f(x)= +1 (k+0)로 놓을 수 있다. ⇢ ➊
이때 함수 y=f(x)의 그래프가 원점을 지나므로 0= +1 ∴ k=3
∴ f(x)= +1 ⇢ ➋
따라서 -3…x…2에서 y=f(x)의 그래 프는 오른쪽 그림과 같으므로
x=-3일 때 최댓값;2!;, x=2일 때 최솟값 -2 를 갖는다.
즉 구하는 합은
;2!;+(-2)=- ⇢ ➌은 -3
2 3
2
x y y=f{x}
3 -3
-2 1 O 2
1 2 3
x-3 k
-3 k x-3
y=;[#;의 그래프를 x축의 방향으로 3만큼, y축의 방향으로 1만큼 평행이동한 것이다.
채점 기준표
➊주어진 함수를 f(x)= k +1로 놓을 수 있다.
x-3 30%
➋f(x)를 구할 수 있다.
➌최댓값과 최솟값의 합을 구할 수 있다.
30%
40%
함수 y= 의 그래프
y= k +q꼴로 변형한다.
x-p bx+c
x+a
유리함수의 그래프가 지나는 사분면 본책93쪽
20
0665
y= = = -2따라서 y= 의 그래프는
y= 의 그래프를 x축의 방향으로 -2만큼, y축의 방향으로 -2만큼 평 행이동한 것이므로 오른쪽 그림과 같 다.
즉 그래프가 지나지 않는 사분면은 제
1사분면이다. 제1 사분면
3
x x
y O
-2 -2
y=-2x-1x+2 - 12
- 12 -2x-1
x+2
3 x+2 -2(x+2)+3
x+2 -2x-1
x+2
0666
y= = = +3 ⇢ ➊따라서 y= 의 그래프는
y= 의 그래프를 x축의 방향으로 -1만큼, y축의 방향으로 3만큼 평행이동 한 것이므로 그래프가 모든 사분면을 지나 려면 오른쪽 그림과 같아야 한다. ⇢ ➋
⁄k-5<0이어야 하므로 k<5
¤x=0일 때 y<0이어야 하므로 k-2<0 ∴ k<2
⁄, ¤에서 k<2이므로 정수 k의 최댓값은 1이다. ⇢ ➌ 1
k-5>0, 즉 k>5이면 y= +3의 그래프는 x>-1, y>3인 부분과 x<-1, y<3인 부분만 지나므로 제4 사분면을 지 나지 않는다.
k-5 x+1 k-5
x
3x+k-2 x+1
k-5 x+1 3(x+1)+k-5
x+1 3x+k-2
x+1
x y
O -1
3
채점 기준표
➊주어진 함수를 y= l +q 꼴로 변형할 수 있다.
x-p 20%
➋조건을 만족시키는 함수의 그래프를 그릴 수 있다.
➌정수 k의 최댓값을 구할 수 있다.
40%
40%
0662
y= = = +2이므로 함수y= 의 그래프는 y=;[!;의 그래프를 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 것이다.
따라서 -2…x…;2!;에서 y= 의 그 래프는 오른쪽 그림과 같으므로
x=-2일 때 최댓값 ;3%;, x=;2!;일 때 최솟값 0 을 갖는다.
즉 a=;3%;, b=0이므로로로a+b=;3%; ;3%;
2x-1 x-1 2x-1
x-1
1 x-1 2(x-1)+1
x-1 2x-1
x-1
x y
O 2 1 -2 1
y= 2x-1x-1
2 1 3 5
0663
y= +a의 그래프는 y= 의 그래프를 x축의 방향 으로 -2만큼, y축의 방향으로 a만큼 평행이동한 것이다.따라서 -1…x…2에서 y= +a의 그래프는 오른쪽 그림과 같으므로 x=2 일 때 최솟값 +a를 갖는다.
즉 +a=- 이므로
a=-3 ①
2 3 4 3
4
3 4
3 x+2
3 x 3
x+2
x y
-2 O -1
2 a y=x+23 +a
- 34
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0672
y= , y= 의 그래프는 제2 사분면을 지나므로a<0, b<0 ⇢ ➊
이때 y= 의 그래프가 y= 의 그래프보다 원점에서 멀리 떨어 져 있으므로
|a|>|b| ∴ a<b<0
y= , y= 의 그래프는 제1 사분면을 지나므로 c>0, d>0
이때 y= 의 그래프가 y= 의 그래프보다 원점에서 멀리 떨어 져 있으므로
|d|>|c| ∴ d>c>0 ⇢ ➋
∴ a<b<c<d ⇢ ➌
a<b<c<d c
x d
x d x c x
b x a
x
b x a x
음수끼리는 절댓값이 클수록 작다.
채점 기준표
➊a<b<0임을 알 수 있다. 40%
➋d>c>0임을 알 수 있다.
➌a, b, c, d의 대소를 비교할 수 있다.
40%
20%
양수끼리는 절댓값이 클수록 크다.
0671
ㄱ. f(x)= = 이므로 정의역은{x|x+0, x+2인 실수}이다.
ㄴ. f(x)= = ㄴ. f(x)= +2
이므로 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그 림과 같다.
따라서 그래프는 모든 사분면을 지난다.
ㄷ. 그래프가 점 {-;2#;, 0}은 지나지만 점 {0, -;2#;}은 지나지 않으 ㄷ.므로 직선 y=x에 대하여 대칭이 아니다.
이상에서 옳은 것은 ㄴ뿐이다. ②
7 x-2
3 -2
y=f{x}
x y
O 2 2 2(x-2)+7
x-2 2x+3
x-2
2x+3 x-2 2+;[#;
11234 1-;[@;
③ 그래프는 오른쪽 그림과 같으므로 제`2, 3, 4`사분면을 지난다.
④ y=0을 y= 에 대입하면
0= , -3x-5=0
∴ x=-;3%;
따라서 그래프와 x축의 교점의 좌표는{-;3%;, 0}이다.
⑤ 그래프는 y= 의 그래프를 x축의 방향으로 -2만큼, y축의 방
향으로 -3만큼 평행이동한 것이다. ③
1 x -3x-5
x+2 -3x-5
x+2
x y -2 O
-3
0667
점근선의 방정식이 x=-2, y=1이므로 주어진 함수를 y= +1 (k>0)로 놓을 수 있다. 그래프가 점 (0, 2)를 지나므로
2= +1그그∴ k=2
∴ y= +1= =
따라서 a=1, b=4, c=2이므로
abc=8 8
x+4 x+2 2+x+2
x+2 2
x+2 k 0+2
k x+2
0668
y= +b의 그래프의 점근선의 방정식이 x=3, y=2이 므로a=-3, b=2
따라서 함수 y= +2의 그래프가 점 (1, 0)을 지나므로 0= +2 ∴ k=4
∴ a+b+k=3 ②
k 1-3
k x-3 k x+a
0669
주어진 함수의 그래프의 점근선의 방정식이 x=m, y=n 이고 m>0, n<0이므로a>0, c<0
또 y= 의 그래프가 제`2`사분면, 제`4`사분면을 지나므로 b<0
ㄱ. a>0, c<0이므로로로a-c>0
ㄴ. 함수 y= +c의 그래프가 원점을 지나므로 가가- +c=0가가-b+ac=0가가
가가∴ b=ac
ㄷ. <0, <0이므로가가 + <0
이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. ③
a c b a a
c b a
b a
b x-a b
x
함수 y= +q (k+0)의 그래프
① y= (k+0)의 그래프를 x축의 방향으로 p만큼, y축의 방향으 로 q만큼 평행이동한 것이다.
② 정의역: {x|x+p인 실수}, 치역: { y|y+q인 실수}
③ 점근선의 방정식은식은x=p, y=q
④ 점 (p, q)에 대하여 대칭이다.
k x
k x-p
유리함수의 그래프의 성질 본책94쪽
22
0670
y= = = -3① 그래프는 점 (-2, -3)에 대하여 대칭이다.
② 정의역은 {x|x+-2인 실수}이다.
1 x+2 -3(x+2)+1
x+2 -3x-5
x+2
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본책
94~95
쪽05
유리식과유리함수① 함수 y=f(x)의 그래프와 직선 y=g(x)가 한 점에서 만난다.
방정식 f(x)=g(x)가 이차방정식일 때 판별식을 D라 하면 D=0
② y=f(x)의 그래프를 그리고, 직선 y=g(x)가 반드시 지나는 점을 이용한다.
유리함수의 그래프와 직선의 위치 관계 본책95쪽
23
0673
함수 y= 의 그래프와 직선 y=kx+1이 한 점에서 만나므로 =kx+1에서
x-2=(kx+1)(x+1)
x-2=kx¤ +(k+1)x+1 ∴ kx¤ +kx+3=0 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면
D=k¤ -12k=0
k(k-12)=0의의∴ k=12 (∵ k>0) ④ x-2
x+1 x-2 x+1
0674
함수 y= 의 그래프와 직선 y=mx-2m이 만나지 않으므로 =mx-2m에서
x=m(x-2)¤
∴ mx¤ -(4m+1)x+4m=0 이 이차방정식의 판별식을 D라 하면
D=(4m+1)¤ -16m¤ <0 8m+1<0그래∴ m<-;8!;
따라서 정수 m의 최댓값은 -1이다. ⑤
x x-2
x x-2
m(x-2)
0675
A;B+Δ이므로 y= 의 그래프와 직선 y=ax+2 가 만난다.y= , 즉 y=- +2의 그래프 는 오른쪽 그림과 같고, 직선 y=ax+2 는 a의 값에 관계없이 점 (0, 2)를 지나 므로
a<0 a<0
1 x 2x-1
x
2x-1 x
x y
O 2 y=ax+2
y= 2x-1x
2 1
0676
= = +2이므로 주어진 부등식에서
ax… …bx yy㉠
1…x…3에서 y= 의 그래프는
오른쪽 그림과 같으므로 부등식 ㉠이 항상 성립하도록 하는 실수 a, b의 값 의 범위는
a…;6!;, bæ1 2 x+1 2
x+1
2 x+1 2(x+1)+2
x+1 2x+4
x+1
x
y y=bx
y=ax O 1
-1 1
3 1 2 y=x+12
ax+2… +2…bx+2의
각 변에서 2를 뺀다.
2 x+1
f « (k)의 값 구하기 (단, n은 자연수)
[방법 1] f ⁄ (x), f ¤ (x), f ‹ (x), y를 차례대로 구하여 f « (x)를 추 정한 다음 x 대신 k의 값을 대입한다.
[방법 2] f ⁄ (k), f ¤ (k), f ‹ (k), y의 값을 차례대로 구하여 규칙을 찾는다.
유리함수의 합성 본책95쪽
24
0677
f(x)= 에서f ¤ (x)=( f Ω f )(x)=f( f(x))
f ¤ (x)= =
f ‹ (x)=( f ¤ Ωf )(x)=f ¤ ( f(x))
f ¤ (x)= =x
따라서 함수 f ‹ (x)=f fl (x)=f · (x)=y=f3n(x) (n은 자연수)는 항등함수이므로
f100(x)=f3_33+1(x)=f(x)
∴ f100(8)=f(8)= =;8&; ;8&;
f ⁄ (8)=;8&;, f ¤ (8)=-;7!;, f ‹ (8)=8, f › (8)=;8&;, y이므로 f « (8)은 ;8&;, -;7!;, 8이 이 순서대로 반복된다.
8-1 8 115411x-1-1
1154-1x -1 x-1 1154-1x-1x
1154x-1x x-1
x
0678
(`fΩf`)(x)=f(`f(x))= =x즉 (`fΩf`)(k)= 에서
k=1,에서k¤ =1에서∴ k=-1 (∵ k+1) ③ k
1 k
+1 x+1-1 x-1 x+1 x-1
0679
f(x)= 에서f ¤ (x)=( f Á f )(x)=f( f(x))
f ¤ (x)= = ⇢ ➊
f ‹ (x)=( f Á f Á f )(x)=f(( f Á f )(x))
f ¤ (x)= = x ⇢ ➋
1-3x 1154551-2xx
1-1551541-2xx x 1-2x 11541-xx
1-11541-xx x 1-x
따라서 a의 최댓값은;6!;, b의 최솟값은 1이므로 구하는 합은
;6!;+1=;6&; ;6&;
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함수와 그 역함수의 그래프 사이의 관계
함수 y=f(x)의 역함수 y=f —⁄ (x)가 존재할 때, 함수 y=f(x)의 그래프 위의 임의의 점을 (a, b)라 하면
b=f(a) HjjK a=f —⁄ (b) 가 성립한다.
0683
두 직선 y=x+5, y=-x-3의 교점의 x좌표는 x+5=-x-3의의∴ x=-4∴ y=1
즉 y=f(x)의 그래프는 점 (-4, 1)에 대하여 대칭이므로 그 역함 수의 그래프는 점 (1, -4)에 대하여 대칭이다.
따라서 점 (1, -4)는 두 직선 y=ax+b, y=cx+d의 교점이므 로
a+b=-4, c+d=-4
∴ a+b+c+d=-8 -8
0684
f(x)= = = +1이 그래프를 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 b만큼 평행이동 한 그래프의 식은
y= +1+b yy㉠ ⇢ ➊
한편 y= 로 놓으면 y(x-2)=x+5 (y-1)x=2y+5 ∴ x=
x와 y를 서로 바꾸면 y=2x+5 x-1
2y+5 y-1 x+5
x-2 7 x-a-2
7 x-2 (x-2)+7
x-2 x+5
x-2
0682
f(x)= 의 그래프가 점 (3, -2)를 지나므로-2= ∴ 3a+b=-2 yy㉠
또 f(x)= 의 역함수의 그래프가 점 (3, -2)를 지나므로 f(x)= 의 그래프는 점 (-2, 3)을 지난다. 즉
3= 이므∴ -2a+b=-12 yy㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면이므a=2, b=-8
∴ a+b=-6 ③
-2a+b -2-2 ax+b
x-2 ax+b
x-2 3a+b
3-2 ax+b
x-2
f( f(x))= = = =x
이므로 2(a+3)x¤ +9x=a¤ x
∴ 2(a+3)x¤ +(9-a¤ )x=0 이 식이 x에 대한 항등식이므로
a+3=0, 9-a¤ =0
∴ a=-3
a¤ x 2(a+3)x+9 a¥1112x+3ax
2¥111+32x+3ax af(x)
2f(x)+3
같은 방법으로 하면면면f ⁄ ‚ (x)= ⇢ ➌
따라서 a=1, b=0, c=-10이므로
a+b+c=-9 ⇢ ➍
-9
f « (x)= x (단, n은 자연수) 1-nx
x 1-10x
채점 기준표
➊f ¤ (x)를 구할 수 있다. 20%
➋f ‹ (x)를 구할 수 있다.
➌f ⁄ ‚ (x)를 구할 수 있다.
➍a+b+c의 값을 구할 수 있다.
20%
40%
20%
0680
주어진 그래프에서f ⁄ (0)=f(0)=1, f ⁄ (1)=f(1)=0 이므로
f ¤ (1)=( fΩf ⁄ )(1)=f( f ⁄ (1))=f(0)=1 f ‹ (1)=( fΩf ¤¤ )(1)=f( f ¤ (1))=f(1)=0 f › (1)=( fΩf ‹ )(1)=f( f ‹ (1))=f(0)=1 f fi (1)=( fΩf › )(1)=f( f › (1))=f(1)=0
⋮
∴ f « (1)=[
∴ f ¤ ‚ ⁄ fl (1)=1 1
` 함수 y=f(x)의 그래프의 점근선의 방정식은 x=2, y=2이 고 두 점 (1, 0), (0, 1)을 지나므로
f(x)= 2 +2 x-2
0 (n은 홀수) 1 (n은 짝수)
유리함수 y= (c+0, ad-bc+0)의 역함수 구하기
⁄x를 y에 대한 식으로 나타낸다. x=
¤x와 y를 서로 바꾼다. y= dx-b -cx+a
dy-b -cy+a ax+b
cx+d
유리함수의 역함수 본책96쪽
25
0681
y= 로 놓으면 y(2x+3)=ax(2y-a)x=-3y ∴ x=
x와 y를 서로 바꾸면 y=
∴ f —⁄ (x)=
f=f —⁄이므로 =
∴ a=-3 ①
f=f —⁄이므로
(`fΩf`)(x)=x{단, x+-;2#;, f(x)+-;2#;}
-3x 2x-a ax
2x+3 -3x 2x-a
-3x 2x-a
-3y 2y-a ax
2x+3
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본책
95~97
쪽05
유리식과유리함수 채점 기준표➊평행이동한 그래프의 식을 구할 수 있다. 30%
➋f-1(x)를 구할 수 있다.
➌b-a의 값을 구할 수 있다.
50%
20%
두 함수 f(x), g(x)와 그 역함수 f —⁄ (x), g—⁄ (x)에 대하여 (gΩf —⁄ )(x)=g( f —⁄ (x))
(g—⁄ Ωf )—⁄ (x)=( f —⁄ Ωg)(x)=f —⁄ (g(x))
유리함수의 합성함수와 역함수 본책96쪽
26
0685
f —⁄ Á f=I (항등함수)이므로( f —⁄ Á f Á f —⁄ )(5)=(I Á f —⁄ )(5)=f —⁄ (5) f —⁄ (5)=k라 하면 f(k)=5
=5, 2k-3=5k-15
∴ k=4 4
2k-3 k-3
0686
( fΩg)(x)=x이므로 g(x)는 f(x)의 역함수이다.g(3)=k라 하면 f(k)=3
=3, 2k-4=3k-3므므∴ k=-1 즉 g(3)=-1이므로
(gΩg)(3)=g(g(3))=g(-1) g(-1)=t라 하면 f(t)=-1
=-1, 2t-4=-t+1므므∴ t=;3%;
∴ (gΩg)(3)=;3%; ;3%;
y= 로 놓으면 y(x-1)=2x-4 (y-2)x=y-4 ∴ x=
x와 y를 서로 바꾸면 y=
∴ g(x)=
따라서 g(3)= =-1, g(-1)= =;3%;이므로 (gΩg)(3)=g(g(3))=g(-1)=;3%;
-1-4 -1-2 3-4
3-2 x-4 x-2
x-4 x-2
y-4 y-2 2x-4
x-1 2t-4
t-1 2k-4
k-1
0687
( f —⁄ Á g)—⁄ (3)=(g—⁄ Á f)(3)=g—⁄ (f(3)) f(3)= =;2#;이므로 g—⁄ (f(3))=g—⁄ {;2#;}g—⁄ {;2#;}=k라 하면 g(k)=;2#;
=;2#;, 4k-2=3k로로∴ k=2
∴ (f —⁄ Á g)—⁄ (3)=2 ③
2k-1 k
3 3-1
0689
f(n)f(101-n)=1임을 이용하여 을 구한다.f(n)f(101-n)=1이므로로로f(n)=
∴ = =
따라서
+ = =1
이므로
+ + +y+ =50
50 1
1+f(100) 1
1+f(3) 1
1+f(2) 1
1+f(1)
f(101-n)+1 1+f(101-n) 1
1+f(101-n) 1
1+f(n)
f(101-n) 1+f(101-n) 1
1 1+f(n)
1 f(101-n)
1 1+f(n)
1+ 1 f(101-n)
0690
``` x+ =1의 양변에 적당한 식을 곱하여 변형한다.`` ㄱ. x+ =1에서 x+0이므로 양변에 을 곱하면 ㄴ.1+ = ∴ 1- + =0
ㄴ. x+ =1의 양변에 x를 곱하면
ㄴ.x¤ +1=x ∴ x¤ -x+1=0 yy㉠ ㄴ.∴{x+ }-{x¤ + }+{x‹ + }
=(x-x¤ +x‹ )+{ - + }
=x(1-x+x¤ )+
=0+0=0 (∵ ㉠)
x¤ -x+1 x‹
1 x‹
1 x¤
1 x
1 x‹
1 x¤
1 x 1 x
1 x¤
1 x 1
x 1 x¤
1 x 1
x 1 x
0688
`` 주어진 저항이 직렬 연결인지 병렬 연결인지 확인하여 식에 대입한다.` 병렬 연결된 부분의 전체 저항의 크기를R'(X)이라 하면
= + = =
∴ R'= (X)
따라서 구하는 전체 저항의 크기는
R+R'=R+ =
R+R'=5R¤ +3R(X) ④
3R+1
3R¤ +R+2R¤ +2R 3R+1 2R¤ +2R
3R+1 2R¤ +2R
3R+1
3R+1 2R¤ +2R 2R+(R+1)
2R(R+1) 1
2R 1
R+1 1
R'
∴ f—⁄ (x)= =
∴ f—⁄ (x)= +2 yy㉡ ⇢ ➋
㉠, ㉡의 그래프가 일치하므로 -a-2=-1, 1+b=2 따라서 a=-1, b=1이므로
b-a=2 ⇢ ➌
2 7
x-1
2(x-1)+7 x-1 2x+5
x-1
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0694
유리함수의 그래프의 점근선을 이용하여 k의 값을 구 한다.f(x)= = = +3
이 함수의 그래프를 x축의 방향으로 -2만큼, y축의 방향으로 3만 큼 평행이동한 곡선이 y=g(x)이므로
g(x)= +3+3= +6
곡선 y=g(x)의 점근선의 방정식은 x=-6, y=6이므로 두 점근 선의 교점의 좌표는 (-6, 6)이다.
이때 점 (-6, 6)이 곡선 y=f(x) 위의 점이므로
f(-6)= =6
∴ k=6 ⑤
f(x)= = +3에서 곡선 y=f(x)의 점
근선의 방정식은 x=-4, y=3이므로 두 점근선의 교점의 좌표는 (-4, 3)이다.
곡선 y=g(x)는 곡선 y=f(x)를 x축의 방향으로 -2만큼, y축의 방향으로 3만큼 평행이동한 곡선이므로 곡선 y=g(x)의 두 점근선 의 교점은 점 (-4, 3)을 x축의 방향으로 -2만큼, y축의 방향으 로 3만큼 평행이동한 점 (-6, 6)과 같다.
이때 점 (-6, 6)은 곡선 y=f(x) 위의 점이므로
f(-6)= =6
∴ k=6
3¥(-6)+k -6+4
k-12 x+4 3x+k
x+4 3¥(-6)+k
-6+4
k-12 x+6 k-12
x+2+4
k-12 x+4 3(x+4)+k-12
x+4 3x+k
x+4
0693
삼각형의 닮음을 이용하여 a, b, h 사이의 관계식을 구한다.가로등을 AB”, 아버지와 연준이의 위치를 각각 D와 F, 그림자 끝을 G라 하 면 오른쪽 그림에서 △CDG∽△EFG이 므로
1.8 : (a+b)=1.5 : b 1.5(a+b)=1.8b 1.5a=0.3b
∴ b=5a
또 △ABGª△EFG이므로 h : (6+a+b)=1.5 : b
∴ bh=1.5(6+a+b)=1.5(6+6a)=9(a+1)
∴ =9(a+1)=9 9
a+1 bh
a+1
A
B C
F G D h E
6 1.8
1.5
a b
단위를 m로 나타내면 180 cm=1.8 m, 150 cm=1.5 m
¤ a=3b일 때,
⁄에에 = = = 에에
⁄에에∴ k=
⁄, ¤에서 구하는 모든 k의 값의 합은
2+ =18 ;;¡5•;;
5 8 5
8 5
8 5 16b¤
10b¤
(3b+b)¤
9b¤ +b¤
(a+b)¤
a¤ +b¤
0691
` = =k (k>0)로 놓고 b=ak, d=ck임을 이용 하여 식을 정리한다.ㄱ. ad-bc=0에서 ad=bc이므로 양변을 ac로 나누면
ㄴ. =
ㄴ. = =k (k>0)로 놓으면 b=ak, d=ck이므로
ㄴ. = = =
ㄴ. = = =
ㄴ. ∴ =
ㄷ. ㄴ에서 b=ak, d=ck이므로
ㄴ. = = =k‹
ㄴ. = = =k‹
ㄴ. ∴ =
이상에서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다. ⑤
(b+d)‹
(a+c)‹
b‹ +d‹
a‹ +c‹
(a+c)‹ k‹
(a+c)‹
(ak+ck)‹
(a+c)‹
(b+d)‹
(a+c)‹
(a‹ +c‹ )k‹
a‹ +c‹
a‹ k‹ +c‹ k‹
a‹ +c‹
b‹ +d‹
a‹ +c‹
2ac ad+bc a¤ +c¤
ab+cd
1 k 2ac 2ack 2ac
a¥ck+ak¥c 2ac
ad+bc
1 k a¤ +c¤
(a¤ +c¤ )k a¤ +c¤
a¥ak+c¥ck a¤ +c¤
ab+cd d c b a
d c b a
d c b a
0692
주어진 방정식의 좌변을 인수분해하여 a를 b에 대한 식으로 나타낸다.a¤ -4ab+3b¤ =0에서
(a-b)(a-3b)=0에에∴ a=b 또는 a=3b
⁄ a=b일 때,
⁄에에 = = =2에에
⁄에에∴ k=2
4b¤
2b¤
(b+b)¤
b¤ +b¤
(a+b)¤
a¤ +b¤
ㄷ. ㉠의 양변에 x+1을 곱하면면면 ㄷ. (x+1)(x¤ -x+1)=0 ㄷ. x‹ +1=0 ∴ x‹ =-1
ㄷ.⁄ n이 짝수일 때, x‹ « ±¤ =x¤ , x‹ « ±⁄ =x이므로 ㄷ. ⁄ (좌변)=x¤ -x+ - =(x¤ -x)+
ㄷ. ⁄ (좌변)=-1+ =-1-1=-2 ㄷ.¤ n이 홀수일 때, x‹ « ±¤ =-x¤ , x‹ « ±⁄ =-x이므로 ㄷ. ⁄ (좌변)=-x¤ +x- + =-(x¤ -x)-ㄷ. ⁄ (좌변)=-(-1)- =1+1=2
이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. ③
` ㄴ. x¤ + ={x+ }¤ -2=1-2=-1 ㄴ.x‹ + ={x+ }‹ -3{x+ }=1-3=-2 ㄴ. ∴ (좌변)=1-(-1)+(-2)=0
1 x 1
x 1
x‹
1 x 1
x¤
-x¤
x¤
1-x x¤
1 x 1 x¤
-x¤
x¤
1-x x¤
1 x 1 x¤
㉠에서 x¤ -x=-1 1-x=-x¤
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y= +2= (x>2) 따라서 a=2, b=-2이므로
a+b=0 0
점 B의 좌표를 {t, }이라 하고, 점 D의 좌표를 (x, y) 라 하면
x=t+2, y=;t!;+2 ∴ t=x-2, ;t!;=y-2 따라서 y-2= (x>2)이므로
y= +2= (x>2)
` 점 B는 제`1`사분면에서의 함수 y=;[!;의 그래프 위의 점이므로 t>0이다.
∴ x=t+2>2 2x-3
x-2 1
x-2 1 x-2
1 t 2x-3
x-2 1
0695
함수의 그래프를 이용하여 k의 값의 범위를 구한다. x-2 y= +8의 그래프는 y= 의 그래프를 x축의 방향으로 4만큼, y축의 방향으로 8만큼 평행이동한 것이다.⁄ ¤
⁄ k<0일 때, k의 값에 관계없이 y= +8의 그래프가 제 1, 2, 4 사분면을 지난다.
¤k>0일 때, 그래프가 제1, 2, 4 사분면만을 지나려면 x=0일 때 yæ0이어야 하므로
+8æ0, …8
∴ 0<k…32`(∵ k>0)
⁄, ¤에서 k<0또는 0<k…32 yy㉠ 한편 y= -3의 그래프는 y= 의 그래프를 x축의 방향으 로 -5만큼, y축의 방향으로 -3만큼 평행이동한 것이다.
‹ ›
‹k<0일 때, k의 값에 관계없이 y= -3의 그래프는 제`1 사 분면을 지나지 않는다.
›k>0일 때, 그래프가 모든 사분면을 지나려면 x=0일 때 y>0 이어야 하므로
› -3>0, >3 ∴ k>15
‹, ›에서 k>15 yy㉡
㉠, ㉡에서 15<k…32
따라서 구하는 정수 k는 16, 17, 18, y, 32의 17개이다.
④ k
5 k
0+5
k x+5
x y
O -3 x -5
y
O -3 -5
k x k
x+5
k 4 k
0-4
k x-4
x y
O 4 8
x y
O 4 8
k x k
x-4
y<0이면 모든 사분면을 지난다.
본책
97~98
쪽05
유리식과유리함수0696
점 B의 좌표를 이용하여 점 D가 나타내는 도형의 방 정식을 구한다.점 B의 좌표를 {t, }이라 하면 점 D의 좌표는
{t+2, +2}
즉 점 D의 자취는 y= (x>0)의 그래프를 x축의 방향으로 2만 큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 것과 같으므로 자취의 방정 식은
1 x 1
t
1 t
+2= =2x-3
x-2 1+2(x-2)
x-2 1
x-2
점의 자취의 방정식을 구하는 방법
⁄조건을 만족시키는 점의 좌표를 (x, y)로 놓는다.
¤주어진 조건을 이용하여 x, y 사이의 관계식을 세운다.
‹x, y이외의 문자는 소거하고 제한된 범위를 생각한다.
›x, y사이의 관계식에서 자취의 방정식을 구한다.
0697
y=f(x)의 그래프를 그려 f(a)=f(b)를 만족시키는 a, b의 위치를 구한다.f(x)=| |=| -1|이므로 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.
ㄱ. f(a)=f(b)이려면 0<a<2, b>2이 어야 한다.
ㄴ. 오른쪽 그림에서에서0<f(b)<1 ㄷ. f(a)= , f(b)= 이므로
에서f(a)+f(b)= +
에서f(a)+f(b)= =
이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. ③
y=|f(x)|의 그래프는 y=f(x)의 그래프에서 y<0인 부분 을 x축에 대하여 대칭이동시켜 그린다.
2(b-a) ab 2b-ab+ab-2a
ab b-2
b 2-a
a b-2
b 2-a
a
2 x 2-x
x
a 2 b x O
1 y y=f{x}
0698
함수 y=f(x)의 그래프를 그려 m의 값의 범위를 구 한다.에서
⁄x>0일 때,때때f(x)= =1
¤x=0일 때,때때f(x)=1 x+1-1
x
f(x)=
[
(x+0)1 (x=0)
|x+1|-1
|x|
y…0이면 제`1사분면을 지나지 않는다.
32-15=17