코사인법칙에서

BCÓ Û`=8Û`+7Û`-2_8_7_{-;2!;} 7 8

B C

A

=169 이므로 BCÓ=13 코사인법칙의 변형에서 cos`B= 7Û`+13Û`-8Û`2_7_13 =11

13 cos`C= 13Û`+8Û`-7Û`2_13_8 =23

26 cos`B+cos`C= 4526 따라서 k=45

 ②

12

가장 긴 변의 길이는 mÛ`+m+1이므로 이 변에 대하여 마주보는 각의 크기를 h라 하면

cos`h=(mÛ`-1)Û`+(2m+1)Û`-(mÛ`+m+1)Û`

2(mÛ`-1)(2m+1)

= -2mÜ`-mÛ`+2m+12(mÛ`-1)(2m+1)

=-(2m+1)(mÛ`-1) 2(mÛ`-1)(2m+1) =-;2!;

따라서 h=;3@; p

 ③

13

삼각형 ABC의 넓이가 5이므로 12 _ABÓ_ACÓ_sin`A=5에서 12 _5_4_sin`A=5

10`sin`A=5이므로 sin`A=;2!;

따라서 A= p6

 ②

14

그림에서 ∠AOB=h(0<h<p)라 하면

O r h r

A B

삼각형 OAB의 넓이는

;2!;_rÛ`_sin`h=12, 즉 rÛ``sin`h=24 sin`h=1일 때 넓이가 최대이므로 rÛ`=24 따라서 r=216

 ②

15

OÕAÓ : ACÓ=3 : 1이므로 OÕAÓ= 34 OCÓ OBÓ : BDÓ=2 : 1이므로 OBÓ= 23 ODÓ

∠AOB=h라 하면 삼각형 OBA의 넓이는 12 _OÕAÓ_OBÓ_sin`h

= 12 _3 4 OCÓ_2

3 ODÓ_sin`h

= 12 _1

2 _OCÓ_ODÓ_sin`h

= 12 _Sª

그러므로 사각형 ABDC의 넓이 SÁ=Sª- 12 Sª=1

2 Sª 따라서 Sª=2SÁ이므로 k=2

 ⑤

16

ABÓ=c, ACÓ=b, BCÓ=a, 외접원의 반지름의 길이를 R 라 하면 삼각형의 넓이의 변형에서

S= abc4R 이므로 913

2 =181221 4R 따라서 R='7

 ③

해 18-33 올림기본(수-1)_2단원-ok1.indd 27 2017-11-01 오후 5:46:01

28 ^{올림포스•수학Ⅰ}

17

5 13

1313

8 A

B C

O

그림에서 점 O는 내접원의 중심이고 삼각형 ABC에 내접하는 원의 반지름의 길이가 13이므로 삼각형 ABC의 넓이는

12 _8_'3+1

2 _ACÓ_13+1

2 _5_13

= 13(ACÓ+13) 2 =1013 에서 ACÓ+13=20 따라서 ACÓ=7

 ②

18

BDÓ=x라 하면

xÛ` =3Û`+5Û`-2_3_5_cos`120ù

=9+25+15=49 에서 x=7

따라서 삼각형 BCD의 내접원의 반지름의 길이를 r라 하면 삼각형 BCD의 넓이 S는

S=;2!;_r_(3+5+7)=;2!;_3_5_sin`120ù 에서 r=sin`120ù= 132

따라서 삼각형 BCD에 내접하는 원의 넓이는 p_{ 132 }Û`= 34 p

 ②

CHÓ=212`cos`60ù=12

이므로 BCÓ=BHÓ+CHÓ=16+12 yy ➋ 사인법칙에서

sin`A =BCÓ ACÓ

sin`B , 즉 16+12

sin`A = 212 sin`45ù 따라서 sin`A= 1

2'2_('6+'2)_ 1'2

= 16+124 yy ➌

 16+124

단계 채점 기준 비율

➊ 삼각형의 세 각의 크기를 구한 경우 40`%

➋ BCÓ의 길이를 구한 경우 40`%

➌ sin`A의 값을 구한 경우 20`%

02

삼각형 ABC의 넓이 S는 S= 12 _3_5_sin`120ù

= 12 _3_5_13 2 =1513

4 yy ➊

코사인법칙에서

BCÓÓÛ`=3Û`+5Û`-2_3_5_cos`120ù=49

이므로 BCÓ=7 yy ➋

삼각형 ABC의 넓이 S는 S= 12 _7_AHÓ이므로 12 _7_AHÓ=1513

4 에서

AHÓ= 151314 yy ➌

 151314

단계 채점 기준 비율

➊ 삼각형의 넓이를 구한 경우 30`%

➋ BCÓ의 길이를 구한 경우 40`%

➌ AHÓ의 길이를 구한 경우 30`%

03

정삼각형의 한 변의 길이를 a라 하면 삼각형의 넓이 S는 S= 12 _aÛ`_sin`60ù=13

4 aÛ`

내접원의 반지름의 길이가 r이므로

01

¹⁶⁺¹²₄

02

¹⁵¹³₁₄

03

^1`:`2

연습장

^{본문 58쪽}

서술형

01

∠A+∠B+∠C=180ù이고, A`:`B`:`C=5`:`3`:`4이므로

∠A=75ù, ∠B=45ù, ∠C=60ù yy ➊ 꼭짓점 A에서 변 BC에 내린 수선의 발을 H라 하면

BHÓ=213`cos`45ù=16

해 18-33 올림기본(수-1)_2단원-ok1.indd 28 2017-11-01 오후 5:46:02

정답과 풀이 29 따라서 DEÓ=6`sin`60ù=313이므로 DEÓÛ`=27

aÛ`=bÛ`+cÛ`-2bc`cos`60ù=bÛ`+cÛ`-bc yy Ú bÛ`=cÛ`+aÛ`-2ca`cos`B yy Û cÛ`=aÛ`+bÛ`-2ab`cos`C yy Ü Ú, Û, Ü 을 변끼리 더하면

aÛ`+bÛ`+cÛ`

=2(aÛ`+bÛ`+cÛ`)-(2ab`cos`C+bc+2ca`cos`B) aÛ`+bÛ`+cÛ`=2ab`cos`C+bc+2ca`cos`B (참) ㄷ. aÛ`=bÛ`+cÛ`-bc이므로

∠B=h이면 ∠D=p-h이고 A

변 AD가 원의 지름이므로 ∠ACD=90ù 직각삼각형 ACD에서

ACÓ=Á°4Û`-3Û`=17 sin (p-h)= 174 이므로

sin`h= 174

삼각형 ABC의 넓이는 12 _1_2_sin`h=1

2 _1_2_17

30 ^{올림포스•수학Ⅰ}

05

f(x)=sin`;2#;x =sin`{;2#;x+2p}

=sin`;2#; {x+;3$;p}

에서 f(x)의 주기는 ;3$;p이다.

f`{x+;3$;p}=f(x)

따라서 f(x+a)=f(x)를 성립시키는 최소의 양수는 ;3$; p이므로 a=;3$; p

 ④

06

2(1-sinÛ``x)-sin`x-1=0

2`sinÛ``x+sin`x-1=0, (sin`x+1)(2`sin`x-1)=0 sin`x=-1 또는 sin`x=;2!;

따라서 방정식을 만족시키는 근은 p6 , 5 6 p, 3

2 p이므로 그 합은 p6 +5

6 p+3 2 p=5

2 p

 ⑤

07

삼각형 ABC에서 사인법칙에 의하여 sin`30ù =5 ACÓ

sin`45ù 이므로 ACÓ= 5

sin`30ù _sin`45ù= 5

;2!;_ '22 =512

 ③

08

삼각형의 세 내각의 크기의 합은 180ù이므로 ∠A=30ù 따라서 삼각형 ABC의 넓이는

12 _ABÓ_ACÓ_sin`30ù=1

2 _4_3_1 2 =3

 3

09

B

D O

A C

-p3

01

^④

02

^②

03

^⑤

04

³

05

^④

06

^⑤

07

^③

08

³

09

^②

10

^;;Á9Á;;

11

³

12

^②

13

^④

14

^④

15

⁸

16

^④

17

^④

18

⁴

19

^②

20

⁶

21

^⑤

22

^③

23

^;;Á3¼;;

24

^;4!;

본문 60~63쪽

대단원

종합 문제

01

1500ù=360ù_4+60ù=8p+ p3 이므로 a= p3

 ④

02

S= 12 rÛ`h에서 h=p 6 , S=p

2 이므로 p2 =1

2 rÛ`_p

6 , 즉 rÛ`=6 r>0이므로 r=16

 ②

03

^OPÓ=Á°2Û`+(-15)Û`=3이므로 sin`h=- '53 , cos`h=;3@;, tan`h=-'5

2

따라서 cos`h+sin`h`tan`h=;3@;+{- '53 }_{-'5 2 }=;2#;

 ⑤

다른풀이

cos`h+sin`h`tan`h=cos`h+sin`h_ sin`hcos`h

=cosÛ``h+sinÛ``h cos`h = 1cos`h =;2#;

문서에서 EBS 올림포스 수학(Ⅰ) 답지 정답 (페이지 27-30)