AC ACDE×CD log log

Ⅰ. 지수함수와 로그함수

01. 지수함수와 로그함수의 뜻과 그래프

2018수능대비 EBS 대표 예제 1 [정답] 

  log_   





  





log



    log_  이므로

  log_ ≤ log



  

⇔  log_   ≤ log_  

⇔ log_   ≥ log_  

⇔    ≥      즉,    ≤  

닫힌 구간  에서 부등식   

를 만족시키는  값의 범위는

   ≤ ……㉠

닫힌 구간  에서 부등식

   ≤  를 만족시키는 값의 범위는

  ≤  ≤ ……㉡

㉠,㉡을 동시에 만족시키는 값의 범위는

   ≤ ……㉢

따라서 ㉢을 만족시키는 모든 정수 의 값은 이므로 그 합은

         이다.

2018수능대비 EBS 대표 예제 2 [정답] ②

ㄱ. 곡선   log와 직선   의 교점

을 A라 하면 점 A의 좌표는 log이 다. 두 점  을 각각 B C 라 하면 삼각형 ABC 의 넓이는



× BC × AC  

×  × log_  

 log_

이때 로그함수   log는 위로 볼록하므 로 _{ }



 log_ (거짓)

ㄴ. 함수   log  의 그래프는 함수

  log_의 그래프를 축의 방향으로 1만 큼 평행이동한 것이므로 곡선   log와

축 및 직선   로 둘러싸인 부분의 넓 이는 곡선   log  과 축 및 직선

  으로 둘러싸인 부분의 넓이와 같다.

따라서 __의 값은 곡선   log와  축 및 두 직선   ,   으로 둘러싸인 부분의 넓이와 같다.

한편, 두 점 을 각각 D E 라 하면 사다리꼴 ACDE 의 넓이는



× AC  D E  × CD

 

× log_     

  log_

이때 로그함수   log의 그래프는 위 로 볼록하므로 __{ }



  log_ (참)

ㄷ. 함수   log  의 그래프는 함수

  log_의 그래프를 축의 방향으로 만 큼 평행이동한 것이므로 곡선   log와

축 및 두 직선   ,   으로 둘러싸인 부분의 넓이는 곡선   log  과 축 및 두 직선       로 둘러싸인 부분의 넓이와 같다. 따라서 두 점 을

각각 FG 라 하면 ___의 값은 정사 각형 EDFG 의 넓이와 같다.

따라서  이다. (거짓) 이상에서 옳은 것은 ㄴ이다.

2018수능대비 EBS 대표 예제 3 [정답] ②

  ^ |에   을 대입하면

^   

^    ^ ^     



  을 대입하면   ^   이다.

따라서 두 곡선   ^    ^{  }가 만나는 서로 다른 두 점의 좌표  _가

_     _ 를 만족시키는 경우는 그림과 같다.

즉,  일 때

^{  } ^  ……㉠

  일 때

^{  }  × ^ ^   

^  ……㉡

㉠, ㉡에서   ^  



따라서 자연수 는   이므로 그 합은

이다.

2018수능대비 EBS 대표 예제 4 [정답] ⑤

그림과 같이 선분 AD 를   으로 내분 하는 점을 P 라 하자.

점 F의 좌표를 F   이라 하면

^ 에서   

점 E 와 점 F 의 좌표가 서로 같으므로 점 E 의 좌표를 E   라 하면 log   에서   

점 E 와 점 P 의 좌표가 같으므로 점 P 의 좌표를 P  라 하면

AP  P D    이므로 점 D 의 좌표는 D  이다.

점 D 는 곡선   log 위에 있으므로 log_  에서   

따라서 두 점 D F 의 좌표는 각각 D   F   이므로

직선 DF의 기울기는

  

  

 



EBS연계 기출분석 1 [정답] 













   ≤ 

 ≤ 

따라서 모든 자연수  의 값은    이 고 그 합은        이다.

EBS연계 기출분석 2 [정답] ②

log_  ≤   log_ 에서 log_

 이므로 log  ≤ 이다.

  ≤ 에서       이고, 진수조건에 의하여    ≠ 에서  ≠ 이 므로 만족하는 정수 의 개수는 이다.

EBS교재 [정답] ③

log



     log_^{ }    log_  

이므로 log



       log_

⇔  log_    log_  log_

⇔ log_    log_



⇔      

⇔     따라서

     이므로         

2018수능대비 EBS연계 예상문항 1 [정답] ③

A   , B  ^, C  이므로

O A  , BC  ^, O C  이다.

사각형 OCBA 는 사다리꼴이므로 그 넓 이를 _{라 하면}

  

⋅   ^⋅  

  ^ 이때  에서



  ^  , ^ 

   



∴  



  ^{ }



2018수능대비 EBS연계 예상문항 2

[정답] 

AB  BC 이므로 점 B 의  좌표를

     인 자연수)라 하면 점 C 의  좌표는  이다.

∴ B   log_   C  log_ 

그림과 같이 두 점 B  C 에서  축에 내 린 수선의 발을 각각 B ′  C ′ 이라 하면

AB  BC 일 때, AB′ B′C′ 이므로

  log_  log_  log_

  log_  log_  

 log_

  log_  log_  

  log_ 



 log_    



log_  

  

∴   ^

  

이때  는      인 자연수이므로

            ⋯  이어야 한 다.

따라서 자연수  은          이고 그 개수는  이다.

2018수능대비 EBS연계 예상문항 3 [정답] 

  ^의 그래프를 축에 대하여 대칭이 동한 그래프의 식은

  ^{ }

  ^{ }의 그래프를 축의 방향으로  만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동한 그 래프의 식은

    ^{    }

∴   ^{   }  ⋯⋯ ㉠ 또한,   

^

    ⋅^{ } 

∴   ^{   }  ⋯⋯ ㉡

㉠, ㉡이 일치해야 하므로   ,   

∴          

2018수능대비 EBS연계 예상문항 4 [정답] ③

    log   log   log   log      이므로 곡선    는 곡선     를  축의 방향으로 log 만큼 평행이동한 것이다.

따라서 AB  CD  log 이고 AB  CD 이므로 사각형 BACD 는 평행사변형이다.

  log 에    을 대입하면 log   에서   

∴   



그러므로 점 A 의 좌표는



 



따라서 사각형 BACD 의 넓이는







  

  log  log 

 log 

 log 

 

∴   



02. 지수함수와 로그함수의 미분 2018수능대비 EBS 대표 예제 1 [정답] ④

 → ∞

lim

log_  ∞이므로

 → ∞

lim



lim

 → ∞

log_ log_

  log_  

 log_ ×

lim

→ ∞log_  log_ log_  

 log_ ×

lim

→ ∞

  log_

log_

  log_



 log_ ×   log_

2018수능대비 EBS 대표 예제 2 [정답] ③

lim

        



lim

→ 



      

  

      





lim

→ 

       

  ×

lim

→  

       

  ′   ×

lim

→ 

       

(   라 하면 → 일 때 → )

  ′   ×  ′   ′

 ′   ′ × ^  × ^′

  × ^  × ^ln     ln^ 이므로  ′    ln

따라서

lim

        

  ′   ×   ln    ln

2018수능대비 EBS 대표 예제 3 [정답] ②

    log_^  log_  log_

   ln

 ln   

에서

′    ln

 × 



따라서

lim

      



lim

→ 

      

× 

 ′

  × ln

 × 

 ln



2018수능대비 EBS 대표 예제 4 [정답] ⑤

lim

 → log_

^{    }   

 ln에서 →일 때 (분모)→이므로 (분자)→이어야 한다.

즉,

lim

→ 





  

    ^{    }     log_로 놓으면

        이므로

lim

 → log_

^{    }   



lim

→ log_

^{    }   



lim

→ 



  





lim

→ 



      

×      

  





lim

→   

      

×

lim

→ 

  

    



 ′ × ′  

  ln

    ^{    }   ^{ }× ^^ 에서

′    ^{ }× ^^× ln^ 

 ^{ }× ^  또   log  ln

 × ln에서

′    ln

 ×  이므로

′   × ′

  ^{ }× ^  × ln

   ln

 ln

에서         따라서         

EBS연계 기출분석 1 [정답] ②

lim

 → ln    

^ 

 



lim

 → 

^{ } 

× ln   



 

EBS교재 [정답] ③

lim

 → ln    

^ 



lim

→ 



ln    

× 



^ 

× 

 

 

EBS연계 기출분석 2 [정답] ④

′    ^    ^이므로

′    이다.

EBS교재 [정답] ②

    ^ ln에서

 ′   ^ln  ln  ′    ^ln  ln   에서 ln  ln  ln  즉,  

 따라서

 ′  







 ln 



















이므로

 ′    











EBS연계 기출분석 3 [정답] ③

 → 

lim

  ×

lim

 → 

ln    

 

EBS교재 [정답] ⑤

lim

→    ln    

 에서 0이 아닌 극한값 이 존재하고

lim

→ 

ln       이므로

lim

     이어야 한다.

즉,    한편,   이면

lim

ln       이므로

lim

  ≠  따라서  ≠  이므로

lim

 →    ln   



lim

 → 

ln    



lim

→ 

ln    

  ×    즉,   

따라서         

2018수능대비 EBS연계 예상문항 1 [정답] ⑤

lim

 이고,

lim

→ 

   이므로

lim

ln     

lim

   이므로   로 놓으면

lim



lim

→  

ln   



lim

→ 

ln   ^



 ln   따라서   로 놓으면

lim

 → 

  



lim

→ 

  



lim

→ ln     

  

· 

ln    

· 



  ×  × 

  

2018수능대비 EBS연계 예상문항 2 [정답] ③

 ln  ≤    ≤ ^ 에서

  일 때,   

 ln 

≤   

  

≤   

^ 

    일 때,   

^ 

≤   

  

≤   

 ln 

한편,    ln    ^으로 놓으면

 ′    

  ′  ^

이고,      이므로

lim

 ln  

lim

 →   

      

  ′ 

 

lim

 →   

^ 

lim

 →   

    

  ′  

따라서 함수의 극한의 대소 관계에 의하여

lim

 →   

 

 이므로

lim

 → ^ 

 



lim

 → 



  

×   





  × 

  



2018수능대비 EBS연계 예상문항 3 [정답] ③

△P AB 의 넓이

_{  }



․AB ․ ln  

  ln 이므로

 →  

lim





lim

 →      

  ln

 

  

lim

 →     ln

 

  

× (∵

lim

 →    ln  )

∴

lim

 →    



 

  

2018수능대비 EBS연계 예상문항 4 [정답] 

조건 (가)에서 곡선    가 점  

를 지나므로

    

즉, log    이므로

  

또, 곡선    가 점  을 지나므로

   

즉, log    이므로

  

     log_  에서  ′   ln 

 이므로

 ′   ln 



조건 (나)에서  ′  ln  이므로

ln 

  ln 



ln    ln   ln 이므로

  

따라서             

Ⅱ. 삼각함수

3. 삼각함수의 뜻과 그래프 2018수능대비 EBS 대표 예제 1 [정답] ⑤

cos^    sin^이므로 주어진 방정식 은  sin^   sin  sin^  ,

sin sin    

따라서 sin   또는 sin  



    에서

방정식 sin  의 실근은   

  

 이므로     에서

방정식 sin   는 서로 다른 두 실근을 갖는다.

이 두 실근을       

   라 하면      ……㉠ 가 성립한다.

세 수    가 이 순서대로 등차수열을 이루어야 하므로 등차중항의 성질에 의하 여      ……㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면   

   



이때 sin 

 sin 

 

^

이므로

  

    는 방정식 sin  

^_{ 의}

두 실근이다.

따라서 

 

^_{ 에서  }

^

2018수능대비 EBS 대표 예제 2 [정답] ⑤

함수   cos   의 최댓값이 2이고

  이므로   

함수   cos  의 주기가 이고

  이므로 

  

  따라서   이다.

이때 주어진 함수는    cos  이고

  cos     cos







이므로

함수   cos의 그래프를 축 방향 으로  만큼 평행 이동한 것과 같다.

함수   cos의 그래프는 다음과 같다.

이때 함수    cos   의 그래프는 함수    cos 의 그래프를 축의 방 향으로 

 (n은 정수)만큼 평행 이동

한 것과 같다.

따라서 양수  의 최솟값은  이므로 

의 최솟값은  이다.

따라서     의 최솟값은

     

 



2018수능대비 EBS 대표 예제 3 [정답] 

반지름의 길이가 줄어든 부채꼴의 반지름 의 길이를 이라 하자.

반지름의 길이가    배로 줄었으므

로  

  



두 부채꼴의 넓이는 같으므로



  

__

  

  

_

_

  

  

  





  



  





  

 

   ⋯ 

  × 

   

 



따라서      이므로

        

2018수능대비 EBS 대표 예제 4 [정답] 

cos 

  

 

^ 에서

  

  

로 놓으면

 ≤   이므로  ≤   

cos  

^

에서 그림과 같이 함수   cos 의 그래프와 직선   

^ 이 만나는 두 점을 P Q 라 하면 두 점 P  Q 의 좌표는 각각



  이다.

부등식 cos  

^

의 해는 함수

  cos 의 그래프가 직선   

^_{ 보다} 아래쪽에 있는 의 값의 범위이므로



   



  

  

이므로



 

  

 



    

따라서 자연수 의 값은 3, 4, 5, …, 11이 므로 조건을 만족시키는 모든 자연수 의 값의 합은      ⋯   

EBS연계 기출분석 1 [정답] ⑤

sin 

 sin







 

^

EBS교재 [정답] ①



   

  ×    

이므로

sin 

 sin  

  sin 

 

^

2018수능대비 EBS연계 예상문항 1 [정답] ④

이차방정식 ^  tan    의 판별식을 라 하면



  tan ^   tan^    

따라서 tan^   에서 tan   

^ 또는 tan  

^

그런데      에서 tan  이므로 tan  

^_{ ……㉠}

따라서      에서 부등식 ㉠의 해 는 

    이므로     

 

 



2018수능대비 EBS연계 예상문항 2 [정답] ②

    에서 두 함수

 ^ sin     tan  의 그래프가 만 나는 점의 좌표를      라 하면

^ sin  tan  즉, ^ sin  cos 

sin 

……㉠

    일 때, sin   이므로

㉠에서 ^_{  } cos 



즉, cos   

^

이때

sin  





  

^

2018수능대비 EBS연계 예상문항 3 [정답] ①

에 대한 이차방정식 ^     의 두 실근이csc sec이므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

csc  sec  

 ……㉠

cscsec  

 ……㉡

㉠에서 sin

  cos

   이므로

sincos

cos  sin

 

 ……㉢

㉡에서 sincos

   이므로 sincos  

 ……㉣

㉢, ㉣에서 sin  cos  

 ……㉤

sin^  cos^

 sin  cos^ sincossin  cos



















 

  



2018수능대비 EBS연계 예상문항 4 [정답] ⑤

 

    에서    sin  ,

즉  ≤ sin^  이므로 급수

  



∞

sin ^{  }은 첫째항이 sin이고, 공 비가 sin^인 수렴하는 등비급수이다.

즉,



  

∞

sin ^{  }    sin^ sin  



sin     sin^ 

sin^  sin    

sin  sin    

   sin  이므로 sin  



cos^    sin^    

 



tan^  sec^    

   



4. 삼각함수의 미분

2018수능대비 EBS 대표 예제 1 [정답] ①

함수    의 그래프를 축의 방향으 로  만큼 평행이동한 그래프를 나타내는 함수는      

이므로 모든 실수 에

대하여    

        



즉, sin   

   sin   sin   

가

성립해야 한다.

이때 sin   

  cos이고,

sin   

  sin cos 

 cos sin 



 

 sin  

^

cos 이므로 모든 실수 에 대하여

등식

 sin   cos  

 sin  

^ cos

가 성립해야 한다.

따라서   

   

^_{ 이어야 하므로}



 





 

^

 ^

2018수능대비 EBS 대표 예제 2 [정답] ①

점 P의 좌표를 ^   이라 하고 두 직선 _가 축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 각각 라 하자.

  ^ 에서 ′  이므로 직선 의 기 울기는 tan   

원 ^ ^ ^ 위의 점 ^에서의 접 선의 방정식은   ^  ^이므로 직선 

의 기울기는 tan   



이때     에서     이므로 tan   tan        tantan 

tan   tan 

 

   

 × 

 

 

 

 

이때   이므로 산술평균과 기하평균 사이의 관계에 의하여



  ≥



×   ^

(단, 등호는 

  즉   

^_{ 일 때} 성립한다.)

이므로 tan의 최솟값은 ^이다.

2018수능대비 EBS 대표 예제 3 [정답] ④

lim

 → sin   cos  의 값이 존재하고^

→일 때 (분모)→이므로 (분자)→이 어야 한다.

즉,

lim

→ 

sin   cos  

함수sin   cos는 연속함수이므로

sin      

    이므로   

lim

 → ^

sin   cos 



lim

→ ^

sin   cos



lim

→ 



sin   cos 

× ^

  cos





lim

→ 



sin   cos 

× ^  cos

  cos^





lim

→ 



× ^  cos

sin^





lim

→   cos

sin   cos

×

lim

 → ^ sin^

×

lim

 →   cos



 

lim

 →   cos

sin   cos 

×

 ^lim

sin



×

lim

→   cos



  ×  × ^×   

     따라서      이므로

        

2018수능대비 EBS 대표 예제 4 [정답] ②

함수  가 실수 전체의 집합에서 미분 가능하므로 함수  가   에서 미분가 능하다.

함수  가   에서 미분가능하면

  에서 연속이므로

lim

 →  

     

lim

 →  

    

     즉,   이므로

   



cos      

함수  가   에서 미분가능하므로

′ 의 값이 존재한다

 →  

lim

    

lim

→  

cosh    



lim

→  

cosh  



lim

→  

  cosh 



lim

→    cosh 

  cos^



lim

→    cosh 

sin^

 

lim

→   sinh×

lim

 →    cosh sinh

  ×  ×   

  

lim

 →  

    



lim

→  

^     



lim

→  

^ 



lim

→  

     이므로  

따라서      이므로

        

EBS연계 기출분석 1 [정답] ①

O 

H A

Q B P

P cos sin이므로 O H  cos이고

AH    cos이다.

직각삼각형 OAB 에서 O A  O B이므로

∠O AB  ∠O BA ⋯ ① 이때, O B  P H이므로

∠O BA  ∠HQ A ⋯ ② 즉, 직각삼각형 HQA 에서

HA  HQ

따라서 삼각형 AQH 의 넓이  는

_{   }



  cos ^이므로

lim

→  ^

 



lim

 →  ^

  cos^



lim

 →  ^  cos ^

  cos^  cos ^



lim

 →  

^  cos^

  cos^ ^



lim

 →  



 ×







    ^

 × ^ 



이다.

EBS교재 [정답] ①

직각삼각형 OAQ 에서 AQ  tan

점 P 에서 선분 OA 에 내린 수선의 발을 H 라 하면 O H  cos AH    cos

이때 _{   }



× tan ×   cos 이므로

lim

→  ^

 



lim

→  ^



× tan ×   cos



lim

→  ^  cos



× tan ×   cos  cos



lim

→  ^  cos



× tan × sin^

lim

→  





sin







 

×  × ^× 

 



EBS연계 기출분석 2 [정답] 

O D  라 하면 G D   tan  이므로

   







삼각형 ODP 에서 O P   cos이고 삼각형 OP Q 에서

P Q  O P tan 

  costan  이므로

    

 cos ^tan  이다.

lim

→   ×   

  



lim

→  

 × 

^cos^ tan 









 



⋅ 









 

 

따라서   이다.

EBS교재 [정답] ④

정사각형 CDEF 의 한 변의 길이를  라 하면 직각삼각형 OCF 에서

tan  O C

CF

 O C

 이므로 O C   cot

이때 직각삼각형 ODE 에서 피타고라스 정리에 의하여

^   cot   ^ ^  ^





이므로

^   cot  ^ 

    cot   cot^



 sin^  sin cos  cos^ sin^

따라서 정사각형 CDEF 의 넓이는

   ^ sin^  sin cos  cos^ sin^

이므로

lim

^

 



lim

→  sin^  sin cos  cos^

 sin 

^

     ^

^

 

{다른 풀이}

O F  라 하면 FC   sin 이므로

   ^sin^ 따라서

lim

→  ^

 



lim

→  ^

^sin^



lim

 →  

^×

lim

→   sin ^

그런데 → 이면 점 F 는 A 에 한없이 가까워진다.

따라서 → 이면 →, 즉 ^→ 이므로

→  

lim

 



lim

→  

^×

lim

 →   sin^

  × ^ 

2018수능대비 EBS연계 예상문항 1 [정답] ⑤

삼각함수의 덧셈정리에 의하여 sin     sin   

 sin cosh  cos sinh

 sin cosh  cos sinh

 sin cosh 이므로

^

sin     sin     sin

 ^

sin cosh  sin

 sin × ^

  cosh

 sin × 

^  cosh 

  cosh   cosh 

 sin × 

^

  cos^

×   cosh



 sin × ^ sin^

×   cosh



 sin × 

sinh^×   cosh



따라서

   

lim

 → ^

sin     sin     sin



lim

→ 



sinh^×   cosh





 sin ×

lim

 → 

sinh^×

lim

 →   cosh



 sin × ^×   



 sin

이므로  ′  cos

따라서  ′







  

  



2018수능대비 EBS연계 예상문항 2 [정답] 

lim

 → ^

sin^  sin ^



lim

→ 



^

sin





 

lim

 → 



sin



^lim

이때   , ^ 라 하면

→일 때 →  → 이므로

lim

 → 



sin



^lim



sin



lim



lim

→   sin 

따라서

lim

→ ^

sin^  sin  ^

 

lim

→ 



sin



^lim

  ×    ×   

2018수능대비 EBS연계 예상문항 3 [정답] ①

    ^ ^    (  는 상수) 라 하면

조건 (가)에서 →일 때 (분모)→이고,

lim



   의 값이 존재하므로 (분자)→

이어야 한다.

즉,

lim

   

lim

→ 

^ ^       

lim

 → 

tan 



  



lim

 → 

tan 



^ ^ 

 

lim

→ 







 





× ^   







 

 

lim

→ 

tan 







×

lim

 → 

^   

  ×  ×     

따라서   

′    ^   이고, 조건 (나)에서

lim

 →   

      

 이므로

′          에서   

따라서    ^ ^ 이므로

           

2018수능대비 EBS연계 예상문항 4 [정답] ①

마름모 OABC 의 한 변의 길이가  이므 로 마름모 OABC 의 넓이

  는

     × ∆O AC

  × 

× O A × O C × sin

  × 

×  ×  × sin

 sin

점 C 의 좌표는 C cos sin이고 마름 모 OABC 의 두 대각선의 중점은 서로 같 으므로 선분 AC 의 중점과 선분 OB 의 중 점은 서로 같다.

점 B 의 좌표를 B   라 하면



 cos   , 

 sin 에서

  cos      sin

즉, 점 B 의 좌표는 B cos   sin 이 므로

    O B^ cos  ^ sin^

 cos^  cos    sin^

   cos

 ′ cos ,  ′  sin 이므로

′













 sin 



 

    



Ⅲ. 미분법

5. 여러 가지 미분법

2018수능대비 EBS 대표 예제 1 [정답] ①

    ^ ^에서  ′  ^ ^

함수  의 역함수가 이므로

      ……㉠

㉠의 양변을 에 대하여 미분하면

′    ′   ×   ……㉡

이때  ′의 값은 방정식    의 해를 ㉡에 대입하여 구할 수 있다.

    에서

^ ^   ^ ^   

^   이므로 ^       따라서 ㉡의 양변에    을 대입하면

′    ′  ×   

이때    ′  이므로

′   ′  

   × 

  



2018수능대비 EBS 대표 예제 2 [정답] ⑤

    ln   ln  ^ ln ^⋯ ln ^

이라 하면

 ′   

 

 ln

 

ln ^

⋯ 

 ln ^

 

   ln  ln ^⋯ ln^

이고          ⋯   이므로

lim

ln   ln  ^ ln ^⋯ ln ^ 



lim

 → ln ln  

     



lim

 → 



      

× ln ln  

  



이때

   ln     ln ln      

라 하면    ln ln  ln   이고

 ′    



 ′   ′   ′    ′ ln  ′  

  ln 

 이므로

lim

 → ln ln 

  



lim

 →     

  



lim

 → 

  

    

   ′  

   ln   

따라서

lim

 → 



      

× ln ln  

  



  ′  ×   

     ⋯ 

×   

2018수능대비 EBS 대표 예제 3 [정답] ③

        

 에서

′    

   ^

 ′

따라서 함수 의   에서의 미분계수는

′      ^

′ 

   ^

  

2018수능대비 EBS 대표 예제 4

[정답] 

    ^{  }에서

′    ^{  } ^{  }   ^{  }

″  ^{  }   ^{  }    ^{  }

″    에서   

EBS연계 기출분석 1 [정답] ⑤

 ′   ^ 이고

 ′   

         이므로 역함수 미분법에 의해

 ′     ′   

  ′

  

 

 ′     이다.

EBS교재 [정답] ④

 라 하면   이므로

^   

  





따라서   

또  ′ ^ 에서  ′ 

lim

 →   

 

  ′  ′

  



EBS연계 기출분석 2

[정답] ①

 → 

lim

 ′      ′ 

 ″이므로

′    

  ^

 , ″  

  ^



이다.

  ^

  에서   이다.

EBS교재 [정답] ②

     sin 에서

′     ′sin    sin  ′

  sin    cos 

″   cos    ′cos    cos  ′

  cos    cos    sin 

  cos    sin  따라서 ″

      

EBS연계 기출분석 3 [정답] 

′    





^

에서

′   ⋅

  이다.

EBS교재 [정답] ④

      

^ 에서

′      ^

^′     ^  ′

   ^

     ^

   ^

   

이므로  ′  



2018수능대비 EBS연계 예상문항 1 [정답] ③

함수   ln   의 그래프를 축 방 향으로  만큼 평행이동한 그래프를 나타내 는 함수는

  ln        ln     

이므로    ln    

따라서  ′      

 이므로

 ′     

  에서   이다.

2018수능대비 EBS연계 예상문항 2 [정답] ④

 





 ′ ^ln × ^ ^ln

 ′  ^ln ×    ln   ln  ln^

  ln 이므로

 ln  ln ^ ln^이다. 즉, ^ ^

따라서   ^

2018수능대비 EBS연계 예상문항 3 [정답] ①

조건 (가)에서→일 때 (분모)→이고

lim

 →     의 값이 존재   하므로 (분자)→이어야 한다.

즉,

lim

→ 

    

함수  는 연속함수이므로      에서    

조건 (가)에서

lim

 →   

    



lim

→   

     

 ′  

조건 (나)에   을 대입하면

         이므로    조건 (나)에서 양변을 에 대하여 미분하면

′    ′    ……㉠

㉠의 양변에   을 대입하면

′    ′     

함수  의 역함수가 이고,

  이므로

역함수의 미분법에 의하여

lim

  

 ′  



 ′ 

 

2018수능대비 EBS연계 예상문항 4 [정답] ⑤



 ^  

   이므로



 









 ^ 

  

  일 때,  의 값이 이므로

  

  

      

따라서   

6. 도함수의 활용

2018수능대비 EBS 대표 예제 1 [정답] 

    ^  ^



이라 하면

 ′   

^



 

^ 접점의 좌표를

^라 하면 이 점에서의 접선의 기울 기는  ′  

^이고, 접선의 방정식은

  ^_{  }



^   ……㉠

이 직선이 점  을 지나므로

   ^_{  }



^   

^  ^     ……㉡

^ ≥  이라 하면 ㉡은

^    

  ^ 

≥ 이므로  

따라서   이고, 이를 ㉠에 대입하면 접 선의 방정식은

    

따라서      이므로

         

2018수능대비 EBS 대표 예제 2 [정답] ②

_  ^



ln라 하면

_′   

 ^

 

ln  ^



× 



 ^

 



 ln   



_′  에서   이므로 

 ln     

  ^

   에서 함수 의 증가와

감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

  ⋯ ^

 ⋯

_′    

_ ↘ 극소 ↗

함수 는   

 에서 극소이면서 최^ 소이고 







즉, 실수 의 최댓값은   이므로

_ 



따라서



  



_



  













  





 

 × 

 × 

 



2018수능대비 EBS 대표 예제 3 [정답] ⑤

      ^에서

′    ^   ^× 

 ^^   

함수  가 실수 전체의 집합에서 증가 하려면 모든 실수 에 대하여 ′ ≥ 에 서 ^ 이므로 ^    ≥ 이어야 한다.

이차방정식 ^     의 판별식을

_{라 하면 }



 ^  ×  ≤ 