03
이차함수 y=(x-2n)Û`의 그래프와 직선 y=2x-4n이 만나는 서로 다른 두 점의 x좌표는(x-2n)Û`=2x-4n의 해와 같다.
(x-2n)Û`-2(x-2n)=0, (x-2n)(x-2n-2)=0 an<bn이므로 an=2n, bn=2n+2
;N+!1 5 logªbÇ logª`aÇ logª`bÇaÇ
=;N+!1 5 logª 2n+22n logª`2n logª(2n+2)
=;N+!1 5 logª`(2n+2)-logª`2n logª`2n logª`(2n+2)
=;N+!1 5 [ 1
logª`2n - 1 logª`(2n+2) ]
=[{ 1logª`2 - 1
logª`4 }+{ 1
logª`4 - 1 logª`6 }+
y+{ 1
logª`30 - 1 logª`32 }]
= 1
logª`2 - 1 logª`32
=1-;5!;
=;5$;
④
수학적 귀납법
Ⅲ.
수열07
1.
102.
①3.
174.
5기본 유형
익히기 유제 본문 89~91쪽1.
aÁ=1이고 an+2=an+n에n=1을 대입하면 a£=aÁ+1=1+1=2 n=3을 대입하면 a°=a£+3=2+3=5 n=5를 대입하면 a¦=a°+5=5+5=10
10
2.
2an+1=an+an+2에서수열 {an}은 등차수열이고 공차를 d라 하면 aÁ=-1, aª=3에서
d=aª-aÁ=3-(-1)=4
따라서 an=-1+(n-1)_4=4n-5이므로 aÁ¼=35
①
3.
`Ú n=1일 때, (좌변)=1Ü`=1, (우변)=;4!;_1Û`_2Û`=1 이므로 n=1일 때 ㉠은 성립한다.Û n=k일 때, ㉠이 성립한다고 가정하면
1Ü`+2Ü`+3Ü`+y+kÜ`=;4!;kÛ`(k+1)Û` yy ㉡
㉡의 양변에 (k+1)Ü`을 더하면
1Ü`+2Ü`+y+kÜ`+(k+1)Ü`=;4!;kÛ`(k+1)Û`+(k+1)Ü`
=;4!;(k+1)Û`{kÛ`+4(k+1)}
=;4!;(k+1)Û`(k+2)Û`
=;4!;(k+1)Û`{(k+1)+1}Û`
따라서 n=k+1일 때에도 ㉠이 성립한다.
Ú, Û에 의하여 주어진 식은 모든 자연수 n에 대하여 성립한다.
그러므로 위의 과정에서 (가), (나)에 알맞은 식은 각각 f(k)=(k+1)Ü`, g(k)=(k+2)Û`이므로
f(1)+g(1)=2Ü`+3Û`=17
17
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48 올림포스•수학Ⅰ
4.
Ú n=2일 때(좌변)=(1+h)Û`=1+2h+hÛ`>1+2h=(우변)이므로 n=2일 때 ㉠이 성립한다.
Û n=k(k¾2)일 때 ㉠이 성립한다고 가정하면
(1+h)û`>1+kh yy ㉡
n=k+1일 때, ㉠이 성립함을 보여야 하므로
㉡의 양변에 1+h를 곱하면 1+h>0이므로 (1+h)k+1>(1+kh)(1+h)
그런데
(1+kh)(1+h)=1+(k+1)h+khÛ`>1+(k+1)h 그러므로 (1+h)k+1>1+(k+1)h
따라서 n=k+1일 때에도 ㉠이 성립한다.
Ú, Û에 의하여 부등식 ㉠은 n¾2인 모든 자연수 n에 대하여 성립한다.
따라서 (가), (나)에 알맞은 식은 각각 f(h)=1+2h, g(k)=k+1이므로 f(1)+g(1)=3+2=5
5
03
aÁ=2이고an+1= nn+1 an+k에서 n=1, 2, 3을 차례로 대입하면 aª=;2!; aÁ+k=;2!;_2+k=1+k
a£=;3@; aª+k=;3@;_(1+k)+k=;3@;+;3%; k a¢=;4#; a£+k=;4#;_{;3@;+;3%;k}+k=;2!;+;4(;k
따라서 ;2!;+;4(;k=:Á4Á:에서 k=1
③
04
an+1=3an+3(n=1, 2, 3, y)에서 n=1, 2, 3, 4를 차례로 대입하면 aª=3aÁ+3=3Û`+3a£=3aª+3=3(3Û`+3)+3=3Ü`+3Û`+3 a¢=3a£+3=3(3Ü`+3Û`+3)+3=3Ý`+3Ü`+3Û`+3 a°=3a¢+3=3Þ`+3Ý`+y+3
a¤=3a°+3=3ß`+3Þ`+3Ý`+y+3
= 3(3ß`-1)3-1
=1092
①
05
an+1=an-4에서 an+1-an=-4이므로
수열 {an}은 aÁ=38이고 공차가 -4인 등차수열이므로 an =38+(n-1)_(-4)
=-4n+42
따라서 aÁ¼=-4_10+42=2
①
06
an+2`an=an+1Û`에서 aan+2n+1=aan+1n 이므로수열 {an}은 등비수열이다. 공비를 r라 하면 logªa¢=;3$;에서 a¢=2;3$;
즉, 2rÜ`=2;3$;에서 rÜ`=2;3!;
01
③02
③03
③04
①05
①06
⑤07
1508
1609
7510
12유형
확인 본문 92~93쪽01
aÁ=4이고 aÇ*Á=(-1)Ç`aÇ(n=1, 2, 3, y)에서 n=1, 2, 3을 차례로 대입하면aª=-aÁ=-4 a£=(-1)Û`aª=-4 a¢=(-1)Ü`a£=4
③
02
aÁ=2, aª=-3, a£=1이고 an+3=an(n=1, 2, 3, y)에서 n=1을 대입하면 a¢=aÁ=2 n=2를 대입하면 a°=aª=-3 n=3을 대입하면 a¤=a£=1 n=4를 대입하면 a¦=a¢=2 n=5를 대입하면 a¥=a°=-3 따라서 a¢+a¥=2+(-3)=-1 ③
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정답과 풀이 49 따라서
aÁ£=2rÚ`Û`
=2(rÜ`)Ý`
=2_2;3$;
=4Ü '2
⑤
07
Ú n=1일 때, (좌변)=1_2Ú`=2, (우변)=2 이므로 주어진 등식은 성립한다.Û n=k일 때, 주어진 등식이 성립한다고 가정하면 1_3_5_y_(2k-1)_2û`
=(k+1)(k+2)(k+3)y2k
위의 식의 양변에 2(2k+1)을 곱하면
=1_3_5_y(2k-1)(2k+1)_2k+1
=(k+1)(k+2)(k+3)y2k_2(2k+1)
=(k+2)(k+3)y2k(2k+1){2(k+1)}
따라서 n=k+1일 때에도 성립한다.
Ú, Û에 의하여 모든 자연수 n에 대하여 주어진 등식이 성립 한다.
따라서 (가), (나)에 알맞은 식은 f(k)=2(2k+1), g(k)=2k+1이므로 f(2)+g(2)=10+5=15
15
08
f(n)=3n+1+42n-1으로 놓으면Ú n=1일 때
f(1)=3Û`+4=13이므로 f(1)은 13으로 나누어 떨어진다.
Û n=k일 때
f(k)가 13으로 나누어 떨어진다고 가정하면 f(k+1)=3(k+1)+1+42(k+1)-1=3k+2+42k+1 =3_3k+1+16_42k-1
=3(3k+1+42k-1)+13_42k-1 =3 f(k)+13_42k-1
이므로 f(k+1)도 13으로 나누어 떨어진다.
따라서 (가), (나)에 들어갈 두 수의 합은 3+13=16
16
09
Ú n=2일 때, (좌변)=;4%;<;2#;=(우변) 이므로 n=2일 때 부등식이 성립한다.Û n=k(k¾2)일 때, ㉠이 성립한다고 가정하면 1+ 12Û`+y+ 1
kÛ`<2- 1k yy ㉡
㉡의 양변에 1
(k+1)Û`을 더하면 1+ 12Û`+y+ 1kÛ`+ 1
(k+1)Û`
<2- 1k + 1
(k+1)Û`=2- kÛ`+k+1k(k+1)Û`
<2- kÛ`+k
k(k+1)Û`=2- 1k+1 따라서 n=k+1일 때에도 부등식이 성립한다.
Ú, Û에 의하여 ㉠은 n¾2인 모든 자연수 n에 대하여 성립한 다.
그러므로 위의 과정에서 (가), (나)에 알맞은 식은 f(k)= 1
(k+1)Û`, g(k)=kÛ`+k+1이므로 100f(1)g(1)=100_;4!;_3=75
75
10
Ú n=10일 때,(좌변)=2Ú`â`=1024, (우변)=10Ü`=1000이므로
㉠은 성립한다.
Û n=k(k¾10)일 때, ㉠이 성립한다고 가정하면 2û`>kÜ`이 성립하므로 양변에 2를 곱하면 2k+1>2kÜ`
k¾10에서 kÜ`¾10kÛ`, kÛ`¾10k, k¾10이므로
2kÜ`-(k+1)Ü`=kÜ`-3kÛ`-3k -1¾67k-1>0 에서 2k+1>2kÜ`>(k+1)Ü`
따라서 n=k+1일 때에도 성립한다.
Ú, Û에 의하여 주어진 식은 n¾10인 모든 자연수에 대하여 성립한다.
따라서 (가), (나)에 알맞은 식은 f(k)=2k+1, g(k)=(k+1)Ü`이므로 f(1)+g(1)=4+8=12
12
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50 올림포스•수학Ⅰ
Û n=k(k¾4)일 때, 주어진 부등식이 성립한다고 가정하면
1_2_3_y_k>2û` yy ㉠
㉠의 양변에 k+1을 곱하면
1_2_3_y_k_(k+1)>2û`_(k+1) yy ㉡
yy ➋
㉡의 우변에서 k+1>2이므로 2û`_(k+1)>2k+1, 즉
1_2_3_y_k_(k+1)>2k+1 그러므로 n=k+1일 때에도 성립한다.
따라서 4 이상인 모든 자연수 n에 대하여 주어진 부등식은 성
립한다. yy ➌
단계 채점 기준 비율
➊ n=4일 때 주어진 부등식이 성립함을 보인
경우 20`%
➋ 양변에 k+1을 곱한 경우 30`%
➌ n=k+1일 때에도 주어진 부등식이 성립함
을 보인 경우 50`%