× ×
따라서
ⅴ. 평면곡선
10. 이차곡선
2018수능대비 EBS 대표 예제 1 [정답] ④
초점이 F , 준선이 이므로 그 림에서 꼭짓점은 이다.
또한 꼭짓점과 준선 사이의 거리가 3이므로
에서
포물선 를 축의 방향으로 4 만큼, 축의 방향으로 1만큼 평행이동한 것 이므로
따라서 이므로
[다른 풀이]
포물선 위의 점을 P 라 하고 점 P 에서 준선 에 내린 수선의 발을 H 라 하면
포물선의 정의에 의하여
P F P H
양변을 제곱하여 정리하면
즉,
2018수능대비 EBS 대표 예제 2 [정답] ⑤
타원
에서 타원의 정의에 의하여
P F P F ′ Q F Q F ′ 삼각형 PQF ′의 둘레의 길이는
P Q Q F ′ F ′P
P F Q F Q F ′ P F ′
P F P F ′
Q F Q F ′
따라서
2018수능대비 EBS 대표 예제 3 [정답]
F′F 이므로 포물선의 준선의 방정식은
이다.
점 P 에서 축에 내린 수선의 발을 Q 라 하고, 점 P 를 지나고 축에 평행한 직선이 직선 과 만나는 점을 R , 직선 이 축과 만나는 점을 S 라 하자.
포물선의 정의에 의하여 F′P P R cos∠P F′F 이므로
F′Q F′P
F′S F′Q Q S
F′P F′P
F′P 즉, F′P
F′Q
×
이므로 삼각형 PF ′Q 에
서 피타고라스 정리에 의하여
P Q
Q F FF′ F′Q
이므로 삼각형 FP Q 에서 피타고라스 정리에 의 하여
P F
따라서 P F F′P
이므로 이 타원의 장축의 길이는 이다.
2018수능대비 EBS 대표 예제 4 [정답] ④
그림과 같이 원점 O 와 점 F′에서 직선 AF에 내린 수선의 발을 각각 H I 라 하자.
원 가 축과 만나는 두 점의
좌표는 , 이므로 쌍곡선 의 주축의 길이는 이다.
삼각형 FOH 와 삼각형 FF′I 는 서로 닮 은 도형이고 닮음비가 이다.
O H 이므로 F′I 이다.
쌍곡선의 정의에 의하여 AF AF′
AF′ 라 하면
AF AF′
AF′ FF′에서 AI IF이므로
AI AF
삼각형 AF′I 에서 피타고라스 정리에 의 하여
이므로
AF 이므로 삼각형 AF′F 의 둘레의 길이는
EBS연계 기출분석 1 [정답]
O A F
F′
P
(단, )에서 점근
선의 방정식이 ±
이므로 실수 에 대하여 이다. 또한
이므로 이고 P F ′ P F 이다.
≤ P F ′ P F ≤
≤ ≤
≤ ≤
이다. 두 점 A F 이므로
AF 이고
≤ ≤
이다. 조건(나)에서 가 자연수이므로
이다. 그러므로 주축의 길이는 이 다.
[다른 풀이]
O A F
F′
P
쌍곡선의 방정식을
(단, )
로 놓으면 점근선의 방정식은 ±
이므로
이다. 조건 (가)에서
P F ′ P F
이고, 점 P 가 쌍곡선 위의 점이므로 쌍 곡선의 정의에 의하여
P F ′ P F
이므로
P F P F ′
이다. 이때, ≤ P F ≤ 이므로
≤ ≤
≤ ≤ ⋯ ①
점 A의 좌표는 이다. 쌍곡선의 정
의에 의하여
이므로 점 F 의 좌표는
이고
AF
이다. 조건 (나)에서 선분 AF 의 길이가 자연수이므로 는 의 배수이어야 한다.
이때 ①에서
따라서 구하는 쌍곡선의 주축의 길이는
이다.
EBS교재 [정답] ④
쌍곡선
의 점근선의 방정식
이 ±
이고 는 양수이므로
즉,
따라서 쌍곡선의 정의에 의하여
P F P F′ × 이고 P F′ 이므로
P F P F′
EBS연계 기출분석 2 [정답] ⑤
주축의 길이가 이므로 ± 이다.
점근선의 방정식은 ±
이므로
± 이다.
따라서 이다.
EBS교재 [정답] ③
쌍곡선의 방정식을
이라 하면 점근선의 방정식은 ± 이므로
……㉠
또한 축과 만나는 두 점 사이의 거리, 즉 주축의 길이가 8이므로
즉,
㉠에서
그러므로 쌍곡선의 방정식은
이 쌍곡선의 두 초점의 좌표는 각각
이다.즉,
이므로 두 초점사이의 거리는 이다.
2018수능대비 EBS연계 예상문항 1 [정답]
에서
따라서 점근선의 방정식은
±
이고 절편을 구하면
±
,
±
,
±, 즉 ± 따라서 절편의 차는
2018수능대비 EBS연계 예상문항 2 [정답]
타원
에서 장축의 길이는
이므로 P F P F ′
점 P 에서 포물선의 준선에 내린 수선의 발을 H 라 하자. 포물선의 정의에 따라
P H P F이고
P F P I
P H P I
HI 이므로
P I P F ′
P H P F ′ HI
P F P F ′
H I P
F F ′ O
2018수능대비 EBS연계 예상문항 3 [정답]
그림과 같이 선분 AF 의 연장선이 원 와 만나는 점 중 원 과 만 나지 않는 점을 P , 선분 AF′ 이 원 와 만나는 점을 Q 라 하자.
점 F 와 원 위의 점 사이의 거리의 최 댓값이 P F 이고 P F AP이므로 원 의 반지름의 길이는 이다. 따라서
AF
점 F ′ 과 원 위의 점 사이의 거리의 최솟값이 F ′Q 이고 F ′Q AF′ AQ이 므로 AF ′ 이다. 따라서 AF AF ′ ,
즉
이므로
그러므로
2018수능대비 EBS연계 예상문항 4
A
B 삼각형 OAB 의 넓이가 8이므로
×
×
또는 이때 이므로
2018수능대비 EBS 대표 예제 4 [정답] ①
의 양변을 에 대하여 미분하면
(단, ≠ )
두 방정식 , 를 연립하면
에서
또는
따라서 점 A 의 좌표를 양수라 하면 포 물선 와 직선 가 만나는 서로 다른 두 점 A B 의 좌표는
A B
포물선 위의 점 A 에서의 접선
의 기울기는
이고,
포물선 위의 점 B 에서의 접 선 의 기울기는
이다.
두 직선 가 서로 수직이면
×
이므로
따라서
[다른 풀이]
포물선 ≠ 위의 점
에서의 접선의 방정식은
임을 이용하자.
두 방정식 , 를 연립하면
에서
또는
따라서 점 A 의 좌표를 양수라 하면 포 물선 와 직선 가 만나는 서로 다른 두 점 A B 의 좌표는
A B
포물선 위의 점 A 에서의 접선
의 방정식은
이므로 접선 의 기울
기는
이고,
포물선 위의 점 B 에서의 접 선 의 방정식은
이므
로 접선 의 기울기는
이다.
두 직선 가 서로 수직이면
×
이므로
따라서
EBS연계 기출분석 1 [정답] ④
이고
이므로
이다.
을 대입하면
이다.
EBS교재 [정답] ⑤
에서
에서
이므로
에 대하여 미분하여 정리하면
(단, ≠ )
점 A 에서의 접선에 수직이고 점 A를 지나는 직선의 방정식은
이므로 이 직선의 절편은 이다. 따라서 , ,
이므로
× × ×
×
2018수능대비 EBS연계 예상문항 4 [정답]
ln에서
′
인 를 구하면
,
∴
일 때
′
를 만족시키려면 이어야 한다.
따라서 구하는 모든 자연수 의 개수는
이다.