1 넓이
좌표축과 곡선 사이의 넓이 01
190.190.곡선 와 축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하시 오.
[4점][2017(나) 9월/평가원 26]
191.191.함수 의 그래프와 축으로 둘러싸인 부분의 넓이 는?
[3점][2015(A) 7월/교육청 10]
①
② ③
④ ⑤
192.192.함수 의 그래프와 축으로 둘러싸인 부분 의 넓이를 구하시오.
[4점][2012예비(A) 5월/평가원 26]
193.193.함수
에 대하여 곡선 와 축으로 둘러싸인 부분의 넓이는?
[4점][2017(나) 10월/전북 15]
①
②
③
④
⑤
194.194.삼차함수 가 다음 두 조건을 만족시킨다.
(가) ′
(나) 함수 의 그래프는 을 지난다.
이때 함수 의 그래프와 축으로 둘러싸인 도형의 넓이는?
[4점][2013(A) 7월/교육청 17]
①
②
③
④
⑤
195.195.자연수 에 대하여 좌표가 인 점을 P 라 하고, 함수
의 그래프 위의 점 중 좌표가 이고 제 사분면에 있는 점을 Q 라 하자. 일 때, 선분 P Q 와 곡선 및 축으로 둘러싸인 부분의 넓이는?
[3점][2016(A) /수능 13]
①
②
③
④
⑤
196.196.두 함수 , 에 대하여 함수 를
라 하자. 함수 의 그래프와 축, 축 및 직선 로 둘러싸 인 부분의 넓이는?
[4점][2015(가) 11월/교육청(고2) 19]
①
② ③
④
⑤
197.197.함수 의 도함수 ′ 가 ′ 이고 일 때, 곡선 와 축으로 둘러싸인 부분의 넓이는?
[4점][2015(A) 9월/평가원 14]
①
②
③
④
⑤
198.198.함수 의 그래프를 축의 방향으로 만큼 평행 이동시킨 곡선을 가 하자. 그림과 같이 두 곡선 ,
와 축으로 둘러싸인 세 부분의 넓이를 각각 , , 이라 할 때,
의 값은?
[4점][2015(A) 삼사 16]
①
②
③
④
⑤
199.199.최고차항의 계수가 인 이차함수 가 이고,
를 만족시킨다. 곡선 와 축 으로 둘러싸인 부분의 넓이가 일 때, 의 값을 구하시오.
[4점][2013(나) /수능 28]
좌표축과 곡선 사이의 넓이의 활용 02
200.200.함수 에 대하여 그림과 같이 곡선
와 축으로 둘러싸인 부분을 축과 직선 ( )로 나눈 세 부분의 넓이를 각각 S, S, S이라 하자. S, S, S이 이 순 서대로 등차수열을 이룰 때, S의 값은?
[4점][2012(나) 10월/교육청 19]
① ②
③
④
⑤
201.201.그림과 같이 곡선 와 축 및 축으로 둘러싸 인 부분의 넓이를 S, 곡선 와 축으로 둘러싸인 부분의 넓이 를 S, 곡선 와 축 및 로 둘러싸인 부분의 넓 이를 S이라 하자. S S S이 이 순서대로 등차수열을 이룰 때,
의 값은?
[3점][2009(가) 7월/교육청 7]
① ②
③
④
⑤
202.202.그림과 같이 네 점 , , , 을 꼭짓점으로 하는 정사각형의 내부를 두 곡선
, 으로 나눈 세 부분
의 넓이를 각각 , , 이라 하자.
, , 이 이 순서로 등차수열을 이룰 때, 양수 의 값은?
[4점][2008(가) 10월/교육청 10]
①
②
③
④
⑤
두 곡선 사이의 넓이 03
203.203.곡선 와 직선 로 둘러싸인 부분의 넓이는?
[3점][2011(나) 9월/평가원 10]
①
②
③
④
⑤
204.204.곡선 와 직선 로 둘러싸인 부분의 넓이는?
[4점][2016(나) 10월/경남 14]
① ②
③
④
⑤
205.205.곡선 과 직선 으로 둘러싸인 부분의 넓이 는?
[3점][2014(A) /수능 8]
① ②
③
④ ⑤
206.206.곡선 와 직선 로 둘러싸인 부분의 넓이는?
(단, 는 상수이다.)
[3점][2015(A) 10월/교육청 10]
①
②
③
④
⑤
207.207.함수 의 도함수가 ′ 이고, 의 극댓값이
일 때, 직선 와 곡선 로 둘러싸인 부분의 넓이는?
[4점][2013(나) 삼사 20]
①
②
③
④
⑤
208.208.곡선 와 직선 로 둘러싸인 부분의 넓이가
일 때, 의 값을 구하시오. (단, 와 는 서로소인 자연수이다.)
[4점][2018학년(나) 수능 26]
209.209.곡선 과 직선 으로 둘러싸인 부분의 넓이 는?
[3점][2015(가) 9월/교육청(고2) 9]
①
②
③
④
⑤
210.210.곡선 과 직선 으로 둘러싸인 부분의 넓이는?
[3점][2016(나) 8월/영남권 13]
①
② ③
④ ⑤
211.211.자연수 에 대하여 두 함수 를
이라 하자. 일 때, 곡선 와 축 및 직선 로 둘 러싸인 어두운 부분의 넓이는?
[3점][2016(A) 삼사 11]
①
②
③
④
⑤
212.212.자연수 에 대하여, 두 곡선 ,
로 둘러
싸인 도형의 넓이를 이라 할 때, lim
→ ∞의 값은?
[3점][2000(인) 수능(홀) 21]
①
②
③
④
⑤
213.213.그림과 같이 좌표평면 위의 두 점 A , B 을 지나는 직선과 곡선 ( ) 및 축으로 둘러싸인 부분 중에서 제 사 분면에 있는 부분의 넓이를 이라 하자. 또, 직선 AB 와 곡선
및 축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 라 하자.
일 때, 상수 의 값은?
[4점][2013(A) 10월/교육청 21]
①
②
③
④
⑤
214.214.포물선 위에서 두 점 P , Q 가 조건
「선분 P Q 와 포물선 으로 둘러싸인 도형의 넓이는 」을 만 족하면서 움직이고 있다. lim
→ ∞
P Q
의 값을 구하시오.
[4점][2004(가) 9월/평가원 22]
215.215.다항함수 가 다음 조건을 만족시킨다.
(가)
(나) 이면 ′ 이다.
이상인 자연수 과 ≤ ≤ 인 자연수 에 대하여, 곡선
′ 와 세 직선
,
, 으로 둘러싸인 도형
의 넓이를 라 하면
⋯
가 성립한다. 곡선 와 축, 축, 로 둘러싸인 도형의 넓이가
일 때, 의 값을 구하시오. (단, 는 서로소인 자연수 이다.)
[4점][2010(가) 11월/대전 24]
216.216.그림과 같이 곡선 과 양수 에 대하여 세 점 O , A , B 을 지나는 원 가 있다.
원 의 내부와 부등식 ≤ 이 나타내는 영역의 공통부분의 넓이를
라 할 때, ′
이다. 의 값을 구하시오. (단,
는 정수이다.)
[4점][2012(나) 9월/평가원 29]
217.217. 인 이차함수 와 함수 이 다음 조건을 만족 시킨다.
(가) 모든 실수 에 대하여 이다.
(나) lim
→ ∞
두 곡선 와 로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하시오.
[4점][2016(나) 7월/교육청 28]
218.218.그림은 두 곡선 ,
과 꼭짓점의 좌표가 O ,
A , B , C 인 직사각형 O ABC 를 나타낸 것이다.
일 때, 두 곡선 ,
과 직선 AB 로 둘러싸인 부분 의 넓이는? (단, 은 자연수이다.)
[3점][2013(A) 9월/평가원 13]
① ② ③
④ ⑤
219.219.자연수 에 대하여 곡선 ( ) 위의 점 P을 다음 규칙에 따라 정한다.
(가) 점 P의 좌표는 이다.
(나) 점 P 은 점 P 을 지나는 직선
과 곡선 이 만나는 점 중에서 점 P이 아닌 점이다.
점 P의 좌표가
일 때, 곡선 과 직선 PP로 둘러싸 인 부분 중에서 제 사분면에 있는 부분의 넓이는?[4점][2014(A) 10월/교육청 16]
①
②
③
④
⑤
220.220.곡선 과 직선
⋯로 둘러싸인
부분의 넓이를 이라 하자.
∞
이라 할 때, 의 값 은?
[3점][2012(나) 삼사 9]
①
②
③
④
⑤
221.221.최고차항의 계수가 인 삼차함수 는 다음 조건을 만족 시킨다.
(가)
(나) 함수 의 그래프와 함수 의 그래프가 서로 다른 세 점 , ,
(단, ＜ ＜ )에서 만나면 의 값에 관계없이
이다.
함수 의 그래프와 함수 의 그래프가 다음 그림과 같이 서로 다른 세 점에서 만나고 가운데 교점의 좌표의 값이
일 때,
의 값을 구하시오.
[4점][2005(가) 9월/평가원 20]
222.222.그림과 같이 중심이 O 이고 반지름의 길이가 인 원의 둘레를 등분하는 점을 각각 A B C D E F 라 하자.
두 점 A B 에서 두 직선 O A O B 에 접하는 포물선 을 그리고, 두 점 B C 에서 두 직선 O B O C 에 접하는 포물선 를 그린다.
이와 같은 방법으로 포물선 을 그릴 때, 개의 포물 선으로 둘러싸인 부분의 넓이는?
[4점][2007(가) 10월/교육청 10]
①
②
③
④
⑤
223.223.[그림1]은 무대 디자이너 길섭이가 야외공연 무대디자인 공모전에 출품한 작품이다. [그림1]의 중앙무대를 확대하면 [그림2]와 같고, 중앙 무대를 디자인하는 과정은 다음과 같다.
⑴ 한 변의 길이가 인 정사각형 ABCD 를 그리고 각 변의 중 점을 각각 E , F , G , H 라 한다.
⑵ 변 BC 를 좌표평면 위의 축과 평행하게 놓고 두 점 B , C 를 지나며 점 H 를 꼭짓점으로 하는 이차함수의 그래프와 두 점 A , D 를 지나며 점 F 를 꼭짓점으로 하는 이차함수 의 그래프를 그린다.
⑶ 변 AB 를 좌표평면 위의 축과 평행하게 놓고 ⑵와 같은 방법으로 세 점 A , B , G 를 지나는 이차함수와 세 점 C , D , E 를 지나는 이차함수의 그래프를 추가로 그린다.
[그림1] [그림2]
[그림2]의 어두운 부분의 넓이를
라 할 때, 의 값을 구 하시오. (단, 는 정수이다.)
[4점][2011(나) 7월/교육청 30]
두 곡선 사이의 넓이가 서로 같은 경우 04
224.224.그림과 같이 네 점 , , , 를 꼭짓점 으로 하는 직사각형 내부가 곡선 에 의하여 나누어지는 두 부분을 , , 직선 에 의하여 나누어지는 두 부분을 , 라 하자. 영역 의 넓이와 영역 의 넓이가 같을 때, 의 값을 구하 시오.
[4점][2011(나) 7월/교육청 26]
225.225.그림과 같이 삼차함수 의 그래프가 축 과 만나는 점을 A 라 하고, 점 A 를 지나고 축에 수직인 직선을 이 라 하자. 또, 곡선 와 축 및 직선 ( )로 둘러 싸인 부분의 넓이를 이라 하고, 곡선 와 직선 및 직선
로 둘러싸인 부분의 넓이를 라 하자. 이때, 가 되도록 하는 상수 에 대하여 의 값을 구하시오.
[4점][2011(가) 10월/교육청 29]
226.226.그림과 같이 임의로 그은 직선 이 축과 만나는 점을 A , 점 C 을 지나고 축과 평행하게 그은 직선과의 교점을 B 라 하자.
사다리꼴 O ABC 의 넓이가 곡선 과 축으로 둘러싸인 부분의 넓이와 같을 때, 임의의 직선 은 항상 일정한 점 D 를 지난다.
이 때, ∆O D C 의 넓이를 구하시오. (단, AB 는 O C 아래에 있다.) [4점][2009(가) 7월/교육청 23]
227.227.두 곡선 , 로 둘러싸인 도형의 넓이가 곡선 에 의하여 이등분할 때, 상수 의 값은?
(단, )
[3점][2009(가) 9월/평가원 7]
①
②
③
④
⑤
곡선과 접선 사이의 넓이 05
228.228.좌표평면 위의 점 P
에서 곡선 에 그은 두 접선을 이라 할 때, 두 접선 과 곡선 으로 둘러싸인 부분의 넓 이는?
[4점][2014학년도 경찰대 14]
①
②
③
④
⑤
229.229.직선 이 함수 의 그래프와 서로 다른 두 점에서 접할 때, 직선 과 곡선 로 둘러싸인 영역의 넓이가
이다. 의 값을 구하시오.
[5점][2015학년도 경찰대 25]
230.230.곡선 에 있는 점 A 에서의 접선이 이 곡선과 점 B 에서 만나고, 점 B 에서의 접선은 이 곡선과 점 C 에서 만난다고 하자.
선분 BC 와 이 곡선 사이의 넓이를 선분 AB 와 이 곡선 사이의 넓이로 나눈 값은? (단, ≠ 이다.)
[2013학년도 경찰대 23]
① ② ③
④ ⑤
역함수로 표현된 정적분의 계산 06
231.231.함수 의 역함수를 라 하자.
를 구하면?
[2004학년도 경찰대 22]
① ② ③
④ ⑤
232.232.함수 의 역함수를 라 할 때,
의 값은?
[4점][2012(나) 7월/교육청 21]
O
①
②
③
④
⑤
함수와 그 역함수의 그래프로 둘러싸인 넓이 07
233.233.정사각형 모양의 타일이 좌표평면 에 오른쪽 그림과 같이 가로, 세로가 각 각 축, 축과 일치되게 놓여 있다. 이 타일에 와 의 그래프 를 경계로 하여 파랑색과 노란색을 칠하 려고 한다. 파랑색과 노란색이 칠해지는 부분의 면적의 비가 일 때,
의 값을 구하여라. (단, 함 수 는 함수 의 역함수이다.)
[2점][1997(인) 수능(홀) 25]
234.234.그림과 같이 함수 ( ≥ )의 그래프와 그 역함 수 의 그래프가 만나는 두 점의 좌표는 과 이다.
≤ ≤ 에서 두 곡선 , 및 축, 축으로 둘러 싸인 부분의 넓이를 라 하고, ≤ ≤ 에서 두 곡선 ,
로 둘러싸인 부분의 넓이를 라 하자.
이때, 의 값은? (단, , 는 상수이다.)
[3점][2009(가) 10월/교육청 7]
①
②
③
④
⑤
정적분과 역함수의 급수의 활용 08
235.235.함수
의 역함수를 라 할 때, lim
→ ∞
의 값은?
[3점][2011(가) 삼사 8]
①
②
③
④
⑤
236.236.모든 실수에서 연속이고 역함수가 존재하는 함수 의 그 래프는 제사분면에 있는 두 점 , 을 지난다. 함수
의 역함수를 라 할 때,
→ ∞lim
→ ∞lim
을 만족시키는 상수 의 값은?
[3점][2015(B) 삼사 13]
① ② ③
④ ⑤
237.237.다음은 연속함수 의 그래프이다.
구간 에서 함수 의 역함수 가 존재하고 연속일 때, 극 한값 lim
→ ∞
와 같은 값을 갖는 것은?
[4점][2005(가) /수능(홀) 10]
①
②
③
④
⑤
2 속도와 거리
속도와 위치의 변화량 01
238.238.수직선 위를 움직이는 점 P 의 시각 ≥ 에서의 속도 가
이다. 에서 점 P 의 운동방향이 바뀌었을 때, 부터 까지 점 P 가 움직인 거리는? (단, 는 상수이다.)
[3점][2017(나) 8월/영남권 12]
① ② ③
④ ⑤
239.239.원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 P 의 시각 에서의 속 도를 라 하자. 점 P 가 시각 에서 까지 움직 인 거리가 일 때, 의 값을 구하시오.
[4점][2015(가) 9월/교육청(고2) 28]
240.240.원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 P 의 시각 에서의 속도 가 다음과 같다.
≤ ≥
점 P 가 출발한 후, 시각 일 때 원점을 다시 지난다. 상수 의 값 을 구하시오.
[4점][2015(가) 11월/교육청(고2) 28]
241.241.원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 P 의 시각 에서의 위 치 에 대하여 이차함수 ′ 의 그래프는 그림과 같다.
′
O
점 P 가 출발할 때의 운동 방향에 대하여 반대 방향으로 움직인 거리를
라 할 때, 의 값을 구하시오.
[3점][2007(가) 7월/교육청 21]
242.242.수직선 위를 움직이는 점 P 가 시각 ≥ 에서의 속도 가
이다. 부터 까지 점 P 가 움직인 거리는?
[3점][2017(나) 수능 12]
① ② ③
④ ⑤
243.243.고속 열차가 출발하여 를 달리는 동안은 시각 분에서의 속 력이
/분)이고 그 이후로는 속력이 일정하다. 출 발 후 분 동안 이 열차가 달린 거리는?
[1994(2차) 수능(A) 20]
① ② ③
④ ⑤
244.244.원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 의 시각
≤ ≤ 에서의 속도 의 그래프가 그림과 같다.
점 가 시각 에서 시각 까지 움직인 거리는?
[3점][2012예비(A) 5월/평가원 10]
①
②
③
④
⑤
245.245.그림은 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 P 의 시각 초 ≤ ≤ 에서 의 속도 를 나타낸 것이다.
점 P 의 시각 초에서의 위치 를 라 할 때,
이다. 출발 후
초 동안 점 P 가 움직인 거리는? (단, 는 양의 상수이고, 점선은 좌표 축에 평행하다.)
[3점][2013(나) 삼사 9]
① ② ③
④ ⑤
246.246.지면에 정지해 있던 열기구가 수직 방향으로 출발한 후 분일 때, 속도 (m /분)를
≤ ≤ ≤ ≤
라 하자. 출발한 후 분일 때, 지면으로부터 열기구의 높이는?
(단, 열기구는 수직 방향으로만 움직이는 것으로 가정한다.)
[3점][2004(인) 수능 24]
① m ② m ③ m
④ m ⑤ m
247.247.원점 O 를 출발하여 수직선 위를 초 동안 움직이는 점 P 의 초 후의 속도 가
≤
≤
≤ ≤ 일 때, 선분 O P 의 길이의 최댓값을 구하시오.
[4점][2011(나) 7월/교육청 27]
248.248.수직선 위를 움직이는 두 점 P , Q 가 있다. 점 P 는 점 A 를 출발하여 시각 에서의 속도가 이고, 점 Q 는 점 B 를 출 발하여 시각 에서의 속도가 이다. 두 점 P Q 가 동시에 출발한 후
번 만나도록 하는 정수 의 값은? (단, ≠ )
[4점][2011(나) 10월/교육청 19]
① ② ③
④ ⑤
249.249.원점을 동시에 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 P , Q 의 시 각 ( ≤ ≤ )에서의 속도가 각각 , 이다.
두 점 P , Q 사이의 거리의 최댓값을 구하시오.
[4점][2013(A) 10월/교육청 28]
250.250.다음은 ‘가’지점에서 출발하여 ‘나’지점에 도착할 때까지 직선 경 로를 따라 이동한 세 자동차 의 시간 에 따른 속도 를 각 각 나타낸 그래프이다.
‘가’지점에서 출발하여 ‘나’지점에 도착할 때까지의 상황에 대한 <보기>
의 설명 중 옳은 것을 모두 고른 것은?
[3점][2005(가) 수능(홀) 4]
ㄱ. 와 의 평균속도는 같다.
ㄴ. 와 모두 가속도가 인 순간이 적어도 한 번 존재한다.
ㄷ. 각각의 속도 그래프와 축으로 둘러싸인 영역의 넓이는 모두 같다.
< 보 기 >
① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ