트롤리부 비선형 모델

0

Container ( )

Head block &

Hoist wire rope

x

X

F

Y

m

spreader Trolley ( )

M

α

(x

0

, y

0

)

l

x&

> 0

α

Trolley wire rope DC motor

u Trolley drum

rd

Fig. 3.3 Coordinate system of the STS crane

Fig. 3.3의 시스템에서 x는 트롤리의 수평방향 위치(트롤리 위치), x는 트롤리의 수평 방향 속도(트롤리 속도), 는 컨테이너(또는 호이스트 와이어로프)의 수직에 대한 각도 (컨테이너 흔들림 각도)로서 시계 방향이 양의 각이며, 는 컨테이너 흔들림 각도의 변 화에 따른 각속도(컨테이너 흔들림 각속도), 은 트롤리에서 컨테이너 중심까지의 거리, m 은 컨테이너의 질량, M 은 구동부를 포함한 트롤리의 질량, F 는 트롤리에 가해지는 힘, g는 중력가속도를 나타낸다.

따라서 컨테이너의 중심좌표 (x_, y_)는 식 (3.4)와 같다.

x_  x   sin , y_    cos  (3.4)

STS 크레인의 하역시스템에서 트롤리부에 대한 동역학적 에너지 E 는 운동에너지 E_k 와 위치에너지 E_p의 합으로 나타낼 수 있다.

먼저, 트롤리부의 이동에 따른 총 운동에너지 E_k를 트롤리의 이동에 따른 운동에너 지(트롤리 운동에너지) E_kt와 컨테이너의 이동에 따른 운동에너지(컨테이너 운동에너 지) E_kc로 구분하여 계산한 뒤 이를 합산하여 구한다. 여기에서 트롤리 운동에너지 E_kt 는 다시 트롤리의 수평이동에 의한 운동에너지(트롤리의 수평이동 운동에너지) E_ktp와 트롤리 구동모터의 회전에 의한 운동에너지(트롤리 구동모터의 회전 운동에너지) E_ktr 로 나누어 생각할 수 있다. 트롤리 운동에너지 중 트롤리의 수평이동 운동에너지 E_ktp 는 식 (3.5)와 같고, 트롤리 구동모터의 회전 운동에너지 E_ktr은 식 (3.6)과 같다.

E_ktp  

M_tx^ (3.5)

E_ktr  

 I_m



^rd

R_g



^{x (3.6)}

여기에서, M_t는 트롤리 구동부를 제외한 트롤리의 질량, I_m은 구동모터의 회전관성 모멘트, r_d는 구동모터의 피니언 반지름, R_g는 감속기의 기어비이다. 따라서 트롤리 운 동에너지는 식 (3.5)와 (3.6)의 합으로써 다음과 같이 나타낼 수 있다.

E_kt  E_ktp E_ktr (3.7)

 

M_tx^ 

I_m



^rd

R_g



^x

 

M x^

단, M  M_t I_m



^rd

R_g



^이며, 구동부를 포함한 트롤리의 질량이다.

컨테이너 운동에너지 E_kc는 다시 컨테이너의 수평이동에 의한 운동에너지(컨테이너 의 수평이동 운동에너지) E_kcp와 컨테이너의 회전에 의한 운동에너지(컨테이너의 회전 운동에너지) E_kcr로 나누어 생각할 수 있다.

컨테이너 운동에너지 중 컨테이너의 수평이동 운동에너지 E_kcp는 식 (3.8)과 같다.

E_kcp  

m



^x

 y_^



^ (3.8)

여기에서, x_  x   cos 이며, y_    sin 이다.

또한, 컨테이너 운동에너지 중 컨테이너의 회전 운동에너지 E_kcr은 식 (3.9)와 같다.

E_kcr  

 I_c^ (3.9)

여기에서 I_c  

 m^는 컨테이너의 관성모멘트이다.

따라서 컨테이너 운동에너지 E_kc는 식 (3.8)과 (3.9)의 합으로써 다음과 같이 나타낼 수 있다.

E_kc  E_kcp E_kcr (3.10)

 

m



^x

 y_^



^_{ }^Ic^

결국, STS 크레인 하역시스템의 총 운동에너지 E_k는 식 (3.7)과 (3.10)의 합으로써 다 음과 같이 나타낼 수 있다.

E_k  E_kt E_kc (3.11)

 

M x^ 

m



^x

 y_^



^_{ }^Ic^

 

M  m x^ m  x  cos    ^  I_c m ^

다음으로 STS 크레인의 하역시스템에서 트롤리부에 대한 총 위치에너지 E_p는 시스 템 또는 시스템 구성요소의 에너지 양으로 나타나며, 일반적으로 기준점에서의 수직변 위에 의한 것과 스프링 같은 탄성체의 변위에 의한 것으로 구분할 수 있다. 그런데 트 롤리는 기준점에서 수평방향으로만 운동하기 때문에 이 시스템의 위치에너지는 컨테이 너 화물의 중력 위치에너지만을 고려하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

E_p   m g  cos  (3.12)

종합하면, STS 크레인의 하역시스템에서 트롤리부에 대한 동역학적 에너지 E 는 운동 에너지와 위치에너지의 합으로 표현되므로, 식 (3.11)과 (3.12)를 합하여 다음과 같이 나 타낼 수 있다.

E  E_k E_p (3.13)

 

M  m x^ m  x  cos    ^  I_c m ^  m g  cos 

이제 식 (3.13)을 x와 에 대한 라그랑지안(Lagrangian)과 라그랑지 방정식으로 표현 하여 x와 에 대하여 정리하면, 다음과 같은 트롤리부의 동역학적 에너지에 대한 2계 비선형 연립 미분방정식을 얻을 수 있다.

x  M  m I_c M m ^ m^^ m^^cos^

 I_cm_v m ^m_vx  m^^ I_cm  ^ sin 

(3.14)

 M  m I_c M m ^ m^^ m^^cos^

 m  cv  cos   m^^g cos  sin   Ic m ^ F

  M  m I_c M m ^ m^^ m^^cos^

 m  m_vx cos   m^^^cos  sin 

(3.15)

 M  m I_c M m ^ m^^ m^^cos^

 M  m c_v  M  m m g  sin   F m  cos 

여기에서, F 는 트롤리가 구동모터에 의해 움직이는 힘이며, m_v는 구동모터의 점성제 동계수, c_v는 컨테이너의 점성제동계수이다. Table 3.1은 식 (3.19)와 (3.20)의 미분방정 식에 나타난 STS 크레인 하역시스템의 각종 파라미터를 정리한 것이다.

Parameters Unit Descriptions

c_v N⋅m⋅srad Viscous damping coefficient of container F N  Driving force of trolley

g ms^ Gravitational acceleration constant I_c kg⋅m^ Inertial moment of container

 m  Length from trolley to center of container M kg Mass of trolley with actuator motor m kg Mass of container

m_v N⋅sm  Viscous damping coefficient of motor x [m] Horizontal position of trolley

x ms Horizontal velocity of trolley

 rad Swing angle of container from vertical line

 rads Swing angular velocity of container Table 3.1 Parameters of the STS crane

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