4 | 사각형의 성질
4. 사각형의 성질 ⦁
41
0493 ADÓ∥BCÓ이므로 ∠AEB=∠EBC (엇각) 이때 ∠ABE=∠EBC이므로 ∠AEB=∠ABE 따라서 ABE는 ABÓ=AEÓ인 이등변삼각형이다.
이때 ADÓ=BCÓ=12`cm이므로 AEÓ=ADÓ-EDÓ=12-3=9`(cm)
∴ CDÓ=ABÓ=AEÓ=9`cm 9`cm 0494 ABE와 FCE에서
BEÓ=CEÓ, ∠AEB=∠FEC (맞꼭지각),
∠ABE=∠FCE(엇각)이므로 ABEª FCE ( ASA 합동)
따라서 FCÓ=ABÓ=7`cm, DCÓ=ABÓ=7`cm이므로 DFÓ=DCÓ+CFÓ=7+7=14`(cm) 14`cm
0495 ∠AEB=∠DAE (엇각)
이때 ∠BAE=∠DAE이므로 ∠BAE=∠AEB 따라서 ABE는 BAÓ=BEÓ인 이등변삼각형이므로 BEÓ=BAÓ=6`cm
또 ∠DFC=∠ADF (엇각)
이때 ∠CDF=∠ADF이므로 ∠DFC=∠CDF 따라서 CDF는 CDÓ=CFÓ인 이등변삼각형이므로 CFÓ=CDÓ=6`cm
이때 BCÓ=ADÓ=9`cm이고, BCÓ=BEÓ+CFÓ-FEÓ이므로 9=6+6-FEÓ
9=12-FEÓ ∴ FEÓ=3`(cm) 3`cm
0496 ∠AED=∠BAE(엇각)
이때 ∠DAE=∠BAE이므로 ∠DAE=∠AED 따라서 DAE는 DAÓ=DEÓ인 이등변삼각형이므로 DEÓ=DAÓ=13`cm
또 ∠CFB=∠ABF(엇각)
이때 ∠FBC=∠ABF이므로 ∠FBC=∠CFB 따라서 CFB는 CFÓ=CBÓ인 이등변삼각형이므로 CFÓ=CBÓ=DAÓ=13`cm
이때 CEÓ=DEÓ-DCÓ=13-9=4`(cm)이므로
EFÓ=FCÓ+CEÓ=13+4=17`(cm) 17`cm
0497 ∠CED =∠ADE(엇각), A
H B
G C
D
F E
8 cm
∠CDE=∠ADE이므로 5 cm
∠CED=∠CDE
∴ CEÓ=CDÓ=ABÓ=5`cm DCÓ와 AFÓ의 연장선의 교점을 G 라 하면
∠DGH=90ù-∠GDH=90ù-∠ADH=∠DAH이므로 DGÓ=DAÓ=8`cm
∴ CGÓ=DGÓ-DCÓ=8-5=3`(cm)
한편 ∠AFB=∠DAF(엇각), ∠CFG=∠AFB(맞꼭지각) 이므로
∠CFG=∠AFB=∠DAF=∠CGF
∴ CFÓ=CGÓ=3`cm
∴ EFÓ=CEÓ-CFÓ=5-3=2`(cm) 2`cm
0498 ∠A`:`∠B=5`:`4이고
∠A+∠B=180ù이므로
∠B=180ù_ 4
5+4=180ù_;9$;=80ù
∴ ∠D=∠B=80ù 80ù
0499 ∠B+∠C=180ù이므로
∠B=180ù-110ù=70ù
이때 ABE에서 ABÓ=AEÓ이므로
∠AEB=∠ABE=70ù
∴ ∠BAE=180ù-(70ù+70ù)=40ù 40ù
0500 ∠D=∠B=45ù이고
∠ADE`:`∠EDC=2`:`1이므로
∠ADE=45ù_ 2
2+1=45ù_;3@;=30ù
∠DEC=∠ADE=30ù (엇각)이므로
∠x =180ù-(80ù+30ù)=70ù 70ù
0501 ∠A+∠B=180ù이므로
∠B=180ù-120ù=60ù
이때 ∠PBC=;2!;∠B=;2!;_60ù=30ù이므로 PBC에서
∠PCB =180ù-(90ù+30ù)=60ù 이때 ∠C=∠A=120ù이므로
∠PCD=120ù-60ù=60ù 60ù
0502 ∠D=∠B=80ù이므로
∠ADH=;2!;∠D=;2!;_80ù=40ù 이때 AHD에서
∠DAH=90ù-∠ADH=90ù-40ù=50ù 따라서 ∠AEB=∠DAE=50ù (엇각)이므로
∠x=180ù-50ù=130ù 130ù
0503 ∠D=∠B=70ù ACD에서
∠DAC=180ù-(40ù+70ù)=70ù이므로
∠DAE=;2!;∠DAC=;2!;_70ù=35ù
∴ ∠AEB=∠DAE=35ù (엇각) 35ù
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0513 ①두쌍의대변의길이가각각같으므로평행사변형이다.
②∠A+∠C,∠B+∠D,즉두쌍의대각의크기가같지
않으므로평행사변형이아니다.
③한쌍의대변이평행하고그길이가같으므로평행사변형 이다.
④두대각선이서로다른것을이등분하므로평행사변형이 다.
⑤∠BAC=∠DCA이므로ABÓ∥DCÓ
∠ADB=∠DBC이므로ADÓ∥BCÓ 즉두쌍의대변이각각평행하므로평행사변형이다.
따라서평행사변형이아닌것은②이다. ② 0514 ④한쌍의대변이평행하고다른한쌍의대변의길이가같
으므로평행사변형이되지않는다.
⑤∠DAC=∠ACB,즉엇각의크기가같으므로
ADÓ∥BCÓ
∠ABD=∠CDB,즉엇각의크기가같으므로
ABÓ∥DCÓ
따라서두쌍의대변이각각평행하므로평행사변형이된다.
따라서옳지않은것은④이다. ④
0515
△
ABE와△
CDF에서ABÓ=CDÓ,∠AEB=∠CFD=90ù,
∠ABE=∠CDF(엇각)(④)이므로
△
ABEª△
CDF(RHA합동)(⑤)`∴AEÓ=CFÓ(②)`
이때∠AEF=∠CFE=90ù이므로AEÓ∥CFÓ
따라서AEÓ=CFÓ,AEÓ∥CFÓ이므로AECF는평행사변 형이다. ∴AFÓ=CEÓ(③)`
따라서옳지않은것은①이다. ①
0516 AECF에서
OAÓ=OCÓ,OEÓ=;2!; OBÓ=;2!; ODÓ=OFÓ
즉두대각선이서로다른것을이등분하므로AECF는
평행사변형이다.
따라서옳지않은것은㉠,㉥이다. ㉠, ㉥ 0517 BCÓ=CEÓ,DCÓ=CFÓ이므로BFED는평행사변형이다.
∴BDÓ=EFÓ=8`cm
ADÓ∥BCÓ,ADÓ=BCÓ이므로ADÓ∥CEÓ,ADÓ=CEÓ
즉ACED는평행사변형이므로ACÓ=DEÓ=6`cm
이때ABCD는평행사변형이므로
OBÓ=;2!;`BDÓ=;2!;_8=4`(cm) ∴x=4
OCÓ=;2!;`ACÓ=;2!;_6=3`(cm) ∴y=3
∴x+y=4+3=7 7
0504 ∠A+∠B=180ù이므로
∠B=180ù-105ù=75ù
EDB에서EBÓ=EDÓ이므로
∠DBE=∠EDB
한편∠ABD=∠CDB=2∠EDB=2∠DBE이므로
∠B=75ù에서∠ABD+∠DBE=75ù
2∠DBE+∠DBE=75ù ∴∠DBE=25ù
∴∠DEC=25ù+25ù=50ù 50ù 0505
△
AOB와△
COD에서OAÓ=OCÓ,∠AOB=∠COD(맞꼭지각),
∠BAO=∠DCO(엇각)이므로
△
AOBª△
COD(ASA합동)(①)
△
AOP와△
COQ에서OAÓ=OCÓ,∠AOP=∠COQ(맞꼭지각),
∠PAO=∠QCO(엇각)이므로
△
AOPª△
COQ(ASA합동)(⑤)따라서POÓ=QOÓ(②),APÓ=CQÓ이므로
PDÓ=ADÓ-APÓ=BCÓ-CQÓ=QBÓ(④)
③ AODª COD는ADÓ=CDÓ일때에만성립한다.
③
0506
△
OAEª△
OCF(ASA합동)이므로CFÓ=AEÓ=4`cm
∴BFÓ=BCÓ-CFÓ=10-4=6`(cm) 6`cm 0507 ACÓ+BDÓ=30`cm이고두대각선은서로다른것을이등
분하므로
AOÓ+BOÓ=;2!;(ACÓ+BDÓ)=;2!;_30=15`(cm)
따라서 ABO의둘레의길이는
ABÓ+AOÓ+BOÓ=7+15=22`(cm) 22`cm 0508 ㈎ ACÓ ㈏ SSS ㈐ ∠DCA ㈑ ADÓ∥BCÓ
0509 ㈎ 360ù ㈏ 180ù ㈐ ∠DAE ㈑ BCÓ 0510 ㈎ OBÓ=ODÓ ㈏ ∠COD ㈐ SAS ㈑ DCÓ 0511 ㈎ ACÓ ㈏ ∠DCA ㈐ SAS ㈑ ∠DAC
0512 ①두쌍의대변의길이가각각같으므로평행사변형이다.
②한쌍의대변이평행하고다른한쌍의대변의길이가같 으므로평행사변형이아니다.
③∠A=∠C=110ù,ABÓ∥DCÓ이므로∠B=∠D
즉두쌍의대각의크기가각각같으므로평행사변형이다.
④OAÓ+OCÓ,OBÓ+ODÓ이므로평행사변형이아니다.
⑤ABÓ=DCÓ,∠B+∠C=180ù이므로ABÓ∥DCÓ
즉한쌍의대변이평행하고그길이가같으므로평행사 변형이다.
따라서평행사변형이아닌것은②,④이다. ②, ④
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4. 사각형의 성질 ⦁
43
02 여러 가지 사각형
0518 7
0519 ODÓ=;2!; BDÓ=;2!;_10=5`(cm) ∴ x=5 5
0520 ABCD는 직사각형이므로 ∠y=90ù 또한 ∠D=90ù이므로
△
DAC에서∠x=180ù-(90ù+50ù)=40ù
∠x=40ù, ∠y=90ù
0521 ∠ABC=90ù이므로
△
ABC에서∠x=180ù-(90ù+30ù)=60ù
이때 ∠BCD=90ù이므로 ∠OCD=90ù-30ù=60ù
△
OCD에서 ∠ODC=∠OCD=60ù이므로∠y=180ù-(60ù+60ù)=60ù ∠x=60ù, ∠y=60ù 0522 DCÓ=ADÓ=5`cm ∴ x=5 5
0523 OBÓ=;2!; BDÓ=;2!;_8=4`(cm) ∴ x=4 4
0524 마름모의 두 대각선은 서로 다른 것을 수직이등분하므로 ∠x=90ù
△
AOD에서 ∠y+90ù+30ù=180ù이므로 ∠y=60ù ∠x=90ù, ∠y=60 ù 0525 ∠DAC=∠ACB (엇각)이므로∠x=50ù
△
DAC는 DAÓ=DCÓ인 이등변삼각형이므로 ∠ACD=∠DAC=50ù
△
OCD에서 ∠DOC=90ù이므로 90ù+50ù+∠y=180ù∴ ∠y=40ù ∠x=50ù, ∠y=40ù 0526 BDÓ=ACÓ=2 AOÓ=2_4=8`(cm) ∴ x=8
ACÓ⊥BDÓ이므로 ∠AOD=90ù ∴ y=90
x=8, y=90
0527 DCÓ=ABÓ=7`cm 7`cm
0528 BDÓ=ACÓ=11`cm 11`cm
0529 ∠ABC=∠DCB=65ù 65ù
0530 ∠BAD+∠ABC=180ù이므로
∠BAD=180ù-∠ABC=180ù-65ù=115ù 115ù
기본 문제 다지기
p.870531 ADÓ∥BCÓ이므로
∠DBC=∠ADB=38ù (엇각) ∴ ∠ABC=42ù+38ù=80ù 이때 ∠B=∠C이므로
∠x=∠ABC=80ù 80ù
0532 ADÓ∥BCÓ이므로 ∠DAC=∠ACB=50ù (엇각) 이때 ∠A=∠D이므로 ∠x+50ù=108ù
∴ ∠x=108ù-50ù=58ù 58ù
STEP 1
필수 유형 익히기
p.88~p.93 0533 BDÓ=2 ODÓ=2_5=10`(cm)이므로ACÓ=BDÓ=10`cm ∴ x=10
∠DBC=90ù-∠ABD=90ù-50ù=40ù ∴ y=40
∴ x+y=10+40=50 50
0534 ⑴ OBC에서 OBÓ=OCÓ이므로 ∠x=∠OBC=30ù
⑵ OAB에서 OAÓ=OBÓ이므로 ∠OBA=∠OAB=52ù ∴ ∠x=90ù-52ù=38ù
⑴ 30ù ⑵ 38ù
0535
△
OBC에서 OBÓ=OCÓ이므로∠OBC=∠OCB=;2!;_(180ù-140ù)=20ù ∴ ∠x=∠OBC=20ù (엇각)
또 ∠OAD=∠OCB=20ù (엇각)이므로 ∠y=90ù-20ù=70ù
∴ ∠y-∠x=70ù-20ù=50ù 50ù 0536 ③ ABÓ=ADÓ인 경우에만 성립한다. ③ 0537 ㈎ DCÓ ㈏ BCÓ ㈐ SAS ㈑ DBÓ
0538 OAÓ=OCÓ이므로 5x-3=2x+6 3x=9 ∴ x=3
이때 OAÓ=5x-3=5_3-3=12이므로 ACÓ=2OAÓ=2_12=24
∴ BDÓ=ACÓ=24 24
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0539 ∠D'AE=90ù이므로
∠FAE=90ù-26ù=64ù
이때∠AEF=∠FEC(접은각),∠AFE=∠FEC(엇각)
이므로
∠AEF=∠AFE
따라서
△
AEF는AEÓ=AFÓ인이등변삼각형이므로∠x=;2!;_(180ù-64ù)=58ù 58ù
0540 ②OAÓ=;2!;ACÓ,OBÓ=;2!;BDÓ이므로
OAÓ=OBÓ이면ACÓ=BDÓ
④∠DAB+∠ABC=180ù이므로
∠DAB=∠ABC이면∠DAB=∠ABC=90ù
⑤∠OAD=∠ODA이면OAÓ=ODÓ이므로ACÓ=BDÓ
따라서②,③,④,⑤는평행사변형ABCD가직사각형이
되는조건이다.
한편①ACÓ⊥BDÓ는평행사변형ABCD가마름모가되는
조건이다. ①
0541 ㈎ DCÓ ㈏ SSS ㈐ ∠D ㈑ ∠A
0542 ② AOÓ=4`cm이면 ACÓ=BDÓ=8`cm이므로 직사각형이
된다.
③∠B=90ù이면∠A=∠B=∠C=∠D=90ù이므로직 사각형이된다.
②, ③
0543
△
OAB는이등변삼각형이므로OAÓ=OBÓABCD는평행사변형이므로OAÓ=OCÓ,OBÓ=ODÓ
∴OAÓ=OBÓ=OCÓ=ODÓ
따라서평행사변형ABCD는두대각선의길이가같으므로
직사각형이된다. 직사각형
0544 ABÓ=ADÓ이므로
∠x=∠ABD=35ù
△
OCBª△
OCD(SAS합동)이므로∠y=∠OCD=55ù
∴∠y-∠x=55ù-35ù=20ù 20ù
0545 ③∠A=∠B인경우에만성립한다. ③
0546 ACÓ⊥BDÓ이고
AOÓ=COÓ=;2!; ACÓ=;2!;_9=;2(;`(cm)이므로
ABCD=2
△
ABD=2_{;2!;_6_;2(;}=27`(cmÛ`) 27`cmÛ`
0547 CBÓ=CDÓ이므로
∠BDC=;2!;_(180ù-104ù)=;2!;_76ù=38ù
△
DPH에서∠DPH=180ù-(90ù+38ù)=52ù∴∠x=∠DPH=52ù(맞꼭지각) 52ù 0548 ②이웃하는두변의길이가같다.
④두대각선이서로수직으로만난다.
따라서평행사변형이마름모가되는조건은②,④이다.
②, ④
0549 ㈎ DCÓ ㈏ ADÓ ㈐ SAS ㈑ ABÓ 0550 ⑴∠ACB=∠DAC=50ù(엇각)
△
OBC에서∠DOC=40ù+50ù=90ù따라서ACÓ⊥BDÓ,즉평행사변형ABCD는두대각선이
서로수직으로만나므로마름모가된다.
⑵
△
BCD에서CBÓ=CDÓ이므로∠x=∠DBC=40ù ⑴ 마름모 ⑵ 40ù 0551 ADÓ∥BCÓ이므로
∠ADB=∠DBC(엇각) yy㉠
BDÓ가∠B의이등분선이므로
∠ABD=∠DBC yy㉡
㉠,㉡에서∠ABD=∠ADB
즉
△
ABD는이등변삼각형이므로ABÓ=ADÓ따라서평행사변형ABCD는이웃하는두변의길이가같
으므로마름모가된다. 마름모
0552
△
ABP와△
ADQ에서BPÓ=DQÓ,∠APB=∠AQD=90ù,∠B=∠D이므로
△
ABPª△
ADQ(ASA합동)∴ABÓ=ADÓ
즉ABCD는마름모이다.
따라서마름모의성질을찾으면③ACÓ⊥BDÓ이다. ③ 0553
△
APD와△
CPD에서ADÓ=CDÓ,PDÓ는공통,∠ADP=∠CDP=45ù이므로
△
APDª△
CPD(SAS합동)따라서∠PCD=∠PAD=22ù이므로
△
PCD에서∠BPC=∠CDP+∠PCD
=45ù+22ù=67ù 67ù
0554 ⑤OAÓ=OBÓ=OCÓ=ODÓ,
ABÓ=BCÓ=CDÓ=DAÓ ⑤
0555 ACÓ=BDÓ=2OBÓ=2_4=8`(cm) ∴x=8
∠BAC=45ù ∴y=45
∴x+y=8+45=53 53
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4. 사각형의 성질 ⦁
45
0556 정사각형의두대각선은서로다른것을수직이등분하므로
OAÓ=OCÓ=OBÓ=ODÓ=;2!;_12=6`(cm)
∴ABCD=4
△
OAB=4_{;2!;_6_6}=72`(cmÛ`) 72`cmÛ`
0557
△
EBC가정삼각형이므로∠ECB=60ù∴∠x=90ù-60ù=30ù
마찬가지로∠ABE=30ù이고BEÓ=BCÓ=BAÓ이므로
△
BEA는BEÓ=BAÓ인이등변삼각형이다.∴∠y=;2!;_(180ù-30ù)=75ù
∴∠x+∠y=30ù+75ù=105ù 105ù 0558
△
ABE와△
BCF에서ABÓ=BCÓ,BEÓ=CFÓ,∠ABE=∠BCF=90ù이므로
△
ABEª△
BCF(SAS합동)∴∠BAE=∠CBF
이때
△
ABE에서∠BAE+∠AEB=90ù이므로
△
GBE에서∠BGE=180ù-(∠CBF+∠AEB)
=180ù-(∠BAE+∠AEB)
=180ù-90ù
=90ù
∴∠AGF=∠BGE=90ù(맞꼭지각) 90ù 0559
△
ABC에서ABÓ=ACÓ이므로∠ABC=∠ACB=55ù따라서∠BAC=180ù-(55ù+55ù)=70ù이므로
∠BAE=∠BAC+∠CAE=70ù+90ù=160ù
이때
△
ABE는ABÓ=AEÓ인이등변삼각형이므로∠AEB=;2!;_(180ù-160ù)=10ù 10ù 0560 ①,②평행사변형에서한내각이직각이면네내각이모두
직각이므로직사각형이된다.
⑤두대각선은서로다른것을이등분하므로평행사변형의
성질이다.
③, ④
0561 직사각형이정사각형이되는조건은
Ú이웃하는두변의길이가같다.(①)
Û두대각선이서로수직으로만난다.(④) ①, ④ 0562 마름모가정사각형이되는조건은
Ú한내각의크기가90ù이다.(④)
Û두대각선의길이가같다.(②) ②, ④ 0563 ADÓ∥BCÓ이므로
∠DBC=∠ADB=35ù(엇각)
∴∠C=∠ABC=25ù+35ù=60ù 60ù
0564 ∠C=∠B=80ù이므로
∠D=180ù-80ù=100ù 100ù
0565 ADÓ∥BCÓ이므로
∠ADB=∠DBC=∠x
ABÓ=ADÓ이므로
∠ABD=∠ADB=∠x
이때∠ABC=∠C이므로
2∠x=70ù ∴∠x=35ù 35ù
0566 ①∠B=∠C이므로
∠A=180ù-∠B=180ù-∠C=∠D
②,③
△
ABCª△
DCB(SAS합동)이므로ACÓ=DBÓ
한편∠ACB=∠DBC이므로
△
OBC는OBÓ=OCÓ인이등변삼각형이다.∴OAÓ=ACÓ-OCÓ=DBÓ-OBÓ=ODÓ
따라서옳지않은것은⑤이다. ⑤
0567 ㈎ 평행사변형 ㈏ ∠DEC ㈐ DEÓ ㈑ DCÓ
0568 오른쪽그림과같이점D를지나
B 60∞ 60∞ 60∞
120∞ 60∞
A D
E C 7 cm
5 cm
면서ABÓ에평행한직선을그어
BCÓ와의교점을E라하면
ABED는평행사변형이므로
BEÓ=ADÓ=5`cm,DEÓ=ABÓ=7`cm
이때∠DEC=∠B=180ù-120ù=60ù이고,
∠C=∠B=60ù이므로
△
DEC는정삼각형이다.∴ECÓ=DEÓ=7`cm
∴BCÓ=BEÓ+ECÓ=5+7=12`(cm) 12`cm
0569 오른쪽그림과같이점D에서BCÓ
13 cm 5 cm
B C
A D
E F
에내린수선의발을F라하면
ABEª DCF(RHA합동) 이므로
BEÓ=CFÓ
이때AEFD는직사각형이므로 EFÓ=ADÓ=5`cm
∴BEÓ=CFÓ=;2!;(BCÓ-EFÓ)
=;2!;_(13-5)
=4`(cm) 4`cm
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STEP 1
필수 유형 익히기
p.96~p.101 0585 ∠A+∠B=180ù이므로
△
ABE에서∠BAE+∠ABE=90ù∴∠AEB=180ù-(∠BAE+∠ABE)
=180ù-90ù=90ù
같은방법으로∠AFD=∠BHC=∠DGC=90ù(⑤)
따라서EFGH는직사각형이다.
즉두대각선의길이가같으므로EGÓ=HFÓ(①)
두쌍의대변의길이가각각같으므로
EHÓ=FGÓ(③),EFÓ=HGÓ(④) ②
0586 EBFD가마름모이므로EBÓ=EDÓ이고
∠EBD=∠EDB이다.
한편ADÓ∥BCÓ이므로∠ADB=∠DBC
따라서∠ABE=∠EBD=∠DBF이고,∠ABC=90ù이 므로
∠EBD=;3!;∠ABC=;3!;_90ù=30ù
△
EBD에서∠BED=180ù-(30ù+30ù)=120ù 120ù
0587
△
AOE와△
COF에서AOÓ=COÓ,∠AOE=∠COF=90ù,
∠OAE=∠OCF(엇각)이므로
△
AOEª△
COF(ASA합동)∴OEÓ=OFÓ
따라서ACÓ⊥EFÓ,OAÓ=OCÓ,OEÓ=OFÓ,즉두대각선이서 로다른것을수직이등분하므로AFCE는마름모이다.
이때FCÓ=BCÓ-BFÓ=10-3=7`(cm)이므로
AFÓ=FCÓ=7`cm 7`cm
0588
△
AEHª△
BFEª△
CGFª△
DHG(SAS합동)이므로
EHÓ=FEÓ=GFÓ=HGÓ yy㉠
한편
△
AEHª△
BFE이므로∠EHA=∠FEB
즉∠AEH+∠EHA=90ù이므로
∠AEH+∠FEB=90ù
∴∠HEF=180ù-(∠AEH+∠FEB)
=180ù-90ù=90ù
같은방법으로
∠EFG=∠FGH=∠GHE=90ù yy㉡
따라서㉠,㉡에의해EFGH는정사각형이다.
정사각형
0589
△
ABG와△
DFG에서ABÓ=DCÓ=DFÓ,∠ABG=∠DFG(엇각),
∠BAG=∠FDG(엇각)이므로
△
ABGª△
DFG(ASA합동)(①)∴AGÓ=DGÓ
같은방법으로 ABHª
△
ECH(ASA합동)∴BHÓ=CHÓ
이때ADÓ=BCÓ이므로AGÓ=BHÓ이고ADÓ=2ABÓ이므로
ABÓ=AGÓ(③)
즉ABHG는이웃하는두변의길이가같은평행사변형 이므로마름모이다.
∴AHÓ⊥BGÓ(④),ABÓ∥GHÓ(②) ⑤
03 여러 가지 사각형 사이의 관계
~ 04 평행선과 넓이
0570 ◯, ◯, ◯, ◯ 0571 _, _, ◯, ◯ 0572 _, ◯, _, ◯ 0573 _, ◯, _, ◯ 0574 _, _, ◯, ◯
0575 직사각형 0576 마름모 0577 마름모 0578 정사각형
0579
△
OCD=△
OAD=9`cmÛ` 9`cmÛ`0580
△
OAB=△
OAD=9`cmÛ`이므로
△
ABD=△
OAB+△
OAD=9+9=18`(cmÛ`) 18`cmÛ`
0581
△
OAB=△
OBC=△
OCD=△
OAD=9`cmÛ`이므로ABCD=4
△
OAB=4_9=36`(cmÛ`) 36`cmÛ`0582
△
A'BC=△
ABC=;2!;_6_4=12`(cmÛ`) 12`cmÛ`0583
△
ABC：△
ACD=BCÓ：CDÓ=4：2=2：1 2：1 0584△
ABC：△
ACD=2：1이므로8：
△
ACD=2：1 ∴△
ACD=4`(cmÛ`) 4`cmÛ`
기본 문제 다지기
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4. 사각형의 성질 ⦁
47
0590 ANCM,MBND는평행사변형이므로
PNÓ∥MQÓ,MPÓ∥QNÓ yy30`%
이때MNÓ을그으면ABNM은마름모이므로
∠MPN=90ù yy40`%
따라서MPNQ는한내각의크기가90ù인평행사변형이
므로직사각형이다. yy30`%
직사각형
채점 기준 비율
PNÓ∥MQÓ, MPÓ∥QNÓ임을 각각 알기 30`%
∠MPN의 크기 구하기 40`%
MPNQ가 어떤 사각형인지 말하기 30`%
0591 ②∠A=90ù또는ACÓ=BDÓ
④ABÓ=BCÓ또는ACÓ⊥BDÓ
②, ④
0592 ㉣ABÓ=BCÓ인ABCD는마름모이다.
따라서옳은것은㉠,㉡,㉢,㉤의4개이다. 4개 0593 ①두대각선이서로수직으로만나는평행사변형은마름모
이다.
④두대각선의길이가같은평행사변형은직사각형이다.
⑤이웃하는두내각의크기가같은평행사변형은직사각형 이다.
②, ③
0594 ㉡,㉣,㉤의3개이다. 3개
0595 ㉠, ㉢ 0596 ⑤
0597 ⑤등변사다리꼴-마름모 ⑤
0598 직사각형의네변의중점을연결하여만든사각형은마름모 이다.따라서옳은것은㉠,㉣,㉤이다. ㉠, ㉣, ㉤ 0599 마름모의네변의중점을연결하여만든사각형은직사각형 이다.따라서직사각형에대한설명으로옳지않은것은②
이다. ②
0600
△
OAP와△
OCQ에서OAÓ=OCÓ,∠AOP=∠COQ(맞꼭지각),
∠PAO=∠QCO(엇각)이므로
△
OAPª△
OCQ(ASA합동)∴
△
OAP=△
OCQ따라서색칠한부분의넓이는
△
OAP+△
OQD=△
OCQ+△
OQD=△
OCD=;4!;ABCD
=;4!;_80=20`(cmÛ`) 20`cmÛ`
0601
△
OAB=△
OCD=△
ODA=△
OBC=3`cmÛ`이므로ABCD=4
△
OBC=4_3=12`(cmÛ`) 12`cmÛ`0602
△
OBC=△
OCD=△
ODA=△
OAB=4`cmÛ`이므로색칠한부분의넓이는
△
ODA+△
OBC=4+4=8`(cmÛ`) 8`cmÛ`0603
△
AOE와△
COF에서AOÓ=COÓ,∠EAO=∠FCO(엇각),
∠AOE=∠COF(맞꼭지각)이므로
△
AOEª△
COF(ASA합동)따라서
△
AOE=△
COF이므로 yy40`%
△
OBC=△
COF+△
BFO=
△
AOE+△
BFO=6`cmÛ` yy30`%
∴ABCD=4
△
OBC=4_6=24`(cmÛ`) yy30`% 24`cmÛ`
채점 기준 비율
△AOE=△COF임을 보이기 40`%
△OBC의 넓이 구하기 30`%
ABCD의 넓이 구하기 30`%
0604 BEFD=4
△
DBC=4_2
△
OAB=8_6=48`(cmÛ`) 48`cmÛ`
0605 오른쪽그림과같이MNÓ을그으면
B
A M D
P Q
N C
ABNM,MNCD는각각평 행사변형이다.
즉ABNM=4
△
MPN,MNCD=4
△
MNQ이므로ABCD=4
△
MPN+4△
MNQ=4MPNQ
=4_80=320`(cmÛ`) 320`cmÛ`
0606
△
PDA+△
PBC=;2!; ABCD=;2!;_120=60`(cmÛ`)
이므로25+
△
PBC=60∴
△
PBC=60-25=35`(cmÛ`) 35`cmÛ`0607
△
PAB+△
PCD=△
PDA+△
PBC이므로22+16=
△
PDA+18∴
△
PDA=38-18=20`(cmÛ`) 20`cmÛ`0608 ABCD=2(
△
PAB+△
PCD)=2_(15+24)
=78`(cmÛ`) 78`cmÛ`