85 22 ⑤
23 (2, 4) 24 3-'3
Ⅱ
. 인수분해와 이차방정식55
a=4일 때, 3, 0, 1에서 b, c의 값을 결정하면 되므로 (b, c)를 구해 보면
(3, 0), (3, 1), (0, 3), (0, 1), (1, 0), (1, 3) 의 6가지이다.
a=3일 때, 4, 0, 1에서 b, c의 값을 결정하면 되므로 (b, c)를 구해 보면
(4, 0), (4, 1), (0, 4), (0, 1), (1, 0), (1, 4) 의 6가지이다.
a=1일 때, 4, 3, 0에서 b, c의 값을 결정하면 되므로 (b, c)를 구해 보면
(4, 3), (4, 0), (3, 4), (3, 0), (0, 3), (0, 4) 의 6가지이다.
따라서 구하는 경우는 모두 18가지이다.
12 중근을 가지려면 { 4a2 }
2=-5a+6에서 4a2+5a-6=0, (a+2)(4a-3)=0
∴ a=-2 또는 a=;4#;
이때 x2+4ax-5a+6=0이 양수인 중근을 가지므로 (x+2a)2=0에서 2a<0, 즉 a<0
∴ a=-2
즉, x2-8x+16=0에서 (x-4)2=0 ∴ x=4
∴ b=4
∴ a+b=(-2)+4=2 13 <x>2-12=<x>에서
<x>2-<x>-12=0 (<x>+3)(<x>-4)=0
∴ <x>=4 (∵ <x>¾0)
따라서 x보다 작은 소수가 4개이어야 하므로 x>7 이때 11은 소수이지만 11보다 작은 소수에는 포함되지 않으므로
7<xÉ11
14 (주어진 식) =(a+b)2-2(a+b)-3
=(a+b-3)(a+b+1)
=(5-3)(5+1)=12 15 90=A로 놓으면
'Ä(A-1)(A+1)+1="ÅAÛ`=90 이므로 10_aÛ`=90, aÛ`=9
∴ a=3 (∵ a>0) 16 a-b=A로 놓으면
A2-5A-24=0 (A+3)(A-8)=0
∴ A=-3 또는 A=8 이때 a>b이므로 A>0
∴ a-b=8 B는 x의 계수는 바르게 보았으므로
(2x+1)(3x+1)=6x2+5x+1 에서 처음 이차식의 x의 계수는 5이다.
처음 이차식의 x2의 계수는 6이므로 처음 이차식은 6x2+5x-4이다.
∴ 6x2+5x-4=(2x-1)(3x+4)
06 (원기둥의 부피)=(밑면의 넓이)_(높이)이므로 (바깥쪽 큰 원기둥의 부피)=p_6.52_18(cm3) (안쪽 작은 원기둥의 부피)=p_3.52_18(cm3) 따라서 남아 있는 휴지의 부피는
p_6.52_18-p_3.52_18
=18p(6.5Û`-3.5Û`)
=18p(6.5+3.5)(6.5-3.5)
=18p_10_3=540p(cm3) 07 "Ãx2+6x+9+"Ãx2-10x+25
="Ã(x+3)2+"Ã(x-5)2
이때 -3<x<5이므로 x+3>0, x-5<0
∴ (주어진 식)=x+3-(x-5)=8
08 ax2+8x+1=(Ax+1)(Bx+1)(A, B는 자연수) 이라 하면
A+B=8을 만족하는 A, B의 순서쌍 (A, B)는 (1, 7), (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2), (7, 1) 이때 a=AB이므로
최댓값 M=4_4=16, 최솟값 N=1_7=7
∴ M-N=16-7=9
09 x-3이 다항식 x2+ax+18의 인수이므로 x2+ax+18 =(x-3)(x+m)
=x2+(-3+m)x-3m 에서 18=-3m ∴ m=-6
∴ a=-3+m=-3-6=-9
x-3이 다항식 x2+3x+b의 인수이므로 x2+3x+b =(x-3)(x+n)
=x2+(-3+n)x-3n 에서 3=-3+n ∴ n=6
∴ b=-3n=-3_6=-18
∴ x2+ax-b=x2-9x+18=(x-3)(x-6) 10 (a-b)2=(a+b)2-4ab=52-4_3=13이고
a>b에서 a-b>0이므로 a-b='¶13
∴ a3b-ab3 =ab(a2-b2)
=ab(a+b)(a-b)
=3_5_'¶13=15'¶13
11 ax2+bx+c=0이 이차방정식이 되려면 a+0이므로 이차방정식이 되는 경우를 순서쌍 (a, b, c)로 나타내 면
17 x= 1
2+'3 = 2-'3
(2+'3 )(2-'3 )=2-'3 이므로 다른 한 근은 x=2+'3
{x-(2-'3)}{x-(2+'3)}=0 {(x-2)+'3)}{(x-2)-'3)}=0 (x-2)Û`-3=0
xÛ`-4x+1=0이므로 k+1=4 ∴ k=3
18 새로운 정사각형의 한 변의 길이는 (x-2)`cm이고 그 넓이가 50`cm2이므로
(x-2)2=50, x-2=Ñ5'2 ∴ x=2Ñ5'2 그런데 x>0이므로 x=2+5'2
따라서 처음 정사각형의 한 변의 길이는 (2+5'2)`cm이다.
19 2x+1=Ñ'¶6k+1에서 2x=-1Ñ'¶6k+1
∴ x=-1Ñ'¶6k+1 2
해가 정수가 되려면 '¶6k+1이 홀수인 자연수이어야 한다.
'¶6k+1=n이라 하면 6k+1=n2 6k=n2-1 ∴ k= n2-1
6
n이 홀수인 자연수이므로 n=1, 3, 5, …를 대입하면 k의 값이 가장 작은 자연수일 때의 n의 값은 5이다.
∴ k= 52-1 6 =4
20 (x+a)(x+b)=xÛ`+(a+b)x+ab이므로 a+b=m, ab=-26
ab=-26을 만족시키는 정수 a, b의 순서쌍 (a, b)는 (-26, 1), (-13, 2), (-2, 13), (-1, 26), (1, -26), (2, -13), (13, -2), (26, -1) Ú (-26, 1),(1, -26)일 때, m=-25 Û (-13, 2),(2, -13)일 때, m=-11 Ü (-2, 13),(13, -2)일 때, m=11 Ý (-1, 26),(26, -1)일 때, m=25 따라서 m의 최댓값은 25이다.
21 (x-3)(y+3)=xy+3(x-y)-9이므로 24=12+3(x-y)-9 ∴ x-y=7
∴ xÛ`+xy+yÛ` =(x-y)Û`+3xy
=7Û`+3_12=85
22 `x초 후의 가로의 길이는 (20-x)`cm, 세로의 길이는 (16+2x)`cm이다.
(20-x)(16+2x)=20_16이므로 320+24x-2x2=320, x2-12x=0 x(x-12)=0 ∴ x=12 (∵ x>0)
따라서 12초 후에 넓이가 처음 직사각형의 넓이와 같 아진다.
23 직선 AB의 방정식은 y=-2x+8이므로 점 P의 좌표를 (a, -2a+8)이라 하면
△MPO=;2!;a(-2a+8)=-aÛ`+4a
△MPO=;4!;△OAB에서 -aÛ`+4a=;4!;_16
aÛ`-4a+4=0, (a-2)Û`=0 ∴ a=2(중근) 따라서 점 P의 좌표는 (2, 4)이다.
24 PQÓ=x라 하면
PBQ∽ABC(AA 닮음)이므로 BQÓ：BCÓ=PQÓ：ACÓ
BQÓ：8=x：6 ∴ BQÓ=;3$;x
∴ QCÓ=BCÓ-BQÓ=8-;3$;x
△ABC=;2!;_8_6=24이므로
PQCR=;3!;△ABC=;3!;_24=8
PQCR=PQÓ_QCÓ이므로 x{8-;3$;x}=8, -;3$;x2+8x-8=0 x2-6x+6=0 ∴ x=3Ñ'3
그런데 0<x<3이므로 PQÓ의 길이는 3-'3
Ⅱ
. 인수분해와 이차방정식57
09 ④ x=3, y=18을 y=-2x2에 대입하면
④ 18+-2_32=-18 (거짓)
10 y=ax2에서 a>0일 때 아래로 볼록하고, a의 절댓값 이 클수록 폭이 좁으므로 보기 중 적당한 것은 ①이다.
11 위로 볼록하므로 a<0
y=3x2의 그래프보다 폭이 넓으므로 |a|의 값이 3보 다 작아야 한다.
∴ -3<a<0
12 y=5x2에 (2, a)를 대입하면 a=5_22=20 y=5x2과 x축에 대하여 대칭인 그래프의 식은 y=-5x2 ∴ b=-5
∴ a+b=20+(-5)=15
13 ④ y=-;2!;x2의 그래프는 y=;2!;x2의 그래프와 x축에 대하여 대칭이다.
14 f(x)=-x2+3x이므로
f(-1)=-1-3=-4, f(1)=-1+3=2
∴ f(-1)+f(1)=(-4)+2=-2 15 f(-1)=14이므로 f(-1)=3+a+5=14
∴ a=6
16 ④ y=-x2의 그래프는 y축에 대하여 대칭이다.
01 f(x)=3x2-4x+2이므로
f(-1)=3+4+2=9, f(1)=3-4+2=1 f(0)=2
∴ f(-1)-f(1)
f(0) = 9-12 =4 02 y=-x2에 x=-;3!;, y=k를 대입하면
k=-{-;3!;}2=-;9!;
03 y=ax2에 (2, -2)를 대입하면 -2=a_22 ∴ a=-;2!;
따라서 이차함수의 식은 y=-;2!;xÛ`
01 ④ y=(x+1)+(x-1)+2에서 y=2x+2
⑤ y=x(x2-x)-xÜ`에서 y=-x2 (이차함수) 02 f(x)=-x2+3x-7에 x=3을 대입하면
f(3)=-32+3_3-7=-7
03 f(a)=a2-3a-4=6에서 a2-3a-10=0 (a+2)(a-5)=0 ∴ a=-2 또는 a=5 따라서 모든 a의 값의 합은 3이다.
04 y=x2에 (a, 9)를 대입하면 9=a2 ∴ a=3 (∵ a>0)
05 x=-3, y=-18을 대입하여 성립하는 것을 찾는다.
② -18=-2_(-3)2 (참) 06 ② y=;2!;x2에 (-2, 2)를 대입하면
② 2=;2!;_(-2)2 (참)
07 ⑤ y=-ax2의 그래프와 x축에 대하여 대칭이다.
08 x2의 계수가 음수이고 절댓값이 가장 작은 것을 찾으면
③이다.
소단원 테스트 [2회] 146-147쪽
01 4 02 -;9!; 03 y=-;2!;xÛ` 04 -;9*;
05 2개 06 ㄱ, ㄷ 07 -;4!; 08 -1<a<0 09 -;9$; 10 1, 2 11 16 12 4
13 ㉣, ㉢, ㉠, ㉡ 14 ;3*; 15 -1 16 ㄷ
소단원 집중 연습 142-143쪽
01 ⑴ Y ⑵ Z ⑶ Z ⑷ Y 02 ⑴ 2 ⑵ 4 ⑶ 11 ⑷ -;2#;
03 ⑴ Z ⑵ Y ⑶ Y ⑷ Z 04 ⑴ Y ⑵ Z ⑶ Z ⑷ Y 05`⑴ Z ⑵ Y ⑶ Z ⑷ Y
⑸ Y ⑹ Y ⑺ Y ⑻ Z
06 ⑴ 2 ⑵ 1 ⑶ ;2#; ⑷ 4 ⑸ -;3@;
07`⑴ ㄴ, ㄷ, ㅁ ⑵ ㅂ ⑶ ㄹ과 ㅁ