1. 부정적분 1. [정답]
[풀이]
lim
→
에서 ′ 이므로
′ 에서 ′
이므로
2. [정답] ② [풀이]
[출제의도] 미분계수의 성질 이해하기
lim
→
lim
→
lim
→
lim
→
×
′
′ 이므로
′
3. [정답]
[풀이]
[출제의도] 미분과 적분의 관계 이해하기
의 최솟값은
∴
4. [정답] ⑤ [풀이]
[출제의도] 부정적분 이해하기
′ , ′ ′ 이므로
′
함수 는 최고차항의 계수가 인 이차함수이므로
′ 이므로
에서
, 이므로
따라서
5. [정답] ② [풀이]
함수 가 이차함수이므로
(≠ )라 하자.
1 2 ② 3 4 ⑤ 5 ②
6 ④ 7 ① 8 9 ④ 10 ④
11 12 ④ 13 ② 14 ③ 15
16 ④ 17 ① 18 28 19 ③ 20
21 1.25 22 ⑤ 23 ② 24 ① 25 ④
26 27 ① 28 ② 29 ③ 30 ④
31 ② 32 ① 33 ① 34 35 16
36 ③ 37 ⑤ 38 ⑤ 39 ② 40 ①
41 ④ 42 43 ⑤ 44 45 198
46 47 ① 48 18 49 ① 50 ①
51 ② 52 53 54 ④ 55
56 ① 57 58 59 60 19
61 62 ⑤ 63 ③ 64 ① 65 26
66 67 ⑤ 68 ⑤ 69 70 ⑤
71 ④ 72 ② 73 ② 74 ④ 75 ③
76 77 ⑤ 78 ② 79 80 ②
81 82 ④ 83 ② 84 ⑤ 85 ①
86 ② 87 ① 88 89 90
91 ③ 92 96 93 ② 94 ② 95
96 97 ① 98 ① 99 ③ 100 27
101 102 103 ② 104 ③ 105 ④
106 ⑤ 107 108 ① 109 14 110 ①
111 112 ① 113 20 114 ② 115 ③
116 117 ② 118 119 120
121 ⑤ 122 ① 123 124 ③ 125 36
126 ② 127 ① 128 129 130 ①
131 ① 132 133 ① 134 135 ②
136 ② 137 ⑤ 138 139 140 ⑤
141 ① 142 ② 143 ⑤ 144 ② 145 ①
146 ① 147 ⑤ 148 ③ 149 ④ 150
151 152 ② 153 ⑤ 154 ③ 155 ④
156 157 158 159 160 ④
161 162 163 ② 164 165 ⑤
166 167 ① 168 ③ 169 ① 170 ②
171 ③ 172 ⑤ 173 ⑤ 174 ② 175 ⑤
176 ② 177 178 ② 179 ④ 180
181 ⑤ 182 ② 183 184 ④ 185 ④
186 ⑤ 187 188 189 190
191 ⑤ 192 193 ④ 194 ⑤ 195 ③
196 ③ 197 ④ 198 ⑤ 199 200 ④
201 ④ 202 ① 203 ② 204 ④ 205 ③
206 ④ 207 ⑤ 208 209 ④ 210 ①
211 ② 212 ⑤ 213 ② 214 215 83
216 217 218 ② 219 ② 220 ④
221 16 222 ① 223 224 225
226 227 ④ 228 ④ 229 230 ③
231 ② 232 ③ 233 234 ④ 235 ①
236 ③ 237 ④ 238 ③ 239 45 240
241 242 ① 243 ③ 244 ⑤ 245 ①
246 ③ 247 248 ② 249 250 ⑤
251 ② 252 ④ 253 ⑤ 254 ⑤ 255 ①
(는 적분상수)
한편,
⋯ ㉡ 이므로 는 이차함수이다.
∴
㉠, ㉡에서
에서
,
,
,
∴ , ,
∴
∴
6. [정답] ④ [풀이]
[출제의도] 적분법
이므로 이다.
×
7. [정답] ① [풀이]
[출제의도] 도함수를 이용하여 함수의 증가와 감소 이해하기 조건 (나)에 의하여 라 하면
이므로
, ′
′ ′ 이므로
이다.
따라서
이다.
가 감소하는 구간은 부등식 ′ ＜
즉, 을 만족하는 구간이므로
＜ , ＜＜
∴ 감소하는 구간의 길이는
8. [정답]
[풀이]
[출제의도] 다항함수의 적분법
′ 이므로.
이므로 따라서
∴
9. [정답] ④ [풀이]
[출제의도] 부정적분 이해하기
(단, 는 적분상수)
10. [정답] ④ [풀이]
함수
다항함수 의 도함수가 ′ 이므로 함수 는
에서 극값을 가진다.
′ 이므로 양변을 적분하면
(단,는 적분상수)……… ㉠
이 때, 삼차함수 의 그래프는 의 값이 작은 쪽에서 극댓값을 가지 므로 ……… ㉡
㉡을 ㉠에 대입하면
∴
를 대입하여 극솟값을 구하면
⋅
11. [정답]
[풀이]
[출제의도] 함수의 극대·극소 이해하기
′
⋯ ⋯ ⋯
′ 0
↗ 극대 ↘ 극소 ↗
극솟값은 ∴
극댓값은
12. [정답] ④ [풀이]
′ ( )이므로
에서 극댓값, 에서 극솟값을 가진다.
(단, 는 적분상수)
⋯⋯ ㉠
⋯⋯ ㉡㉠, ㉡에 의하여
, 이므로 이다.
따라서
13. [정답] ② [풀이]
삼차함수 는
① 원점에 대하여 대칭(기함수)이므로
로 놓을 수 있다.
② 에서 극값을 가지므로 ′ 에서
′
∴ ⋯ ③
③을 ①에 대입하면 이므로
축과의 교점은 에서
또는 또는 따라서 좌표 중 양수인 것은 이다.
14. [정답] ③ [풀이]
[출제의도] 도함수의 그래프에서 부정적분을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
′ 에서
(∵ ′ )
닌 서로 다른 두 실근을 가져야 한다. ≠ 이고
이 어야 하므로
[다른풀이]
도함수 ′ 의 그래프가 축 대칭이고 이므로 의 그래프는 원점대칭이다.
이때, 원점에서의 접선의 기울기는 ′ 이므로 곡선 와 직 선 가 서로 다른 세 점에서 만나려면 이어야 한다.
15. [정답]
[풀이]
[출제의도] 도함수를 활용하여 극값과 접선의 방정식의 성질 이해하기
에서
′ , ′
에서의 접선은
에서의 접선은
에서 이므로
∴
16. [정답] ④ [풀이]
[출제의도] 다항함수의 미분법과 적분법을 이용하여 함숫값을 구하는 문제를 해결한다.
삼차항의 계수가 이고 방정식 는 서로 다른 두 실근을 가지 므로 두 가지 경우가 있다.
(ⅰ) 함수 의 그래프가 에서
축에 접하고 에서 만나는 경우
′ 이므로
′
이고 조건 (가)를 만족시키지 않는다.(ⅱ) 함수 의 그래프가 에서 축에 접하는 경우
′ , ′ 이므로
′ , ′
(단, 는 상수이다.)
이므로
따라서
17. [정답] ① [풀이]
[출제의도] 부정적분을 이용하여 실근이 존재하는 구간을 추측한다.
함수 ′ 는 삼차함수이고
′ ′ ′ 이므로
′
(단, 는 상수)
(단, 는 적분상수)
이므로 따라서
함수 의 그래프는 그림과 같다.
, 이므로
을 만족시키는 정수는 , , , 이다.
따라서 을 만족시키는 모든 정수 의 값의 합은
18. [정답] 28 [풀이]
[출제의도] 다항함수의 미분법
에서
을 대입하면
∴
′
lim
→
lim
→
이므로
′
lim
→
lim
→
lim
→
′ ⋯ ㉠
lim
→
′
에서
→일 때, (분모)→ 이므로 (분자)→ 이어야 한다.
∴ ′
㉠에서 ′ ′ 이므로
′ ′
∴
lim
→
′
lim
→
′
lim
→
lim
→
lim
→
′
∴ ′
∴ ′ ′
[다른풀이]
에서
을 대입하면
∴
′ 라 하면
lim
→
lim
→
′
lim
→
lim
→
lim
→
∴
는 상수)
이므로
∴ 따라서 ′ 이므로
lim
→ ′
lim
→
lim
→
lim
→
19. [정답] ③ [풀이]
대신 0 대입 → ⇒ ∴ i) 도함수의 정의를 활용하면
ii) 편미분을 활용하면→ 만 변수 취급
′
lim
→
′ ′
lim
→
⇓ 대신 0대입
lim
→
∴′ ′
′
∵ lim
→
문제에서 ′ 이므로 대입하면
′ ′ ⇒ ∴′
∴′ 이 식을 적분하면
∵
⇒ ∴
⋅