= △ OBC
STEP 1 필수 유형 익히기 p.76~p.84
0486
③ ∠AOC는 µAC에 대한 중심각이다. ③0487
한 원에서 부채꼴과 활꼴이 같아질 때는 반원인 경우이므로중심각의 크기는 180ù이다. 180ù
0497
ACÓ=OCÓ=OAÓ에서△
CAO는 정삼각형이므로 ∠AOC=60ù∴ ∠COD=180ù-(60ù+75ù)=45ù 따라서 µAC：µ CD=∠AOC：∠COD이므로 16：µCD=60ù：45ù
16：µCD=4：3, 4µ CD=48
∴ µ CD=12`(cm) 12`cm
0498 △
OPC에서 COÓ=CPÓ이므로35∞
35∞ 105∞
70∞
70∞
O A P
B
C D
24 cm
∠COP=∠CPO=35ù ∴ ∠OCD=35ù+35ù=70ù
△
OCD에서 OCÓ=ODÓ이므로 ∠ODC=∠OCD=70ù
△
OPD에서 ∠BOD=35ù+70ù=105ù 따라서 µAC：µ BD=∠AOC：∠BOD이므로 µAC：24=35ù：105ùµAC：24=1：3, 3µAC=24
∴ µAC=8`(cm) 8`cm
0499
ADÓ∥OCÓ이므로O 40∞
40∞
40∞
A 100∞ B
D C
∠DAO=∠COB=40ù(동위각) 6 cm
오른쪽 그림과 같이 ODÓ를 그으면
△
ODA에서 OAÓ=ODÓ이므로 ∠ODA=∠DAO=40ù∴ ∠AOD=180ù-(40ù+40ù)=100ù 따라서 µ BC：µAD=∠COB：∠AOD이므로 6：µAD=40ù：100ù
6：µAD=2：5, 2µAD=30
∴ µAD=15`(cm) 15`cm
0500
OAÓ∥CBÓ이므로 ∠OBC=∠AOB=20ù(엇각)△
OCB에서 OCÓ=OBÓ이므로 ∠OCB=∠OBC=20ù ∴ ∠COB=180ù-(20ù+20ù)=140ù따라서 µAB：µ BC=∠AOB：∠COB이므로 3：µBC=20ù：140ù
3：µBC=1：7 ∴ µBC=21`(cm) 21`cm
0501
∠BOC=∠x라 하면OCÓ∥ABÓ이므로 ∠OBA=∠BOC=∠x (엇각)
△
OAB에서 OAÓ=OBÓ이므로 ∠OAB=∠OBA=∠x ∴ ∠AOB=180ù-(∠x+∠x)=180ù-2∠x 따라서 µAB：µ BC=∠AOB：∠BOC이므로 4：1=(180ù-2∠x)：∠x4∠x=180ù-2∠x, 6∠x=180ù
∴ ∠x=30ù, 즉 ∠BOC=30ù 30ù
0502
∠COD=∠x라 하면ABÓ∥OCÓ이므로 ∠BAO=∠COD=∠x (동위각) 오른쪽 그림과 같이 OBÓ를 그으면
x x x 108∞
B C
A O D
△
BAO에서 OAÓ=OBÓ이므로 ∠OBA=∠BAO=∠x∴ ∠AOB =180ù-(∠x+∠x)
=180ù-2∠x 이때 µAB：µ BD=3：2이므로 ∠AOB=180ù_ 3
3+2 =108ù
따라서 180ù-2∠x=108ù이므로 2∠x=72ù
∴ ∠x=36ù, 즉 ∠COD=36ù 36ù
0503
부채꼴 COD의 넓이를 x`cmÛ`라 하면25ù：125ù=10：x이므로 1：5=10：x ∴ x=50
따라서 부채꼴 COD의 넓이는 50`cmÛ`이다. 50`cmÛ`
0504
부채꼴 AOB의 넓이를 x`cmÛ`라 하면 x：27=4：12이므로x：27=1：3 3x=27 ∴ x=9
따라서 부채꼴 AOB의 넓이는 9`cmÛ`이다. 9`cmÛ`
0505
µAB：µ BC：µ CA=3：1：5이므로 세 부채꼴 AOB, BOC, COA의 넓이의 비도 3：1：5이다.따라서 부채꼴 BOC의 넓이는
36_ 1
3+1+5 =4`(cmÛ`) 4`cmÛ`
0506
OAÓ=ABÓ=OBÓ에서△
OAB는 정삼각형이므로 ∠AOB=60ù∴ (부채꼴 AOB의 넓이)：(원 O의 넓이) =60ù：360ù
=1：6
②
0507
ACÓ=BDÓ이므로 ∠BOD=∠AOC=40ù∴ ∠COD=180ù-(40ù+40ù)=100ù ⑤
0508
∠AOC=∠BOD`(맞꼭지각)이므로BDÓ=ACÓ=5`cm yy 40 %
또 ∠BOD=∠BOE이므로 BEÓ=BDÓ=5`cm yy 40 % ∴ BDÓ+BEÓ=5+5=10`(cm) yy 20 %
10`cm
채점 기준 비율
BDÓ의 길이 구하기 40 %
BEÓ의 길이 구하기 40 %
BDÓ+BEÓ의 길이 구하기 20 %
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0509
오른쪽 그림과 같이 OAÓ를 그으면8 cm 12 cm A
B O C
µAB=µAC이므로 ∠AOB=∠AOC ∴ ACÓ=ABÓ=12`cm 또 OCÓ=OBÓ=8`cm (반지름) 따라서 색칠한 부분의 둘레의 길이는 ABÓ+OBÓ+OCÓ+ACÓ =12+8+8+12
=40`(cm) 40`cm
0510
①, ② ∠AOB=∠DOE이므로 ABÓ=DEÓ, µAB=µ DE ③ 중심각의 크기와 호의 길이는 정비례하므로 µAC=2µ DE ④ ∠AOB=∠BOC=∠DOE이므로 ABÓ=BCÓ=DEÓ따라서
△
ABC에서 ACÓ<ABÓ+BCÓ=2DEÓ ⑤ 중심각의 크기와 부채꼴의 넓이는 정비례하므로 (부채꼴 AOC의 넓이)=2_(부채꼴 DOE의 넓이)따라서 옳지 않은 것은 ④이다. ④
0511
① AOÓ=BOÓ이지만 ABÓ+AOÓ이다.② ∠AOC의 크기와 ∠BOD의 크기는 알 수 없다.
③ 중심각의 크기와 호의 길이는 정비례하므로 µAB=3µ CD ④ 중심각의 크기와 현의 길이는 정비례하지 않으므로 ABÓ+3 CDÓ
⑤ 중심각의 크기와 부채꼴의 넓이는 정비례하므로 부채꼴 COD의 넓이는 부채꼴 AOB의 넓이의 ;3!;이다.
따라서 옳은 것은 ③이다. ③
0512
㉠ 중심각의 크기와 호의 길이는 정비례하므로 µ CD=2µAB ㉡ 중심각의 크기와 현의 길이는 정비례하지 않으므로CDÓ+2ABÓ
㉢ 중심각의 크기와 삼각형의 넓이는 정비례하지 않으므로
△
OCD+2△
OAB㉣ 중심각의 크기와 부채꼴의 넓이는 정비례하므로 (부채꼴 OCD의 넓이)=2_(부채꼴 OAB의 넓이) 따라서 옳은 것은 ㉠, ㉣이다. ㉠, ㉣
0513
(둘레의 길이)=2p_5+2p_;2&;+2p_;2#;=10p+7p+3p
=20p`(cm)
(넓이)=p_5Û`-p_{;2&;}2`+p_{;2#;}2`
=25p-:¢4»:p+;4(;p =15p`(cmÛ`)
둘레의 길이：20p`cm, 넓이：15p`cmÛ`
0514
⑴ (둘레의 길이) =2p_8+2p_4=16p+8p=24p`(cm) (넓이) =p_8Û`-p_4Û`
=64p-16p=48p`(cmÛ`) ⑵ (둘레의 길이) =2p_6+2p_3
=12p+6p=18p`(cm) (넓이) =p_6Û`-p_3Û`
=36p-9p=27p`(cmÛ`)
⑴ 둘레의 길이：24p`cm, 넓이：48p`cmÛ`
⑵ 둘레의 길이：18p`cm, 넓이：27p`cmÛ`
0515
(넓이)=p_2Û`_;2!;+p_4Û`_;2!;-p_2Û`_;2!;=8p`(cmÛ`) 8p`cmÛ`
0516
가장 작은 원의 반지름의 길이를 r`cm라 하면 나머지 두 원 의 반지름의 길이는 크기순으로 2r`cm, 3r`cm이므로 2_3r=12 ∴ r=2즉 세 원의 반지름의 길이는 크기순으로 2`cm, 4`cm, 6`cm 이다.
∴ (둘레의 길이) =2p_2+2p_4+2p_6
=4p+8p+12p
=24p`(cm) 24p`cm
0517
(넓이)=;2!;_6_8p=24p`(cmÛ`)부채꼴의 중심각의 크기를 xù라 하면 2p_6_;36{0;=8p ∴ x=240
따라서 부채꼴의 중심각의 크기는 240ù이다. ⑤
0518
⑴ (호의 길이)=2p_3_;3¤6¼0;=p`(cm)(넓이)=p_3Û`_;3¤6¼0;=;2#;p`(cmÛ`) ⑵ (호의 길이)=2p_8_;3!6#0%;=6p`(cm) (넓이)=p_8Û`_;3!6#0%;=24p`(cmÛ`)
⑴ 호의 길이：p`cm, 넓이：;2#;p`cmÛ`
⑵ 호의 길이：6p`cm, 넓이：24p`cmÛ`
다른 풀이
⑴ (넓이)=;2!;_3_p=;2#;p`(cmÛ`) ⑵ (넓이)=;2!;_8_6p=24p`(cmÛ`)
0519
(넓이)=;2!;_12_7p=42p`(cmÛ`) 42p`cmÛ`0520
부채꼴의 호의 길이를 l`cm라 하면 ;2!;_10_l=30p ∴ l=6p따라서 구하는 호의 길이는 6p`cm이다. ⑤
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0521
부채꼴의 중심각의 크기를 xù라 하면 3p=p_6Û`_;36{0; ∴ x=30따라서 구하는 중심각의 크기는 30ù이다. ⑤
0522
반지름의 길이가 6`cm이고 호의 길이가 2p`cm인 부채꼴의넓이는
;2!;_6_2p=6p`(cmÛ`)
즉 p_4Û`_;36{0;=6p이므로 x=135 135
0523
정오각형의 한 내각의 크기는180ù_(5-2)
5 =108ù이므로 ∠ABC=108ù 따라서 부채꼴 ABC의 넓이는
p_10Û`_;3!6)0*;=30p`(cmÛ`) 30p`cmÛ`
0524
(둘레의 길이)135∞
4 cm 4 cm
㉠
㉢ ㉡
㉢
=㉠+㉡+㉢_2
=2p_8_;3!6#0%;+2p_4_;3!6#0%;
+4_2
=6p+3p+8=9p+8`(cm) (9p+8)`cm
0525
(둘레의 길이)=(반지름의 길이가 4`cm인 사분원의 호의 길이)_4 ={2p_4_;4!;}_4=8p`(cm) ②
0526
(둘레의 길이)=(반지름의 길이가 6`cm인 사분원의 호의 길이) +(지름의 길이가 6`cm인 반원의 호의 길이) +(정사각형의 한 변의 길이)
=2p_6_;4!;+2p_3_;2!;+6 yy 50`%
=3p+3p+6=6p+6`(cm) yy 50`%
(6p+6)`cm
채점 기준 비율
둘레의 길이를 구하는 식 세우기 50`%
둘레의 길이 구하기 50`%
0527
(둘레의 길이)=2p_6_;3¢6¼0;+2p_4_;3¤6¼0;+2+6+4 =;3$;p+;3$;p+12
=;3*;p+12`(cm) {;3*;p+12}`cm
0528
(둘레의 길이)=2p_12_;3@6!0);+2p_6_;3@6!0);+6+6
=14p+7p+12=21p+12`(cm) ⑤
0529
(둘레의 길이)=µAE+µ BE+ABÓ =µAE+µ CE+ABÓ=µAC+ABÓ
=2p_6_;3»6¼0;+6
=3p+6`(cm) (3p+6)`cm
0530
(넓이)10 cm
10 cm
=(빗금친 부분의 넓이)_2
={p_10Û`_;4!;-;2!;_10_10}_2 =(25p-50)_2
=50p-100`(cmÛ`) (50p-100)`cmÛ`
0531
(넓이)=p_4Û`_;3¢6°0;-p_2Û`_;3¢6°0;=2p-;2!;p=;2#;p`(cmÛ`) ;2#;p`cmÛ`
0532
(넓이)=p_4Û`_;4!;-p_2Û`_;2!;=4p-2p=2p`(cmÛ`) ①
0533
오른쪽 그림과 같이 EFÓ, FGÓ를 그20 cm 20 cm
A
B E
G F
C D
으면
(넓이)
=(사각형 ABCD의 넓이) -(사각형 EBGF의 넓이) -(부채꼴 AEF의 넓이)_2
=20_20-10_10-{p_10Û`_;4!;}_2 =400-100-50p
=300-50p`(cmÛ`) (300-50p)`cmÛ`
0534
오른쪽 그림과 같이 빗금친 부분을 옮기8 cm
8 cm
면
(넓이)=(정사각형의 넓이)_;2!;
=8_8_;2!;
=32`(cmÛ`) ④
0535
오른쪽 그림과 같이 빗금친 부분을10 cm
5 cm
옮기면
(넓이) =(직사각형의 넓이)
=5_10=50`(cmÛ`)
②
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0536
오른쪽 그림과 같이 빗금친 부분을 옮기면8 cm
(넓이)
={(반지름의 길이가 8`cm인 사분원의 넓이) -(직각삼각형의 넓이)}_2
={p_8Û`_;4!;-;2!;_8_8}_2
=(16p-32)_2
=32p-64`(cmÛ`) (32p-64)`cmÛ`
0537
오른쪽 그림과 같이 빗금친 부분을 옮기O
면 4 cm
(넓이)
=(반지름의 길이가 4`cm인 반원의 넓이)
=p_4Û`_;2!;
=8p`(cmÛ`) 8p`cmÛ`
0538
오른쪽 그림과 같이 빗금친 부분을6 cm
6 cm
옮기면 yy 50`%
(넓이)= (한 변의 길이가 3`cm인 정사각형의 넓이)_2
=(3_3)_2
=18`(cmÛ`) yy 50`%
18`cmÛ`
채점 기준 비율
도형의 일부분을 적당히 옮기기 50`%
넓이 구하기 50`%
0539
오른쪽 그림과 같이 빗금친 부분A D
C
45∞ B 12 cm
을 옮기면 (넓이)
=(부채꼴 CAB의 넓이) -(
△
DAB의 넓이)=p_12Û`_;3¢6°0;-;2!;_12_6
=18p-36`(cmÛ`) (18p-36)`cmÛ`
0540
색칠한 부분의 넓이는 다음과 같이 구할 수 있다.A
B C
8 cm
8 cm = 8 cm +
-+ 6 cm
6 cm 6 cm
10 cm 10 cm
∴ (넓이)=p_4Û`_;2!;+p_3Û`_;2!;+;2!;_8_6 -p_5Û`_;2!;
=8p+;2(;p+24-:ª2°:p
=24`(cmÛ`) 24`cmÛ`
0541
색칠한 부분의 넓이는 다음과 같이 구할 수 있다.A B
B′
= + 45∞
-16 cm
16 cm 16 cm
45∞
16 cm
∴ (넓이)=p_8Û`_;2!;+p_16Û`_;3¢6°0;-p_8Û`_;2!;
=32p`(cmÛ`) 32p`cmÛ`
0542
(부채꼴 FBC의 넓이)=㉠+㉡,㉠
㉡
㉢
12 cm A
B C
F E D
(직사각형 ABCD의 넓이)=㉡+㉢이 고 ㉠=㉢이므로
(부채꼴 FBC의 넓이)
=(직사각형 ABCD의 넓이) 따라서 p_12Û`_;4!;=12_ABÓ에서
36p=12ABÓ ∴ ABÓ=3p`(cm) ②
0543
6 cm 18 cm위 그림에서 곡선 부분의 길이는 {2p_3_;2!;}_2=6p`(cm) 직선 부분의 길이는 18_2=36`(cm)
따라서 필요한 끈의 최소 길이는 (6p+36)`cm이다.
③
0544
오른쪽 그림에서 곡선 부분의 길이는 120∞120∞ 4 cm 120∞
{2p_4_;3!6@0);}_3=8p`(cm) 직선 부분의 길이는
8_3=24`(cm)
따라서 필요한 끈의 최소 길이는
(8p+24)`cm이다. ④