풀이 참조

2

⑴ {x+1}{3x+1} ⑵ {2x-7}{3x-2}

⑶ {x-2y}{2x+3y} ⑷ {2x+3y}{3x-2y}

3

⑴ 2{a-b}{3a+5b} ⑵ 3y{x-1}{3x+1}

4

⑴ \, {x+5}{3x+1} ⑵ d

⑶ \, {x-2y}{3x+4y} ⑷ \, a{x-2}{3x-1}

유형

5

^{P. 64}

1

⑴ 6x@+5x+1={2x+1}{3 x+1} 2x 1 = 3 x

3 x 1 = 2 x +

5x

⑵ 4x@-7xy+3y@={x-y}{4 x-3 y}

x -y= -4xy 4 x -3y= -3xy +

-7xy

⑶ 3x@+7x-10={x-1}{3x+10}

x -1= -3x

3x 10= 10x +

7x

⑷ 2x@-3x-9= {x-3}{2x+3}

x -3= -6x

2x 3= 3x +

-3x R T T T

R T T T T

R T T T

R T T T

라이 트

유 형 편

⑸ 4x@-13xy+9y@={x-y}{4x-9y}

x -y= -4xy

4

⑴ 3x@+16x+5={x+5}{3x+1}

x 5= 15x

⑸ x{11+2x}{11-2x} ⑹ y{x+3y}{x-4y}

P. 65 한 번 더 연습

1

⑴ x@+18x+81=x@+2\x\9+9@={x+9}@

⑵ -x@+36=36-x@=6@-x@={6+x}{6-x}

⑶ 곱이 28이고 합이 -11인 두 정수는 -4와 -7이므로 x@-11x+28={x-4}{x-7}

⑷ 곱이 -24이고 합이 -10인 두 정수는 2와 -12이므로 x@-10x-24={x+2}{x-12}

⑸ 2x@+5x-12={x+4}{2x-3}

x 4 = 8x 2x -3 = -3x +

5x

⑹ 6x@-11x-10={2x-5}{3x+2}

2x -5 = -15x

2

⑴ x@-4xy+4y@=x@-2\x\2y+{2y}@={x-2y}@

⑵ 64x@-y@={8x}@-y@={8x+y}{8x-y}

⑶ 곱이 -20이고 합이 -1인 두 정수는 4와 -5이므로 x@-xy-20y@={x+4y}{x-5y}

⑷ 4x@+4xy-15y@={2x-3y}{2x+5y}

2x -3y = -6xy

3

⑴ -3x@-18x-27=-3{x@+6x+9}=-3{x+3}@

⑵ 7x@- 7

36 =7[x@- 136 ]=7-x@-[ 16 ]@=

=7[x+ 16 ][x-1 6 ]

⑶ 3x@+6x-45=3{x@+2x-15}

곱이 -15이고 합이 2인 두 정수는 -3과 5이므로

⑶ A x@- B xy+15y@ ={x- C y}{4x-5y}

=4x@-{5+4 C }xy+5 C y@

x@의 계수에서 A=4

y@의 계수에서 15=5C ∴ C=3 xy의 계수에서

-B=-{5+4C}=-{5+4\3}=-17 ∴ B=17

⑷ A a@+ B ab-10b@ ={3a-2b}{4a+ C b}

=12a@+{3 C -8}ab-2 C b@

a@의 계수에서 A=12

b@의 계수에서 -10=-2C ∴ C=5 ab의 계수에서 B=3C-8=3\5-8=7

4

-1<x<2에서 x+1>0, x-2<0이므로

1x@2-43x3+343-1x@+32x3+13 =1{x2-23}@3-1{x2+21}@3

=-{x-2}-{x+1}

=-x+2-x-1

=-2x+1

5

⑴ {x+3}{x-4}=x@-x-12 ∴ a=-1, b=-12

⑵ {x-1}{x-3}=x@-4x+3 ∴ a=-4, b=3

⑶ 처음 이차식 x@+ax+b에서 민이는 상수항을 제대로 보 았고, 솔이는 x의 계수를 제대로 보았으므로

a=-4, b=-12

따라서 처음 이차식은 x@-4x-12이므로 이 식을 바르게 인수분해하면

x@-4x-12={x+2}{x-6}

6

{x+2}{x-3}=x@-x-6에서

윤아는 상수항을 제대로 보았으므로 처음 이차식의 상수항 은 -6이다.

{x-4}{x+5}=x@+x-20에서

승기는 x의 계수를 제대로 보았으므로 처음 이차식의 x의 계수는 1이다.

따라서 처음 이차식은 x@+x-6이므로 이 식을 바르게 인수분해하면

x@+x-6={x-2}{x+3}

7

넓이가 x@인 정사각형이 1개, 넓이가 x인 직사각형이 2개, 넓이가 1인 정사각형이 1개이므로 4개의 직사각형의 넓이 의 합은 x@+2x+1

이 식을 인수분해하면 x@+2x+1={x+1}@

8

넓이가 x@인 정사각형이 1개, 넓이가 x인 직사각형이 4개, 넓이가 1인 정사각형이 3개이므로 8개의 직사각형의 넓이 의 합은 x@+4x+3

이 식을 인수분해하면 x@+4x+3={x+1}{x+3}

1

⑴ 12, 6 ⑵ 21, 3 ⑶ 2, 6 ⑷ 8, 9

2

⑴ 2, 7, 3 ⑵ 3, 8, 1 ⑶ 4, 17, 3 ⑷ 12, 7, 5

3

x+3, x-1, x+3, -x+1, 4

4

^-2x+1

5

⑴ -1, -12 ⑵ -4, 3

⑶ {x+2}{x-6}

6

x@+x-6, {x-2}{x+3}

7

x@+2x+1, {x+1}@

8

x@+4x+3, {x+1}{x+3}

P. 66 한 걸음 더 연습

1

⑴ x@-8x+ A ={x-2}{x- B }

=x@-{2+ B }x+2 B x의 계수에서 -8=-{2+B} ∴ B=6 상수항에서 A=2B=2\6=12

⑵ a@+10a+ A ={a+ B }{a+7}

=a@+{ B +7}a+7 B a의 계수에서 10=B+7 ∴ B=3 상수항에서 A=7B=7\3=21

⑶ x@+ A xy-24y@ ={x-4y}{x+ B y}

=x@+{-4+ B }xy-4 B y@

y@의 계수에서 -24=-4B ∴ B=6 xy의 계수에서 A=-4+B=-4+6=2

⑷ a@- A ab-9b@ ={a+b}{a- B b}

=a@+{1- B }ab- B b@

b@의 계수에서 -9=-B ∴ B=9 ab의 계수에서 -A=1-B=1-9=-8 ∴ A=8

2

⑴ A x@+ B x+6 ={x+2}{2x+ C }

=2x@+{ C +4}x+2 C x@의 계수에서 A=2

상수항에서 6=2C ∴ C=3 x의 계수에서 B=C+4=3+4=7

⑵ A a@-23a- B ={3a+ C }{a-8}

=3a@+{-24+ C }a-8 C a@의 계수에서 A=3

a의 계수에서 -23=-24+C ∴ C=1

상수항에서 -B=-8C=-8\1=-8 ∴ B=8

⑸ 121x-4x# =x{121-4x@}=x911@-{2x}@0

=x{11+2x}{11-2x}

⑹ x@y-xy@-12y#=y{x@-xy-12y@}

곱이 -12이고 합이 -1인 두 정수는 3과 -4이므로 (주어진 식) =y{x@-xy-12y@}

=y{x+3y}{x-4y}

라이 트

유 형 편

[ 11 ~ 12 ] 등식의 양변에 미지수가 있는 경우

괄호가 있는 변을 전개하여 x@의 계수, x의 계수, 상수항을 각각 비교한다.

1

^②

2

^③

3

^③

4

x+2, x-15

5

a=2, b=49

6

^④

7

^②

8

-2x-2, 과정은 풀이 참조

9

^2x-5

10

^2x-2

11

A=-11, B=-10

12

²

13

^⑤

14

^④

15

^④

16

^{ㄱ, ㄴ, ㄷ}

17

^x-3

18

^②

19

⑴ x@+9x-10 ⑵ {x-1}{x+10}

20

{x+2}{x-4}

21

^2x+3

22

4x+10, 과정은 풀이 참조

쌍둥이 기출문제 ^{P. 67~69}

1

a{a+b}@=a\{a+b}@={a+b}\a{a+b}

이므로 인수가 아닌 것은 ② a@이다.

① ⑤ ③ ④

[ 1 ~ 2 ] 인수와 인수분해 x@+5x+6 ;ssssss'^인수분해

전개 {x+2}{x+3}

인수

3

a{x-y}-b{y-x} =a{x-y}+b{x-y}

={a+b}{x-y}

[ 3 ~ 4 ] 공통인 인수를 이용한 인수분해

다항식의 각 항에 공통인 인수가 있을 때, 분배법칙을 이용하여 공통인 인수를 묶어 내어 인수분해한다.

⇨ ma+mb-mc=m{a+b-c}

2

x{x-2}{x+3}=x\{x-2}{x+3}

={x-2}\x{x+3}

={x+3}\x{x-2}

이므로 인수가 아닌 것은 ③ x-3이다.

①

②

④ ⑤

10

{x+3}{x-1}-4x =x@+2x-3-4x

=x@-2x-3={x+1}{x-3}

∴ (두 일차식의 합)={x+1}+{x-3}=2x-2

5

x@+ax+1=x@+ax+{-1}@에서 a>0이므로 a=2\1=2

4x@+28x+b={2x}@+2\2x\7+b에서 b=7@=49

[ 5 ~ 6 ] 완전제곱식이 될 조건

⑴ a@ -2ab+ b@ ={a-b}@ ⑵ a@- 2ab +b@={a-b}@

제곱 제곱 제곱근 제곱근

곱의 2배

-a -b

4

5{x-3}{x+2}-4x{x+2} ={x+2}{5{x-3}-4x}

={x+2}{5x-15-4x}

={x+2}{x-15}

[ 9 ~ 10 ] x의 계수가 1인 두 일차식의 곱으로 인수분해될 때, 이 두 일차식의 합

⇨ (주어진 식)={x+a}{x+b}로 인수분해한 후, {x+a}+{x+b}=2x+{a+b}를 구한다.

9

x@-5x-14={x+2}{x-7}

∴ (두 일차식의 합)={x+2}+{x-7}=2x-5

8

-5<x<3에서 x+5>0, x-3<0이므로 y`! 1x@2-63x3+393-1x@2+3103x3+3253

=1{x2-33}@3-1{x2+35}@3 y`@

=-{x-3}-{x+5}

=-x+3-x-5

=-2x-2 y`#

채점 기준 비율

!x-3, x+5의 부호 판단하기 30%

@ 근호 안을 완전제곱식으로 인수분해하기 40%

# 주어진 식을 간단히 하기 30%

7

2<x<4에서 x-2>0, x-4<0이므로

1x@2-83x3+3163+1x@2-43x3+343 =1{x2-242}@2+1{x2-222}@2

=-{x-4}+x-2

=-x+4+x-2=2

[ 7 ~ 8 ] 근호 안의 식이 완전제곱식으로 인수분해되는 식

➊ 근호 안의 식을 완전제곱식으로 인수분해하여 1A@2 꼴로 만든다.

➋ A의 부호를 판단한다.

➌ 1a@2=-a>0일 때, a

a<0일 때, -a 임을 이용하여 근호를 없앤다.

6

① x@-8x+ =x@-2\x\4+ 이므로 =4@=16

② 9x@-12x+ ={3x}@-2\3x\2+ 이므로

=2@=4

③ x@+ x+36=x@+ x+{-6}@이므로

=2\6=12 (∵ 는 양수)

④ 4x@+ x+25={2x}@+ x+{-5}@이므로

=2\2\5=20 (∵ 는 양수)

⑤ x@+6x+1= x@+2\3x\1+1@이므로 =3@=9

따라서 안에 알맞은 양수 중 가장 큰 것은 ④이다.

16

ㄱ. x@-4x+3={x-1}{x-3}

ㄴ. x@-9={x+3}{x-3}

ㄷ. x@+x-12={x-3}{x+4}

ㄹ. 2x@+5x-3={x+3}{2x-1}

따라서 x-3을 인수로 갖는 다항식은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

17

x@-8x+15={x-3}{x-5}

3x@-7x-6={x-3}{3x+2}

따라서 두 다항식의 공통인 인수는 x-3이다.

[ 17 ~ 18 ] 인수분해하여 공통인 인수 구하기

➊ 두 다항식을 각각 인수분해한다.

➋ 공통으로 들어 있는 인수를 찾는다.

11

6x@+Ax-30 ={2x+3}{3x+B}

=6x@+{2B+9}x+3B 상수항에서 -30=3B / B=-10

x의 계수에서 A=2B+9=2\{-10}+9=-11

18

x@-6x-27={x+3}{x-9}

5x@+13x-6={x+3}{5x-2}

따라서 두 다항식의 공통인 인수는 x+3이다.

19

⑴ {x+2}{x-5}=x@-3x-10에서

상우는 상수항을 제대로 보았으므로 처음 이차식의 상수 항은 -10이다.

{x+4}{x+5}=x@+9x+20에서

연두는 x의 계수를 제대로 보았으므로 처음 이차식의 x 의 계수는 9이다.

따라서 처음 이차식은 x@+9x-10이다.

⑵ 처음 이차식을 바르게 인수분해하면 x@+9x-10={x-1}{x+10}

[ 19 ~ 20 ] 계수 또는 상수항을 잘못 보고 인수분해한 경우

잘못 본 수를 제외한 나머지의 값은 제대로 보았으므로

! 상수항을 잘못 본 식이 x@+ax+b이면 x의 계수 a는 제대로 보았다.

@ x의 계수를 잘못 본 식이 x@+cx+d이면 상수항 d는 제대로 보았다.

⇨ !, @에 의해 처음 이차식은 x@+ax+d이다.

12

2x@+ax-3 ={x+b}{cx+3}

=cx@+{3+bc}x+3b x@의 계수에서 c=2

상수항에서 -3=3b / b=-1 x의 계수에서 a=3+bc=3+{-1}\2=1

∴ a+b+c=1+{-1}+2=2

13

① 3a-12ab=3a{1-4b}

② 4x@+12x+9={2x+3}@

③ 4x@-9={2x+3}{2x-3}

④ x@-4xy-5y@={x+y}{x-5y}

따라서 인수분해가 바르게 된 것은 ⑤이다.

[ 13 ~ 14 ] 인수분해 공식의 종합

⑴ a@+2ab+b@={a+b}@, a@-2ab+b@={a-b}@

⑵ a@-b@={a+b}{a-b}

⑶ x@+{a+b}x+ab={x+a}{x+b}

⑷ acx@+{ad+bc}x+bd={ax+b}{cx+d}

14

④ {x+3}{x-4}-8 =x@-x-20={x+4}{x-5}

15

① x@+7x+10={x+2}{x+5}

② x@+8x+12={x+2}{x+6}

③ x@-2x-8={x+2}{x-4}

④ 3x@-10x+8={x-2}{3x-4}

⑤ 2x@+5x+2={x+2}{2x+1}

따라서 x+2를 인수로 갖지 않는 것은 ④이다.

[ 15 ~ 16 ] ax+b를 인수로 갖는 다항식

⇨ 다항식을 인수분해하여 인수로 갖는지 확인한다.

20

{x-2}{x+4}=x@+2x-8에서

하영이는 상수항을 제대로 보았으므로 처음 이차식의 상수 항은 -8이다.

{x+1}{x-3}=x@-2x-3에서

지우는 x의 계수를 제대로 보았으므로 처음 이차식의 x의 계수는 -2이다.

따라서 처음 이차식은 x@-2x-8이므로 이 식을 바르게 인수분해하면

x@-2x-8={x+2}{x-4}

21

6개의 직사각형의 넓이의 합은 x@+3x+2 이 식을 인수분해하면

x@+3x+2={x+1}{x+2}

따라서 새로 만든 직사각형의 이웃하는 두 변의 길이는 각각 x+1, x+2이므로 이웃하는 두 변의 길이의 합은 {x+1}+{x+2}=2x+3

[ 21 ~ 22 ] 여러 개의 직사각형으로 만든 새로운 직사각형의 변의 길이

➊ 여러 개의 직사각형의 넓이의 합을 이차식으로 나타낸다.

⇨ x@+ax+b

➋ 이차식을 인수분해한다. ⇨ x@+ax+b={x+c}{x+d}

➌ 새로 만든 직사각형의 가로와 세로의 길이는 각각 x+c, x+d 또는 x+d, x+c이다.

22

10개의 직사각형의 넓이의 합은 x@+5x+4 y ! 이 식을 인수분해하면

x@+5x+4={x+1}{x+4}

라이

={{2x-y}+{x-2y}}{{2x-y}-{x-2y}}

={3x-3y}{x+y}

2

⑴ x@-4x+4 ={x-2}@={2-2j2-2}@={-2j2}@=8

⑵ x@+3x+2 ={x+1}{x+2}={j2-1+1}{j2-1+2}

=j2{j2+1}=2+j2

⑶ x@-3x-4 ={x+1}{x-4}={4+j5+1}{4+j5-4}

={5+j5}j5=5j5+5

⑷ x= 1

j5-2= j5+2

{j5-2}{j5+2}=j5+2이므로

x@-4x+3 ={x-1}{x-3}={j5+2-1}{j5+2-3}

={j5+1}{j5-1}=5-1=4

3

^{⑴ x-y={}j2+1}-{j2-1}=2이므로 x@-2xy+y@={x-y}@=2@=4

⑵ x+y={3+j5}+{3-j5}=6이므로 x@+2xy+y@={x+y}@=6@=36

⑶ x+y={1+2j3}+{1-2j3}=2, x-y={1+2j3}-{1-2j3}=4j3이므로 x@-y@={x+y}{x-y}=2\4j3=8j3

4

^{⑴ a=}_j2+1^{1 =}_{j2+1}{j2-1}^j2-1 =j2-1, b= 1

j2-1= j2+1

{j2-1}{j2+1}=j2+1이므로 a-b={j2-1}-{j2+1}=-2

∴ a@-2ab+b@={a-b}@={-2}@=4

⑵ a= 1

j3+j2= j3-j2

{j3+j2}{j3-j2}=j3-j2, b= 1

j3-j2= j3+j2

{j3-j2}{j3+j2}=j3+j2이므로 a-b={j3-j2}-{j3+j2}=-2j2

ab={j3-j2}{j3+j2}=1 ∴ a@b-ab@ =ab{a-b}

=1\{-2j2}=-2j2

⑶ x= 1

j3-2= j3+2

{j3-2}{j3+2}=-j3-2, y= 1

j3+2= j3-2

{j3+2}{j3-2}=-j3+2이므로 x+y={-j3-2}+{-j3+2}=-2j3 x-y={-j3-2}-{-j3+2}=-4 ∴ x@-y@ ={x+y}{x-y}

=-2j3\{-4}=8j3

1

⑴ 3, 3, 30, 900

⑵ x-y, 2-j3, 2+j3, 2-j3, 4, 2j3, 8j3

2

⑴ 8 ⑵ 2+j2 ⑶ 5j5+5 ⑷ 4

3

⑴ 4 ⑵ 36 ⑶ 8j3

4

⑴ 4 ⑵ -2j2 ⑶ 8j3

5

⑴ 30 ⑵ 90 ⑶ 60

유형

8

^{P. 73}

2

⑴ 9\57+9\43 =9{57+43}=9\100=900

⑵ 11\75+11\25 =11{75+25}=11\100=1100

⑶ 15\88-15\86 =15{88-86}=15\2=30

⑷ 97\33-94\33 =33{97-94}=33\3=99

3

⑴ 11@-2\11+1 =11@-2\11\1+1@

={11-1}@=10@=100

⑵ 18@+2\18\12+12@ ={18+12}@=30@=900

⑶ 25@-2\25\5+5@ ={25-5}@=20@=400

⑷ 89@+2\89+1 =89@+2\89\1+1@

={89+1}@=90@=8100

4

⑴ 57@-56@ ={57+56}{57-56}=113\1=113

⑵ 99@-1 =99@-1@

={99+1}{99-1}

=100\98=9800

⑶ 32@\3-28@\3 =3{32@-28@}

=3{32+28}{32-28}

=3\60\4=720

⑷ 5\55@-5\45@ =5{55@-45@}

=5{55+45}{55-45}

=5\100\10=5000

5

⑴ 50\3.5+50\1.5 =50{3.5+1.5}=50\5=250

⑵ 5.5@\9.9-4.5@\9.9 =9.9{5.5@-4.5@}

=9.9{5.5+4.5}{5.5-4.5}

=9.9\10\1=99

⑶ 7.5@+5\7.5+2.5@ =7.5@+2\7.5\2.5+2.5@

={7.5+2.5}@=10@=100

⑷ 1682@-3323@3 =1{683+3323}{3683-332}3

=j10k0k\k3k6k=j36k00k=160@2=60

1

⑴ 54, 46, 100, 1700 ⑵ 2, 100, 10000

⑶ 53, 53, 4, 440 ⑷ 2, 2, 20, 20, 2, 1, 82

2

⑴ 900 ⑵ 1100 ⑶ 30 ⑷ 99

3

⑴ 100 ⑵ 900 ⑶ 400 ⑷ 8100

4

⑴ 113 ⑵ 9800 ⑶ 720 ⑷ 5000

5

⑴ 250 ⑵ 99 ⑶ 100 ⑷ 60

유형

7

^{P. 72}

⑸ 9x@-y@-6x+1 =9x@-6x+1-y@

={3x-1}@-y@

={3x-1+y}{3x-1-y}

={3x+y-1}{3x-y-1}

⑹ a@-8ab+16b@-25c@ ={a-4b}@-{5c}@

={a-4b+5c}{a-4b-5c}

라이 트

유 형 편

10

^a=_j5+2^{1 =}_{j5+2}{j5-2}^j5-2 =j5-2, b= 1

j5-2= j5+2

{j5-2}{j5+2}=j5+2이므로 y !

9

^x+y={-1+j3}+{1+j3}=2j3, x-y={-1+j3}-{1+j3}=-2이므로 x@-y@ ={x+y}{x-y}=2j3\{-2}=-4j3 [ 9 ~ 12 ] 인수분해를 이용한 식의 값의 계산

➊ 주어진 식을 인수분해한다.

➋ 문자의 값을 바로 대입하거나 변형하여 대입한다.

8

⑴ 25\123-121\25 =25{123-121}=25\2=50

⑵ 103@-6\103+9 =103@-2\103\3+3@

={103-3}@=100@=10000

⑶ 18.22@-31.83@3 =1{8.23+31.83}{38.32-31.38}3

=j10k\k6.k4k=j64k=18@2=8

5

⑴ a@b+ab@=ab{a+b}=5\6=30

⑵ 3xy@-3x@y =-3xy{x-y}

=-3\{-6}\5=90

⑶ x@-y@+4x+4y ={x+y}{x-y}+4{x+y}

={x+y}{x-y+4}

=4\{11+4}=60

1

^②

2

-1, 과정은 풀이 참조

3

^④

4

^②

5

{x+y+6}{x-y+6}

6

^⑤

7

^③

8

⑴ 50 ⑵ 10000 ⑶ 8

9

^①

10

16, 과정은 풀이 참조

11

^⑤

12

^③

쌍둥이 기출문제 ^{P. 74~75}

문서에서 제곱근과 실수 (페이지 44-51)