06
358
f(x)=4x‹ -3x-k로 놓으면
f'(x)=12x¤ -3=3(2x+1)(2x-1) f'(x)=0에서 x=-;2!; 또는 x=;2!;
삼차방정식 f(x)=0이 서로 다른 세 실근을 가지려면 (극댓값)_(극솟값)<0이어야 하므로 f {-;2!;} f {;2!;}<0 (-k+1)(-k-1)<0 ∴ -1<k<1
정답_ ④
x
g(x)=2x‹ +3x¤ -12x-16+k
g'(x)=6x¤ +6x-12=6(x+2)(x-1) g'(x)=0에서 x=-2 또는 x=1
삼차방정식g(x)=0이 중근과 다른 한 실근을 가지려면 (극댓값)_(극솟값)=0이어야 하므로 g(-2)g(1)=0 (k+4)(k-23)=0 ∴ k=-4 또는 k=23
정답_ -4, 23
f'(x)=6x¤ +12x-18=6(x+3)(x-1) f'(x)=0에서 x=-3 또는 x=1삼차방정식 f(x)=0이 한 실근과 두 허근을 가지려면 (극댓값)_(극솟값)>0이어야 하므로 f(-3)f(1)>0 (a+51)(a-13)>0 ∴ a<-51 또는 a>13
따라서 자연수 a의 최솟값은 14이다.
정답_ ④
f(x)=x‹ -ax¤ +ax+b로 놓으면 f'(x)=3x¤ -2ax+a 함수 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같이 b f'(x)=6x¤ -6x-12=6(x+1)(x-2) f'(x)=0에서 x=-1 또는 x=2 f'(x)=3x¤ -12x+9=3(x-1)(x-3) f'(x)=0에서 x=1 또는 x=3
삼차방정식 f(x)=0이 서로 다른 세 실근을 가지려면 (극댓값)_(극솟값)<0이어야 하므로 f(1)f(3)<0 (-m+4)(-m)<0, m(m-4)<0
∴ 0<m<4
정답_ ②
364
f(x)=x‹ +3ax-2로 놓으면 f'(x)=3x¤ +3a 접점의 좌표를 (t, t‹ +3at-2)라고 하면 접선의 기울기는
f'(t)=3t¤ +3a이므로 접선의 방정식은 y-(t‹ +3at-2)=(3t¤ +3a)(x-t)
∴ y=(3t¤ +3a)x-2t‹ -2 yy ㉠
(026~070)풍필유_수Ⅱ(해)2-OK 2017.6.12 3:12 PM 페이지060
365
f(x)=x‹ -x+2로 놓으면 f'(x)=3x¤ -1
접점의 좌표를 (t, t‹ -t+2)라고 하면 접선의 기울기는 f'(t)=3t¤ -1이므로 접선의 방정식은
y-(t‹ -t+2)=(3t¤ -1)(x-t)
∴ y=(3t¤ -1)x-2t‹ +2 yy ㉠ g'(t)=6t¤ -6t=6t(t-1) g'(t)=0에서 t=0 또는 t=1
삼차방정식g(t)=0이 중근과 다른 한 실근을 가지려면 (극댓값)_(극솟값)=0이어야 하므로 f(0)f(1)=0 (a-1)(a-2)=0 ∴ a=1 또는 a=2 h'(x)=6x¤ +6x-12=6(x+2)(x-1) h'(x)=0에서 x=-2 또는 x=1
367
f(x)=x‹ -12x¤ +36x+a로 놓으면 f'(x)=3x¤ -24x+36=3(x-2)(x-6) f'(x)=0에서 x=2 또는 x=6
삼차방정식 f(x)=0이 서로 다른 세 양의 실근을 가지려면 함수 y=f(x)의 그래프가 오른쪽 그림과 같아야 하므로
⁄ (극댓값)_(극솟값)<0에서
⁄ f(2)f(6)<0
(a+32)a<0 ∴ -32<a<0 yy ㉠
¤ (y절편)<0에서 f(0)=a<0 yy ㉡
㉠, ㉡에서 -32<a<0
따라서 정수 a는 -31, -30, -29, y, -1로 31개이다.
정답_ ①
f'(x)=-6x¤ +6x=-6x(x-1) f'(x)=0에서 x=0 또는 x=1 g'(t)=6t¤ -12t=6t(t-2) g'(t)=0에서 t=0 또는 t=2
삼차방정식 g(t)=0이 오직 한 개의 실근을 가지려면 (극댓값)_(극솟값)>0이어야 하므로 g(0)g(2)>0 (-6a+2)(-6a-6)>0, (3a-1)(a+1)>0
∴ a<-1 또는 a>;3!;
(-a+20)(-a-7)<0, (a-20)(a+7)<0
∴ -7<a<20 yy ㉠
¤ (y축과 만나는 점)>0에서 h(0)=-a>0
∴ a<0 yy ㉡
㉠, ㉡에서 -7<a<0
따라서 정수 a는 -6, -5, …, -1로 6개이다.
정답_ ①
y y=h{x}1
-2 O x
(026~070)풍필유_수Ⅱ(해)2-OK 2017.6.12 3:12 PM 페이지061
ㄴ도 옳다.
f'(x)=4x‹ -12x=4x(x+'3)(x-'3) f'(x)=0에서 x=-'3 또는 x=0 또는 x='3
사차방정식 f(x)=0이 서로 다른 네 개 의 실근을 가지려면 y=f(x)의 그래프가 오른쪽 그림과 같아야 하므로
f(-'3)<0, f('3)<0, f(0)>0
a-9<0, a>0 ∴ 0<a<9
정답_ ③
f'(x)=12x‹ +24x¤ -12x-24=12(x+2)(x+1)(x-1)
f'(x)=12x‹ -12x¤ -24x=12x(x+1)(x-2) f'(x)=0에서 x=-1 또는 x=0 또는 x=2
f'(x)=4x‹ +2x-6=2(x-1)(2x¤ +2x+3) f'(x)=0에서 x=1 f'(x)=8x‹ -8x=8x(x+1)(x-1) f'(x)=0에서 x=0 또는 x=-1 또는 x=1
따라서 함수 y=f(x)의 그래프의 개형은 오른쪽 그림과 같으므로 방정식
f(x)=k의 실근의 개수가 최대이려면 1<k<3이어야 한다.
정답_ 1<k<3
y=f{x} f(-1)<0, f(3)>0, f(5)<0정답_ ②
y=f{x}
3 5 -1
x (026~070)풍필유_수Ⅱ(해)2-OK 2017.6.12 3:12 PM 페이지062
f(-1)>f(2)이므로 사차방정식 f(x)=0이 서로 다른 두 실 근을 가지려면 함수 y=f(x)의 그래프가 [그림 1] 또는 [그림 2]
와 같아야 한다.
[그림 1]에서 f(0)<0 ∴ a<0 yy ㉠ [그림 2]에서 f(-1)>0, f(2)<0
a-5>0, a-32<0 ∴ 5<a<32 yy ㉡
㉠, ㉡에서 a<0 또는 5<a<32
따라서 자연수 a는 6, 7, 8, y, 31로 26개이다.
정답_ ②
(p+'2)(p-'2)<0 ∴ -'2<p<'2
따라서 자연수 p는 1로 1개이다.
정답_ ①
;3!;x‹ -3xæ-2x+k에서 ;3!;x‹ -x-kæ0 f(x)=;3!;x‹ -x-k로 놓으면
f'(x)=x¤ -1=(x+1)(x-1)
이때, -1…x…1에서 f'(x)…0이므로 함수 f(x)는 f'(x)=6x¤ -10x-4=2(3x+1)(x-2) f'(x)=0에서 x=-;3!; 또는 x=2
xæ0일 때 f(x)æ0이려면 a-12æ0 ∴ aæ12
따라서 상수 a의 최솟값은 12이다.
정답_ ⑤
377
f(x)=x‹ -3x+k+1로 놓으면 f'(x)=3x¤ -3=3(x+1)(x-1) f'(x)=0에서 x=-1 또는 x=1 f'(x)=12x¤ +6x-6=6(x+1)(2x-1) f'(x)=0에서 x=-1 또는 x=;2!; h(x)=f(x)-g(x)로 놓으면 h(x)=x‹ +a-3x¤ =x‹ -3x¤ +a h'(x)=3x¤ -6x=3x(x-2)
이때, xæ2에서 h'(x)æ0이므로 함수 h(x)는 xæ2에서 증가 한다.
xæ2일 때 h(x)æ0이려면
h(2)=8-12+aæ0 ∴ aæ4
정답_ ③
381
f(x)=-x› +4x¤ +16x-12에서
f'(x)=-4x‹ +8x+16=-4(x-2)(x¤ +2x+2) 이때, x¤ +2x+2=(x+1)¤ +1>0이므로 (026~070)풍필유_수Ⅱ(해)2-OK 2017.6.12 3:12 PM 페이지063
382
f(x)=x‹ -3x¤ +a-2에서 f'(x)=3x¤ -6x=3x(x-2) f'(x)=0에서 x=2 (∵ x>0)
x>0일 때, 곡선 y=f(x)가 직선 y=2보다 항상 위쪽에 있으려 면 ( f(x)의 최솟값)>2이어야 하므로
a-6>2 ∴ a>8
정답_ a>8
xf'(x) f(x)
(0) y
-↘
2 0 a-6
y +
↗
383
f(x)=x« ±⁄ +n-(n+1)x로 놓으면
f'(x)=(n+1)x« -(n+1)=(n+1)(x« -1) x>1일 때, f'(x) 0이므로 구간 (1, ¶)에서 f(x)는
한다.
또, f(1)=1+n-(n+1)=0이므로 x>1일 때 f(x) 0 x« ±⁄ +n-(n+1)x>0
∴ x« ±⁄ +n>(n+1)x
정답_ ①
㈐>
㈏증가
㈎>
384
f(x)=x« -n(x-1)로 놓으면 f'(x)=nx« —⁄ -n=n(x« —⁄ -1)
x>1일 때 f'(x) 0이므로 f(x)는 한다.
이때, f(1)=1이므로 x>1일 때 f(x)>0
x« -n(x-1)>0 ∴ x« ㈐>n(x-1)
정답_ ①
㈏증가
㈎>
385
f(x)=x« -nx(x>0)로 놓으면 f'(x)=nx« —⁄ -n=n(x« —⁄ -1)
=n(x-1)(x« —¤ +x« —‹ +y+x+1) f'(x)=0에서 x=1
따라서 f(x)는 x= 에서 극소이며 최소이다.
즉, f(x)æf(1)= 이므로 x« -nxæ
따라서 n이 2 이상의 자연수일 때, x>0인 모든 실수 x에 대하여 부등식 x« ænx+㈏1-n이 성립한다.
정답_ ②
㈏1-n
㈏1-n
㈎1
386
f(x)=2« —⁄ (x« +1)-(x+1)« 으로 놓으면 f'(x)=2« —⁄ ¥nx« —⁄ -n(x+1)« —⁄
=n{( )« —⁄ -(x+1)« —⁄ }
f'(x)=0에서 x= 이므로 f(x)는 x= 에서 극소이면 서 최소이고 최솟값은
f(1)=2« —⁄ ¥2-2« =0
∴ f(x)æ0 (단, 등호는 x= 일 때 성립한다.) 즉, (x+1)« …2« —⁄ (x« +1)
위의 부등식에 x= 를 대입하면
{;bA;+1}n …2« —⁄ [{;bA;}n +1]
양변에 ㈏b« 을 곱하면 (a+b)« …2« —⁄ (a« +b« )
정답_ ③
㈐
;bA;
㈏1
㈏1
㈏1
㈎2x
387
점 P의 시각 t에서의 속도를 v라고 하면 v=x'=-2t+4
t=a에서 점 P의 속도가 0이므로
-2a+4=0 ∴ a=2
정답_ ②
388
점 P의 시각 t에서의 속도를 v, 가속도를 a라고 하면 v=x'=3t¤ -6t, a=v'=6t-6
속도가 45인 순간의 시각을 구하면 3t¤ -6t=45 t¤ -2t-15=0, (t+3)(t-5)=0
∴ t=5 (∵ t>0)
따라서 t=5일 때의 가속도는 6¥5-6=24
정답_ ③
389
점 P의 시각 t에서의 속도를 v라고 하면
v=x'=3t¤ -6t-4=3(t-1)¤ -7 yy ㉠ 0…t…3에서 ㉠의 그래프는 오른쪽 그
림과 같으므로
-7…v…5 ∴ 0…|v|…7
따라서 점 P의 속도와 속력의 최댓값은 각각 5, 7이므로
a=5, b=7
∴ a+b=5+7=12
정답_ ②
t v
v=3t@-6t-4 O
-4 1
-7 5
3
390
점 P의 시각 t에서의 속도를 v, 가속도를 a라고 하면 v=x'=t¤ -7t+10, a=v'=2t-7
점 P가 운동 방향을 바꿀 때의 속도는 0이므로 t¤ -7t+10=0 (t-2)(t-5)=0 ∴ t=2 또는 t=5
한편, g(x)=x¤ +6x+k=(x+3)¤ +k-9이므로 g(x)의 최 솟값은 k-9이다.
임의의 실수 x¡, x™에 대하여 f(x¡)…g(x™)를 만족시키려면 ( f(x)의 최댓값)…(g(x)의 최솟값)이어야 하므로 20…k-9 ∴ kæ29
따라서 실수 k의 최솟값은 29이다.
정답_ 29
(026~070)풍필유_수Ⅱ(해)2-OK 2017.6.12 3:12 PM 페이지064394
시각 t일 때의 두 점 P, Q의 속도를 각각 v∏, vŒ라고 하면 v∏=f'(t)=4t-2, vŒ=g'(t)=2t-8
이때, 두 점 P와 Q가 서로 반대 방향으로 움직이려면 v∏와 vŒ의 부호가 달라야 하므로
(4t-2)(2t-8)<0
(2t-1)(t-4)<0 ∴ ;2!;<t<4
정답_ ①
395
시각 t에서의 두 점 P, Q의 속도를 각각 v∏, vŒ라고 하면 v∏=f'(t)=t¤ -2, vŒ=g'(t)=2t+1
두 점 P, Q의 속도가 같으므로 v∏=vŒ에서 t¤ -2=2t+1, t¤ -2t-3=0
(t+1)(t-3)=0 ∴ t=3 (∵ tæ0) 따라서 t=3일 때, 두 점 P, Q의 위치는 각각
f(3)=;3!;¥3‹ -2¥3=3, g(3)=3¤ +3=12
이므로 두 점 P, Q 사이의 거리는 12-3=9
정답_ ⑤
392
점 P는 원점을 출발하므로 t=0일 때의 위치는 0이다.
x=t¤ +at+b에 t=0, x=0을 대입하면 b=0 점 P의 시각 t에서의 속도를 v라고 하면 v=x'=2t+a 운동 방향을 바꾸는 시각이 t=3이므로 t=3일 때의 속도는 0이 다.
v=2t+a에 t=3, v=0을 대입하면 2¥3+a=0 ∴ a=-6
따라서 x=t¤ -6t이므로 점 P가 다시 원점을 지나가게 되는 시 각은
t¤ -6t=0에서 t(t-6)=0 ∴ t=6 (∵ t>0)
정답_ ⑤
393
시각 t에서의 속도를 v(t)라고 하면
v(t)=f'(t)=6t¤ -18t+12=6(t-1)(t-2) ㄱ은 옳다.
출발할 때에는 t=0이므로 v(0)=12 ㄴ은 옳지 않다.
v(t)=0에서 t=1 또는 t=2이므로 점 P는 두 번 방향을 바 꾼다.
ㄷ도 옳다.
f(t)=0에서 t(2t¤ -9t+12)=0
∴ t=0 또는 2t¤ -9t+12=0 이때, 2t¤ -9t+12=2{t-;4(;}¤
+:¡8∞:>0이므로 방정식 f(t)=0은 t=0 이외의 해를 갖지 않는다.
즉, 점 P는 원점을 출발한 후 다시 원점으로 돌아오지 않는다.
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.
정답_ ③
391
제동을 걸고 나서 t초 동안 달린 거리를 x m, t초 후의 속도를 v m/초라고 하면
x=20t-;1¡0;ct¤ , v=x'=20-;5!;ct 열차가 정지할 때의 속도는 0 m/초이므로 20-;5!;ct=0 ∴ t=;:!c):); (초) 열차가 정지할 때까지 달린 거리는 20¥;:!c):);-;1¡0;c¥{;:!c):);}2 =:¡:ºcº:º:(m)
정지선을 넘지 않고 멈추려면 달린 거리가 200 m 이하이어야 하 므로 :¡:ºcº:º:…200 ∴ cæ5
따라서 양수 c의 최솟값은 5이다.
정답_ ⑤
396
두 점 P, Q의 t분 후의 속도를 각각 v¡, v™라고 하면 v¡=x¡'=6t-18, v™=x™'=2t-10
두 점 P, Q가 같은 방향으로 움직이면 속도의 부호가 같으므로 v¡v™>0에서 (6t-18)(2t-10)>0
(t-3)(t-5)>0 ∴ t<3 또는 t>5 이때, 0<t…10이므로 0<t<3 또는 5<t…10
따라서 두 점 P, Q가 같은 방향으로 움직이는 시간은 8분 동안이
다.
정답_ ⑤
397
두 점이 만날 때 두 점의 위치는 같으므로 t‹ -2t=2t¤ +6t
t‹ -2t¤ -8t=0, t(t+2)(t-4)=0 ∴ t=4 (∵ t>0) 두 점 P, Q의 t초 후의 속도는 각각 v∏=3t¤ -2, vŒ=4t+6이므 로 t=4일 때의 속도는 각각
v∏=3¥4¤ -2=46, vŒ=4¥4+6=22
∴ |v∏-vŒ|=|46-22|=24
정답_ ①
398
로켓의 t시간 후의 속도를 v km/시, 가속도를 a km/시¤ 이라고 하면 v=h'=600-10t-t¤ , a=v'=-10-2t
로켓이 최고 높이에 도달하였을 때의 속도는 0 km/시이므로 600-10t-t¤ =0, t¤ +10t-600=0
(t+30)(t-20)=0 ∴ t=20 (∵ t>0) 따라서 t=2일 때 처음으로 운동 방향을 바꾸므로 구하는 가속도
는 2¥2-7=-3
정답_ ③
(026~070)풍필유_수Ⅱ(해)2-OK 2017.6.12 3:12 PM 페이지065
따라서 t=20일 때의 가속도는
a=-10-2¥20=-50 (km/시¤ )
정답_ ①
400
ㄱ은 옳다.
t=a일 때 전진에서 후진으로, t=c일 때 후진에서 전진으로 방향을 바꾼다.
ㄴ도 옳다.
원점을 처음으로 다시 지나는 시각은 t=b이므로 이때의 속도 는 f'(b)이다.
ㄷ도 옳다.
운동 방향을 처음으로 바꾸는 시각은 t=a이다.
t=a의 좌우에서 속도 v는 양 ⁄ 0 ⁄ 음으로 감소하므로 t=a에서 가속도 v'은 음수이다.
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.
정답_ ⑤
오른쪽 그림과 같은 속도 v=f'(t)의 그 래프에서 가속도는 접선의 기울기이므로
t=a에서 가속도는 음수이다. t
v v=f '{t}
b c a d O
보충 설명
399
물체의 t초 후의 속도를 v m/초, 가속도를 a m/초¤ 이라고 하면 v=h'=100-10t, a=v'=-10
ㄱ은 옳다.
물체의 가속도는 -10 m/초¤ 으로 항상 일정하다.
ㄴ도 옳다.
물체가 다시 땅에 떨어질 때의 높이는 0 m이므로 100t-5t¤ =0, 5t(20-t)=0 ∴ t=20 (∵ t>0) 즉, 20초 후에 다시 땅에 떨어진다.
ㄷ은 옳지 않다.
h=100t-5t¤ =-5(t-10)¤ +500이므로 물체는 t=10일 때 최고 500 m까지 올라간다.
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.
정답_ ③
401
①은 옳다.
1초 후 전진에서 후진으로 운동 방향이 바뀐다.
②도 옳다.
8초 동안 t=1, 2, 3, 5, 6, 7일 때의 6번 운동 방향이 바뀐다.
③은 옳지 않다.
출발 후 양의 방향으로 움직이다가 4초까지는 1초, 2초, 3초에 서 방향을 바꾼다.
④도 옳다.
출발 후 5초 후의 위치와 7초 후의 위치는 -2로 같다.
⑤도 옳다.
x(t)의 그래프가 t=2일 때, 극값을 가지므로 출발 후 2초 후 의 속력은 0이다. 출발 후 4초 후의 속도는 x(t)의 그래프의 t=4일 때의 접선의 기울기이고 음수이므로 속도의 절댓값인 속력은 양수이다.
즉, 출발 후 4초 후의 속력이 출발 후 2초 후의 속력보다 크다.
따라서 옳지 않은 것은 ③이다.
정답_ ③
402
ㄱ은 옳다.
운동 방향을 바꾸는 지점은 속도가 음에서 양으로 또는 양에서 음으로 부호를 바꾸는 지점이다. 주어진 그래프에서 t=3, t=5일 때 속도의 부호가 바뀌므로 점 P는 출발한 후 3초일 때와 5초일 때 두 번 운동 방향을 바꾼다.
ㄴ은 옳지 않다.
점 P는 1초와 2초 사이에서 일정한 속도로 움직였다.
ㄷ도 옳지 않다.
점 P는 출발 후 t=3일 때 처음으로 운동 방향을 바꾸고 3초 부터 5초까지는 원점을 향하여 다시 돌아오고 있다. 따라서 점 P가 처음으로 운동 방향을 바꾼 후 원점에 가장 가까울 때는 t=5일 때이다.
ㄹ도 옳다.
2초와 3초 사이에서는 속도의 그래프가 일정한 기울기로 감소 하는 직선이므로 가속도는 음의 값으로 일정하다.
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄹ이다.
정답_ ③
404
t분 후 사람이 움직인 거리를 x m, 사람의 그림자의 길이를 y m라고 하면 오른쪽 그림에서
△OARª△PQR이므로 3 : 1.8=(x+y) : y
3y=1.8x+1.8y ∴ y=;2#;x yy ㉠ 사람이 80 m/분의 속력으로 걸어가므로 x=80t yy ㉡
㉡을 ㉠에 대입하면 y=;2#;¥80t=120t
따라서 그림자 길이의 증가율은
y'=120(m/분)
정답_ ⑤
x`m y`m 3`m
1.8`m A
R Q
O P
403
l'=2t+2이므로 t=2에서의 고무줄의 길이의 변화율은
l'=2¥2+2=6
정답_ ④
405
제일 먼저 생긴 원의 t초 후의 반지름의 길이는 ;2!;t m이므로
(026~070)풍필유_수Ⅱ(해)2-OK 2017.6.12 3:12 PM 페이지066
원의 넓이를 S m¤ 라고 하면 S=p {;2!;t}2 =;4“;t¤ ∴ S'=;2“;t
따라서 돌을 던진 지 6초 후 가장 바깥쪽의 원의 넓이의 변화율은
;2“;¥6=3p(m¤ /초)
정답_ ③
406
t초 후의 직사각형의 가로, 세로의 길이는 각각
(10+3t) cm, (30-2t) cm이므로 직사각형의 넓이를 S cm¤
라고 하면
S=(10+3t)(30-2t)
∴ S'=3(30-2t)-2(10+3t)=70-12t 직사각형이 정사각형이 되는 시각은 10+3t=30-2t ∴ t=4 따라서 t=4일 때의 넓이의 변화율은
S'=70-12¥4=22(cm¤ /초)
정답_ ④
407
t초 후의 풍선의 반지름의 길이는 (2+t) cm이므로 부피를 V cm‹ 라고 하면
V=;3$;p(2+t)‹
∴ V'=;3$;p¥3(2+t)¤ ¥1=4p(2+t)¤
풍선의 반지름의 길이가 6 cm가 되는 시각은 2+t=6 ∴ t=4
따라서 t=4일 때의 부피의 변화율은
V'=4p(2+4)¤ =144p(cm‹ /초)
정답_ ⑤
408
t초 후의 정사각기둥의 밑면의 한 변의 길이는 (t+2) cm이고 높이는 (10-t) cm이므로 정사각기둥의 부피를 V cm‹ 라고 하면 V=(t+2)¤ (10-t)
∴ V'=2(t+2)(10-t)-(t+2)¤
=-3t¤ +12t+36
따라서 t=5일 때의 정사각기둥의 부피의 변화율은
V=-3¥5¤ +12¥5+36=21(cm‹ /초)
정답_ ④
409
t초 후의 수면의 반지름의 길이를 r cm, 높이를 h cm라고 하면 오른쪽 그림에서 r : h=6 : 12
6h=12r ∴ r=;2!;h
수면의 높이가 매초 2 cm의 속도로 올라가므로 t초일 때 수면의 높이는 h=2t
12`cm 6`cm r`cm
h`cm
∴ r=;2!;¥2t=t
t초 후의 물의 부피를 V cm‹ 라고 하면 V=;3!;pr¤ h=;3!;pt¤ ¥2t=;3@;pt‹
∴ V'=2pt¤
따라서 t=4일 때의 부피의 변화율은
V'=2p¥4¤ =32p(cm‹ /초)
정답_ ②
410
곡선 y=-x‹ +1과 직선 y=-3x+k가 접하려면 방정식 -x‹ +1=-3x+k, 즉 x‹ -3x-1+k=0이 한 실근과 중근 을 가져야 한다... ❶
f(x)=x‹ -3x-1+k로 놓으면 f'(x)=3x¤ -3=3(x-1)(x+1) f'(x)=0에서 x=-1 또는 x=1
삼차방정식 f(x)=0이 한 실근과 중근을 가지려면 (극댓값)_(극솟값)=0이어야 하므로 f(-1)f(1)=0 (k+1)(k-3)=0 ∴ k=-1 또는 k=3
따라서 모든 실수 k의 값의 합은
-1+3=2... ❷
정답_ 2
xf'(x) f(x)
y +
↗
-1 0 k+1
y
-↘
1 0 k-3
y +
↗
단계
❶
❷
채점 기준
주어진 조건을 만족시키기 위한 방정식의 근의 형태 파악하기 k의 값의 합 구하기
비율 50%
50%
411
f(x)=x‹ -2x-5로 놓으면 f'(x)=3x¤ -2
접점의 좌표를 (a, a‹ -2a-5)라고 하면 접선의 기울기는 f'(a)=3a¤ -2
접선의 방정식은 y-(a‹ -2a-5)=(3a¤ -2)(x-a)
∴ y=(3a¤ -2)x-2a‹ -5 yy ㉠
직선 ㉠이 점 (2, k)를 지나므로 k=2(3a¤ -2)-2a‹ -5
∴ 2a‹ -6a¤ +9+k=0 yy ㉡
점 (2, k)에서 곡선 y=f(x)에 서로 다른 세 개의 접선을 그을 수 있으려면 a에 대한 방정식 ㉡이 서로 다른 세 실근을 가져야
점 (2, k)에서 곡선 y=f(x)에 서로 다른 세 개의 접선을 그을 수 있으려면 a에 대한 방정식 ㉡이 서로 다른 세 실근을 가져야