중단원 실전 테스트
1. 다면체와 회전체
Ⅶ . 입체도형
10
주어진 전개도로 만든 회전체는 원뿔이다.
원뿔을 회전축을 포함하는 평면으로 자른 단면과 회전축에 수직 인 평면으로 자른 단면을 각각 구하면 다음과 같다.
따라서 이등변삼각형, 원이다.
④
11
회전체와 회전축을 포함하는 단면은 다음과 같다.
ADN
ADN
ADN
(단면의 넓이)=;2!;_(10+14)_8=96`(cmÛ`)
②
12
n각기둥의 모서리의 개수는 3n개, 면의 개수는 (n+2)개이다.
모서리와 면의 개수의 차가 12개이므로 3n-(n+2)=12
2n=14, n=7
입체도형은 칠각기둥이고 밑면의 모양은 칠각형이다.
③
13
두 밑면은 서로 평행하고, 옆면의 모양이 사다리꼴인 입체도형은 각뿔대이다.
n각뿔대의 면의 개수가 (n+2)개이므로 십이면체인 각뿔대는 십각뿔대이다.
⑤
14
$
#
$ (
# )
% '
" *
&
+
"
% &
+ * )
' (
BCÓ와 겹치는 모서리는 GHÓ이다.
⑤
15
① M
② M
③ M
④ M
⑤
16
① ②
④ ⑤
③
17
ㄱ. 회전체는 다면체가 아니다.
ㄷ. 원뿔대는 회전축에 수직인 평면으로 자를 때 생기는 단면의 모양은 모두 원이지만 합동은 아니다.
따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄹ이다.
④
18
면은 7개이므로 a=7 모서리는 15개이므로 b=15 꼭짓점은 10개이므로 c=10
∴ a+b-c=7+15-10=12
12
19
n각뿔은 면의 개수와 꼭짓점의 개수가 모두 (n+1)개이다.
(n+1)+(n+1)=22, 2n+2=22, n=10 즉, 입체도형은 십각뿔이다.
십각뿔의 모서리는 20개이다.
20개
20
주어진 그림의 입체도형의 면은 7개이므로 구하는 각뿔대의 면 은 10개이다.
면이 10개인 각뿔대는 팔각뿔대이다.
팔각뿔대의 모서리는 24개이고 꼭짓점은 16개이므로 24-16=8(개)
8개
21
각 면이 모두 합동인 정다각형이고 각 꼭짓점에 모인 면의 개수 가 같으므로 조건을 만족하는 다면체는 정다면체이다.
모든 면이 합동인 정삼각형인 정다면체는 정사면체, 정팔면체, 정이십면체이고 한 꼭짓점에 모이는 면이 5개인 것은 정이십면 체이다.
정이십면체
22
회전체는 다음 그림의 왼쪽과 같고 회전축을 포함하는 평면으로 자른 단면은 그림의 오른쪽과 같다.
ADN
ADN
ADN
ADN
따라서 단면의 넓이는 2_{;2!;_6_8}=48`(cmÛ`)
48`cmÛ`
23
팔각뿔의 모서리는 16개이므로
a=16 … 1단계
칠각기둥의 모서리는 21개이므로
b=21 … 2단계
∴ a+b=16+21=37 … 3단계
단계 채점 기준 비율
1단계 a의 값을 구한 경우 40 %
2단계 b의 값을 구한 경우 40 %
3단계 a+b의 값을 구한 경우 20 %
37
24
n각뿔대의 꼭짓점의 개수가 2n개이므로 2n=16, n=8
따라서 주어진 입체도형은 팔각뿔대이다. … 1단계 팔각뿔대의 면의 개수는 10개이므로
a=10 … 2단계
n각뿔대의 모서리의 개수가 3n개이므로
모서리의 개수는 24개이다. 즉 b=24 … 3단계
∴ a+b=10+24=34 … 4단계
단계 채점 기준 비율
1단계 입체도형의 이름을 구한 경우 30 %
2단계 a의 값을 구한 경우 30 %
3단계 b의 값을 구한 경우 30 %
4단계 a+b의 값을 구한 경우 10 %
34
25
회전체와 회전축을 포함하는 평면으로 자른 단면을 짝지으면
원기둥 - ⑴ 직사각형 … 1단계
⑵ 원뿔 - 삼각형 … 2단계
원뿔대 - ⑶ 사다리꼴 … 3단계
⑷ 반구 - 반원 … 4단계
단계 채점 기준 비율
1단계 ⑴의 단면을 구한 경우 25 %
2단계 ⑵의 회전체를 구한 경우 25 %
3단계 ⑶의 단면을 구한 경우 25 %
4단계 ⑷의 회전체를 구한 경우 25 %
⑴ 직사각형 ⑵ 원뿔 ⑶ 사다리꼴 ⑷ 반구
2. 입체도형의 겉넓이와 부피
중단원
실전 테스트 본문 62~65쪽01
④02
②03
⑤04
④05
③06
①07
③08
②09
⑤10
③11
②12
①13
④14
③15
③16
①17
⑤18
224`cmÛ`19
12520
48p`cmÛ`21
54p`cmÜ`22
208p`cmÛ`23
924
2225
36p`cmÜ`01
(겉넓이) =(밑넓이)_2+(옆넓이)
=(4_6)_2+(4+6+4+6)_8
=48+160=208`(cmÛ`)
④
02
(겉넓이) =(밑넓이)_2+(옆넓이)
=p_5Û`_2+10p_4
=50p+40p=90p`(cmÛ`)
②
03
(밑넓이)=;2!;_3_6=9`(cmÛ`) (부피)=9_h=9h`(cmÜ`) 이므로
9h=81, h=9
⑤
04
(부피)=p_7Û`_5=245p`(cmÜ`)
④
05
입체도형은 오른쪽 그림과 같으므로 (부피) =p_6Û`_6-p_2Û`_6
=216p-24p
=192p`(cmÜ`)
③
06
(밑넓이)=8_8=64`(cmÛ`)
ADN
ADN
ADN
(옆넓이)=;2!;_8_10_4=160`(cmÛ`) (겉넓이) =(밑넓이)+(옆넓이)
=64+160=224`(cmÛ`)
①
07
밑면의 반지름의 길이를 r`cm라고 하면 prÛ`=49p, rÛ`=49
r>0이므로 r=7
(겉넓이) =49p+p_7_9
=49p+63p=112p`(cmÛ`)
③
08
(부피)=;3!;_10_10_10-;3!;_4_4_4
= 1000 3 - 64 3 =312`(cmÜ`)
②
09
(그릇의 부피)=;3!;_p_5Û`_12=100p`(cmÜ`)
초당 4p`cmÜ` 씩 물을 넣으므로 빈 그릇을 가득 채우는 데 걸리는 시간은
100p 4p =25(초)
⑤
10
구의 반지름의 길이를 r`cm라고 하면 prÛ`=64p, rÛ`=64
r>0이므로 r=8
(겉넓이)=(4_p_8Û`)_;2!;+64p
=128p+64p=192p`(cmÛ`)
③
11
구의 반지름의 길이를 r`cm라고 하면 4prÛ`=64p, rÛ`=16
r>0이므로 r=4
(부피)=;3$;_p_4Ü`= 256p 3
` (cmÜ`)
②
12
(밑넓이)=10_8-5_4=60`(cmÛ`)
(옆넓이) =(10+8+10+8)_6+(5+4+5+4)_6
=324`(cmÛ`)
(겉넓이) =60_2+324
=120+324=444`(cmÛ`)
①
13
밑면의 한 변의 길이를 a`cm라고 하면
;3!;_aÛ`_8=384, aÛ`=144 a>0이므로 a=12
(밑넓이)=12_12=144`(cmÛ`)
(옆넓이)={;2!;_12_10}_4=240`(cmÛ`) (겉넓이) =(밑넓이)+(옆넓이)
=144+240=384`(cmÛ`)
④
14
(부피)=(p_6Û`_8)_;4!;-(p_3Û`_8)_;4!;
=72p-18p=54p`(cmÜ`)
③
15
입체도형은 오른쪽 그림과 같으므로 (부피)=;3!;_p_5Û`_12-p_2Û`_6
=100p-24p
=76p`(cmÜ`)
③
16
구의 부피는 ;3$;p_6Ü`=288p`(cmÜ`)
원뿔의 높이를 h라고 하면 원뿔의 부피는 구의 부피의 ;3!;이므로
;3!;_p_6Û`_h=288p_;3!;
12h=96 ∴ h=8
따라서 원뿔의 높이는 8`cm이다.
①
ADN
ADN
ADN
ADN
17
회전체는 오른쪽 그림과 같으므로 (겉넓이)
=;2!;_(작은 구의 겉넓이)
+ (폭이 2`cm인 둥근 띠 모양의 넓이)
+;2!;_(큰 구의 겉넓이)
=;2!;_4p_4Û`+(p_6Û`-p_4Û`)+;2!;_4p_6Û`
=32p+20p+72p=124p`(cmÛ`)
⑤
18
앞면과 뒷면의 넓이는 한 변의 길이가 4`cm인 정사각형 3개의 넓이, 나머지 4개의 면은 정사각형 2개의 넓이와 같으므로 (겉넓이) =(4Û`_3)_2+(4Û`_2)_4
=96+128=224`(cmÛ`)
224`cmÛ`
19
정육면체는 6개의 정사각형으로 둘러싸인 다면체이므로 한 면의 넓이는 150Ö6=25`(cmÛ`)이다.
즉, 정육면체의 한 모서리의 길이가 5`cm이다.
세 모서리의 중점을 지나는 평면으로 잘라낸 삼각뿔의 부피는
;3!;_{;2!;_;2%;_;2%;}_;2%;= 12548 `(cmÜ`)
a= 12548 이므로 48a=48_ 12548 =125
125
20
원뿔의 모선의 길이를 l`cm라고 하면 원뿔을 3바퀴 돌릴 때 원 뿔의 밑면이 지나간 길이는 원뿔의 모선의 길이를 반지름으로 하 는 원주와 같으므로
(2p_4)_3=2p_l, 24p=2pl, l=12 따라서 원뿔의 옆넓이는
p_4_12=48p`(cmÛ`)
48p`cmÛ`
ADN
ADN
ADN
21
입체도형을 오른쪽 그림과 같이 붙이면 원 기둥이 생긴다.
따라서 구하는 입체도형의 부피는 이 원기 둥의 부피의 ;2!;이다.
(부피)=;2!;_(p_3Û`_12)=54p`(cmÜ`)
54p`cmÜ`
22
회전체는 다음과 같다.
ADN ADN
(겉넓이)=4p_8Û`_;2!;+4p_4Û`_;2!;+(p_8Û`-p_4Û`)
=128p+32p+48p
=208p`(cmÛ`)
208p`cmÛ`
23
(상자 A의 부피)=p_9Û`_4=324p`(cmÜ`) … 1단계 (상자 B의 부피)=p_6Û`_x=36px`(cmÜ`) … 2단계
36px=324p, x=9 … 3단계
단계 채점 기준 비율
1단계 상자 A의 부피를 구한 경우 40 %
2단계 상자 B의 부피를 x의 식으로 나타낸 경우 40 %
3단계 x의 값을 구한 경우 20 %
9
24
(밑넓이)=p_4Û`_ 45 360=2p`(cmÛ`) (옆넓이)=8p_ 45 360_6+4_6_2
=6p+48`(cmÛ`)
(겉넓이) =(밑넓이)_2+(옆넓이)
=2p_2+(6p+48)
=10p+48`(cmÛ`) … 1단계 ap+48=10p+48에서 a=10
(부피) =(밑넓이)_(높이)
=2p_6=12p`(cmÜ`) … 2단계 bp=12p에서 b=12
ADN
ADN
ADN
ADN
ADN
∴ a+b=10+12=22 … 3단계
단계 채점 기준 비율
1단계 겉넓이를 구한 경우 50 %
2단계 부피를 구한 경우 30 %
3단계 a+b의 값을 구한 경우 20 %
22
25
원기둥의 높이는 3_4=12`(cm)이므로
(원기둥의 부피)=p_3Û`_12=108p`(cmÜ`) … 1단계 (구의 부피)=;3$;p_3Ü`=36p`(cmÜ`) … 2단계 (비어 있는 부분의 부피)=108p-36p_2=36p`(cmÜ`)
… 3단계
단계 채점 기준 비율
1단계 원기둥의 부피를 구한 경우 40 %
2단계 구의 부피를 구한 경우 40 %
3단계 비어 있는 부분의 부피를 구한 경우 20 %
36p`cmÜ`