2
⑴ y =x@-6x=x@-6x+9-9
={x-3}@-9
⑵ y =-3x@+3x-5
=-3{x@-x}-5 =-3[x@-x+ 14-1
4 ]-5 =-3[x@-x+ 14 ]+3
4-5 =-3[x- 12 ]@-17
4
⑶ y =1 6 x@+1
3 x-1 =1
6{x@+2x}-1 =1
6{x@+2x+1-1}-1 =1
6{x@+2x+1}-1 6-1 =1
6{x+1}@-7 6
3
⑴ y =x@+4x+3 y-1x -2
3
O
={x@+4x+4-4}+3
={x@+4x+4}-4+3
={x+2}@-1
⑵ y =-x@-2x+1 =-{x@+2x}+1 =-{x@+2x+1-1}+1 =-{x@+2x+1}+1+1 =-{x+1}@+2
-1 21
O x
y
1
⑴ 16, 16, 4, 7⑵ 9, 9, 9, 18, 3, 19
⑶ 8, 8, 16, 16, 8, 16, 8, 4, 10
2
풀이 참조3
그래프는 풀이 참조⑴ {-2, -1}, {0, 3}, 아래로 볼록
⑵ {-1, 2}, {0, 1}, 위로 볼록
⑶ {-1, 3}, {0, 5}, 아래로 볼록
⑷ {1, 3}, [0, 52 ], 위로 볼록
4
⑴ 0, 0, 3, 4, -3, -4, -3, -4⑵ {-2, 0}, {4, 0} ⑶ {-5, 0}, {2, 0}
⑷ [- 32 , 0], [ 12 , 0]
5
⑴ ⑵ × ⑶ ⑷ ⑸ ×유형
10
P. 124~1258
그래프가 아래로 볼록하므로 a>0꼭짓점 {p, q}가 제2사분면 위에 있으므로 p<0(①), q>0
② ap<0
③ (양수)-(음수)=(양수)이므로 a-p>0
④ a+q>0
⑤ apq<0
따라서 옳은 것은 ③이다.
6
축의 방정식이 x=4이므로 구하는 이차함수의 식을y=a{x-4}@+q로 놓으면 p=4 y !
이 그래프가 두 점 {0, 5}, {1, -2}를 지나므로 x=0, y=5를 대입하면
5=a{0-4}@+q ∴ 5=16a+q y ㉠ x=1, y=-2를 대입하면
-2=a{1-4}@+q ∴ -2=9a+q y ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1, q=-11 y @
∴ a-p-q=1-4-{-11}=8 y #
채점 기준 비율
!p의 값 구하기 30%
@a, q의 값 구하기 50%
#a-p-q의 값 구하기 20%
[ 7 ~ 8 ] 이차함수 y=a{x-p}@+q의 그래프에서 a, p, q의 부호
⑴ a의 부호: 그래프의 모양에 따라
① 그래프가 아래로 볼록하면 ⇨ a>0
② 그래프가 위로 볼록하면 ⇨ a<0
⑵ p, q의 부호: 꼭짓점의 위치에 따라
① 제1사분면 ⇨ p>0, q>0 ② 제2사분면 ⇨ p<0, q>0
③ 제3사분면 ⇨ p<0, q<0 ④ 제4사분면 ⇨ p>0, q<0
7
그래프가 위로 볼록하므로 a<0꼭짓점 {p, q}가 제1사분면 위에 있으므로 p>0, q>0 [ 5 ~ 6 ] 이차함수 y=a{x-p}@+q의 그래프의 식 구하기 ⑵ 축의 방정식 x=p와 그래프가 지나는 두 점의 좌표를 알 때
⇨ y=a{x-p}@+q에 두 점의 좌표를 각각 대입하여 a, q의 값을 구 한다.
5
축의 방정식이 x=-2이므로 구하는 이차함수의 식을 y=a{x+2}@+q로 놓자.이 그래프가 두 점 {-1, 3}, {0, 9}를 지나므로 x=-1, y=3을 대입하면
3=a{-1+2}@+q ∴ 3=a+q y ㉠ x=0, y=9를 대입하면
9=a{0+2}@+q ∴ 9=4a+q y ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, q=1
∴ y=2{x+2}@+1
라이
1
⑶ 그래프가 아래로 볼록하므로 a > 0축이 y축의 오른쪽에 있으므로 ab<0 ∴ b < 0 y축과의 교점이 x축보다 위쪽에 있으므로 c > 0
⑷ 그래프가 위로 볼록하므로 a < 0
축이 y축의 왼쪽에 있으므로 ab>0 ∴ b < 0 y축과의 교점이 x축보다 위쪽에 있으므로 c > 0
⑸ 그래프가 위로 볼록하므로 a < 0
축이 y축의 오른쪽에 있으므로 ab<0 ∴ b > 0 y축과의 교점이 x축보다 아래쪽에 있으므로 c < 0
⑹ 그래프가 아래로 볼록하므로 a > 0
축이 y축의 왼쪽에 있으므로 ab>0 ∴ b > 0 y축과의 교점이 x축보다 위쪽에 있으므로 c > 0
1
{2, 9}2
x=3, {3, -4}3
⑤4
③5
-36
217
⑤8
④9
⑴ A{-1, 0}, B{5, 0}, C{2, 9} ⑵ 2710
②11
①12
②13
a<0, b<0, c<0, 과정은 풀이 참조14
a>0, b<0, c>0쌍둥이 기출문제 P. 128~129
[ 1 ~ 8 ] y=ax@+bx+c ⇨ y=a{x-p}@+q 꼴로 변형
⑴ 축의 방정식: x=p
⑵ 꼭짓점의 좌표: {p, q}
⑶ y축과의 교점의 좌표: {0, c}
⑷ y=ax@의 그래프를 x축의 방향으로 p만큼, y축의 방향으로 q만큼 평행이동한 그래프
1
y =-2x@+8x+1=-2{x@-4x}+1
=-2{x@-4x+4-4}+1
=-2{x@-4x+4}+8+1
=-2{x-2}@+9
따라서 꼭짓점의 좌표는 {2, 9}이다.
2
y =13 x@-2x-1=1
3{x@-6x}-1 =1
3{x@-6x+9-9}-1 =1
3{x@-6x+9}-3-1 =1
3{x-3}@-4
3
y =2x@-4x+3O x
y
1 3 1
=2{x@-2x}+3
=2{x@-2x+1-1}+3
=2{x@-2x+1}-2+3
=2{x-1}@+1
따라서 그래프는 오른쪽 그림과 같다.
4
y =-12 x@+3x-4=-1
2{x@-6x}-4 =-1
2{x@-6x+9-9}-4 =-1
2{x@-6x+9}+9 2-4 =-1
2{x-3}@+1 2
따라서 그래프는 오른쪽 그림과 같으므 로 제2사분면을 지나지 않는다.
O x
y
-4 3 2!
따라서 축의 방정식은 x=3이고, 꼭짓점의 좌표는 {3, -4}
이다.
5
평행이동한 그래프를 나타내는 이차함수의 식은 y=14{x-m}@+n 이 식이 y=1
4x@+x와 같아야 한다. 이때 y =1
4 x@+x =1
4{x@+4x}
=1
4{x@+4x+4-4}
=1
4{x@+4x+4}-1 =1
4{x+2}@-1
따라서 m=-2, n=-1이므로 m+n=-2+{-1}=-3
6
평행이동한 그래프를 나타내는 이차함수의 식은 y=a{x-m}@+n이 식이 y=-3x@+18x-6과 같아야 한다. 이때 y =-3x@+18x-6
=-3{x@-6x}-6
=-3{x@-6x+9-9}-6
=-3{x@-6x+9}+27-6
=-3{x-3}@+21
따라서 a=-3, m=3, n=21이므로 a+m+n=-3+3+21=21
라이 트
유 형 편
[ 11 ~ 12 ] 이차함수의 식 구하기
⑴ 그래프가 지나는 서로 다른 세 점의 좌표를 알 때
➊ y=ax@+bx+c로 놓는다.
➋ 세 점의 좌표를 각각 대입하여 a, b, c의 값을 구한다.
⑵ x축과 만나는 두 점 {a, 0}, {b, 0}과 그래프가 지나는 다른 한 점의 좌표를 알 때
➊ y=a{x-a}{x-b}로 놓는다.
➋ 다른 한 점의 좌표를 대입하여 a의 값을 구한다.
11
y=ax@+bx+c로 놓으면이 그래프가 점 {0, 5}를 지나므로 c=5 즉, y=ax@+bx+5의 그래프가 점 {2, 3}을 지나므로
3=4a+2b+5 ∴ 2a+b=-1 y`㉠
점 {4, 5}를 지나므로
5=16a+4b+5 ∴ 4a+b=0 y`㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1
2 , b=-2
∴ abc=1
2\{-2}\5=-5
10
x@-2x-3=0에서 {x+1}{x-3}=0∴ x=-1 또는 x=3
∴ A{-1, 0}, B{3, 0}
또 y축과의 교점의 좌표가 {0, -3}이므로 C{0, -3}
따라서 sACB는 밑변의 길이가 4이고, 높이가 3이므로 sACB= 12\4\3=6
7
y =2x@-12x+17=2{x@-6x}+17=2{x@-6x+9-9}+17
=2{x@-6x+9}-18+17
=2{x-3}@-1
① 아래로 볼록한 포물선이다.
② 직선 x=3을 축으로 한다.
③ 꼭짓점의 좌표는 {3, -1}이다.
④ y축과의 교점의 좌표는 {0, 17}이다.
따라서 옳은 것은 ⑤이다.
[ 9 ~ 10 ] y=ax@+bx+c의 그래프가 x축과 만나는 점 y=ax@+bx+c에 y=0을 대입하면 a{x-a}{x-b}=0
⇨ {a, 0}, {b, 0}
9
⑴ -x@+4x+5=0에서 x@-4x-5=0 {x+1}{x-5}=0 ∴ x=-1 또는 x=5∴ A{-1, 0}, B{5, 0}
y =-x@+4x+5=-{x@-4x}+5
=-{x@-4x+4-4}+5
=-{x@-4x+4}+4+5
=-{x-2}@+9 ∴ C{2, 9}
⑵ 따라서 sABC는 밑변의 길이가 6이고, 높이가 9이므로 sABC=1
2 \6\9=27
8
y =-x@+8x-5=-{x@-8x}-5=-{x@-8x+16-16}-5
=-{x@-8x+16}+16-5
=-{x-4}@+11
④ x<4일 때, x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다.
따라서 옳지 않은 것은 ④이다.
12
x축 위의 두 점 {-2, 0}, {4, 0}을 지나므로 y=a{x+2}{x-4}로 놓자.이 그래프가 점 {0, 8}을 지나므로 8=a\2\{-4} ∴ a=-1
∴ y =-{x+2}{x-4}
=-x@+2x+8
y=ax@+bx+c로 놓으면
이 그래프가 점 {0, 8}을 지나므로 c=8 즉, y=ax@+bx+8의 그래프가 점 {-2, 0}을 지나므로
0=4a-2b+8 ∴ 2a-b=-4 y`㉠
점 {4, 0}을 지나므로
0=16a+4b+8 ∴ 4a+b=-2 y`㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-1, b=2
∴ y=-x@+2x+8
[ 13 ~ 14 ] 이차함수 y=ax@+bx+c의 그래프에서 a, b, c의 부호
⑴ 아래로 볼록 ⇨ a>0 위로 볼록 ⇨ a<0
⑵ 축이 y축의 왼쪽 ⇨ ab>0 (a와 b는 같은 부호) 축이 y축의 오른쪽 ⇨ ab<0 (a와 b는 반대 부호)
⑶ y축과의 교점이 x축보다 위쪽 ⇨ c>0 y축과의 교점이 x축보다 아래쪽 ⇨ c<0
13
그래프가 위로 볼록하므로 a<0 y ! 축이 y축의 왼쪽에 있으므로 ab>0 ∴ b<0 y @ y축과의 교점이 x축보다 아래쪽에 있으므로 c<0 y #채점 기준 비율
!a의 부호 구하기 30%
@b의 부호 구하기 40%
#c의 부호 구하기 30%
14
그래프가 아래로 볼록하므로 a>0축이 y축의 오른쪽에 있으므로 ab<0 ∴ b<0 y축과의 교점이 x축보다 위쪽에 있으므로 c>0