424
⑴ f(x)=(x¤ -3x+C)'=2x-3
⑵ f(x)=(2x‹ -3x¤ +4x+C)'=6x¤ -6x+4
정답_ ⑴ f(x)=2x-3 ⑵ f(x)=6x¤ -6x+4
425
: (x+3)f(x)dx=2x‹ -54x+C에서 (x+3)f(x)=(2x‹ -54x+C)'
=6x¤ -54=6(x+3)(x-3) 따라서 f(x)=6(x-3)이므로
f(4)=6(4-3)=6
정답_ ③
426
=
= [ - ]
= [ + ]
=2f'(2)
f(x)=: (x¤ -x+6)dx에서 f'(x)=x¤ -x+6 따라서 f'(2)=4-2+6=8이므로
(주어진 식)=2f'(2)=2¥8=16
정답_ ⑤
f(2-h)-f(2)11111123-h f(2+h)-f(2)
11111123h limh⁄0
f(2-h)-f(2) 11111123h f(2+h)-f(2)
11111123h limh⁄0
f(2+h)-f(2)+f(2)-f(2-h) 111111111111115h limh⁄0
f(2+h)-f(2-h) 111111115h limh⁄0
427
함수 f(x)의 부정적분 중 하나가 2x‹ -;2A;x¤ +x이므로 : f(x)dx=2x‹ -;2A;x¤ +x+C (C는 적분상수)로 놓을 수 있다.
∴ f(x)={2x‹ -;2A;x¤ +x+C}'=6x¤ -ax+1 f'(x)=12x-a이고 f'(2)=3이므로 24-a=3 ∴ a=21
따라서 f(x)=6x¤ -21x+1이므로
f(2)=24-42+1=-17
정답_ ⑤
428
: f(x)dx=x‹ -4x¤ +4x+C에서
429
;dÎ[;: (2x¤ +ax-1)dx=bx¤ +3x+c에서 2x¤ +ax-1=bx¤ +3x+c
위의 식이 모든 실수 x에 대하여 성립하므로 b=2, a=3, c=-1
∴ abc=3¥2¥(-1)=-6
정답_ ②
430
: [ (2x¤ -3x)]dx=2x¤ -3x+C (C는 적분상수)이므로 f(x)=2x¤ -3x+C
이때, f(1)=0이므로 2-3+C=0 ∴ C=1 따라서 f(x)=2x¤ -3x+1이므로
f(2)=8-6+1=3
정답_ ④
12dxd
431
: [;dÎ[;(x¤ -5x+4)]dx=x¤ -5x+C (C는 적분상수) 방정식 f(x)=0은 x¤ -5x+C=0으로 놓을 수 있다.
이때 주어진 조건에서 x¤ -5x+C=0의 모든 근의 곱이 -2이 므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해
C=-2
따라서 f(x)=x¤ -5x-2이므로
f(1)=1-5-2=-6
정답_ ①
432
f(x)=: dx+2: xdx+3: x¤ dx+y+n: x« —⁄ dx f(x)=x+2¥;2!;x¤ +3¥;3!;x‹ +y+n¥/n!;x« +C
f(x)=x+x¤ +x‹ +y+x« +C (단, C는 적분상수이다.) 이때, f(0)=0이므로 C=0
따라서 f(x)=x+x¤ +x‹ +y+x« 이므로
f(1)=n
정답_ ②
f(x)=(x‹ -4x¤ +4x+C)'=3x¤ -8x+4
이때, f(a)=0, f(b)=0을 만족시키는 상수 a, b의 합은 이차 방정식 f(x)=0, 즉 3x¤ -8x+4=0의 두 근의 합과 같으므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해
a+b=;3*;
정답_ ④
433
f(x)=: f'(x)dx=: (ax+2)dx
∴ f(x)=;2A;x¤ +2x+C (단, C는 적분상수이다.)
(071~095)풍필유_수Ⅱ(해)3-OK 2017.6.12 3:15 PM 페이지071
이때, f(1)=2이므로 ;2A;+2+C=2 ∴ C=-;2A;
∴ f(x)=;2A;x¤ +2x-;2A;
따라서 방정식 f(x)=0, 즉 ;2A;x¤ +2x-;2A;=0의 모든 근의 곱 은 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해
=-1
정답_ ②
-;2A;
;2A;
435
f(x)=: (x+1)(x¤ -x+1)dx-;4!;: x(2x-1)¤ dx f(x)=: (x+1)(x¤ -x+1)dx-: ;4!;x(2x-1)¤ dx f(x)=: [(x+1)(x¤ -x+1)-;4!;x(2x-1)¤ ]dx f(x)=: [(x‹ +1)-{x‹ -x¤ +;4!;x}]dx
f(x)=: {x¤ -;4!;x+1}dx
f(x)=;3!;x‹ -;8!;x¤ +x+C (단, C는 적분상수이다.) 이때, f(0)=0이므로 C=0
따라서 f(x)=;3!;x‹ -;8!;x¤ +x이므로
24f(1)=24{;3!;-;8!;+1}=29
정답_ ②
434
f(x)=: {;2!;x-2}‹ dx f(x)=2¥;4!;{;2!;x-2}› +C
f(x)=;2!;{;2!;x-2}› +C (단, C는 적분상수이다.)
이때, f(2)=;2#;이므로 ;2!;{;2!;¥2-2}› +C=;2#; ∴ C=1 따라서 f(x)=;2!;{;2!;x-2}› +1이므로
f(0)=;2!;(0-2)› +1=9
정답_ ⑤
436
f(x)=: dx
f(x)=: dx
f(x)=: (3x+2)dx
f(x)=;2#;x¤ +2x+C (단, C는 적분상수이다.) 이때, f(1)=4이므로 ;2#;+2+C=4 ∴ C=;2!;
(2x-1)(3x+2) 1211555211152x-1
6x¤ +x-2 1211555252x-1
따라서 f(x)=;2#;x¤ +2x+;2!;이므로
f(-1)=;2#;-2+;2!;=0
정답_ ③
437
f(x)=: dx+: dx
f(x)=: dx
f(x)=: dx
f(x)=: (x¤ +x+1)dx
f(x)=;3!;x‹ +;2!;x¤ +x+C (단, C는 적분상수이다.) 이때, f(1)=2이므로
;3!;+;2!;+1+C=2 ∴ C=;6!;
따라서 f(x)=;3!;x‹ +;2!;x¤ +x+;6!;이므로
f(0)=;6!;
정답_ ④
(x-1)(x¤ +x+1) x-1 x‹ -1
x-1
2x-1 x-1 x‹ -2x
x-1
438
f'(x)=0에서 x=0 또는 x=4
따라서 함수 f(x)는 x=0일 때 극댓값, x=4일 때 극솟값을 갖 는다.
f(x)=: f'(x)dx=: 3x(x-4)dx f(x)=: (3x¤ -12x)dx=x‹ -6x¤ +C
(단, C는 적분상수이다.) 이때, 극댓값이 5이므로
f(0)=C=5 ∴ C=5
따라서 f(x)=x‹ -6x¤ +5이므로 극솟값은
f(4)=64-96+5=-27
정답_ ④
x f'(x) f(x)
y +
↗
0 0 극대
y
-↘
4 0 극소
y +
↗
439
f(x)=: (6x¤ +4)dx
f(x)=2x‹ +4x+C (단, C는 적분상수이다.) yy ㉠ 이때, y=f(x)의 그래프가 점 (0, 6)을 지나므로
f(0)=C=6
따라서 f(x)=2x‹ +4x+6이므로
f(1)=2+4+6=12
정답_ 12
(071~095)풍필유_수Ⅱ(해)3-OK 2017.6.12 3:15 PM 페이지072
440
곡선 y=f(x) 위의 임의의 점 (x, y)에서의 접선의 기울기가 x¤ 에 정비례하므로 f'(x)=ax¤ (a는 상수)로 놓으면
f(x)=: ax¤ dx=;3!;ax‹ +C (단, C는 적분상수이다.) 곡선 y=f(x)가 두 점 (1, -3), (-2, 6)을 지나므로
f(1)=;3!;a+C=-3, f(-2)=-;3*;a+C=6 위의 두 식을 연립하여 풀면 a=-3, C=-2
따라서 f(x)=-x‹ -2이므로 f(0)=-2
정답_ ①
441
곡선 y=f(x) 위의 임의의 점 (x, y)에서의 접선의 기울기가 6x¤ +2x+3이므로 f'(x)=6x¤ +2x+3
∴ f(x)=: (6x¤ +2x+3)dx
∴ f(x)=2x‹ +x¤ +3x+C (단, C는 적분상수이다.) 이때, 곡선 y=f(x)가 점 (-2, 3)을 지나므로
f(-2)=-16+4-6+C=3 ∴ C=21
∴ f(x)=2x‹ +x¤ +3x+21
f '(1)=6+2+3=11, f(1)=2+1+3+21=27이므로 x=1인 점에서의 접선의 방정식은
y-27=11(x-1) ∴ y=11x+16 따라서 a=11, b=16이므로
a-b=11-16=-5
정답_ ⑤
442
곡선 y=f(x) 위의 임의의 점 (x, y)에서의 접선의 기울기가 2x+1이므로 f'(x)=2x+1
∴ f(x)=: (2x+1)dx=x¤ +x+C (단, C는 적분상수이다.) 이때, 곡선 y=f(x)가 점 (2, 1)을 지나므로
f(2)=6+C=1 ∴ C=-5
∴ f(x)=x¤ +x-5
P(a, 0), Q(b, 0)이라고 하면
PQ”="√(a-b)¤ yy ㉠
이때, a, b는 방정식 x¤ +x-5=0의 두 근이므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해
a+b=-1, ab=-5 yy ㉡
㉡을 ㉠에 대입하면
PQ”="√(a-b)¤ ="√(a+b)¤ -4ab
PQ”="√(-1)¤ -4¥(-5)='∂21
정답_ '∂21
443
f'(x)는 이차항의 계수가 2인 이차함수이고, y=f'(x)의 그래 프가 x축과 만나는 점의 x좌표가 0, 2이므로
f'(x)=2x(x-2)=2x¤ -4x
∴ f(x)=: (2x¤ -4x)dx
∴ f(x)=;3@;x‹ -2x¤ +C (단, C는 적분상수이다.) f'(x)=0에서 2x(x-2)=0 ∴ x=0 또는 x=2
따라서 f(x)는 x=0에서 극댓값 M=C를 갖고, x=2에서 극 솟값 m=C-;3*;을 가지므로
M-m=C-{C-;3*;}=;3*;
정답_ ④
x f'(x)
y +
0 0
y
-2 0
y +
f(x) ↗ C ↘ C-;3*; ↗
444
y=f'(x)의 그래프가 x축과 만나는 점의 x좌표가 1, 3이므로 f'(x)=a(x-1)(x-3) (a<0)
으로 놓을 수 있다.
∴ f(x)=: a(x-1)(x-3)dx
∴ f(x)=a: (x¤ -4x+3)dx
∴ f(x)=a{;3!;x‹ -2x¤ +3x}+C (단, C는 적분상수이다.) f'(x)=0에서 a(x-1)(x-3)=0
∴ x=1 또는 x=3
f(x)의 극댓값이 1, 극솟값이 -3이므로 C=1, ;3$;a+C=-3 ∴ a=-3 따라서 f(x)=-x‹ +6x¤ -9x+1이므로
f(2)=-8+24-18+1=-1
정답_ ②
x f'(x)
y
-1 0
y +
3 0
y
-f(x) ↘ ;3$;a+C ↗ C ↘
445
곡선 y=f(x) 위의 임의의 점 (x, f(x))에서의 접선의 기울기 가 -2x+4이므로 f'(x)=-2x+4
∴ f(x)=: (-2x+4) dx
∴ f(x)=-x¤ +4x+C
=-(x-2)¤ +4+C (단, C는 적분상수이다.) 이때, 함수 f(x)의 최댓값이 6이므로
4+C=6 ∴ C=2
따라서 f(x)=-x¤ +4x+2이므로
f(0)=2이다.
정답_ ③
(071~095)풍필유_수Ⅱ(해)3-OK 2017.6.12 3:15 PM 페이지073
f'(0)= = =6 f'(x)=
f'(x)=
f'(x)=
f'(x)= -x=6-x
∴ f(x)=: (6-x)dx=6x-;2!;x¤ +C
(단, C는 적분상수이다.) 이때, f(0)=0이므로 C=0
따라서 f(x)=6x-;2!;x¤ 이므로
f(2)=12-2=10
정답_ ⑤
1145f(h)h limh⁄0
f(h)-xh 111134h limh⁄0
f(x)+f(h)-xh-f(x) 111111111145h limh⁄0
f(x+h)-f(x) 11111123h limh⁄0
1145f(h)h limh⁄0
f(0+h)-f(0) 11111123h limh⁄0
446
F(x)=xf(x)-4x‹ -4x¤ 의 양변을 x에 대하여 미분하면 F'(x)=f(x)+xf'(x)-12x¤ -8x
이때, F'(x)=f(x)이므로 f(x)=f(x)+xf'(x)-12x¤ -8x xf'(x)=12x¤ +8x ∴ f'(x)=12x+8
∴ f(x)=: (12x+8)dx
∴ f(x)=6x¤ +8x+C (단, C는 적분상수이다.) 한편, f(1)=10이므로 6+8+C=10 ∴ C=-4 따라서 f(x)=6x¤ +8x-4이므로 방정식 f(x)=0, 즉 6x¤ +8x-4=0의 두 근의 곱은 이차방정식의 근과 계수의 관계 에 의해
-;6$;=-;3@;
정답_ ②
447
: f(x)dx=xf(x)+2x‹ -2x¤ 의 양변을 x에 대하여 미분하면 f(x)=f(x)+xf'(x)+6x¤ -4x
∴ f'(x)=-6x+4 f(x)=: (-6x+4)dx
f(x)=-3x¤ +4x+C (단, C는 적분상수이다.) 이때, f(1)=4이므로 1+C=4 ∴ C=3 따라서 f(x)=-3x¤ +4x+3이므로
f(2)=-12+8+3=-1
정답_ ②
448
F(x)는 f(x)=4x-4의 부정적분이므로 F(x)=: f(x)dx=: (4x-4)dx
F(x)=2x¤ -4x+C (단, C는 적분상수이다.) F(x)æ0에서 2x¤ -4x+Cæ0
이 부등식이 모든 실수 x에 대하여 성립해야 하므로 이차방정식 2x¤ -4x+C=0의 판별식을 D라고 하면
=4-2C…0 ∴ Cæ2
이때, F(0)=Cæ2이므로 주어진 값 중 F(0)의 값이 될 수 없
는 것은 ①이다.
정답_ ①
15D4
449
f(x+y)=f(x)+f(y)-xy의 양변에 x=0, y=0을 대입하면 f(0)=f(0)+f(0) ∴ f(0)=0
f(0)=0, f'(0)=6이므로
450
Dy=(ax+1)Dx-(Dx)¤ 에서 =ax+1-Dx이므로 f'(x)= =ax+1
∴ f(x)=: (ax+1)dx
∴ f(x)=;2!;ax¤ +x+C (단, C는 적분상수이다.) 이때, f(0)=1, f(1)=0이므로
C=1, ;2!;a+1+C=0 ∴ a=-4 따라서 f(x)=-2x¤ +x+1이므로
f(-1)=-2-1+1=-2
정답_ ②
125DxDy
Dxlim⁄0
125DxDy
451
함수 f(x)가 x=-1에서 연속이므로
f(x)=‡ (단, C¡, C™는 적분상수이다.) 이때, f(-2)=1이므로 -2k+C¡=1
∴ C¡=2k+1
또한, f(0)=2이므로 C™=2
한편, 함수 f(x)가 x=-1에서 연속이므로
(2x¤ -x+2)= (kx+2k+1)=f(-1) 2+1+2=-k+2k+1 ∴ k=4
∴ C¡=8+1=9
따라서 f(x)=‡ 이므로
f(-3)=-12+9=-3
정답_ -3
4x+9 (x…-1) 2x¤ -x+2 (x>-1)
xlim ⁄-1-xlim⁄-1+
kx+C¡ (x…-1) 2x¤ -x+C™ (x>-1)
f'(x)=‡ k (x<-1)에서 4x-1 (x>-1)
(071~095)풍필유_수Ⅱ(해)3-OK 2017.6.12 3:15 PM 페이지074
452
주어진 그래프에서 f'(x)=‡ 이므로
f(x)=‡ (단, C¡, C™는 적분상수이다.) 이때, f(2)=1이므로 4-10+C™=1 ∴ C™=7 또, 함수 f(x)는 x=1에서 연속이므로
(x¤ -5x+7)= (-x‹ +C¡)=f(1) 1-5+7=-1+C¡ ∴ C¡=4
따라서 f(x)=‡ 이므로
f(-2)=8+4=12
정답_ ②
-x‹ +4 (x…1) x¤ -5x+7 (x>1)
xlim ⁄1-xlim⁄1+
-x‹ +C¡ (x…1) x¤ -5x+C™(x>1)
-3x¤ (x…1) 2x-5(x>1)
453
f'(x)=4x¤ +4x+1이므로 f(x)=: (4x¤ +4x+1)dx
f(x)=;3$;x‹ +2x¤ +x+C¡ (단, C¡은 적분상수이다.) 이때, f(1)=2이므로 ;3$;+2+1+C¡=2 ∴ C¡=-;3&;
따라서 f(x)=;3$;x‹ +2x¤ +x-;3&;이므로 F(x)=: {;3$;x‹ +2x¤ +x-;3&;}dx
F(x)=;3!;x› +;3@;x‹ +;2!;x¤ -;3&;x+C™ (단, C™는 적분상수이다.) 이때, F(1)=2이므로 ;3!;+;3@;+;2!;-;3&;+C™=2
∴ C™=:¡6¶:
따라서 F(x)=;3!;x› +;3@;x‹ +;2!;x¤ -;3&;x+:¡6¶:이므로
6F(0)=6¥:¡6¶:=17
정답_ ④
454
조건 ㈎에서 ;dÎ[; { f(x)+g(x)}=2x+1이므로 : [;dÎ[; { f(x)+g(x)}]dx=: (2x+1)dx
∴ f(x)+g(x)=x¤ +x+C¡ (단, C¡은 적분상수이다.) 이때, f(0)=1, g(0)=-2이므로
f(0)+g(0)=1+(-2)=C¡ ∴ C¡=-1
∴ f(x)+g(x)=x¤ +x-1 yy ㉠
... ❶
조건 ㈏에서 ;dÎ[; { f(x)g(x)}=3x¤ -4x+1이므로 : [;dÎ[; { f(x)g(x)}]dx=: (3x¤ -4x+1)dx
∴ f(x)g(x)=x‹ -2x¤ +x+C™ (단, C™는 적분상수이다.) 이때, f(0)g(0)=1¥(-2)=C™이므로 C™=-2
∴ f(x)g(x)=x‹ -2x¤ +x-2=(x-2)(x¤ +1) yy ㉡
... ❷
㉠, ㉡에서 ‡ 또는‡
그런데 f(0)=1, g(0)=-2이므로 f(x)=x¤ +1, g(x)=x-2
∴ f(1)=1+1=2... ❸
정답_ 2
f(x)=x¤ +1g(x)=x-2 f(x)=x-2
g(x)=x¤ +1
단계
❶
❷
❸
채점 기준 f(x)+g(x)의 식 구하기 f(x)g(x)의 식 구하기 f(1)의 값 구하기
비율 30%
30%
40%
455
f'(x)=x¤ +4x-5에서 f(x)=: (x¤ +4x-5)dx
f(x)=;3!;x‹ +2x¤ -5x+C (단, C는 적분상수이다.)... ❶
f(3)=13이므로 9+18-15+C=13 ∴ C=1... ❷
f(x)=;3!;x‹ +2x¤ -5x+1이므로 f(x)=0에서
;3!;x‹ +2x¤ -5x+1=0 ∴ x‹ +6x¤ -15x+3=0
위의 방정식의 세 근을 a, b, c라고 하면 삼차방정식의 근과 계수 의 관계에 의해
abc=-;1#;=-3... ❸
정답_ -3
단계
❶
❷
❸
채점 기준 f(x) 구하기
적분상수 C의 값 구하기
방정식 f(x)=0의 모든 근의 곱 구하기
비율 30%
30%
40%
456
곡선 y=f(x) 위의 임의의 점 P(x, y)에서의 접선의 기울기가 3x¤ -12이므로
f'(x)=3x¤ -12=3(x¤ -4)=3(x+2)(x-2) f'(x)=0에서 x=-2 또는 x=2
이때, f(x)=: (3x¤ -12)dx=x‹ -12x+C (C는 적분상수) 이고 함수 f(x)는 x=2일 때 극솟값 3을 가지므로
f(2)=8-24+C=3 ∴ C=19... ❶ x
f'(x) f(x)
y +
↗
-2 0 극대
y
-↘
2 0 극소
y +
↗ (071~095)풍필유_수Ⅱ(해)3-OK 2017.6.12 3:15 PM 페이지075
1-1+C¡=1
f(x+y)=f(x)+f(y)-2xy-2의 양변에 x=0, y=0을 대 입하면
f(0)=f(0)+f(0)-2 ∴ f(0)=2 f(0)=2, f'(0)=1이므로
f'(0)= = =1 ... ❶
11115h limh⁄0
f(h)-2xh-2 125111115h limh⁄0
f(x)+f(h)-2xh-2-f(x) 1111111111112h limh⁄0
f(x+h)-f(x) 1111111h limh⁄0
f(h)-2 11115h limh⁄0
f(0+h)-f(0) 11111123h limh⁄0
따라서 f(x)=x‹ -12x+19이고 함수 f(x)는 x=-2일 때 극댓값을 가지므로 함수 f(x)의 극댓값은
f(-2)=-8+24+19=35... ❷
정답_ 35
x+C™ (x<1)2x-1(xæ1)
=2f'(x)=6x¤ -8x
∴ f'(x)=3x¤ -4x... ❶
5111111555232h limh⁄0
f(x+2h)-f(x) 511111155523h limh⁄0
(071~095)풍필유_수Ⅱ(해)3-OK 2017.6.12 3:15 PM 페이지076
[ : f(x)dx]= [ : g(x)dx]
f(x)=;5!;xfi -16x+;5$;이므로 f(1)=;5!;-16+;5$;=-15
f'(x)=x› -16이므로 f'(1)=1-16=-15
∴
∴= [ ¥ ]
∴= [ ¥ ]
∴= [[x¥ +f(1)]¥ ]
∴=;2!;{ f'(1)+f(1)}=;2!;{(-15)+(-15)}=-15
정답_ ④
112x+11f(x)-f(1) 52125555112x-1 limx⁄1
112x+11 x{ f(x)-f(1)}+f(1)(x-1)
521211125511111125x-1 limx⁄1
112x+11 xf(x)-xf(1)+xf(1)-f(1) 521211125511111125x-1 limx⁄1
xf(x)-f(1) 521211125x¤ -1 limx⁄1 F(x)=(6x-12)Q(x) (Q(x)는 몫) 로 놓으면 F(2)=0이다.
즉, F(2)=8-24+2+C=0에서 C=14
∴ F(x)=x‹ -6x¤ +x+14
한편, 방정식 F(x)=0의 세 실근이 a, b, c이므로 삼차방정식 의 근과 계수의 관계에 의해
a+b+c=6, ab+bc+ca=1, abc=-14이므로 a¤ +b¤ +c¤ =(a+b+c)¤ -2(ab+bc+ca)
=6¤ -2¥1=34
∴ a‹ +b‹ +c‹
=(a+b+c)(a¤ +b¤ +c¤ -ab-bc-ca)+3abc
=6(34-1)+3¥(-14)=156
정답_ 156
463
이때, f(0)=1이므로 f(0)=C=1f(x)=;4K;x› -kx¤ +1에서 f('2)=-3이므로 f('2)=k-2k+1=-3 ∴ k=4
∴ f(x)=x› -4x¤ +1 f(m)f(m+1)<0을 만족시키 는 정수 m은 -2, -1, 0, 1이다.
f(1)>f(0)이므로 f(0)=0이면 f(1)>0
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.
정답_ ④
(071~095)풍필유_수Ⅱ(해)3-OK 2017.6.12 3:15 PM 페이지077