0456 ㄱ, ㄹ

X의 원소 -2와 0에 대응하는 Y 의 원소가 없으므로 함수가 아니다.

y=[ ] x y

-4 -2 -1 -2 1

2 4 O

…

… x 2

0457

^{① -1…x…1에서에서0…x+1…2}

① 에서∴ 0… f(x)…2

② -1…x…1에서에서-2…-2x…2

① 에서-1…-2x+1…3에서∴ -1… f(x)…3

③ -1…x…1에서에서-2…x-1…0

① 에서0…|x-1|…2,에서0… |x-1|…1

① 에서∴ 0…`f(x)…1

④ -1…x…1에서에서0…x¤ …1

① 에서2…x¤ +2…3에서∴ 2…`f(x)…3

⑤ -1…x…1에서에서0…x+1…2

① 에서0…(x+1)¤ …4,에서-2…(x+1)¤ -2…2

① 에서∴ -2… f(x)…2

따라서 X에서 Y로의 함수가 아닌 것은⑤이다. ⑤ 1

2

① 함수 f(x)에서 f(k)의 값 구하기 x대신 k를 대입한다.

② 함수 f(ax+b)에서 f(k)의 값 구하기

ax+b=k를 만족시키는 x의 값을 구하여 x 대신 그 수를 대입 한다.

함숫값 ^본책66^쪽

02

0458

이차방정식 x¤ +6x-3=0에서 x=-3—2'3이므로 a, b 는 무리수이고, 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

a+b=-6, ab=-3

∴ f(a)+f(b)-f(ab)=-a-b-(ab+1)

=-(-6)+2=8 ③

0459

^f(3)=3+1=4

f(29)=f(29-4)=f(25-4)

=y=f(1)=1+1=2

∴ f(3)+f(29)=4+2=6 6

0461

^{2n-1=999에서 n=500}

f(2n-1)=n-1에 n=500을 대입하면 f(999)=499 조건 ㈎에 의하여

f(1000)=f(500)=f(250)=f(125) 2n-1=125에서여여n=63

f(2n-1)=n-1에 n=63을 대입하면 f(125)=62

∴ f(999)+f(1000)=499+62=561 561

0462

427=3¥5‹ +2¥5¤ +2이므로

f(427)=f(3¥5‹ +2¥5¤ +2)=f(3+2+2)=f(7)

=f(1¥5+2)=f(1+2)=f(3)=3 ③

함수 f : X1⁄ Y에 대하여

정의역: 집합 X, 공역: 집합 Y, 치역: { f(x)|x<X}

함수의 정의역`, 공역`, 치역 ^본책67쪽

03

채점 기준표

➊f(4)의 값을 구할 수 있다. 60%

➋f(x)를 구할 수 있다. 40%

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본책

65~68

^쪽

04

함수

0463

^⁄a>0일 때, f(-1)=-1, f(3)=3이므로 -a+b=-1, 3a+b=3 ∴ a=1, b=0 그런데 ab=0이므로 조건을 만족시키지 않는다.

¤a<0일 때, f(-1)=3, f(3)=-1이므로 -a+b=3, 3a+b=-1 ∴ a=-1, b=2

∴ ab=-2

⁄, ¤에서 ab=-2 -2

ㄱ.㉠의 양변에 x=-1, y=1을 대입하면 ㄱ. 에에f(0)=f(-1)+f(1)

ㄱ. 에에0=f(-1)+2 ∴ f(-1)=-2 ㄷ. f(2x)=f(x+x)=f(x)+f(x)=2f(x)

ㄱ.f(3x)=f(x+2x)=f(x)+f(2x)=f(x)+2 f(x)=3 f(x) ㄱ.f(4x)=f(x+3x)=f(x)+f(3x)=f(x)+3 f(x)=4 f(x)

ㄱ. ⋮

ㄱ. 에에∴ f(nx)=f(1+(n-1)x)=f(1)+f ((n-1)x)

=f(1)+(n-1)f(x)=nf(x)

이상에서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다. ⑤

0464

음이 아닌 정수 k에 대하여

⁄x=2k일 때, x¤ =(2k)¤ =4k¤ 이므로 f(x)=0

¤x=2k+1일 때,

x¤ =(2k+1)¤ =4k¤ +4k+1=4(k¤ +k)+1

¤이므로 f(x)=1

⁄, ¤에서 함수 f 의 치역은 {0, 1}이다. ③

0465

^⁄a>0일 때, a+1æ2, 2a+1…6이므로

¤ 1…a…;2%; ^{⇢ ➊}

¤a<0일 때, 2a+1æ2, a+1…6이므로

¤ ;2!;…a…5

¤그런데 a<0이어야 하므로 성립하지 않는다. ⇢ ➋

⁄, ¤에서 구하는 a의 값의 범위는

1…a…;2%; ^{⇢ ➌}는 _1…a…;2%;

치역`: {y|a+1…y…2a+1}

치역`: {y|2a+1…y…a+1}

f(x+y)=f(x)f(y)또는 f(x+y)=f(x)+f(y)의 조건이 주어졌을 때, f(a)의 값 구하기

적당한 x, y의 값을 대입하여 f(a)의 값을 유도한다.

조건을 이용하여 함숫값 구하기 ^본책67쪽

04

0466

주어진 식의 양변에 x=1, y=1을 대입하면 f(1+1)=f(1)f(1)=2¥2=4을을∴ f(2)=4 주어진 식의 양변에 x=1, y=2를 대입하면

f(1+2)=f(1)f(2)=2¥4=8을을∴ f(3)=8 주어진 식의 양변에 x=1, y=3을 대입하면

f(1+3)=f(1)f(3)=2¥8=16을을∴ f(4)=16 주어진 식의 양변에 x=3, y=4를 대입하면

f(7)=f(3+4)=f(3)f(4)=8¥16=128 ③

0467

f(x+y)=f(x)+f(y) yy㉠

ㄱ. ㉠의 양변에 x=0, y=0을 대입하면 ㄱ. 에에f(0)=f(0)+f(0) ∴ f(0)=0 ㄴ. ㉠의 양변에 x=1, y=1을 대입하면 ㄱ. 에에f(2)=f(1)+f(1)

ㄱ. 에에2`f(1)=4 ∴ f(1)=2

0468

주어진 식의 양변에 x=a를 대입하면 3 f(a)+2 f(1-a)=5a

f(a)=13이므로에에39+2 f(1-a)=5a

∴ f(1-a)= yy㉠

주어진 식의 양변에 x=1-a를 대입하면 3 f(1-a)+2 f(a)=5(1-a)

f(a)=13이므로에에3 f(1-a)+26=5-5a

∴ f(1-a)=- yy㉡

㉠, ㉡에서서서

=-15a-117=-10a-42

25a=75여여∴ a=3 3

5a+21 3 5a-39

2 5a+21

3 5a-39

2

집합 X를 정의역으로 하는 두 함수 f, g가 서로 같다.

집합 X의 임의의 원소 x에 대하여 f(x)=g(x)

서로 같은 함수 ^본책68쪽

05

0469

f(-1)=g(-1)에서 -a+b=-5 yy㉠

f(1)=g(1)에서 a+b=1 yy㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=3, b=-2

∴ ab=-6 -6

0470

ㄱ. f(1)=1, g(1)=-1이므로 f(1)+g(1) ㄱ. ∴ f+g

ㄴ. f(-1)=g(-1)=1, f(0)=g(0)=0, f(1)=g(1)=1이므 로 f=g

ㄷ. f(-1)=g(-1)=-1, f(0)=g(0)=0, f(1)=g(1)=1이 므로 f=g

이상에서 f=g인 것은 ㄴ, ㄷ이다. ④

0471

f(1)=g(1)에서 1+2a+3b=-a+b

∴ 3a+2b=-1 yy㉠

f(2)=g(2)에서 8+8a+3b=-2a+b

∴ 10a+2b=-8 yy㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-1, b=1

∴ f(1)=g(1)=2, f(2)=g(2)=3

따라서 함수 f의 치역은 {2, 3} {2, 3}

채점 기준표

➊a>0일 때, a의 값의 범위를 구할 수 있다. 40%

➋a<0일 때, a의 값의 범위를 구할 수 있다.

➌a의 값의 범위를 구할 수 있다.

40%

20%

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0472

^{x¤ =4x-3에서 x¤ -4x+3=0}

(x-1)(x-3)=0 ∴ x=1 또는 x=3 ⇢ ➊ 따라서 구하는 집합 X는 공집합이 아닌 {1, 3}의 부분집합이므로

{1}, {3}, {1, 3} ⇢ ➋

{1}, {3}, {1, 3}

채점 기준표

➊f(x)=g(x)를 만족시키는 x의 값을 구할 수 있다. 50%

➋집합 X를 구할 수 있다. 50%

함수 f : X1⁄ Y가 일대일 대응

① x¡+x™이면 f(x¡)+f(x™) (x¡<X, x™<X)

② { f(x)|x<X}=Y

일대일 대응 ^본책68쪽

06, 07

0473

^ㄴ.[반례]f(x)=x+|x|로 놓으면 x¡=-1, x™=-2일 때 x¡+x™이지만

ㄷ. f(x¡)=-1+|-1|=0, f(x™)=-2+|-2|=0 이므로 y=x+|x|는 일대일 대응이 아니다.

ㄷ.[반례]f(x)=-x¤ +2x로 놓으면 x¡=-1, x™=3일 때 x¡+x™

이지만

ㄷ. f(x¡)=-(-1)¤ -2=-3, f(x™)=-3¤ +2¥3=-3 ㄷ.이므로 y=-x¤ +2x는 일대일 대응이 아니다.

이상에서 일대일 대응인 것은 ㄱ뿐이다. ①

0474

보기의 함수의 그래프 중 임의의 실수 k에 대하여 직선 y=k와 오직 한 점에서 만나는 그래프는 ㄴ, ㄹ이다.

따라서 일대일 대응인 것은 ㄴ, ㄹ이다. ㄴ, ㄹ

0475

a>0이므로 함수 f가 일대일 대응이 되려면 f(-3)=1, f(3)=13

-3a+b=1, 3a+b=13

위의 두 식을 연립하여 풀면 a=2, b=7

∴ a+b=9 9

0476

함수 f가 일대일 대응이 되려면 y=f(x) 의 그래프가 오른쪽 그림과 같아야 한다. 즉 직선 y=ax+b가 점 (2, 6)을 지나야 하므로

2a+b=6 yy㉠ ⇢ ➊

또 xæ2에서 직선의 기울기가 양수이므로 x<2 에서의 직선의 기울기도 양수이어야 한다. ⇢ ➋ 즉 a>0이어야 하므로 ㉠에서

2a=6-b>0 ∴ b<6

따라서 정수 b의 최댓값은 5이다. ⇢ ➌

5

x의 값이 증가할 때 y의 값도 증가해야 한다.

a>0이므로로2a>0

x y

O y=f{x}

2 6

채점 기준표

➊a, b사이의 관계식을 세울 수 있다. 50%

➋x<2에서 직선의 기울기가 양수임을 알 수 있다.

➌정수 b의 최댓값을 구할 수 있다.

20%

30%

0477

f(x)=x¤ -2x+a=(x-1)¤ +a-1이므로 xæ3일 때 x의 값이 증가하면 f(x)의 값도 증가한다.

따라서 함수 f가 일대일 대응이 되려면 f(3)=2이어야 하므로 9-6+a=2 ∴ a=-1

즉 f(x)=x¤ -2x-1이므로

f(4)=4¤ -2¥4-1=7 ②

① 항등함수: 함수 f : X1⁄ X에서 f(x)=x (x<X)

② 상수함수: 함수 f : X1⁄ Y에서 f(x)=c (x<X, c<Y)

항등함수와 상수함수 ^본책69쪽

08

0479

함수 g는 항등함수이므로

g(-1)=-1, g(0)=0, g(1)=1 ⇢ ➊

f(-1)=g(1)=h(0)에서 f(-1)=h(0)=1 f(-1)+f(1)=f(0)에서

1+f(1)=f(0)

이때 함수 f 는 일대일 대응이므로

f(0)=-1, f(1)=0또는 f(0)=0, f(1)=-1 그런데 f(0)=-1, f(1)=0이면 1+f(1)+f(0)이므로

f(0)=0, f(1)=-1 ⇢ ➋

또 함수 h는 상수함수이므로

h(-1)=h(0)=h(1)=1 ⇢ ➌

∴ f(1)g(-1)h(-1)=-1¥(-1)¥1=1 ⇢ ➍ 1

0478

ㄱ. f(0)=0, f(1)=1, f(2)=2, f(3)=3, f(4)=4 ㄴ.따라서 f는 항등함수이다.

ㄴ. g(0)=g(1)=g(2)=g(3)=g(4)=0 ㄴ.따라서 g는 상수함수이다.

ㄷ. h(0)=0, h(1)=h(2)=h(3)=1, h(4)=2 ㄴ.따라서 h는 항등함수도 상수함수도 아니다.

이상에서 항등함수인 것은 ㄱ뿐이다. ①

채점 기준표

➊g(-1)의 값을 구할 수 있다. 20%

➋f(1)의 값을 구할 수 있다.

➌h(-1)의 값을 구할 수 있다.

➍f(1)g(-1)h(-1)의 값을 구할 수 있다.

40%

20%

20%

0480

함수 f가 항등함수이므로

⁄x<2일 때,가가x=1

¤2…x<6일 때,

¤때때3x-8=x,가가2x=8때때∴ x=4

‹xæ6일 때,

¤때때x¤ -8x+14=x,가가x¤ -9x+14=0

¤때때(x-2)(x-7)=0때때∴ x=7 (∵ xæ6) 이상에서 X={1, 4, 7}이므로

a+b+c=1+4+7=12 12

f(x)=x

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본책

68~70

^쪽

04

함수

집합 X의 원소의 개수가 n, 집합 Y의 원소의 개수가 m일 때

① X에서 Y로의 함수의 개수 m«

② X에서 Y로의 일대일함수의 개수

m(m-1)(m-2)y(m-n+1)`(단, mæn)

③ X에서 X로의 일대일 대응의 개수 n(n-1)(n-2)y2¥1

④ X에서 Y로의 상수함수의 개수 m

조건을 만족시키는 함수의 개수 ^본책69^쪽

09

0481

일대일 대응을 f : X1⁄ X라 하면

f(1)의 값이 될 수 있는 것은 1, 2, 3 중 하나이므로 3개 f(2)의 값이 될 수 있는 것은 f(1)의 값을 제외한 2개 f(3)의 값이 될 수 있는 것은 f(1), f(2)의 값을 제외한 1개 따라서 일대일 대응의 개수는

3¥2¥1=6

또 항등함수는 1개, 상수함수는 3개이므로

p+q+r=6+1+3=10 10

0482

조건 ㈎에서 함수 f는 일대일함수이고, 조건 ㈏에서 -2…f(x)…2이다.

f(1)의 값이 될 수 있는 것은 -2, -1, 0, 1, 2 중 하나이므로 5개 f(2)의 값이 될 수 있는 것은 -2, -1, 0, 1, 2 중 f(1)의 값을 제외한 4개

f(3)의 값이 될 수 있는 것은 -2, -1, 0, 1, 2 중 f(1), f(2)의 값을 제외한 3개

f(4)의 값이 될 수 있는 것은 -2, -1, 0, 1, 2 중 f(1), f(2), f(3)의 값을 제외한 2개

따라서 주어진 조건을 만족시키는 함수 f의 개수는

5¥4¥3¥2=120 120

0483

-1+(-1)=-2, -1+0=-1, -1+1=0, 0+0=0, 0+1=1, 1+1=2이므로

Y={-2, -1, 0, 1, 2} ⇢ ➊

따라서 상수함수의 개수는 5이다. ⇢ ➋

5

0484

f(x)-f(-x)=0에서 f(x)=f(-x)

f(3)의 값이 될 수 있는 것은 -3, 0, 3 중 하나이므로 3개 f(-3)=f(3)에서 f(-3)의 값이 될 수 있는 것은 f(3)의 값과 같으므로 1개

f(0)의 값이 될 수 있는 것은 -3, 0, 3 중 하나이므로 3개 따라서 주어진 조건을 만족시키는 함수 f의 개수는

3¥1¥3=9 9

` 주어진 조건을 만족시키는 f(3), f(-3), f(0)의 값을 수형 도로 나타내면 다음 그림과 같다.

표로 나타내면

y x -1 0 1

-1 -2 -1 0

0 -1 0 1

1 0 1 2

채점 기준표

➊집합 Y를 원소나열법으로 나타낼 수 있다. 70%

➋상수함수의 개수를 구할 수 있다. 30%

f(3) f(-3) f(0) -3

-3 -3 0

3 -3

0 0 0

3 -3

3 3 0

3

두 함수 f, g에 대하여 (fΩg)(a)의 값 구하기

합성함수 (fΩg)(x)를 구하여 a를 대입할 수도 있지만

( fΩg)(a)=f(g(a))이므로 g(a)의 값을 구하여 f(x)의 x에 대 입하는 것이 더 편리하다.

즉 g(a)=m, f(m)=n이면면면( fΩg)(a)=f(g(a))=f(m)=n

합성함수의 함숫값 ^본책70쪽

10

0485

'2 는 무리수이므로 f('2 )=('2 )¤ =2 2는 유리수이므로 f(2)=-2¥2=-4

∴ (fΩf)('2 )=f( f('2 ))=f(2)=-4 ①

0486

^f(3)=1이고

( fΩf )(3)=f( f(3))=f(1)=2

( fΩfΩf )(3)=f(( fΩf )(3))=f(2)=4

이므로로로(주어진 식)=1+2+4=7 ②

0487

(hΩ(gΩf))(x)=((hΩg)Ωf )(x)

0569

(hΩ(gΩf))(x)=(hΩg)( f(x))

0569

(hΩ(gΩf))(x)=(hΩg)(x+2)

0569

(hΩ(gΩf))(x)=7(x+2)-6=7x+8 따라서 7x+8=-6에서

7x=-14에서∴ x=-2 -2

합성함수에서는 결합법칙이 성립한다.

0488

f(x)=f(x+4)이므로 f(14)=f(10)=f(6)=f(2)

=2¤ -2¥2+3=3

∴ (fΩf )(14)=f( f(14))=f(3)=12-2¥3=6 6

0489

(gΩf )(3)=g(f(3))=g(1)=2 ( fΩg)(2)=f(g(2))=f(1)=2

이때 f(3)=g(2)=1이고 두 함수 f, g는 각각 일대일 대응이므로 f(2)=3, g(3)=3 ∴ f(2)+g(3)=6 ⑤

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합성함수 fΩg와 gΩf를 각각 구하여 각 항의 계수를 비교한다.

ax¤ +bx+c=a'x¤ +b'x+c'이 x에 대한 항등식이면 함함a=a', b=b', c=c'

fΩg=gΩf 인 경우 ^본책70쪽

11

0490

f(x)=ax+1, g(x)=-x-2에서

( fΩg)(x)=f(g(x))=a(-x-2)+1=-ax-2a+1 ( gΩf)(x)=g(f(x))=-(ax+1)-2=-ax-3 fΩg=gΩf 이므로 -ax-2a+1=-ax-3

-2a+1=-3 ∴ a=2 양변의 동류항의 계수를 ②

비교한다.

0491

^{주어진 그림에서}

f(1)=4, f(2)=1, f(3)=2, f(4)=3

fΩg=gΩf 에서 f( g(x))=g(f(x)) yy㉠

㉠의 양변에 x=1을 대입하면 f(g(1))=g(f(1)) f(3)=g(4) ∴ g(4)=2

㉠의 양변에 x=4를 대입하면 f(g(4))=g( f(4)) f(2)=g(3) ∴ g(3)=1

㉠의 양변에 x=3을 대입하면 f(g(3))=g(f(3)) f(1)=g(2) ∴ g(2)=4

∴ g(2)-g(4)=4-2=2 ②

0492

f(x)=2x+3, g(x)=ax+b에서

( fΩg)(x)=f(g(x))=2(ax+b)+3=2ax+2b+3 (gΩf )(x)=g(f(x))=a(2x+3)+b=2ax+3a+b fΩg=gΩf이므로 2ax+2b+3=2ax+3a+b

2b+3=3a+b므므∴ b=3a-3 b=3a-3을 g(x)에 대입하면

g(x)=ax+b=ax+3a-3=a(x+3)-3 이므로 함수 y=g(x)의 그래프는 a의 값에 관계없이 점

(-3, -3)을 지난다. (-3, -3)

함수 f(x)=ax+b일 때

( fΩf )(x)=f( f(x))=f(ax+b)

=a(ax+b)+b=a¤ x+ab+b

fΩf에 대한 조건이 주어진 경우 ^본책71쪽

12

0493

( fΩf )(x)=f( f(x))=a(ax+b)+b

=a¤ x+ab+b

즉 a¤ x+ab+b=9x+4이므로 a¤ =9, ab+b=4

∴ a=3, b=1`(∵ a>0) 따라서 f(x)=3x+1이므로

f(-2)=3¥(-2)+1=-5 -5

0494

( fΩf )(x)=f( f(x))=(x¤ -a)¤ -a

=x› -2ax¤ +a¤ -a

0495

( fΩf )(x)=f( f(x))=a(ax-b)-b=a¤ x-ab-b fΩf=f이므로 a¤ x-ab-b=ax-b

a¤ =a, -ab-b=-b

∴ a=1, b=0 (∵ a+0)

∴ a+b=1 ④

a(a-1)=0또∴ a=0 또는 a=1

① f(x), h(x)가 주어진 경우

f( g(x))=h(x)임을 이용하여 g(x)를 구한다.

② g(x), h(x)가 주어진 경우

f( g(x))=h(x)이므로 g(x)=t로 치환하여 f(t)를 구한다.

fΩg=h를 만족시키는 함수 f 또는 g 구하기 ^본책71쪽

13

0496

g(x)=(fΩfΩf)(x)=f(f(f(x)))

=f( f( -2x+a))=f (-2(-2x+a)+a)

=f(4x-a)=-2(4x-a)+a

=-8x+3a ⇢ ➊

함수 g(x)는 x의 값이 증가하면 g(x)의 값은 감소하므로 함수 g(x)는 x=4에서 최솟값 -17을 갖는다.

-8¥4+3a=-17,함함3a=15함함∴ a=5 ⇢ ➋ 따라서 g(x)=-8x+15이고 x=b에서 최댓값 7을 가지므로

-8b+15=7,함함8b=8함함∴ b=1 ⇢ ➌

∴ ab=5 ⇢ ➍

5 채점 기준표

➊g(x)를 구할 수 있다. 30%

➋a의 값을 구할 수 있다.

➌b의 값을 구할 수 있다.

➍ab의 값을 구할 수 있다.

30%

30%

10%

( fΩf )(x)가 x-2로 나누어떨어지므로 ( fΩf )(2)=16-8a+a¤ -a=0

∴ a¤ -9a+16=0

따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 모든 실수 a의 값

의 합은 9이다. ⑤

0497

(gΩh)(x)=g(h(x))=2h(x)-3 (gΩh)(x)=f(x)이므로 2h(x)-3=2x¤ +1

2h(x)=2x¤ +4 ∴ h(x)=x¤ +2 ③

0498

⑴ ( fΩh)(x)=g(x)이므로

3h(x)-2=-x+1, 3h(x)=-x+3

∴ h(x)=-;3!;x+1 ^{⇢ ➊}

⑵ (kΩf )(x)=g(x)이므로 k(3x-2)=-x+1

3x-2=t로 놓으면 x=;3!;t+;3@;이므로

(판별식)>0이므로 서로 다른 두 실근을 갖는다.

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본책

70~72

^쪽

04

함수

0499

(gΩf )(x)=-2x+1에서서서g { }=-2x+1

=t로 놓으면 2x+1=3t ∴ x=;2#;t-;2!;

따라서 g(t)=-2 {;2#;t-;2!;}+1=-3t+2이므로

g(3)=-3¥3+2=-7 -7

g { }=-2x+1 yy㉠

=3에서 2x+1=9 ∴ x=4 x=4를 ㉠에 대입하면 g(3)=-7

2x+1 3

2x+1 3 2x+1

3

2x+1 3

함수 f 에 대하여 f « =f « —⁄ Ωf일 때, f « (a)의 값 구하기

[방법 1] f ¤ (x), f ‹ (x), f › (x), y를 직접 구하여 f « (x)를 추정한 다음, x 대신 a를 대입한다.

[방법 2] f (a), f ¤ (a), f ‹ (a), y에서 규칙을 찾아 f « (a)의 값을 추정한다.

합성함수의 추정 ^본책72쪽

14

0501

f(x)=-x+2에서 f¡(x)=f(x)=-x+2

f™(x)=( fΩf )(x)=-(-x+2)+2=x ⇢ ➊

0503

^{f(100)= =50이므로}

f ¤ (100)=( fΩf )(100)=f( f(100)) f ¤ (100)=f(50)= =25

f ‹ (100)=( f ¤ Ωf )(100)=f ¤ ( f(100)) f ¤ (100)=f ¤ (50)=( fΩf )(50)=f( f(50)) f ¤ (100)=f(25)= =13

f › (100)=( f ‹ Ωf )(100)=f ‹ ( f(100)) f ¤ (100)=f ‹ (50)=( f ¤ Ωf )(50)=f ¤ ( f(50)) f ¤ (100)=f ¤ (25)=( f Ωf )(25)=f( f(25)) f ¤ (100)=f(13)= =7

f fi (100)=f › (50)=f ‹ (25)=f ¤ (13)=f(7)= =4 f fl (100)=f fi (50)=f › (25)=f ‹ (13)=f ¤ (7)=f(4)=2 f ‡ (100)=f fl (50)=f fi (25)=f › (13)

f ¤ (100)=f ‹ (7)=f ¤ (4)=f(2)=1

⋮

따라서 자연수 n의 최솟값은 7이다. ③

7+1 2 13+1

2 25+1

2 50

2 100

2

0500

f ⁄ (2)=f(2)=1 f ¤ (2)=f( f(2))=f(1)=4 f ‹ (2)=f( f ¤ (2))=f(4)=3 f › (2)=f( f ‹ (2))=f(3)=2 f fi (2)=f( f › (2))=f(2)=1

⋮

즉 f « (2)는 1, 4, 3, 2가 이 순서대로 반복된다.

이때 2016=4¥504이므로 f²⁰¹⁶(2)=f › (2)=2 f ⁄ (3)=f(3)=2

f ¤ (3)=f( f(3))=f(2)=1 f ‹ (3)=f( f ¤ (3))=f(1)=4 f › (3)=f( f ‹ (3))=f(4)=3 f fi (3)=f( f › (3))=f(3)=2

⋮

즉 f « (3)은 2, 1, 4, 3이 이 순서대로 반복된다.

이때 2017=4¥504+1이므로 f²⁰¹⁷(3)=f (3)=2

∴ f²⁰¹⁶(2)+f²⁰¹⁷(3)=2+2=4 4

채점 기준표

➊f¡(x), f™(x)를 구할 수 있다. 40%

➋fn(x)를 구할 수 있다. 60%

0502

f {;2#;}=-2¥ +4=1이므로 f ¤ {;2#;}=( fΩf ){;2#;}=f(1)=1+1=2 f ‹ {;2#;}=( fΩf ¤ ){;2#;}=f(2)=-2¥2+4=0 f › {;2#;}=( fΩf ‹ ){;2#;}=f(0)=0+1=1 f fi {;2#;}=( fΩf › ){;2#;}=f(1)=2

⋮

즉 f « {;2#;}은 1, 2, 0이 이 순서대로 반복된다.

이때 100=3¥33+1이므로

∴ f ⁄ ‚ ‚{;2#;}=f ⁄ {;2#;}=1 ¹ 3

2

함수 y=f(x)의 그래프가 두 점 (a, b), (b, c)를 지나면 ( fΩf )(a)=f( f(a))=f(b)=c

함수의 그래프와 합성함수 ^본책72쪽

15

k(t)=-{;3!;t+;3@;}+1=-;3!;t+;3!;

∴ k(x)=-;3!;x+;3!; ^{⇢ ➋}

⑴ h(x)=-;3!;x+1 ⑵ k(x)=-;3!;x+;3!;

채점 기준표

➊h(x)를 구할 수 있다. 40%

➋k(x)를 구할 수 있다. 60%

따라서 f£(x)=f(x), f¢(x)=f™(x), y이므로

f«(x)=[ ^{⇢ ➋}

f «(x)=[-x+2 ( n은홀수) x ( n은 짝수) -x+2 ( n은 홀수)

x ( n은 짝수)

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0504

^{오른쪽 그림에서}

( fΩfΩf )(b)=f( f( f(b)))

=f( f(c))

=f(d)

=e

⑤ ^x

y

O

y=x y=f{x}

a ab

c d e

b c d e

0505

f(a)=b라 하면 ( fΩf )(a)=4에서 f( f(a))=f(b)=4

주어진 그래프에서 f(b)=4를 만족시키는 b의 값은 b=2또는 b=4

이므로로로f(a)=2또는 f(a)=4

⁄ f(a)=2일 때,로로a=3

¤ f(a)=4일 때,로로a=2또는 a=4

⁄, ¤에서 모든 실수 a의 값의 합은

2+3+4=9 ⑤

함수 f 의 역함수가 f —⁄ 일 때 f(x)=yHjK f —⁄ (y)=x

역함수의 정의 ^본책73쪽

16

0506

f —⁄ (4)=2이므로 f(2)=4

∴ 2a+b=4 yy㉠

f —⁄ (-5)=-1이므로 f(-1)=-5

∴ -a+b=-5 yy㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=3, b=-2

∴ a¤ +b¤ =3¤ +(-2)¤ =13 13

0507

f(x)=ax¤ +bx+c (a, b, c는 상수)로 놓으면

f(0)=0에서서서c=0 yy㉠

f^-1(-10)=-2이므로서서f(-2)=-10

∴ 4a-2b+c=-10 yy㉡

f^-1(32)=4이므로서서f(4)=32

∴ 16a+4b+c=32 yy㉢

㉠, ㉡, ㉢을 연립하여 풀면면면a= , b=6, c=0 따라서 f(x)= x¤ +6x이므로

f(2)=1¥2¤ +6¥2=14 ③

2 1 2

1 2

6<8이므로로f(x)=x+3에 대입한다.

0508

^{=t로 놓으면 x=-2t+3}

따라서 f(t)=4(-2t+3)+1=-8t+13이므로

f(x)=-8x+13 ⇢ ➊

f —⁄ (0)=k라 하면 f(k)=0이므로

-8k+13=0 ∴ k=;;¡8£;; ∴ f —⁄ (0)=;;¡8£;; ^{⇢ ➋}

;;¡8£;;

3-x 2

0509

^{x<5일 때,} f(x)=x+3<8 xæ5일 때, f(x)=2x-2æ8

f —⁄ (6)=m이라 하면 f(m)=6이므로 m+3=6 ∴ m=3

f —⁄ (12)=n이라 하면 f(n)=12이므로 2n-2=12 ∴ n=7

∴ f —⁄ (6)+f —⁄ (12)=3+7=10 ② 채점 기준표

➊f(x)를 구할 수 있다. 60%

➋f —⁄ (0)의 값을 구할 수 있다. 40%

12æ8이므로로f(x)=2x-2에 대입한다.

함수 f 의 역함수 f —⁄ 가 존재한다.

f가 일대일 대응이다.

① 정의역의 임의의 두 원소 x¡, x™에 대하여 x¡+x™이면 f(x¡)+f(x™)

② 치역과 공역이 서로 같다.

역함수가 존재하기 위한 조건 ^본책73쪽

17

0510

함수 f의 역함수가 존재하면 f는 일대일 대응이다.

y=f(x)의 그래프의 기울기가 양수이므로 f(2)=a, f(6)=b

이때 f(2)=3¥2-2=4, f(6)=3¥6-2=16이므로 a=4, b=16

∴ a+b=20 ③

x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다.

0511

f(x)=x¤ -2x-40=(x-1)¤ -41이고, 함수 f의 역함수가 존재하면 f는 일대일 대응이므로

aæ1, f(a)=a

f(a)=a에서 a¤ -2a-40=a

a¤ -3a-40=0, (a+5)(a-8)=0

∴ a=8 (∵ aæ1) 8

0512

f(x)=kx+|x-1|+2에서

⁄xæ1일 때,

f(x)=kx+x-1+2=(k+1)x+1 ⇢ ➊

¤x<1일 때,

f(x)=kx-(x-1)+2=(k-1)x+3 ⇢ ➋

⁄, ¤에서 함수 f 의 역함수가 존재하려면 f 가 일대일 대응이어야 하므로 xæ1일 때와 x<1일 때의 직선의 기울기의 부호가 서로 같 아야 한다.

따라서 (k+1)(k-1)>0이므로

k<-1또는 k>1 ⇢ ➌

k<-1또는 k>1

k+1>0, k-1>0또는 k+1<0, k-1<0

채점 기준표

➊xæ1일 때, f(x)를 구할 수 있다. 30%

➋x<1일 때, f(x)를 구할 수 있다.

➌k의 값의 범위를 구할 수 있다.

30%

40%

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본책

72~74

^쪽

04

함수

0513

함수 f의 역함수가 존재하면 f 는 일대일 대응이다.

따라서 3+a=3¥3-1이므로 a=5 x<3일 때, f(x)=x+5<8 xæ3일 때, f(x)=3x-1æ8

f —⁄ (11)=k라 하면 f(k)=11이므로 3k-1=11 ∴ k=4

f —⁄ (4)=m이라 하면 f(m)=4이므로 m+5=4 ∴ m=-1

∴ ( f —⁄ Ωf —⁄ )(11)=f —⁄ ( f —⁄ (11))=f —⁄ (4)=-1 -1

11æ8이므로로f(x)=3x-1에 대입한다.

4<8이므로로f(x)=x+5에 대입한다.

일차함수 y=ax+b의 역함수 구하기

① x를 y에 대한 식으로 나타낸다. x=

y-② x와 y를 서로 바꾼다. y= x-b a 1 a

b a 1 a

역함수 구하기 ^본책74쪽

18

0514

y=ax-6으로 놓으면 ax=y+6

∴ x=;a!; y+;a^;

x와 y를 서로 바꾸면 y=;a!;x+;a^;

따라서 f —⁄ (x)=;a!;x+;a^;=;2!;x+b이므로

;a!;=;2!;, ;a^;=b ∴ a=2, b=3

∴ ab=6 ④

0515

2x-1=t로 놓으면 2x=t+1

∴ x=;2!;t+;2!;

따라서 f(t)=4{;2!;t+;2!;}+3=2t+5이므로 f(x)=2x+5

y=2x+5로 놓으면 2x=y-5

∴ x=;2!; y-;2%;

x와 y를 서로 바꾸면 y=;2!;x-;2%;

∴ f —⁄ (x)=;2!;x-;2%;

따라서 y=f —⁄ (x)의 그래프의 x절편은 5, y절편은 -;2%;이므로 구 하는 합은

5+{-;2%;}=;2%; ;2%;

0517

f(x)=|2x-2|+|x-4|에서

1…x<4일 때, f(x)=2x-2-(x-4)=x+2 xæ4일 때, f(x)=2x-2+x-4=3x-6

∴ f(x)=[ ⇢ ➊

⁄1…x<4일 때, y=x+2로 놓으면 3…y<6 x를 y에 대한 식으로 나타내면 x=y-2 x와 y를 서로 바꾸면 역함수는

y=x-2 (3…x<6) ⇢ ➋

¤xæ4일 때, y=3x-6으로 놓으면 yæ6 x를 y에 대한 식으로 나타내면 x=;3!;y+2 x와 y를 서로 바꾸면 역함수는

y=;3!;x+2 (xæ6) ^{⇢ ➌}

⁄, ¤에서 구하는 역함수는

f —⁄ (x)=‡ ^{⇢ ➍}

f —⁄ (x)=‡ x-2 (3…x<6)

;3!;x+2 (xæ6) x-2 (3…x<6)

;3!;x+2 (xæ6) x+2 (1…x<4) 3x-6 (xæ4)

0516

(gΩf )(x)=g( f(x))=2 {;2!;x-1}+a=x-2+a y=x-2+a로 놓으면 x=y+2-a

x와 y를 서로 바꾸면 y=x+2-a

∴ (gΩf )—⁄ (x)=x+2-a

채점 기준표

➊f(x)를 구할 수 있다. 20%

➋1…x<4일 때, f(x)의 역함수를 구할 수 있다.

➌xæ4일 때, f(x)의 역함수를 구할 수 있다.

➍f(x)의 역함수를 구할 수 있다.

30%

30%

20%

함수 f 와 f의 역함수 f —⁄ 에 대하여 f=f —⁄ HjK ( fΩf )(x)=x

f=f —⁄ 인 함수 ^본책74쪽

19

f(x)=;2!;x-1에서 y=;2!;x-1로 놓으면 x=2y+2 x와 y를 서로 바꾸면 y=2x+2

∴ f —⁄ (x)=2x+2

g(x)=2x+a에서 y=2x+a로 놓으면 x= y-x와 y를 서로 바꾸면 y=

x-∴ g—⁄ (x)=

x-∴ (g—⁄ Ωf —⁄ )(x)=g—⁄ ( f —⁄ (x))

∴ (g—⁄ Ωf —⁄ )(x)= (2x+2)- =x+1-(gΩf )—⁄ =g—⁄ Ωf —⁄ 에서

x+2-a=x+1-따라서 2-a=1- 이므로 -a=-1 ∴ a=2 ⑤ 2

a 2

a 2

a 2 a

2 1

2 a 2 1 2

a 2 1 2

a 2 1 2

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0518

f(x)=f —⁄ (x)이면 ( fΩf )(x)=f( f(x))=x ㄱ. f(x)=x+1이므로 f( f(x))=f(x+1)=x+2 ㄴ. f(x)=-x+1이므로 f( f(x))=f(-x+1)=x ㄷ. f(x)=-;[!;이므로 f( f(x))=f {-;[!;}=x

이상에서 f(x)=f —⁄ (x)인 것은 ㄴ, ㄷ이다. ④

0522

( f —⁄ Ωg)(a)=f —⁄ (g(a))=1에서 f(1)=g(a)

3¥1-2=a-1 ∴ a=2 ⑤

0523

( fΩg—⁄ )(1)=f(g—⁄ (1))이고, g(2)=1이므로 g—⁄ (1)=2

∴ ( fΩg—⁄ )(1)=f(2)=4 ⑤

0524

(gΩf)(x)=g(f(x))=a(x-a)+b

=ax-a¤ +b 즉 ax-a¤ +b=2x-1이므로

a=2, -a¤ +b=-1므므∴ a=2, b=3

∴ g(x)=2x+3

g^-1(5)=k라 하면 g(k)=5이므로

2k+3=5하하∴ k=1므므∴ g—⁄ (5)=1 ①

g(x)=2x+3에서 y=2x+3으로 놓고 x를 y에 대한 식으로 나타내면하하x=

y-x와 y를 서로 바꾸면하하y=

x-따라서 g^-1(x)= x-3이므로하하g^-1(5)=1 2

1 2

3 2 1 2

3 2 1 2

0519

( fΩf )(x)=x이므로로로f^-1(x)=f(x)

∴ f(2)=f^-1(2)=-3 -3

3a¤ +4a+1=0이므로로(3a+1)(a+1)=0

∴ a=-;3!; 또는 a=-1

그래프가 점 (6, -2)를 반드시 지난다.

0520

^{f=f —⁄이므로} ( fΩf )(x)=f( f(x))=x f(x)=a(x-6)-2=ax-6a-2 (a+0)로 놓으면

f( f(x))=a(ax-6a-2)-6a-2=x

∴ a¤ x-6a¤ -8a-2=x 즉 a¤ =1, -6a¤ -8a-2=0이므로

a=-1

따라서 f(x)=-x+4이므로

f(-1)=-(-1)+4=5 ⑤

두 함수 y=f(x), y=f —⁄ (x)의 그래프가 일치하므로 y=f(x)의 그래프는 두 점 (6, -2), (-2, 6)을 지난다.

f(x)=ax+b (a+0)로 놓으면 6a+b=-2, -2a+b=6

위의 두 식을 연립하여 풀면 a=-1, b=4 따라서 f(x)=-x+4이므로 f(-1)=5

0521

^{f=f —⁄}이므로 fΩf가 항등함수인 것의 개수를 구하면 된다.

⁄ f(x)=x인 함수: 1개

¤오른쪽 그림과 같이 자기 자신에 대응되는 원소가 1개이고 나머지 2 개는 서로 엇갈려 대응되는 함수 : 자기 자신에 대응되는 원소가 a, b, c인 3가지 경우가 있으므로

3개

⁄, ¤에서 구하는 함수 f의 개수는

1+3=4 4

자기 자신에 대응되는 원소가 c인 경우이다.

X f X

a b c

a b c

f X a b c

두 함수 f, g의 역함수가 각각 f —⁄ , g—⁄ 일 때

① ( f —⁄ Ωg)(a)의 값 구하기

⁄g(a)의 값을 구한다.

¤ f —⁄ (g(a))=k로 놓으면 f(k)=g(a)이므로 이를 만족시키는 k 의 값을 구한다.

② ( fΩg—⁄ )(a)의 값 구하기

⁄g—⁄ (a)=k로 놓으면 g(k)=a이므로 이를 만족시키는 k의 값 을 구한다.

¤f(x)에 x 대신 k의 값을 대입한다.

합성함수와 역함수 ^본책75쪽

20

0525

⑴ g—⁄ (3)=2이므로 g(2)=3 즉 ¥2+b=3이므로 b=

(fΩg)(x)=f( g(x))=x+c이므로

a { x+ }-3=x+c, 즉 x+ a-3=x+c 따라서 =1, a-3=c이므로 a=3, c=4

∴ a+b+c= ⇢ ➊

⑵ f(x)=3x-3에서 f(-1)=-6 g—⁄ (-6)=k라 하면 g(k)=-6 g(x)=;3!;x+;3&;에서 ;3!;k+;3&;=-6

∴ k=-25

∴ g—⁄ (f(-1))=g^-⁄ (-6)=-25 ⇢ ➋

⑴;;™3•;; ⑵ -25 28

3 7 3 a 3

7 3 a 3 7

3 1 3

7 3 1

3

채점 기준표

➊a+b+c의 값을 구할 수 있다. 50%

➋g—⁄ (f(-1))의 값을 구할 수 있다. 50%

두 함수 f, g의 역함수가 각각 f —⁄ , g—⁄ 일 때

① (f —⁄ Ωf)(x)=x, (fΩf^-1)(y)=y

② ( fΩg)—⁄ =g—⁄ Ωf —⁄ +f —⁄ Ωg—⁄

역함수의 성질 ^본책75^쪽

21

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