∵
∴
2018수능대비 EBS연계 예상문항 4 [정답] ④
원점 O 는 평면 위의 점 이므로 두 벡터 O H AH는 서로 수직이 다. 점 A 와 평면
사이의 거리 AH는
AH
× × ×
O A
이므로 직각삼각형 OHA에서O H
O A AH ∠AO H 라 하면 cos O A
O H 이 므로
O A ∙ O H
O A
O H
cos
O H
∴ O A ∙ O A O H
O A ∙ O A O A ∙ O H
O A
O H
Ⅷ. 순열과 조합
19. 순열
2018수능대비 EBS 대표 예제 1 [정답] ⑤
이 홀수이려면 과 중 하 나는 홀수, 다른 하나는 짝수이어야 한다.
따라서 집합 의 원소 각 각에 대응될 수 있는 경우의 수가 각각
이므로 구하는 경우의 수는 곱
의 법칙에 의하여 × × × ×
2018수능대비 EBS 대표 예제 2 [정답] ⑤
A B C가 아닌 세 명을 X X X이 라 하고, 다음 두 가지 경우로 나누어 생각 하자.
(i) A 가 맨 앞이나 맨 뒤에 서는 경우 A X
X A (단, ) A가 서는 경우의 수는
A와 이웃하는 자리에 X X X 중 명이 서는 경우의 수는 이고
나머지 명을 일렬로 세우는 경우의 수 는
이므로 경우의 수는 곱의 법칙에 의하여
× ×
(ii) A 가 맨 앞이나 맨 뒤에 서지 않는 경우
X A X
X A X
⋮
단 ≠ 이고
A가 서는 경우의 수는
A의 앞과 뒤에 X X X 중 명이 서 는 경우의 수는 P이고
나머지 명을 일렬로 세우는 경우의 수 는
이므로 경우의 수는 곱의 법칙에 의하여
×P×
(i), (ii)에서 구하는 경우의 수는 합의 법 칙에 의하여
2018수능대비 EBS 대표 예제 3 [정답]
즉 또는 또는 일 때, 조건 (나)에서 의 값이 될 수 있는 것은 중복을 허락하여 중의 하나이다.
또 즉 또는 일 때,
의 값이 될 수 있는 것은 중복을 허락 하여 중의 하나이다.
따라서 구하는 함수 의 개수는
∏×∏ ×
2018수능대비 EBS 대표 예제 4 [정답]
서로 다른 책 권을 명에게 나누어 주 는 경우의 수는 서로 다른 개에서 개를 택하는 순열의 수이므로
P ……㉠
검은색 볼펜, 파란색 볼펜, 빨간색 볼펜을 각각 A B C 라 하면
(ⅰ) 두 종류의 볼펜을 택하는 경우 AAB AAC BBA BBC CCA CCB의
가지 경우가 있고, 이 각각에 대하여 명의 학생에게 나누어 주는 경우의 수는
이므로
×
(ⅱ) 세 종류의 볼펜을 택하는 경우 ABC의 가지이므로 명의 학생에게 나 누어 주는 경우의 수는
(ⅰ), (ⅱ)에서 볼펜을 나누어 주는 경우 의 수는
……㉡
따라서 ㉠, ㉡에서 구하는 경우의 수는
×
EBS연계 기출분석 1
[정답] ③
일의 자리의 수는 이므로 나머지 세 자 리에 들어갈 수 있는 수의 개수는 중복을 허락하므로 모두 개씩이다.
따라서 ∏ 이다.
EBS교재 [정답] ⑤
백의 자리의 수와 일의 자리의 수의 합이 홀수이므로 다음 각 경우로 나눌 수 있다.
(ⅰ) 백의 자리의 수가 홀수, 일의 자리의 수가 짝수인 경우
백의 자리의 수가 홀수이므로 중 하나가 와야 하므로 경우의 수는
이 각각에 대하여 일의 자리의 수가 짝수이 므로 중 하나가 와야 하므로 경우의 수는
이 각각에 대하여 천의 자리와 십의 자리의 수는 중 하나가 와야 하므로 경우의 수는 서로 다른 개에서 개를 택 하는 중복순열의 수이므로
∏
그러므로 경우의 수는 곱의 법칙에 의해
× ×
(ⅱ) 백의 자리의 수가 짝수, 일의 자리의 수가 홀수인 경우
백의 자리의 수가 짝수이므로 중 하나 가 와야 하므로 경우의 수는
이 각각에 대하여 일의 자리의 수가 홀수이 므로 중 하나가 와야 하므로 경우 의 수는
이 각각에 대하여 천의 자리와 십의 자리의 수는 중 하나가 와야 하므로 경우의 수는 서로 다른 개에서 개를 택 하는 중복순열의 수이므로
∏
그러므로 경우의 수는 곱의 법칙에 의해
× ×
(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 경우의 수는 합의 법칙에 의해
2018수능대비 EBS연계 예상문항 1 [정답] ②
만의 자리에 올 수 있는 숫자는 을 제 외한 (가지)이고, 천의 자리, 백의 자리, 십 의 자리, 일의 자리에 올 수 있는 숫자의 경우의 수는
∏ (가지) 이므로 만들 수 있는 모 든 다섯 자리의 자연수의 개수는
× × (개)
이때, 만의 자리와 일의 자리에 모두 홀수 가 오는 다섯 자리의 자연수의 개수는
∏×∏ × (개) 따라서 구하는 자연수의 개수는
× × (개)
2018수능대비 EBS연계 예상문항 2 [정답] ③
같은 문자끼리는 이웃하지 않도록 개의 문자를 일렬로 배열하는 방법의 수는
(ⅰ) 형태
빈 자리에 , , 를 일렬로 배열하 는 방법의 수와 같으므로
(ⅱ) 형태
빈 자리에 , , 를 일렬로 배열하 는 방법의 수와 같으므로
(ⅲ) 형태
빈 자리에 , 를 일렬로 배열하는 방법의 수와 같으므로
(ⅳ) 형태
빈 자리에 , 를 일렬로 배열하는 방법의 수와 같으므로
따라서 구하는 경우의 수는
2018수능대비 EBS연계 예상문항 3 [정답] ④
여학생 명을 먼저 일렬로 배열하는 경 우의 수는 서로 다른 개에서 개를 택하 는 순열의 수이므로
P
여 여 여
이 각각에 대하여 남학생 명 중 명을 맨 앞에 배열하는 경우의 수는 서로 다른
개에서 개를 택하는 순열의 수이므로
P
남 여 여 여
이 각각에 대하여 나머지 남학생 명을 다음 그림과 같이 ∨로 표시된 곳에 배열 하는 경우의 수는 서로 다른 개에서 개 를 택하는 순열의 수이므로
P
남 여
∨ 여
∨ 여
∨
따라서 구하는 경우의 수는 곱의 법칙에 의해
× ×
2018수능대비 EBS연계 예상문항 4 [정답]
그림에서 A 지점에서 B 지점까지 최단거 리로 가는 경우의 수는 다음과 같다.
(ⅰ) A → C → B 인 경우
×
(ⅱ) A → D → B 인 경우
×
×
×
(ⅲ) A → E → B 인 경우
×
× (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 구하는 경우의 수는
20. 조합
2018수능대비 EBS 대표 예제 1 [정답] ①
적어도 2명의 남자가 국화차를 마시는 경우 는 다음과 같이 생각할 수 있다.
(i) 2명의 남자와 3명의 여자가 국화차를 마 시는 경우
남자 3명 중 국화차를 마실 2명을 택하는 경우의 수는 CC
여자 5명 중 국화차를 마실 3명을 택하는 경우의 수는 CC ×
×
따라서 이 경우의 수는 곱의 법칙에 의하여
×
(ii) 3명의 남자와 2명의 여자가 국화차를 마시는 경우
남자 3명 중 국화차를 마실 3명을 택하는 경우의 수는 C
여자 5명 중 국화차를 마실 2명을 택하는
경우의 수는 C ×
×
따라서 이 경우의 수는 곱의 법칙에 의하여
×
(i), (ii)에서 구하는 경우의 수는 합의 법칙 에 의하여
2018수능대비 EBS 대표 예제 2 [정답] ⑤
중 적어도 하나는 0이 아니므로
에서 이다.
(i) 일 때
방정식 을 만족시키는 음이 아 닌 정수 의 모든 순서쌍 의 개수는 서로 다른 개에서 중복을 허락하 여 개를 택하는 중복조합의 수와 같으므 로
C
CC
×
×
(i) 일 때
방정식 을 만족시키는 음이 아 닌 정수 의 모든 순서쌍 의 개수는 서로 다른 개에서 중복을 허락하 여 개를 택하는 중복조합의 수와 같으므 로
H C
CC
×
×
(i), (ii)에서 구하는 경우의 수는 합의 법칙 에 의하여
2018수능대비 EBS 대표 예제 3 [정답] ①
조건 (나)에서 이므로 조건 (가)를 만족시키도록 를 택하는 경우의 수는 집합 의 원소 중에서 개 를 택하는 조합의 수이고, 를 택 하는 경우의 수는 집합 의 원소
중에서 개를 택하는 조합의 수이다.
따라서 구하는 함수 의 개수는
× ×
2018수능대비 EBS 대표 예제 4 [정답]
이라 하면 조건 (가)에서 ≥ ≥ ≥ 이고, 조건 (나)에서
이므로
……㉠
방정식 ㉠을 만족시키는 음이 아닌 정수
의 순서쌍 의 개수는 서로 다른 3개에서 4개를 택하는 중복조합의 수 와 같으므로
H CC C ×
×
이때 방정식 은
± ± ± 을 해로 갖는다.
따라서 구하는 순서쌍 의 개수는
× ×
EBS연계 기출분석 1
[정답]
HC
EBS교재
[정답] ①
HC
EBS연계 기출분석 2 [정답]
(가)조건을 만족시키는 음이 아닌 정수
, , 의 모든 순서쌍의 개수는
HC 이다.
(나)에서 × 이 의 배 수이므로 ≥ 이다. 따라서
인 음이 아닌 정수 의 순
서쌍은 , , , 으로 모 두 개이다. (는 , 가 정해지면 따라 정해진다). 그러므로 조건 (가), (나)를 모 두 만족시키는 음이 아닌 정수 , , 의 모든 순서쌍의 개수는 이다.
EBS교재 [정답] ②
의 값에 따라 각 경우로 나누면 다음과 같다.
(ⅰ) 일 때,
주어진 방정식은 이고 구 하는 순서쌍의 개수는 서로 다른 개 에서 개를 택하는 중복조합의 수이므 로 H CC C
×
×
(ⅱ) 일 때,
주어진 방정식은 이고 구 하는 순서쌍의 개수는 서로 다른 개 에서 개를 택하는 중복조합의 수이므 로 H CC ×
×
(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 순서쌍의 개수는 합 의 법칙에 의해
2018수능대비 EBS연계 예상문항 1 [정답] ③
서로 다른 개의 페인트를 개의 자동차에 하나씩 칠하는 경우의 수는 서로 다른 개 에서 개를 택하는 조합의 수와 같으므로
C × ×
× ×
이때 서로 다른 페인트를 칠한 개의 자동 차는 서로 다른 것이므로 서로 다른 모양의 스티커 장을 서로 다른 페인트가 칠해진
개의 자동차에 각각 하나씩 부착시키는 경우의 수는 서로 다른 개에서 개를 택 하여 일렬로 나열하는 순열의 수
P × × 이고,
마찬가지로 생각하면 서로 다른 개의 자
동차 번호판을 각각 하나씩 부착시키는 경 우의 수는 P
따라서 구하는 경우의 수는 곱의 법칙에 의 하여 × ×
2018수능대비 EBS연계 예상문항 2 [정답] ①
조건 (가)에 의하여
′ , ′ , ′ ,
′ ′ ′ ′ ′ ≥ 라 하자.
조건 (나)에 의하여
′ ′ ′
′
′ ′ ′ ′
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ≥
이다.
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ≥ 을 만족하는 음이 아닌 정수해는
HCC × ×
× ×
이때 두 직선이 서로 다르므로
≠ 또는 ≠ 가 되어야 한다.
인 동시에 인 경우의 수는
′ ′인 동시에 ′ ′인 경우의 수와 같으므로
′ ′ ′ ′
′ ′
′ ′ 을 만족하는 정수해는
HCC
따라서 만족하는 경우의 수는
2018수능대비 EBS연계 예상문항 3 [정답]
(ⅰ) 초코식빵을 개 구입하는 경우
우유식빵, 밤식빵, 옥수수식빵 중에서 중복 을 허락하여 개를 구입하면 되므로 서로 다른 개에서 개를 택하는 중복조합의 수 와 같다.
즉, H CCC
×
×
(ⅱ) 초코식빵을 개 구입하는 경우
우유식빵, 밤식빵, 옥수수식빵 중에서 중복 을 허락하여 개를 구입하면 되므로 서로 다른 개에서 개를 택하는 중복조합의 수 와 같다.
즉, H CCC
×
×
(ⅲ) 초코식빵을 구입하지 않는 경우
우유식빵, 밤식빵, 옥수수식빵 중에서 중복 을 허락하여 개를 구입하면 되므로 서로 다른 개에서 개를 택하는 중복조합의 수와 같다.
즉, H CCC
×
×
(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 구하는 경우의 수는
2018수능대비 EBS연계 예상문항 4 [정답]
(가) 조건에 의하여 또는 이다.
(ⅰ) 일 때, 과 는 (나) 조 건에 의하여 중에서 중복하여 개를 고 르면 된다.
즉, H CC ×
×
와 는 (나) 조건에 의하여
중에서 중복하여 개를 고르 면 된다.
즉, H CC ×
×
따라서 × 가지이다.
(ⅱ) 일 때, 과 는 (나) 조 건에 의하여 중에서 중복하여
개를 고르면 된다.
즉, H CC ×
×
와 는 (나) 조건에 의하여
중에서 중복하여 개를 고르면 된다.
즉, H CC ×
×
따라서 × 가지이다.
(ⅰ), (ⅱ)에 의하여
21. 이항정리와 분할
2018수능대비 EBS 대표 예제 1 [정답] ⑤
의 전개식에서 일반항은
의 전개식에서 일반항은