8
개념 마스터
step p.154 ~ p.155
0959 답 P(2, 1), Q(-4, 2), R(1, -3), S(-2, -1),
step p.156 ~ p.161
0976 전략 (1, 5)와 (5, 1)은 서로 다른 순서쌍이다.
0988 전략 x축, y축 위의 점은 어느 사분면에도 속하지 않는다.
0992 a>0, b<0이므로 ab<0, -a+b<0
따라서 점 (ab, -a+b)는 제 3사분면 위의 점이다. a+b>0, ab>0 ∴ a>0, b>0
① a>0, b>0이므로 점 (a, b)는 제 1사분면 위의 점이다. =;2!;_(4+5)_9-;2!;_4_8-;2!;_5_1
=:¥2Á:-16-;2%;=22 답 22
1000 두 점 A, B가 x축에 대칭이므로 x좌표는 같고, y좌표는 부 호가 반대이다. 즉
a-1=-2a+5에서 3a=6 ∴ a=2
-b+2=-(-b+4)에서 -2b=-6 ∴ b=3
∴ b-a=3-2=1 답 1
1001 점 A(a, b)가 제 2사분면 위의 점이므로 a<0, b>0
∴ a-b<0, ab<0
따라서 점 B(a-b, ab)와 원점에 대칭인 점의 좌표의 부호는 (+, +)이므로 제 1사분면 위의 점이다. 답 제 1사분면
1007 원기둥 모양의 그릇에서 물을 일정하게 뺄 때, 원기둥의 밑 넓이가 넓을수록 물의 높이가 천천히 감소하므로 x와 y 사이 의 관계를 나타내는 그래프는 먼저 y의 값이 빠르게 감소하 다가 y의 값이 천천히 감소하는 ㉡이다. 답 ㉡
1002 전략 x의 값이 0에서 2까지 증가할 때 y의 값은 증가하고, x의 값이 2에서 4까지 증가할 때 y의 값은 감소한다.
㉡ x=4일 때, y=0이다.
㉢ x의 값이 2에서 4까지 증가할 때, y의 값은 4에서 0으로
감소한다. 답 ㉠, ㉣
1003 ② ㈎에서 이 물체는 매초 3`m의 일정한 속력으로 움직이고 있다.
③ ㈏에서 이 물체의 속력이 매초 3`m에서 매초 6`m까지 증 가하고 있다.
④ ㈐에서 이 물체의 속력이 매초 6`m에서 매초 0`m까지 감 소하고 있다.
1004 ①, ③ 이동이 멈춘 시간이 16분이므로 선우가 집에서 학교 까지 가는 데 걸린 시간은 16분이고, 그때 걸은 거리는 800`m이므로 집에서 학교까지의 거리는 800`m이다.
② 6분 동안 걸어간 후 친구와 만나 16분까지 함께 걸었으므 로 친구와 같이 걸어간 시간은 16-6=10(분)이다.
④ 6분 동안 400`m 이동했으므로 선우가 처음 6분 동안 걸 은 속력은 매분 ;;¢;6);¼;;=;;ª;3);¼;; (m)이다.
⑤ 선우가 친구와 함께 걸은 10분 동안 걸은 거리가 400`m 이므로 속력은 매분 ;;¢1¼0¼;;=40 (m)
이때 ;;ª;3);¼;;>40이므로 선우는 친구와 함께 걸은 10분보다 처음 6분을 더 빠르게 걸었다.
따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다. 답 ⑤
1005 A는 출발한 지 5분 후에 결승점에 도착했고 B는 A가 출발 한 지 4분 후에 결승점에 도착했으므로 시합에서 이긴 사람 은 B이다.
한편 B는 A가 출발한 지 1분 후에 출발했으므로 B는 출발 한 지 4-1=3(분) 후에 결승점에 도착했다.
이때 수현이는 동생보다 늦게 출발했으므로 B는 수현, A는 수현이 동생이다.
답 수현, 3분 후
1006 용기에 일정하게 물을 채울 때 ㉮, ㉯에서 일정하게 높이 가 증가하므로 각각 용기의 너비가 일정해야 한다.
또 ㉯에서 ㉮보다 물의 높이가 천천히 증가하므로 ㉯구간의 용기의 너비는 ㉮구간의 용기의 너비보다 넓어야 한다.
따라서 그래프에 해당하는 용기는 E이다. 답 E
㉮
㉯
x(분) y(cm)
O
0999 두 점 A, B가 원점에 대칭이므로 x좌표, y좌표의 부호가 모 두 반대이다. 즉
-2=-(a+3)에서 -2=-a-3 ∴ a=-1 -2b=-(-4)에서 -2b=4 ∴ b=-2
∴ a+b=-1+(-2)=-3 답 -3
0998 전략 점 (a, b)에 대하여 y축에 대칭인 점 ➡ (-a, b) 두 점 (a, 2), (3, b)가 y축에 대칭이므로 x좌표는 부호가 반 대이고, y좌표는 같다.
따라서 a=-3, b=2이므로
a-b=-3-2=-5 답 -5
0997 점 P가 제 2사분면 위의 점이므로
xy<0, y-x>0 ∴ x<0, y>0 …… ㈎ 따라서 -y<0, -x>0이므로 …… ㈏ 점 Q(-y, -x)는 제 2사분면 위의 점이다. …… ㈐ 답 제 2사분면
채점 기준 비율
㈎ x, y의 부호 구하기 40 %
㈏ -y, -x의 부호 구하기 40 %
㈐ 점 Q가 속한 사분면 판단하기 20 %
⑤ x=10일 때, 이 물체의 속력은 매초 0`m이므로 정지하였 다.
따라서 옳지 않은 것은 ②이다. 답 ②
1010 a-b의 값이 최소가 될 때는 a의 값이 가장 작고 b의 값이 가
step p.162 ~ p.163
1011 답
1012 답 정비례 관계
1013 ;[};=;1$;=;2*;=:Á3ª:=:Á4¤:=4
∴ y=4x 답 y=4x
step p.164 ~ p.171
1027 전략 y가 x에 정비례하므로 y=ax(a+0)의 꼴이다.
1031 ⑴ 고양이 한 마리의 다리는 4개이므로 x마리의 다리의 수는 4x개이다.
따라서 x와 y 사이의 관계식은 y=4x이다.
⑵ 1분에 16장을 인쇄할 수 있으므로 x분 동안 16x장을 인 쇄할 수 있다.
따라서 x와 y 사이의 관계식은 y=16x이다.
답 ⑴ y=4x ⑵ y=16x
1032 ① y=3x
② y=100-5x
③ y=1000x+600
④ y=:£ [);¼:
⑤ y=2_3.14_x=6.28x
따라서 y가 x에 정비례하는 것은 ①, ⑤이다. 답 ①, ⑤
1033 전략 y가 x에 정비례한다. ➡ y=ax(a+0)로 놓는다.
y가 x에 정비례하므로 y=ax로 놓고 x=2, y=12를 대입하면
12=2a ∴ a=6, 즉 y=6x y=6x에 x=-3을 대입하면
y=6_(-3)=-18 답 -18
1034 y가 x에 정비례하므로 y=ax로 놓고 x=2, y=-10을 대입하면
-10=2a ∴ a=-5, 즉 y=-5x 답 y=-5x
1035 y가 x에 정비례하므로 y=ax로 놓고 x=-2, y=4를 대입하면
4=-2a ∴ a=-2, 즉 y=-2x …… ㈎ y=-2x에 x=-3, y=p를 대입하면
p=-2_(-3)=6 …… ㈏
y=-2x에 x=q, y=-12를 대입하면
-12=-2q ∴ q=6 …… ㈐
∴ p-q=6-6=0 …… ㈑
답 0
채점 기준 비율
㈎ x와 y 사이의 관계식 구하기 30 %
㈏ p의 값 구하기 25 %
㈐q의 값 구하기 25 %
㈑p-q의 값 구하기 20 %
1036 전략 y=;5#;x의 x에 -5, 0, 5를 대입해 본다.
y=;5#;x에
x=-5를 대입하면 y=;5#;_(-5)=-3
1037 y=-;4#;x에 x=-4를 대입하면 y=-;4#;_(-4)=3
즉 y=-;4#;x의 그래프는 원점과 점 (-4, 3)을 지나는 직
선이므로 ②이다. 답 ②
1038 전략 x=a-4, y=-2a+3을 y=;2!;x에 대입하면 등식이 성 립한다.
y=;2!;x에 x=a-4, y=-2a+3을 대입하면
-2a+3=;2!;_(a-4), -4a+6=a-4
-5a=-10 ∴ a=2 답 2
1039 주어진 점의 좌표를 y=3x에 대입했을 때, 등식이 성립하지 않는 것을 찾는다.
② 3+3_(-1) ④ ;3!;+3_1 답 ②, ④
1040 y=-;3!;x에 x=-3, y=a를 대입하면 a=-;3!;_(-3)=1
y=-;3!;x에 x=b, y=-1을 대입하면
-1=-;3!;b ∴ b=3
∴ a+b=1+3=4 답 4
1041 전략 |a|의 값이 작을수록 y=ax의 그래프가 x축에 가까워 진다.
④ x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다.
⑤ |-;3@;|<|-1|이므로 y=-;3@;x의 그래프가 y=-x의 그래프보다 x축에 더 가깝다.
따라서 옳지 않은 것은 ④이다. 답 ④
1042 ② 점 (-4, -12)를 지난다.
④ |3|>|-2|이므로 y=3x의 그래프가 y=-2x의 그래 프보다 y축에 더 가깝다.
⑤ 제 1사분면과 제 3사분면을 지난다.
따라서 옳지 않은 것은 ②, ⑤이다. 답 ②, ⑤ x=0을 대입하면 y=;5#;_0=0
x=5를 대입하면 y=;5#;_5=3
따라서 x의 값이 -5, 0, 5일 때, y=;5#;x의 그래프는 세 점 (-5, -3), (0, 0), (5, 3)인 ①이다. 답 ①
1043 ② a>0일 때, 제 1사분면과 제 3사분면을 지난다.
③ a<0일 때, x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다.
④ 점 (1, a)를 지난다.
⑤ a의 절댓값이 작을수록 x축에 가까워진다. 답 ①
1044 ㉠ |5|=5 ㉡ |;3!;|=;3!;
㉢ |-;5@;|=;5@; ㉣ y=-x에서 |-1|=1
㉤ |-7|=7 ㉥ y=2x에서 |2|=2
그래프를 y축에 가까운 것부터, 즉 x의 계수의 절댓값이 큰 것부터 차례로 나열하면 ㉤, ㉠, ㉥, ㉣, ㉢, ㉡이다.
답 ㉤, ㉠, ㉥, ㉣, ㉢, ㉡
1045 y=ax의 그래프가 제 2사분면과 제 4사분면을 지나므로 a<0
또 y=ax의 그래프가 y=-;3!;x의 그래프와 y=-4x의 그래프 사이에 있으므로 -4<a<-;3!;
따라서 a의 값이 될 수 있는 것은 ②이다. 답 ②
1046 전략 y=ax, y=bx에 그래프가 지나는 점의 좌표를 각각 대입 한다.
y=ax에 x=4, y=3을 대입하면 3=4a ∴ a=;4#;
y=bx에 x=1, y=-4를 대입하면 b=-4
∴ ab=;4#;_(-4)=-3 답 -3
1047 y=ax에 x=2, y=3a-1을 대입하면
3a-1=2a ∴ a=1 답 1
1048 y=ax에 x=4, y=-2를 대입하면 -2=4a ∴ a=-;2!;, 즉 y=-;2!;x y=-;2!;x에 x=-6, y=b를 대입하면 b=-;2!;_(-6)=3
∴ 2a+b=2_{-;2!;}+3=2 답 2
1049 구하는 식을 y=mx(m+0)로 놓고 y=mx에 x=5, y=-10을 대입하면
-10=5m ∴ m=-2, 즉 `y=-2x …… ㈎ y=-2x에 x=-2, y=a를 대입하면
a=-2_(-2)=4 …… ㈏
답 4
1050 전략 삼각형 QOP의 넓이가 24임을 이용하여 선분 PQ의 길이 를 구한다.
삼각형 QOP의 넓이가 24이므로
;2!;_4_(선분 PQ의 길이)=24에서 (선분 PQ의 길이)=12
즉 점 Q(4, 12)이므로 y=ax에 x=4, y=12를 대입하면
12=4a ∴ a=3 답 3
점 Q가 y=ax의 그래프 위에 있고 x좌표가 4이므로 y좌표는 4a ∴ Q(4, 4a)
즉 (선분 OP의 길이)=4, (선분 PQ의 길이)=4a이므로 삼각형 QOP의 넓이는 ;2!;_4_4a=24 ∴ a=3
채점 기준 비율
㈎ 그래프의 식 구하기 50`%
㈏ a의 값 구하기 50`%
보통은 원점을 지나는 직선을 나타내는 식을 y=ax로 놓 지만, 이 문제와 같이 문자 a가 다른 값을 나타내는 데 이미 사용 된 경우에는 a가 아닌 다른 문자를 써서 y=bx, y=mx 등으로 놓고 풀어야 한다.
1052 점 A는 y=2x의 그래프 위에 있고, y좌표가 2이므로 2=2x ∴ x=1, 즉 A(1, 2)
점 B는 y=;4#;x의 그래프 위에 있고, y좌표가 2이므로 2=;4#;x ∴ x=;3*;, 즉 B{;3*;, 2}
(선분 AB의 길이)=;3*;-1=;3%;이므로
(삼각형 AOB의 넓이)=;2!;_;3%;_2=;3%; 답 ;3%;
1053 전략 (삼각형의 넓이)=;2!;_(밑변의 길이)_(높이) y=;2!;_(선분 BP의 길이)_(선분 AB의 길이)
=;2!;_x_8=4x
1051 삼각형 AOB를 좌표평면 위에 나타내면 오른쪽 그림과 같다.
이때 점 A의 x좌표는 -6이므 로 y=-;3@;x에 x=-6을 대입 하면 y=-;3@;_(-6)=4 즉 점 A의 좌표는 (-6, 4)이다.
∴ (삼각형 AOB의 넓이)
=;2!;_(선분 BO의 길이)_(선분 AB의 길이)
=;2!;_6_4=12 답 12
x y
O A
-6B
y=- 32 x
1054 ⑴ y=;2!;_(선분 BP의 길이)_(선분 AB의 길이) 휘발유 15`L로 15_12=180`(km)를 달리므로 y=;3%;x에 y=180을 대입하면
1063 전략 사각형 ABCD가 정사각형이므로 점 A와 점 D의 y좌표 가 같고, 점 D와 점 C의 x좌표가 같다.
⑴ 사각형 ABCD는 한 변의 길이가 1인 정사각형이므로 (선분 AD의 길이)=(선분 DC의 길이)=1
따라서 점 A의 x좌표를 a라 하면
A(a, 2a), D(a+1, 2a), C(a+1, 2a-1)
⑵ 점 C는 y=;2!;x의 그래프 위의 점이므로 y=;2!;x에 x=a+1, y=2a-1을 대입하면
2a-1=;2!;(a+1), 4a-2=a+1 3a=3 ∴ a=1
따라서 점 D의 좌표는 (2, 2)이다.
답 ⑴ A(a, 2a), C(a+1, 2a-1), D(a+1, 2a) ⑵ D(2, 2)
1064 점 C(a, b)가 y=;3!;x의 그래프 위의 점이므로 b=;3!;a ∴ C {a, ;3!;a}
사각형 ABCD는 한 변의 길이가 4인 정사각형이므로 (선분 BC의 길이)=(선분 AB의 길이)=4
∴ B{a-4, ;3!;a}, A{a-4, ;3!;a+4}
이때 점 A는 y=3x의 그래프 위의 점이므로
;3!;a+4=3(a-4), a+12=9a-36 -8a=-48 ∴ a=6
∴ b=;3!;_6=2
∴ ab=6_2=12 답 12
1065 (선분 BP의 길이)：(선분 AP의 길이)=5：3이고 선분 AP 의 길이는 3이므로 선분 BP의 길이는 5이다.
즉 점 B의 x좌표는 -5이다.
y=2x에 x=3을 대입하면 y=2_3=6
따라서 점 A의 y좌표는 6이므로 점 B의 y좌표도 6이다.
y=ax에 x=-5, y=6을 대입하면
6=-5a ∴ a=-;5^; 답 -;5^;
1066 전략 대성이와 동훈이의 그래프의 식은 y=ax(a+0)의 꼴이 다.
대성： y=ax에 x=2, y=400을 대입하면 400=2a
∴ a=200, 즉 y=200x
1067 가영이와 나영이의 그래프의 식은 y=ax(a+0)의 꼴이다.
가영：y=ax에 x=40, y=30을 대입하면
30=40a ∴ a=;4#;, 즉 y=;4#;x …… ㈎ 나영：y=bx에 x=60, y=30을 대입하면
30=60b ∴ b=;2!;, 즉 y=;2!;x …… ㈏ x초 후에 두 사람의 거리의 차가 5`m라 하면
;4#;x-;2!;x=5, ;4!;x=5 ∴ x=20
따라서 두 사람의 거리의 차가 5`m가 되는 것은 두 사람이 동
시에 출발한 지 20초 후이다. …… ㈐
답 20초
채점 기준 비율
㈎ 가영이의 그래프의 식 구하기 25 %
㈏ 나영이의 그래프의 식 구하기 25 %
㈐ 두 사람의 거리의 차가 5 m가 되는 것은 몇 초 후
인지 구하기 50 %
이때 (직사각형 ABCD의 넓이)=4_6=24이므로 (사다리꼴 PBCQ의 넓이)=;2!;_24=12
즉 ;2!;_{(2a-1)+(6a-1)}_4=12이므로
8a-2=6, 8a=8 ∴ a=1 답 1
동훈： y=bx에 x=2, y=200을 대입하면 200=2b
∴ b=100, 즉 y=100x
집에서 공원까지의 거리가 2`km, 즉 2000`m이므로 y=200x에 y=2000을 대입하면
2000=200x ∴ x=10
즉 대성이는 공원에 도착하는 데 10분이 걸린다.
y=100x에 y=2000을 대입하면 2000=100x ∴ x=20
즉 동훈이는 공원에 도착하는 데 20분이 걸린다.
따라서 대성이가 공원에 도착한 후 20-10=10(분)을 기다
려야 동훈이가 도착한다. 답 10분
1068 ① y=ax에 x=5, y=350을 대입하면 350=5a ∴ a=70, 즉 y=70x
② y=bx에 x=5, y=1700을 대입하면 1700=5b ∴ b=340, 즉 y=340x
③ y=340x에 x=3을 대입하면 y=340_3=1020 따라서 3분 동안 자전거를 타고 간 거리는 1020`m이다.
④ y=70x에 y=2380을 대입하면 2380=70x ∴ x=34
따라서 집에서 문화센터까지 걸어가면 34분이 걸린다.
⑤ y=340x에 y=2380을 대입하면 2380=340x ∴ x=7
따라서 집에서 문화센터까지 자전거를 타고 가면 7분이 걸린다.
따라서 옳은 것은 ④이다. 답 ④
1069 ① 80초 동안 400`m를 달린 학생은 C이다.
② B：y=ax에 x=160, y=1000을 대입하면 1000=160a ∴ a=:ª4°:, 즉 y=:ª4°:x
y=:ª4°:x에 y=1200을 대입하면
1200=:ª4°:x ∴ x=192
따라서 B의 1200 m 기록은 192초, 즉 3분 12초이다.
③ C：y=ax에 x=80, y=400을 대입하면 400=80a ∴ a=5, 즉 y=5x
④ y=5x에 y=1200을 대입하면 1200=5x ∴ x=240
따라서 C의 1200`m 기록은 240초이므로 B가 결승점을 통과한 지 240-192=48(초) 후에 C가 결승점에 도착하 였다.
⑤ D는 200초 이후에도 달린 거리가 증가하므로 달리기를 포기하지 않았다.
따라서 옳은 것은 ④이다. 답 ④
개념 마스터
step p.172 ~ p.173
1070 답
1071 답 반비례 관계
1072 x_y=1_20=2_10=4_5=5_4=20
∴ y=:ª[¼: 답 y=:ª[¼:
1073 답 ㉢, ㉣
1074~1077 답
1078 y=;[A;에 x=6, y=2를 대입하면 2=;6A; ∴ a=12
따라서 구하는 관계식은 y=:Á[ª: 답 y=:Á[ª:
y=
x y
O 3
3 -3
-3 -6
-6 6
-x6 6 y=-x4
y=-x4 y=-x6 y=x6
y=x4
y=x4 y=x6
x`(m) 1 2 4 5
y`(m) 20 10 5 4
1079 y=;[A;에 x=-;2!;, y=2를 대입하면 2=aÖ{-;2!;}, 2=a_(-2) ∴ a=-1
따라서 구하는 관계식은 y=-;[!; 답 y=-;[!;
1080 y=;[A;에 x=;2!;, y=-8을 대입하면
-8=aÖ;2!;, -8=a_2 ∴ a=-4 답 -4
1081 답 y=:£[¼:
1082 y=:£[¼:에 x=10을 대입하면
y=;1#0);=3 답 3권
1083 y=:£[¼:에 y=6을 대입하면
6=:£[¼: ∴ x=5 답 5명
1084 답 y=:¤[¢:
1085 y=:¤[¢:에 x=8을 대입하면
y=:¤8¢:=8 답 8 cmÜ`
유형 마스터
step p.174 ~ p.180
1086 전략 y가 x에 반비례하므로 y=;[A;(a+0)의 꼴이다.
①, ③ 정비례도 반비례도 아니다.
② y=-;[#;이므로 y가 x에 반비례한다.
④ y=-;2!;x이므로 y가 x에 정비례한다.
따라서 y가 x에 반비례하는 것은 ②, ⑤이다. 답 ②, ⑤
1087 ① xy=12로 일정하므로 y가 x에 반비례한다.
답 ①
1088 ㉠ x와 y는 반비례 관계에 있다.
㉡ y=;[@;에 x=-4를 대입하면 y= 2-4=-;2!;
㉢ x와 y는 반비례 관계에 있으므로 x의 값이 2배가 되면 y의 값은 ;2!;배가 된다.
따라서 옳은 것은 ㉢이다. 답 ㉢
1090 ① y=xÛ ② xy=50에서 y=:°[¼: (반비례)
③ y=5x (정비례) ④ y=;:![):); (반비례)
⑤ 정비례도 반비례도 아니다.
따라서 y가 x에 반비례하는 것은 ②, ④이다. 답 ②, ④
1091 전략 y가 x에 반비례하므로 y=;[A;`(a+0)의 꼴이다.
y가 x에 반비례하므로 y=;[A;`로 놓고 x=3, y=4를 대입하면
4=;3A; ∴ a=12, 즉 y=:Á[ª:
y=:Á[ª:에 y=-;4!;을 대입하면
-;4!;=:Á[ª: ∴ x=-48 답 -48
1092 y가 x에 반비례하므로 y=;[A;로 놓고 x=-2, y=6을 대입하면
6= a-2 ∴ a=-12, 즉 y=-:Á[ª:
y=-:Á[ª:에 x=1, y=p를 대입하면 p=-12 y=-:Á[ª:에 x=q, y=-3을 대입하면
-3=-:Áqª: ∴ q=4
∴ p+q=-12+4=-8 답 -8
1089 전략 (시간)=(거리)
(속력)임을 이용한다.
답 y=:ª[¼:
답 y=:ª[¼: