`Ⅴ . 기본 도형
1. 기본 도형
중단원
서술형 대비 본문 70~73쪽01~ 04
풀이 참조05
1306
507
8`cm08
19`cm09
130ù10
22.5ù11
6612
50ù13
2614
615
40ù16
58ù17
1418
50ù19
90ù20
36`cm21
12ù01
MNÓ=4`cm이므로
AMÓ=MBÓ= 2 _MNÓ= 8 `cm … 1단계
∴ ANÓ=AMÓ+MNÓ = 12 `cm … 2단계
단계 채점 기준 비율
1단계 AMÓ의 길이를 구한 경우 50 %
2단계 ANÓ의 길이를 구한 경우 50 %
풀이 참조
02
맞꼭지각의 크기는 서로 같으므로
∠x+20ù= 30ù +90ù에서 ∠x= 100ù … 1단계 평각의 크기는 180ù이므로
30ù+90ù+(∠y+10ù)= 180ù 에서
∠y= 50ù … 2단계
∴ ∠x-∠y= 50ù … 3단계
단계 채점 기준 비율
1단계 ∠x의 크기를 구한 경우 40 %
2단계 ∠y의 크기를 구한 경우 40 %
3단계 ∠x-∠y의 크기를 구한 경우 20 %
풀이 참조
03
모서리 AB와 꼬인 위치에 있는 모서리는
모서리 DF , 모서리 EF , 모서리 CF 의 3개이므로
a= 3 … 1단계
모서리 BE와 수직인 면은 12+15+5=15+B
∴ B=17 … 2단계
통학 시간이 30분 이상인 계급의 도수의 합은 서로 같으므로 3+3+2=C+4
∴ C=4 … 3단계
∴ A+B+C=3+17+4=24 … 4단계
단계 채점 기준 비율
1단계 A의 값을 구한 경우 30 %
2단계 B의 값을 구한 경우 30 %
3단계 C의 값을 구한 경우 30 %
4단계 A+B+C의 값을 구한 경우 10 %
24
24
전체 학생 수는
2+7+9+5+2=25(명) … 1단계
관람한 영화가 16편 이상인 학생 수는
5+2=7(명) … 2단계
따라서 관람한 영화가 16편 이상인 학생은 전체의
;2¦5;_100=28`(%) … 3단계
단계 채점 기준 비율
1단계 전체 학생 수를 구한 경우 40 %
2단계 관람한 영화가 16편 이상인 학생 수를 구한 경우 40 %
3단계 비율을 구한 경우 20 %
28`%
25
상대도수는 도수에 정비례한다. … 1단계
가장 큰 상대도수는 0.32, 가장 작은 상대도수는 0.06이므로 상 대도수가 가장 큰 계급과 가장 작은 계급의 상대도수의 차는
0.32-0.06=0.26 … 2단계
도수가 가장 큰 계급과 가장 작은 계급의 도수의 차가 52명이므 로 학생 수는 520.26=200(명)이다. … 3단계
단계 채점 기준 비율
1단계 상대도수와 도수의 관계를 설명한 경우 20 %
2단계 상대도수가 가장 큰 계급과 가장 작은 계급의 상대
도수의 차를 구한 경우 40 %
3단계 학생 수를 구한 경우 40 %
200명
면 ABC , 면 DEF 의 2개이므로
b= 2 … 2단계
∴ a+b= 5 … 3단계
단계 채점 기준 비율
1단계 꼬인 위치에 있는 모서리를 구하여 a의 값을 구한
경우 40 %
2단계 수직인 면을 구하여 b의 값을 구한 경우 40 %
3단계 a+b의 값을 구한 경우 20 %
풀이 참조
04
오른쪽 그림과 같이 점 C를 지나면서 두 %
"
& #
$
N O B B B
CC C
M
' Y
직선 l, m에 평행한 직선 n을 그으면
∠DAB=∠ ABF (엇각)이므로
∠DAB+∠ABE
=∠ABF+∠ABE= 180ù
∴ 3∠a+3∠b= 180ù 에서 … 1단계
∠a+∠b= 60ù
∴ ∠x=360ù- 60ù = 300ù … 2단계
단계 채점 기준 비율
1단계 3(∠a+∠b)의 크기를 구한 경우 60 %
2단계 ∠x의 크기를 구한 경우 40 %
풀이 참조
05
직선은 ABê로 1개이므로 a=1
서로 다른 반직선은 AB³, BC³, CD³, BA³, CA³, DA³로 6개이므 로 b=6
서로 다른 선분은 ABÓ, ACÓ, ADÓ, BCÓ, BDÓ, CDÓ로 6개이므로
c=6 … 1단계
∴ a+b+c=1+6+6=13 … 2단계
단계 채점 기준 비율
1단계 a, b, c의 값을 각각 구한 경우 각 30 %
2단계 a+b+c의 값을 구한 경우 10 %
13
06
점 M이 선분 AB의 중점이므로 AMÓ=15`cm … 1단계 따라서 2x+5=15이므로 x=5이다. … 2단계
단계 채점 기준 비율
1단계 AMÓ의 길이를 구한 경우 40 %
2단계 x의 값을 구한 경우 60 %
5
07
ADÓ=2a`cm라고 하면 ABÓ=8a`cm ACÓ=4a`cm이고 DBÓ=6a`cm
DEÓ=;2!; DBÓ=3a`cm이고 DCÓ=2a`cm이므로
CEÓ=DEÓ-DCÓ=3a-2a=a`(cm) … 1단계 CEÓ=1`cm에서 a=1이 되어
ABÓ=8_1=8`(cm) … 2단계
단계 채점 기준 비율
1단계 ABÓ의 길이와 CEÓ의 길이의 관계를 찾은 경우 60 %
2단계 ABÓ의 길이를 구한 경우 40 %
8`cm
08
점 E는 ABÓ의 중점이므로
EBÓ=5`cm … 1단계
CGÓ=;2!; CDÓ=;2!;_8=4`(cm) 점 F는 CGÓ의 중점이므로
CFÓ=4_;2!;=2`(cm) … 2단계
∴ EFÓ =EBÓ+BCÓ+CFÓ
=5+12+2=19`(cm) … 3단계
단계 채점 기준 비율
1단계 EBÓ의 길이를 구한 경우 30 %
2단계 CFÓ의 길이를 구한 경우 40 %
3단계 EFÓ의 길이를 구한 경우 30 %
19`cm
09
평각의 크기는 180ù이므로
(3∠x-35ù)+90ù+(∠x+25ù)=180ù에서
4∠x=100ù ∴ ∠x=25ù … 1단계 맞꼭지각의 크기는 서로 같으므로
∠a =(3∠x-35ù)+90ù
=3_25ù-35ù+90ù
=130ù … 2단계
단계 채점 기준 비율
1단계 ∠x의 크기를 구한 경우 50 %
2단계 ∠a의 크기를 구한 경우 50 %
130ù
10
∠AOD가 평각이므로
∠AOB+∠COD=180ù-90ù=90ù … 1단계
∠COD=3∠AOB이므로 4∠AOB=90ù
∴ ∠AOB=22.5ù … 2단계
단계 채점 기준 비율
1단계 ∠AOB+∠COD의 크기를 구한 경우 50 %
2단계 ∠AOB의 크기를 구한 경우 50 %
22.5ù
11
MBÓ=;2!; ABÓÓ이므로 x=;2!;_12=6 … 1단계
∠PMB=90ù이므로
y=90-30=60 … 2단계
∴ x+y=6+60=66 … 3단계
단계 채점 기준 비율
1단계 x의 값을 구한 경우 40 %
2단계 y의 값을 구한 경우 40 %
3단계 x+y의 값을 구한 경우 20 %
66
12
접은 각의 크기가 같으므로
∠x=90ù-35ù_2=20ù … 1단계
∠y=180ù-2_(90ù-35ù)=70ù … 2단계
∴ ∠y-∠x=70ù-20ù=50ù … 3단계
단계 채점 기준 비율
1단계 ∠x의 크기를 구한 경우 40 %
2단계 ∠y의 크기를 구한 경우 40 %
3단계 ∠y-∠x의 크기를 구한 경우 20 %
50ù
13
점 A와 직선 CE 사이의 거리는 수선의 발인 E까지의 거리와 같 으므로
AEÓ=9+5=14`(cm)에서 x=14 … 1단계 점 C와 직선 AE 사이의 거리는 수선의 발인 E까지의 거리와 같 으므로
CEÓ=12`cm에서 y=12 … 2단계
∴ x+y=14+12=26 … 3단계
단계 채점 기준 비율
1단계 x의 값을 구한 경우 40 %
2단계 y의 값을 구한 경우 40 %
3단계 x+y의 값을 구한 경우 20 %
26
14
면 BEFC와 수직인 면은 면 ABC, 면 DEF, 면 ADEB로 3개
이므로 a=3 … 1단계
면 ABC와 평행한 모서리는 모서리 DE, 모서리 EF, 모서리
DF로 3개이므로 b=3 … 2단계
∴ a+b=3+3=6 … 3단계
단계 채점 기준 비율
1단계 a의 값을 구한 경우 40 %
2단계 b의 값을 구한 경우 40 %
3단계 a+b의 값을 구한 경우 20 %
6
15
lm이므로 ∠x=35ù (엇각)
∠y=180ù-110ù=70ù (엇각) 맞꼭지각의 크기는 서로 같으므로
∠z+∠y+35ù=180ù
∠z+70ù+35ù=180ù에서 ∠z=75ù … 1단계
∴ ∠x-∠y+∠z =35ù-70ù+75ù=40ù … 2단계
단계 채점 기준 비율
1단계 ∠x, ∠y, ∠z의 크기를 각각 구한 경우 각 30 % 2단계 ∠x-∠y+∠z의 크기를 구한 경우 10 %
40ù
16
점 B를 지나고 두 직선 l, m에 평행한 직선을 그으면
∠ABC+∠CBD=18ù+69ù=87ù
… 1단계
이고 ∠ABC=2∠CBD이므로
2∠CBD+∠CBD=87ù에서 3∠CBD=87ù이므로
∠CBD=29ù … 2단계
∴ ∠ABC=2∠CBD=2_29ù=58ù … 3단계
단계 채점 기준 비율
1단계 ∠ABC+∠CBD의 크기를 구한 경우 40 %
2단계 ∠CBD의 크기를 구한 경우 40 %
3단계 ∠ABC의 크기를 구한 경우 20 %
58ù
#
$
%
"
N M
±
±
±
±
17
FIê와 꼬인 위치에 있는 직선은 ABê, AEê, CDê, GHê, GJê의 5개 이므로 a=5
면 ABHG와 평행한 직선은 DEê, DFê, EJê, FIê, IJê의 5개이므로 b=5
면 BHIFC와 수직인 면은 면 BHGA, 면 ABCDE,
면 DFIJE, 면 GHIJ의 4개이므로 c=4 … 1단계
∴ a+b+c=5+5+4=14 … 2단계
단계 채점 기준 비율
1단계 a, b, c의 값을 각각 구한 경우 각 30 %
2단계 a+b+c의 값을 구한 경우 10 %
14
18
점 B를 지나 DEê에 평행한 직선 l을 그으면
∠a=2∠x+15ù (동위각)
∠b=55ù (동위각)에서
∠a+∠b=3∠x+20ù 즉 2∠x+15ù+55ù
=3∠x+20ù … 1단계
∴ ∠x=50ù … 2단계
단계 채점 기준 비율
1단계 동위각의 성질을 이용하여 등식을 세운 경우 60 %
2단계 ∠x의 크기를 구한 경우 40 %
50ù
19
∠ABC=∠a, ∠CAB=∠b라고 하면 lm이므로 ∠EAB+∠ABD=180ù에서 2(∠a+∠b)=180ù
즉, ∠a+∠b=90ù이고 … 1단계
△ABC에서 세 내각의 크기의 합은 180ù이므로
∠ACB+∠a+∠b=180ù 따라서 ∠ACB+90ù=180ù에서
∠ACB=90ù … 2단계
단계 채점 기준 비율
1단계 ∠a+∠b의 크기를 구한 경우 60 %
2단계 ∠ACB의 크기를 구한 경우 40 %
90ù M
#
" % ' $
& (
B C ±
Y ±
Y ±
20
CDÓ=A'BÓ=12`cm … 1단계
∠DBE=∠ADB (엇각)이고
∠EDB=∠ADB (접은 각)이므로
∠EBD=∠EDB가 되어 △EDB는 이등변삼각형이다.
∴ DEÓ=BEÓ=15`cm … 2단계
한편 A'DÓ=A'EÓ+EDÓ=9+15=24`(cm)이므로 BCÓ=ADÓ=A'DÓ=24`(cm)에서
ECÓ=BCÓ-BEÓ=24-15=9`(cm) … 3단계
∴ (△DEC의 둘레의 길이)
=CDÓ+DEÓ+ECÓ
=12+15+9
=36`(cm) … 4단계
단계 채점 기준 비율
1단계 CDÓ의 길이를 구한 경우 20 %
2단계 DEÓ의 길이를 구한 경우 40 %
3단계 ECÓ의 길이를 구한 경우 20 %
4단계 △DEC의 둘레의 길이를 구한 경우 20 %
36`cm
21
정오각형의 한 내각의 크기는 180ù_(5-2)
5 =108ù이므로 … 1단계
∠a=180ù-(48ù+108ù)=24ù 점 E, D를 지나고 직선 l에 평행한 직 선 n, k를 그으면
ln이므로
∠b=∠a=24ù (엇각)
∠c=108ù-24ù=84ù nk이므로
∠d=180ù-∠c=180ù-84ù=96ù
∠e=108ù-96ù=12ù km이므로
∠x=∠e=12ù (엇각) … 2단계
단계 채점 기준 비율
1단계 정오각형의 한 내각의 크기를 구한 경우 30 %
2단계 ∠x의 크기를 구한 경우 70 %
12ù
"
#
&
%
$ NL
O CB
D F E
M
Y
±
2. 작도와 합동
중단원
서술형 대비 본문 74~77쪽01~ 04
풀이 참조05
406
207
4개08
풀이 참조09
x>310
9611
12512
풀이 참조13
풀이 참조14
10`cm15
90ù16
13`cm17
73ù18
△BCE, 60ù19
95ù01
∠F의 대응각은 ∠B 이므로 xù= 70ù 에서 x= 70
∠A의 대응각은 ∠E 이므로
yù=360ù-(70ù+85ù+110ù)= 95ù 에서 y= 95 ABÓ의 대응변은 EFÓ이므로
z= 6 … 1단계
∴ x+y+z= 171 … 2단계
단계 채점 기준 비율
1단계 x, y, z의 값을 각각 구한 경우 각 30 %
2단계 x+y+z의 값을 구한 경우 10 %
풀이 참조
02
x`cm가 가장 긴 변이면 x< 4+5 , x<9 5`cm가 가장 긴 변이면 5< x+4 , 1<x
이므로 구하는 x의 값의 범위는 1 <x< 9 … 1단계 따라서 자연수인 x는 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 로 모두 7 개이다.
… 2단계
단계 채점 기준 비율
1단계 x의 값의 범위를 구한 경우 60 %
2단계 자연수 x의 개수를 구한 경우 40 %
풀이 참조
03
△AOP와 △BOP에서 ∠PAO= ∠PBO =90ù
∠POA= ∠POB 이므로 ∠APO= ∠BPO
또한, OPÓ 는 공통이므로 … 1단계
△AOPª△BOP ( ASA 합동) … 2단계
단계 채점 기준 비율
1단계 합동인 이유를 설명한 경우 70 %
2단계 합동 조건을 찾은 경우 30 %
풀이 참조
04
△ADE와 △DBF에서 점 D는 ABÓ의 중점이므로 ADÓ= DBÓ
BCÓDEÓ이므로 ∠ADE= ∠DBF (동위각)
ACÓDFÓ이므로 ∠EAD= ∠FDB (동위각) … 1단계
∴ △ADEª △DBF ( ASA 합동) … 2단계
단계 채점 기준 비율
1단계 합동인 이유를 설명한 경우 70 %
2단계 합동 조건을 찾은 경우 30 %
풀이 참조
05
PDÓ와 길이가 같은 선분은
OAÓ, OBÓ, PCÓ로 3개이므로 a=3 … 1단계 CDÓ와 길이가 같은 선분은 ABÓ로 한 개이므로 b=1 … 2단계
∴ a+b=3+1=4 … 3단계
단계 채점 기준 비율
1단계 a의 값을 구한 경우 40 %
2단계 b의 값을 구한 경우 40 %
3단계 a+b의 값을 구한 경우 20 %
4
06
컴퍼스 사용: ②, ③, ④, ⑤이므로 a=4 … 1단계 눈금 없는 자 사용: ①, ⑥이므로 b=2 … 2단계
∴ a-b=4-2=2 … 3단계
단계 채점 기준 비율
1단계 a의 값을 구한 경우 40 %
2단계 b의 값을 구한 경우 40 %
3단계 a-b의 값을 구한 경우 20 %
2
07
x=1이면 1+y>6에서 y>5이므로 만족하는 순서쌍은 없다.
x=2이면 2+y>6에서 y>4이므로
만족하는 순서쌍은 (2, 5) … 1단계
x=3이면 3+y>6에서 y>3이므로
만족하는 순서쌍은 (3, 4), (3, 5) … 2단계 x=4이면 4+y>6에서 y>2이므로
만족하는 순서쌍은 (4, 5) … 3단계
따라서 순서쌍 (x, y)의 개수는 4개이다. … 4단계
단계 채점 기준 비율
1단계 x=2일 때 만족하는 순서쌍을 구한 경우 20 % 2단계 x=3일 때 만족하는 순서쌍을 구한 경우 50 % 3단계 x=4일 때 만족하는 순서쌍을 구한 경우 20 %
4단계 순서쌍의 개수를 구한 경우 10 %
4개
08
① ACÓ의 길이가 주어지면 SSS 합동 … 1단계
② ∠B의 크기가 주어지면 SAS 합동 … 2단계
단계 채점 기준 비율
1단계 ①을 구한 경우 50 %
2단계 ②를 구한 경우 50 %
풀이 참조
09
가장 긴 변이 x+2이므로 (x-1)+x>x+2에서 … 1단계
x>3 … 2단계
단계 채점 기준 비율
1단계 가장 긴 변의 길이가 나머지 두 변의 길이의 합보다
작음을 이용하여 식을 세운 경우 60 %
2단계 x의 값의 범위를 구한 경우 40 %
x>3
10
BCÓ의 대응변의 길이는 FGÓ이므로 x=6 … 1단계
∠G=∠C=70ù이므로
yù=360ù-(110ù+90ù+70ù)=90ù에서
y=90 … 2단계
∴ x+y=6+90=96 … 3단계
단계 채점 기준 비율
1단계 x의 값을 구한 경우 40 %
2단계 y의 값을 구한 경우 40 %
3단계 x+y의 값을 구한 경우 20 %
96
11
PQÓ의 대응변이 ABÓ이므로 a=5
∠R의 대응각이 ∠C이므로 b=55
∠A의 대응각이 ∠P이므로
c=180-(55+60)=65 … 1단계
∴ a+b+c=5+55+65=125 … 2단계
단계 채점 기준 비율
1단계 a, b, c의 값을 각각 구한 경우 각 30 %
2단계 a+b+c의 값을 구한 경우 10 %
125
12
△GHI와 △LKJ에서 GHÓ=LKÓ, ∠G=∠L=100ù GIÓ=LJÓ이므로
△GHIª△LKJ … 1단계
두 변의 길이와 그 끼인각의 크기가 각각 같으므로 합동이다.
… 2단계
단계 채점 기준 비율
1단계 합동임을 기호로 나타낸 경우 50 %
2단계 합동 조건을 말한 경우 50 %
풀이 참조
13
△ABC와 △CDA에서
ABÓCDÓ이므로 ∠BAC=∠DCA, ADÓBCÓ이므로 ∠DAC=∠BCA ACÓ는 공통이므로
△ABCª△CDA … 1단계
한 변의 길이와 그 양 끝 각의 크기가 각각 같으므로 합동이다.
… 2단계
단계 채점 기준 비율
1단계 합동인 두 삼각형을 기호로 나타낸 경우 50 %
2단계 합동 조건을 말한 경우 50 %
풀이 참조
14
△BCE와 △DCF에서 BCÓ=DCÓ=8`cm
∠BCE=∠DCF=90ù CEÓ=CFÓ=6`cm
이므로 △BCEª△DCF (SAS 합동) … 1단계
∴ DFÓ=BEÓ=10`cm … 2단계
단계 채점 기준 비율
1단계 합동인 두 삼각형을 찾은 경우 70 %
2단계 DFÓ의 길이를 구한 경우 30 %
10`cm
15
△ABCª△BDE이므로
∠EBD=∠A=30ù이고 ∠ACB=∠E=60ù이다. … 1단계
△BCG에서 ∠x+30ù+60ù=180ù이므로
∠x=90ù … 2단계
단계 채점 기준 비율
1단계 ∠EBD, ∠ACB의 크기를 각각 구한 경우 60 %
2단계 ∠x의 크기를 구한 경우 40 %
90ù
16
△ABD와 △ACE에서
ABÓ=ACÓ, ADÓ=AEÓ, ∠BAD=∠CAE이므로
△ABDª△ACE (SAS 합동) … 1단계
∴ CEÓ=BDÓ=6+7=13`(cm) … 2단계
단계 채점 기준 비율
1단계 △ABD와 △ACE가 합동임을 보인 경우 60 %
2단계 CEÓ의 길이를 구한 경우 40 %
13`cm
17
ABÓ=ADÓ이므로
△ABE를 △ADE' 위치로 옮기면
∠FAE'= +×=90ù-45ù=45ù
△AEF와 △AE'F에서 AEÓ=AE'Ó , ∠EAF=∠E'AF AFÓ는 공통이므로
△AEFª△AE'F (SAS 합동) … 1단계
∴ ∠AFD =180ù-(45ù+62ù)
=73ù … 2단계
단계 채점 기준 비율
1단계 합동인 삼각형을 찾아 이유를 설명한 경우 60 %
2단계 ∠AFD의 크기를 구한 경우 40 %
73ù
" %
# &
&
'
$
±
±
18
△ABD와 △BCE에서
# % $
&
'
"
ABÓ=BCÓ, BDÓ=CEÓ,
∠ABD=∠BCE이므로
△ABDª△BCE (SAS 합동)
… 1단계
이므로 ∠BAD=∠CBE이고
∠BDA=∠CEB이다.
∴ ∠CBE+∠BDA
=∠CBE+∠CEB
=180ù-∠C=180ù-60ù=120ù 한편
∠AFE=∠BFD (맞꼭지각)이므로
∠AFE =∠BFD=180ù-(∠FBD+∠FDB)
=180ù-120ù=60ù … 2단계
단계 채점 기준 비율
1단계 △ABD와 합동인 삼각형을 찾아 이유를 설명한 경
우 60 %
2단계 ∠AFE의 크기를 구한 경우 40 %
△BCE, 60ù
19
△ABD와 △CBE에서
ABÓ=CBÓ, ∠ABD=∠CBE=60ù
BDÓ=BEÓ이므로 △ABDª△CBE (SAS 합동) … 1단계
∴ ∠ADB=∠CEB=60ù+25ù=85ù … 2단계
∴ ∠ADC=180ù-85ù=95ù … 3단계
단계 채점 기준 비율
1단계 합동인 삼각형을 찾아 이유를 설명한 경우 50 %
2단계 ∠ADB의 크기를 구한 경우 30 %
3단계 ∠ADC의 크기를 구한 경우 20 %
95ù