2
y f{x}=3x#+2x+a
x
130
f(x)=x‹ +4x-6으로 놓으면 함수 f(x)는 모든 실수 x에서 연속이고
f(-2)=-22<0, f(-1)=-11<0, f(0)=-6<0, f(1)=-1<0, f(2)=10>0, f(3)=33>0
이때, f(1)f(2)<0이므로 사잇값의 정리에 의해 방정식 f(x)=0은 구간 (1, 2)에서 적어도 하나의 실근을 갖는다.
따라서 a는 구간 (1, 2)에 속한다.
정답_ ④
x=-1에서 불연속이므로 구간 [-2, 1]에서 최솟값을 갖지 않는다.ㄷ도 옳다.
구간 [-2, 2]에서 x=1일 때 최댓값 f(1)=1을 갖는다.
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.
정답_ ④
131
f(-2)f(-1)<0, f(-1)f(0)<0, f(1)f(2)<0이므로 사 잇값의 정리에 의해 방정식 f(x)=0은 구간 (-3, 2)에서 적
어도 3개의 실근을 갖는다.
정답_ ③
132
g(x)=f(x)-x로 놓으면 함수 g(x)는 연속함수이므로 g(0)g(1)<0이면 방정식 g(x)=0은 0과 1 사이에서 적어도 하나의 실근을 갖는다.
g(0)=f(0)-0=a, g(1)=f(1)-1=a-3-1=a-4이므로 g(0)g(1)=a(a-4)<0 ∴ 0<a<4
정답_ 0<a<4
133
f(x)=10x⁄ ‚ +10x-a로 놓으면 함수 f(x)가 연속함수이고, 방정식 f(x)=0이 구간 (-1, 1)에서 오직 하나의 실근을 가 지므로 f(-1)f(1)<0이다.
f(-1)=-a, f(1)=20-a에서
(-a)(20-a)<0, a(a-20)<0 ∴ 0<a<20 따라서 구하는 정수 a의 개수는 1, 2, 3, y, 19로 19개이다.
정답_ ③
134
g(x)=f(x)-2x로 놓으면 함수 g(x)는 연속함수이므로 g(1)g(2)<0이면 방정식 g(x)=0은 1과 2 사이에서 적어도 하나의 실근을 갖는다.
g(1)=f(1)-2=(a¤ +2a+2)-2=a¤ +2a g(2)=f(2)-4=(a+2)-4=a-2
이므로 (a¤ +2a)(a-2)<0, a(a+2)(a-2)<0 이때, 양수 a에 대하여 a(a+2)>0이므로 a-2<0
∴ 0<a<2 (∵ a>0)
정답_ ①
135
f(0)f(-1)=f(0)f(1)<0, f(3)f(4)=f(-3)f(-4)>0, f(-2)f(-3)=f(2)f(3)<0
함수 f(x)는 구간 (-1, 0), (0, 1), (-3, -2), (2, 3)에서 각각 적어도 하나의 실근을 갖는다.
따라서 구간 (-4, 4)에서 방정식 f(x)=0의 실근의 개수의
최솟값은 4이다.
정답_ ③
136
f(x)=(x-a)(x+a)¤ +x¤ (a>0)으로 놓으면 함수 f(x) 는 모든 실수 x에서 연속이고
f(x)=-¶, f(-a)=a¤ >0, f(0)=-a‹ <0, f(a)=a¤ >0, f(x)=¶
이므로 사잇값의 정리에 의해 구간 (-¶, -a), (-a, 0), (0, a)에서 각각 한 개의 실근을 갖는다.
따라서 주어진 삼차방정식은 한 개의 양의 실근과 서로 다른 두
개의 음의 실근을 갖는다.
정답_ ⑤
xlimڦ
xlim⁄-¶
137
위의 그래프에서 벽시계가 정시를 나타내는 순간은 3개월 동안 -6
-2 45
O 날짜
4월1일
3월 1일 5월1일 시간
(분)
6월1일 (001~025)풍필유_수Ⅱ(해)1-OK 2017.6.12 3:9 PM 페이지022
138
2a+1= , 4a+2=2a+1
2a=-1 ∴ a=-;2!; ... ❹
정답_ -;2!;
1112a+12
1112a+12 1111122¤ -4¥2+62a+1
xlim 11111x¤ -4x+6ax+1
ax+1
f(0)= 4(x+3)('ƒ9+x+'ƒ9-x)
f(0)=4¥3¥6=72 ... ❸
정답_ 72
limx⁄08x(x+3)('ƒ9+x+'ƒ9-x) 121221211111112x limx⁄0
8x¤ +24x+a 121221211
'ƒ9+x-'ƒ9-x limx⁄0
limx⁄0
8x¤ +24x+a 121221211
f(2018)=f(4¥504+2)=f(2)=-;2!;¥2+2=1... ❸
정답_ 1
11112(x-1)¤
limx⁄1
f(x)-x‹
11112(x-1)¤
limx⁄1 xlim⁄¶
f(x)-x‹
11112(x-1)¤
limx⁄1
limx⁄1 (001~025)풍필유_수Ⅱ(해)1-OK 2017.6.12 3:9 PM 페이지023
143
y y=-t@+2t+5 O x
1 2
2 3 5
t t=x@-4x+5
144
f(1)f(2)<0, f(3)f(4)<0이므로 사잇값의 정리에 의해 방정 식 f(x)=0은 구간 (1, 2), (3, 4)에서 각각 적어도 하나의 실 근을 갖는다... ❶
이때, 모든 실수 x에 대하여 f(x)=-f(-x)이므로 f(-1)f(-2)={-f(1)}{-f(2)}=f(1)f(2)<0, f(-3)f(-4)={-f(3)}{-f(4)}=f(3)f(4)<0 g(x)= g(x)=g(1)
⁄ g(x)= (x+a)f(x)=(1+a)¥1=1+a
¤ g(x)= (x+a)f(x)
¤ g(x)=(1+a)¥(-1)=-1-a
‹ g(1)=(1+a)f(1)=(1+a)¥1=1+a
1+a=-1-a ∴ a=-1
정답_ ②
111111112{ g(x)}¤ -1147
h(x)= h(x)=h(1)에서f(x)¥0= f(x)¥0=f(1)¥[1]
∴ f(1)=0 yy ㉡
¤x=-1에서 함수 h(x)가 연속이어야 하므로 h(x)= h(x)=h(-1)에서
f(x)¥0= f(x)¥(-1)=f(-1)¥[-1]
∴ f(-1)=0 yy ㉢
‹x=0에서 함수 h(x)가 연속이어야 하므로 h(x)= h(x)=h(0)에서
f(x)¥(-1)= lim f(x)¥0=f(0)¥[0]
x⁄0+
(001~025)풍필유_수Ⅱ(해)1-OK 2017.6.12 3:9 PM 페이지024
148
구간 [0, 1]에서 함수 f(x)가 x=a일 때 최댓값 f(a)=1, x=b일 때 최솟값 f(b)=0을 갖는다고 하면
0…a…1, 0…b…1 ㄱ은 옳다.
ㄱg(x)=f(x)-;2!;로 놓으면
ㄱg(a)=f(a)-;2!;=;2!;, g(b)=f(b)-;2!;=-;2!;에서 ㄱg(a)g(b)<0이므로 사잇값의 정리에 의해 방정식
g(x)=0은 구간 (0, 1)에서 적어도 하나의 실근을 갖는다.
ㄴ은 옳지 않다.
ㄴ(반례) f(x)=x¤ 일 때, 방정식 f(x)=x의 실근은 x¤ =x에서 x=0 또는 x=1이다. 즉, 구간 (0, 1)에서 실근이 존재하지 않 는다.
ㄷ은 옳다.
ㄷh(x)=f(x)-;3!;x-;3!;로 놓으면
ㄷh(a)=f(a)-;3!;a-;3!;= >0 (∵ 0…a…1) ㄷh(b)=f(b)-;3!;b-;3!;=- <0 (∵ 0…b…1) ㄷ에서 h(a)h(b)<0이므로 사잇값의 정리에 의해 방정식
h(x)=0은 구간 (0, 1)에서 적어도 하나의 실근을 갖는다.
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.
정답_ ④
1122b+13 1122-a3
x f{x}=x
f{x}=x@
O 1
1 y
f(x)는 연속함수이고, f(-5)=f(5)=0, f(0)=10이므 로 f(x)=5가 되는 x가 구간 (-5, 0), (0, 5)에 각각 적어 도 하나씩 있다.
④는 옳지 않다.
(반례) 함수 f(x)의 그래프가 오른쪽 그림과 같으면 주어진 조건을 만족시키지만 f(x)가 최소가 되는 x는 무수히 많다.
⑤는 옳다.
조건 ㈏에 의해 xæ0이면 f(x+5)=0, x<0이면 f(x-5)=0
따라서 모든 실수 x에 대하여 f(x+5)f(x-5)=0이다.
따라서 옳지 않은 것은 ④이다.
정답_ ④
O 5 x -5
10 y
y=f{x}
149
f(x)=f(-x)이므로 함수 f(x)의 그래프는 y축에 대하여 대칭 이다.
①은 옳다.
f(x)가 연속함수이므로 조건 ㈏에 의해
f(5)= f(x)=0, f(-5)= f(x)=0
②도 옳다.
조건 ㈐에 의해 f(x)의 최댓값은 10이다. 한편, f(x)=10이 되는 x는 오직 한 개 있고, f(x)=f(-x)이므로 f(0)=10 따라서 f(x)는 x=0일 때 최대이다.
③도 옳다.
xlim ⁄-5-xlim⁄5+
∴ f(x)=0
이때, f(x)는 다항함수이므로 f(0)=0 yy ㉣
㉠~㉣에 의해 삼차함수 f(x)는 최고차항의 계수가 5이고 방정 식 f(x)=0은 x=-1, x=0, x=1을 세 근으로 가지므로
f(x)=5x(x-1)(x+1)
∴ f(2)=5¥2¥1¥3=30
정답_ 30
xlim
⁄0-(001~025)풍필유_수Ⅱ(해)1-OK 2017.6.12 3:9 PM 페이지025