더 큰 것으로 나타나 오차()로 인한 가격상승폭의 과대계상에 주의할 필요 가 있는 것으로 판단된다.
4. 지수의 평가
만일 의 진정한 값( )을 알 수 있다면 의 진정한 값도 를 통해 구할 수 있을 것이다. 따라서 값을 기반으로 한 의 기댓값은 다음과 같다.
∣ 식 (3-19)
이때 를 Resolution Matrix라고 하면 식 (3-19)은
∣
∣
이다. 추정값의 편의는 이들의 norm으로 확인할 수 있다.
∥ ∣ ∥≤ ∥ ∥∥ ∥ 식 (3-20)
그런데 상기 식에서 값은 전혀 알 방법이 없다. 따라서 식 (3-20)는 그 자체로 큰 의미를 갖기 어렵다. 주목할 것은 ∥ ∥이다. 만일 이 값 이 0이라면 의 값과 무관하게 추정값의 편의(∥ ∥)는 0(최소)이 될 것이기 때문이다. 결국 여부를 확인하므로써 편의가 최소화된 값을 모 형으로부터 산출했는지의 여부를 확인할 수 있을 것이다. 보다 구체적으로 는 Resolution Matrix의 대각원소(diagonal component)가 1에 가까운지의 여부 를 확인함으로써 MTI/CRE 2단계 추정모형의 적합성 여부를 정량적으로 평 가할 수 있을 것이다.
나. 지수의 평가
<표 3-9>는 Resolution Matrix( )의 대각원소와 항등행렬 (Identity Matrix)의 대각원소를 구하고 그 둘의 격차를 표시한 것이다.
Resolution Matix의 대각원소는 0.9505~09526으로 구성되었으며 평균은 0.9516 이었다. 항등행렬의 대각원소 평균(1)과의 차이는 0.0484이었다. 이 계산 결 과만을 놓고 보면 2단계 반복매매모형에서 두 번째 추정과정에서 편의가 발 생한다고 볼 수 있다.
그런데, 계산된 Resolution Matrix은 대각행렬이 아닌 관계로 <표 3-9>과 같은 비교는 Resolution Matrix와 항등행렬을 정당하게 비교한 것은 아니다.
두 행렬을 정당하게 비교하기 위해서는 Resolution Matrix를 대각화 해 대각 원소 이외의 원소를 0으로 바꾼 후 항등행렬과 비교해야 한다.
기 간 Resolution Matrix()
Identity
Matrix() 차 이 기 간 Resolution Matrix()
Identity
Matrix() 차 이
’01
1Q 0.9526 1 0.047379
’09
1Q 0.9526 1 0.047379
2Q 0.9526 1 0.047379 2Q 0.9526 1 0.047379
3Q 0.9505 1 0.049462 3Q 0.9505 1 0.049462
4Q 0.9505 1 0.049462 4Q 0.9505 1 0.049462
’02
1Q 0.9526 1 0.047379
’10
1Q 0.9526 1 0.047379
2Q 0.9526 1 0.047379 2Q 0.9526 1 0.047379
3Q 0.9505 1 0.049462 3Q 0.9505 1 0.049462
4Q 0.9505 1 0.049462 4Q 0.9505 1 0.049462
’03
1Q 0.9526 1 0.047379
’11
1Q 0.9526 1 0.047379
2Q 0.9526 1 0.047379 2Q 0.9526 1 0.047379
3Q 0.9505 1 0.049462 3Q 0.9505 1 0.049462
4Q 0.9505 1 0.049462 4Q 0.9505 1 0.049462
’04
1Q 0.9526 1 0.047379
’12
1Q 0.9526 1 0.047379
2Q 0.9526 1 0.047379 2Q 0.9526 1 0.047379
3Q 0.9505 1 0.049462 3Q 0.9505 1 0.049462
4Q 0.9505 1 0.049462 4Q 0.9505 1 0.049462
’05
1Q 0.9526 1 0.047379
’13
1Q 0.9526 1 0.047379
2Q 0.9526 1 0.047379 2Q 0.9526 1 0.047379
3Q 0.9505 1 0.049462 3Q 0.9505 1 0.049462
4Q 0.9505 1 0.049462 4Q 0.9505 1 0.049462
’06
1Q 0.9526 1 0.047379
’14
1Q 0.9526 1 0.047379
2Q 0.9526 1 0.047379 2Q 0.9526 1 0.047379
3Q 0.9505 1 0.049462 3Q 0.9505 1 0.049462
4Q 0.9505 1 0.049462 4Q 0.9505 1 0.049462
’07
1Q 0.9526 1 0.047379
’15
1Q 0.9526 1 0.047379
2Q 0.9526 1 0.047379 2Q 0.9526 1 0.047379
3Q 0.9505 1 0.049462 3Q 0.9505 1 0.049462
4Q 0.9505 1 0.049462 4Q 0.9505 1 0.049462
’08
1Q 0.9526 1 0.047379
’16 1Q 0.9526 1 0.047379
2Q 0.9526 1 0.047379 2Q 0.9526 1 0.047379
3Q 0.9505 1 0.049462 총 계 59 62 3
4Q 0.9505 1 0.049462 평 균 0.9516 1 0.0484
<표 3-9> Matrix별 대각원소와 차이
일반적으로 정방행렬을 대각화하는 단계는 다음과 같다45).
단계 1. 정방행렬 의 각 고유공간에 대한 기저를 구한다.
단계 2. Gram-Schmidt 방법을 각 기저에 적용하여 각 고유공간에 대한 정 규 직교기저를 얻는다.
단계 3. 단계 2에서 얻은 기저벡터를 각 열로 하는 행렬 를 구성한다.
이 경우 행렬 는 를 직교 대각화 한다.
즉, ｛ … ｝이다.
여기서 … 는 각 고유공간의 기저에 대응하는 고유값 (eigen value)이다.
Resolution Matrix를 대각화한 결과는 <표 3-9>와 같다. Resoluton Matrix를 대각화( )한 행렬의 대각원소 값은 ’15.3Q까지 모두 1이었으며
’15.4Q~’16.2Q까지의 3기간에 한하여 0으로 계산되었다. 결과적으로 Pseudoinverse를 활용한 2단계 추정에서의 효율성 저하는 마지막 3기간을 제 외하고 없는 것으로 나타났다. 따라서 <표 3-6>의 가격지수 중 ’01.1Q~
’15.3Q까지는 편의가 없는 지수로써 활용이 가능하고 판단된다.
45) 신종문, “선형대수학 입문”, 2010, 서울, 경문사, p.279.
기 간 기 간
’01
1Q 0.9526 1 1
’09
1Q 0.9526 1 1
2Q 0.9526 1 1 2Q 0.9526 1 1
3Q 0.9505 1 1 3Q 0.9505 1 1
4Q 0.9505 1 1 4Q 0.9505 1 1
’02
1Q 0.9526 1 1
’10
1Q 0.9526 1 1
2Q 0.9526 1 1 2Q 0.9526 1 1
3Q 0.9505 1 1 3Q 0.9505 1 1
4Q 0.9505 1 1 4Q 0.9505 1 1
’03
1Q 0.9526 1 1
’11
1Q 0.9526 1 1
2Q 0.9526 1 1 2Q 0.9526 1 1
3Q 0.9505 1 1 3Q 0.9505 1 1
4Q 0.9505 1 1 4Q 0.9505 1 1
’04
1Q 0.9526 1 1
’12
1Q 0.9526 1 1
2Q 0.9526 1 1 2Q 0.9526 1 1
3Q 0.9505 1 1 3Q 0.9505 1 1
4Q 0.9505 1 1 4Q 0.9505 1 1
’05
1Q 0.9526 1 1
’13
1Q 0.9526 1 1
2Q 0.9526 1 1 2Q 0.9526 1 1
3Q 0.9505 1 1 3Q 0.9505 1 1
4Q 0.9505 1 1 4Q 0.9505 1 1
’06
1Q 0.9526 1 1
’14
1Q 0.9526 1 1
2Q 0.9526 1 1 2Q 0.9526 1 1
3Q 0.9505 1 1 3Q 0.9505 1 1
4Q 0.9505 1 1 4Q 0.9505 1 1
’07
1Q 0.9526 1 1
’15
1Q 0.9526 1 1
2Q 0.9526 1 1 2Q 0.9526 1 1
3Q 0.9505 1 1 3Q 0.9505 1 1
4Q 0.9505 1 1 4Q 0.9505 0 1
’08
1Q 0.9526 1 1
’16 1Q 0.9526 0 1
2Q 0.9526 1 1 2Q 0.9526 0 1
3Q 0.9505 1 1
4Q 0.9505 1 1
<표 3-10> 대각화 이후 Matrix별 대각원소와 차이
제4절 소 결
본 연구의 목적은 반복매매모형 등 기존의 가격지수 산출기법을 활용하 기 어려울 정도로 부족한 거래자료를 바탕으로 분기별 가격지수를 산출하는 것이다. 이를 위해 서울 오피스 매매사례 자료를 기반으로 MIT/CRE가 개발 한 2단계 추정법(2단계 반복매매모형)을 활용해 서울 오피스 매매가격 지수 를 산출했다.
2단계 반복매매모형은 4개 분기의 거래자료를 합해 1개 기간으로 인식하 여 반복매매모형을 활용해 4분기 당 수익률을 구한 후 이를 다시 분기 수익 률로 쪼개 분기별 가격지수를 산출하는 기법이다. 충분한 매매거래 사례 확 보가 어려운 특정 도시 수준의 오피스 매매가격 지수를 산정하는데 적절한 기법이다.
서울 오피스 매매사례를 2단계 반복매매모형에 적용하여 가격지수를 산 출한 결과 제한적인 매매사례에도 불구하고 모든 분석기간에 대해 반복 매 매쌍을 확보할 수 있었으며 분기별 반복 매매쌍도 더 많이 확보할 수 있어 지수의 신뢰성도 높일 수 있었다. 서울시 오피스 가격지수를 산출하는데 2 단계 반복매매모형을 적용하는 것은 적절했다고 판단된다.
산출된 가격지수는 기반이 된 4분기 합산 지수의 움직임을 충분히 반영 했을 뿐만 아니라 전년동기대비 가격 변동률 측면에서도 거의 일치하는 모 습을 보여 실무에서 투자자들이 활용할 수 있을 것으로 판단된다.
본 연구는 최근 자본시장에서 관심이 높아지고 있는 서울 오피스 매매가 격지수를 제한된 거래사례를 바탕으로 산출했다는데 의의가 있다. 그 동안 오피스 투자시장 성장에도 불구하고 자료의 제약으로 인해 정치한 가격지수 를 확보할 수 없었다. 평균 또는 주중위수 가격을 활용한 가격지수 정도가 실무적으로 활용되어 왔다. 2단계 반복매매모형을 활용함으로써 자료확보의 제약에도 불구하고 보다 정치한 가격지수를 산출하게 됨으로써 보다 합리적
인 투자활동에 도움이 될 것으로 기대된다.
다만, 본 연구에도 몇 가지 한계는 존재한다. 우선 2단계 반복매매모형이 한정된 자료를 기반으로 가격지수를 구축하기 위해 개발된 방법론이기는 하 나 어디까지나 반복매매모형의 변형 모형이다. 따라서 반복매매모형이 갖는 자료의 비효율적 활용, 표본선택 편의 등의 한계에 동일하게 노출되어 있다.
이러한 문제는 주택시장 보다는 거래사례가 부족한 상업용 부동산 시장에서 더 심해질 수 있다. 또 다른 한계는 2단계 반복매매지수의 평활화 문제이다.
2단계 반복매매모형은 사례 부족의 한계를 해결하기 위해 일정 기간의 사례 를 합하는 방식을 취한다. 이 과정에서 기간별 수익률은 평활화될 수 밖에 없다. 2단계 반복매매모형을 제안한 Bokhari and Geltner(2012)에서도 지수간 비교 결과로 이러한 한계를 지적했으며 Sliver and Graf(2016)은 이를 해소하 기 위한 개선법을 제안하기도 했다.
제4장 2단계 헤도닉모형
제1절 모형의 정립
2단계 헤도닉모형은 MIT/CRE가 개발한 2단계 추정 모형을 변형한 모형 이다. 2단계 반복매매모형은 분기별 매매사례가 부족해 충분히 신뢰성 있는 가격지수를 추정하기 어려울 경우 4분기의 사례를 통합해 수익률을 구한 후 이를 다시 분기로 나누어 분기별 지수를 산정하는 방식이다. 2단계 반복매 매모형을 제시한 Bokhari and Geltner(2012)는 반복매매모형으로 4분기 당 수 익률을 구한 후 이를 분기별로 환산해 16종의 미국 상업용 부동산 가격지수 를 산출했다.
그런데 2단계 반복매매모형 중 두 번째 단계는 첫 번째 단계에서 산출한 4분기 당 수익률을 분기별로 쪼개주는 기계적인 역할을 할 뿐이다. 따라서 Bokhari and Geltner(2012)에서 제시한 것과 같이 반복매매모형을 반드시 활 용할 이유는 없다46). 2단계 헤도닉모형은 이러한 2단계 반복매매모형 중 전 반부에 해당하는 4분기 당 가격지수 추정을 반복매매모형이 아닌 헤도닉 가 격 모형을 활용했다. 이후 추정된 4분기 당 수익률을 분기당 수익률로 환원 하는 절차는 MIT/CRE 2단계 추정모형과 같은 Psesudoinverse Matrix를 활용 했다.
46) MIT/CRE가 개발한 2단계 추정모형은 미국 특허청에 특허등록이 되어 있는데 정확히는 “1단 계, 반복매매모형, 2단계, pseudoinverse matrix를 활용한 추정” 이 등록된 것이 아니고 “1단 계, 사례를 합해 낮은 주기의 수익률을 추정한 후, 2단계, pseudoinverse matrix를 활용해 높 은 주기의 수익률로 전환(Frequency Conversion)”하는 기법을 특허 등록했다.
1. 4분기 당 수익률 산정 모형
첫 번째 단계로 헤도닉 모형에 기반한 4분기 당 수익률을 산정한다. 헤도 닉 모형은 부동산의 가격을 부동산이 지닌 여러 가지 특성으로 설명하고자 하는 모형이다(김경환․손재영, 2010). 헤도닉 모형은 선행연구에서 언급한 것 과 같이 크게 시간 더미변수 모형과 시변모수 모형으로 구분된다. 이 중 본 연구에서 활용된 모형은 헤도닉 모형 중 비교적 고전적인 모형인 시간 더미 변수 모형이다.
시간 더미변수 모형은 아래 식 (4-1)과 같이 헤도닉 함수 속에 시간 추세 항을 삽입한 후 해당 시간 추세항을 통해 가격지수를 산정하는 방식이다(이 용만, 2007).
ln
ln
ε 식 (4-1)
식 (1)은 Colwell et al.(1998)에서 제시된 모형으로 ln는 번째 오피스 빌 딩의 매매가격에 자연로그를 취한 것이며 는 번째 오피스의 입지, 구조 등의 특성벡터, 는 매매시점의 더미변수 벡터다.
오피스 매매가격 지수는 매매시점 더미변수 벡터()의 계수값인 를 통 해 추정된다. 상기 식 (1)에서는 추정된 계수값()에 지수함수를 취해 가격 지수를 산정하게 된다(식 4-2).
Exp × 식 (4-2)
본 연구에서는 매매사례를 4분기 씩 통합한 뒤 통합한 기간별 시간더미 변수를 산출하여 헤도닉지수를 도출한 후 지수의 변동률을 통해 4분기 당 수익률을 구한다. 예컨대 수집된 자료를 1분기부터 4분기까지 묶은 후 4분
기간
수익률 1 2 3 4 5 6 7
1 1 1 1 0 0 0
0 1 1 1 1 0 0
0 0 1 1 1 1 0
0 0 0 1 1 1 1
<표 4-1> 4분기당 수익률과 더미변수의 구성 예시
기를 하나의 기간 단위로 하는 데이터 set(CY set)을 구축하여 헤도닉지수를 도출한다. 비슷한 요령으로 2분기부터 다음해 1분기까지의 4분기를 하나의 기간 단위로 하는 데이터 set(FYM set), 3분기부터 다음해 2분기까지의 4분 기를 하나의 기간 단위로 하는 데이터 set(FYJ set) , 4분기부터 다음해 3분 기까지의 4분기를 하나의 기간 단위로 하는 데이터 set(FYS set) 등 3개의 데이터 set47)을 추가로 구축한 후 각각에 대해 헤도닉지수를 기반으로 한 4 분기 당 수익률을 산출한다.