지표면 전위분포 계산

여기서,







:접지도체의 표면



에서



점의 유입 전류밀도











:접지도체에 대응되는 그린함수

접지그리드의 해석을 위하여 접지도체 표면의 한 점인



점을 통하여 유입되는 단위 전류밀도에 의하여 임의의 한 점



에서의 전위가 표현된다.따라서 접지도체를 통하 여 대지로 흘러가는 전체의 누설전류는 모든 접지도체에 흐르는 전류



와 같으며 다 음과 같이 정리된다.







_

^

^

^

^{ }

^

⁽^3.⁴⁶⁾

접지도체의 경계면에서 전위 강하를 무시한다면 경계조건은



_



(3.47)

이 된다.여기서



는 상수이다.

식 (3.45)로부터 (3.47)이 그린함수의 원리를 이용한 접지도체의 전위분포를 계산하기 위한 기본 방정식이며,이 방정식에 대한 일반적인 수치해석기법을 적용하기 위하여 접지도체를 개의 작은 도체로 분할하여 중첩의 원리를 적용하는 기법으로 임의의 한 점



에서의 전위를 계산한다.

접지도체의 전체길이를



이라고 하며 도체길이



에 흐르는 전체전류를



라고 한다 면,도체길이



의 번째 미소 전극도체



_,



_ 도체의 중심을



_,미소 전극도체의 전류



_가 되고,



 _{  }



^

^

^ ⁽^3.⁴⁸⁾



 _{  }



^

^

^ ⁽^3.⁴⁹⁾

와 같이 정리된다. 그러면 접지도체



에 흐르는 전류



에 의하여 임의의 한 점



에 서의 전위는 중첩의 원리를 적용하여 다음과 같이 계산할 수 있다.



_ _{  }



^

^

^

^

^

^

^^

^

^ ⁽^3.⁵⁰⁾

여기서,











_는 접지도체



_ 중심점



_의 단위 점전원에 의한 임의의 한 점



에서의 전위를 계산하는 그린함수이다. 번째 미소전극의 임의의 한 점



에서 모든 미소 전극에 의한 그린함수



 는 번째 미소전극에 단위 전류원이 인가되었을 때 번째 미소전극에 나타나는 전위를 나타낸다.



 는



_로 표현되는 상호 저항 처럼 표현되며,  일 때는



_는 자기 저항을 표현되어,임의의 한 점



에서의 전 위는 다음과 같이 표현된다.



_ _{  }



^

^

^

^

^ ⁽^3.⁵¹⁾

2.중첩의 원리에 의한 전위 해석

일반적으로 접지그리드는 점전극과 선형도체로 구성된 복합시스템으로 해석하여야 한다.대지를 단일매질과 전위라고 한다면 모든 점에서의 전위를 계산하기 위하여 중 첩의 원리를 적용하기에 적합한 문제이다.대지 혹은 접지도체의 표면에서 모든 점에 서의 전위는 미소 접지전극의 모든 부분에 의한 전위의 합으로 계산할 수 있다.

복합 접지도체는 매우 많은 개수의 선형 미소 도체로 나누어지며,



점에서의 전위 는 대지에서의 점전극에 의하여 계산할 수 있다.



__{ }









^

 ′





⁽^3.⁵²⁾

여기서,은 점전극



와



점과의 거리이고,′은



점과 영상분과의 거리를 나타 낸다.그리고 전류



는 점전극



로부터 대지로 흐르는 전류이다.

2nH

r'_nf r'_nj

r r_n

r'_n

P H S

Fig.3.6PointElectrodeandImageinSoil

다층 대지구조 모델에서 그림 3.6에 보인 바와 같이 영상법의 원리에 의하면 2층 대 지구조에서



점에서의 전위는



__{ }





_



^

 ′





^{ }



_

  



∞



^



^^

  ′_

  _

  ′_





⁽^3.⁵³⁾

여기서,



는 대지의 반사계수



_{ }

_ _

_ _

(3.54)

_:상층의 대지 저항률[Ω-m]

_:하층의 대지 저항률[Ω-m]

2층 구조의 대지구조에서 점 전극



와



점이 상층에 있을 때의 전위는 다음과 같

이 표현된다.



__{ }



^_^ ^ ^

  



^^ ^  ^



_{  }



^∞

^

^^

_

__^ 



  ^

  



^^ ^ 



  ^



 



^^ ^



   ^

  



^^ ^ 



  ^

 

여기서,



:상층의 깊이

 :점전극과 지표면과의 거리

2층 구조의 대지구조에서 점 전극



와



점이 하층에 있을 때의 전위는

__{ }



_

 



  

∞

^_

^^^ ^

  ^^ ^   ^

  (3.55)

이고,2층 구조의 대지구조에서 점 전극



는 상층에



점이 하층에 있을 때의 전위이다.

__{ }



_

 



  

∞

^_

^^^ ^

  ^^ ^   ^

  (3.56)

그림 3.7과 같은 선형 도체가 _ _ _와 _ _ _ 의 좌표에 위치해 있을 때 임의 의 한 점



는 _ _ _ 에서의 전위는



__{ }





_









_^^^^_ ^



_^^^^_′^ ⁽³^.⁵⁷⁾

여기서, 



^^^^

^

 



_cos

cos  



_



_



_^



_^



_^



_ _ _^_ _^ _ _^^



_ _ _^_ _^ _ _^^



′_ _ _^ _ _^__^^



′_ _ _^ _ _^__^^

이 되어,다시 정리하면 다음과 같다.



__{ }





_





ln



_  cos



_



_cos  



_^



_^ 



_



_cos^

 (3.58)

 ln



′_  cos′



_



′_cos′  



′_^



_^ 



_



′_cos^



dr R2

S R₁

P B'

B r

dr R'₂

R'₁

Fig.3.7LinearElectrodeinSoil

3.적분방법에 의한 전위해석

다층구조의 대지 상층부에 깊이 e로 매설된 수평의 직선도체를 고려하면 이때 지표 면의 한 점



_ _ _에서의 전위를 구하기 위하여 먼저,도체전극은 상호 연결된 직선도체로 구성되며,각각의 직선도체는 균일한 전류밀도를 갖는다는 조건을 가정하 면,도체의 미소부분 에 의한 관측점



_ _ _에서의 전위는 함수식으로 표현 하면 다음과 같다.





 θ_θ_ _ (3.59)

여기서,_  

_





^^{ }^ _^ _^



_{  }



^∞ ^^^

_

  _^ _^  _^



 



^^{  }^ _^  _^

 

(3.60)

전체적인 도체에 의한 M 점에서의 전체 전위는







_

 

_

θ_



_

 

_

θ_ _ (3.61)

여기서





_

θ _  π ρ_

Ln 

 _



^^ _^ _^

_ _



^^ _^ _^ _^



_{  }



^∞ ^^^{Ln }_{ }





^^ _^   _^

_ _ 



^^ _^ _^   _^







  

∞

^Ln 

  



^^^^{ }^^{   } ^^

_ _ 



^^ _^ _^   _^



(3.62)



_^^^θ^^{ }^^^{는 식 (}^3.⁶²⁾^에서 ^^^대신에 ^^^{ }^을 대입함으로써 얻어질 수 있다. 따라서



는 다음과 같은 간단한 형태로 표현될 수 있다.



_{ }





_



____  ____ _ (3.63)

또한,여기서 _ _ _ _는 다음과 같이    좌표계로 변환할 수 있다.

_ _ _cosα  _ _sinα

_ _ _cosα  _ _sinα

_ _ _cosα  _ _sinα

_ _ _

(3.64)

다층 대지구조의 상층부에 임의의 형태로 매설되어 있는 직선 도체를 그림 3.8에 나 타냈다. 도체가  ′ 평면에 위치하도록   좌표계를 설정하면   좌표계의 원 점이 _ _ _( ′ 평면에서 측정점 M)이 된다.

점



_ _ 에서 도체로 인한 전위는 0'u 축상의 점 ′ ′_ ′_  에서의 수평 도체에 의한 전위와 같다. 따라서 새로운 등가 수평도체의 특성은 다음과 같으며,

′_ ′_  ′_ 

′_ ′_  (3.65)

′_



^^

 _ _^

그리고 새로운 측정점 M'의 좌표는 다음과 같다.

′_ __ __ _′_

′_ _^ _^ _^ ′_^^^



′_ _ 

(3.66)

o

y

x v u

w w v u

p p

v

M u

o'

w u v

s s

u

Fig.3.8ArbitrarilyArrangementofLinearConductor

메시 접지전극과 같이 직선도체의 전극이 상호연결되어 임의의 형태로 묻힌 전극에 대한 상층부 (___)에서의 전위는 식(3.63)에서 계산한 것과 같이 각 직선도체에 의 한 전위를 합한 것과 같다.만일 각각의 직선도체가 로 표시된다면,전체 전위는 다 음과 같이 쓸 수 있다.



_{ }

π



ρ_



  







^ψ____  ψ______



⁽^3.⁶⁷⁾

여기서,



:매설된 도체의 전체 길이

 :직선도체 수

따라서 메시 접지도체와 같이 상호 연결된 임의배치의 직선도체에 대한 전위계산을 위한 식은 다음 파라미터들의 함수로 표현된다.



  ρ_ 







 _ _ _ _ _ _ _ _ _ α  (3.68)

전위를 구하는 식 (3.68)에 대하여 도체표면의 전위(GPR)를 구하여 인가된 전류로 나누면 접지도체의 접지저항을 구할 수 있으며,지표면의 전위분포를 구하면 지표면에 서의 접촉전압과 보폭전압의 분포를 구할 수 있다.

문서에서 저작자표시 (페이지 53-63)