01 2 02 38 03 ⑤ 04 ①, ④ 05 ⑤ 06 ④ 07 15`cm
Step 1 시험에 꼭 나오는 문제 p. 78
01
각 다면체의 면의 개수를 구하면 다음과 같다.
오각기둥 : 5+2=7(개) 칠각기둥 : 7+2=9(개) 오각뿔 : 5+1=6(개) 칠각뿔 : 7+1=8(개) 오각뿔대 : 5+2=7(개) 육각뿔대 : 6+2=8(개)
따라서 칠면체는 오각기둥, 오각뿔대의 2개이다. 답 2
● blacklabel 특강 ●필수원리
다면체의 이름
n각기둥 n각뿔 n각뿔대
다면체의 이름 (n+2)면체 (n+1)면체 (n+2)면체
02
주어진 각기둥을 n각기둥이라 하면 2n=18 ∴ n=9
즉, 주어진 각기둥은 구각기둥이므로 면의 개수는 9+2=11(개) ∴ x=11 모서리의 개수는 3_9=27(개) ∴ y=27
∴ x+y=11+27=38 답 38
03
주어진 각뿔대를 n각뿔대라 하면 2n=10 ∴ n=5
즉, 주어진 각뿔대는 오각뿔대이다.
① 면의 개수는 5+2=7(개)이므로 칠면체이다.
② 밑면의 개수는 2개이다.
③ 밑면의 모양은 오각형이다.
④ 옆면의 모양은 사다리꼴이다.
⑤ 모서리의 개수는 3_5=15(개)이다.
따라서 옳은 것은 ⑤이다. 답 ⑤
04
주어진 전개도로 정다면체를 만들면 오른쪽 그림과 같으므로
① AJÓ는`IEÓ와 만난다.
④ CJÓ는`IEÓ와 평행하다.
따라서 IEÓ와 꼬인 위치에 있는 모서
리가 아닌 것은 ①, ④이다. 답 ①, ④
E
C{G}
D{F}
A{I}
B{H}
J
05
주어진 입체도형은 가운데가 비어 있으므로 회전축에서 떨어져 있는 평면도형을 회전한 것이다.
또한, 밑면이 2개이고 뚫린 모양이 원기둥이므로 1회전시킬 때 주어진 입체도형이 생기는 것은 ⑤이다. 답 ⑤
06
① ②
③ ⑤
따라서 원기둥을 한 평면으로 자를 때 생기는 단면의 모양이 될
수 없는 것은 ④이다. 답 ④
07
원기둥의 전개도에서 밑면인 원의 둘레의 길이는 옆면인 직사각 형의 가로의 길이와 같으므로 밑면인 원의 반지름의 길이를 r`cm라 하면
2pr=30p ∴ r=15
따라서 구하는 반지름의 길이는 15`cm이다. 답 15`cm
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Step 2 A등급을 위한 문제 pp. 79~83
01 팔각뿔대 02 ② 03 24 04 12 05 12 06 74 07 ② 08 정팔면체 09 풀이 참조 10 ⑤ 11 ⑤ 12 30 13 ⑤ 14 1 15 B, G 16 ③ 17 ⑤ 18 ㄱ, ㄴ, ㄷ 19 ④ 20 26+4p 21 144
25p`cmÛ` 22 ② 23 1`:`3 24 ⑤ 25 ③ 26 48p`cmÛ`
27 20p`cmÛ` 28 ③
01
조건 ㈎, ㈏를 만족하는 다면체는 각뿔대이다.
구하는 다면체를 n각뿔대라 하면 밑면은 n각형이므로 조건 ㈐에 의하여
n(n-3)
2 =20, n(n-3)=40 이때 8_5=40이므로 n=8
따라서 구하는 다면체는 팔각뿔대이다. 답 팔각뿔대
02
A=2_3=6 B=3_5=15 C=6+1=7 D=2_7=14
∴ A<C<D<B 답 ②
05
주어진 다각형으로 만든 입체도형은 오른쪽 그 림과 같이 모든 모서리의 길이가 같은 삼각뿔, 삼각기둥, 삼각뿔이 차례대로 붙어 있는 모양 이다.
이 입체도형의 꼭짓점의 개수는 8개이므로 주 어진 각기둥을 n각기둥이라 하면
2n=8 ∴ n=4
따라서 주어진 각기둥은 사각기둥이므로 구하는 모서리의 개수는
3_4=12(개) 답 12
03
주어진 다면체의 밑면을 n각형이라 하면 180ù_(n-2)=1080ù
n-2=6 ∴ n=8
즉, 주어진 다면체의 밑면은 팔각형이다.
이때 옆면의 모양이 사다리꼴인 다면체는 각뿔대이므로 주어진 다면체는 팔각뿔대이다.
따라서 구하는 모서리의 개수는
3_8=24(개) 답 24
04
주어진 사각뿔대를 잘라 생기는 큰 입체도형은 칠면체이고, 작은 입체도형은 오면체이다.
06
1단계 f의 값을 구한다.
2단계 한 모서리에 모인 면의 개수를 이용하여 e의 값을 구한다.
3단계 한 꼭짓점에 모인 면의 개수를 이용하여 v의 값을 구한다.
주어진 전개도로 입체도형을 만들면 오른쪽 그림과 같다.
이때 정사각형인 면이 6개, 육각형인 면이 8 개이므로
f=6+8=14
한 모서리에 모인 면의 개수가 2개씩이므로 모서리의 개수는 (모든 다각형의 변의 개수의 합)
2
= (4_6)+(6_8)
2 = 72
2=36
∴ e=36
한 꼭짓점에 모인 면의 개수가 3개씩이므로 꼭짓점의 개수는 (모든 다각형의 꼭짓점의 개수의 합)
3
= (4_6)+(6_8)
3 = 72
3=24
∴ v=24
∴ v+e+f=24+36+14=74 답 74
● blacklabel 특강 ●참고
목제주령구
1975년 3월부터 1976년 12월까지 경주 안압지를 발굴, 조사하던 중 1만 5천여 점 에 이르는 많은 유물이 출토되었는데, 십사면체 주사위인 목제주령구도 이때 출토되 었다.
연못 바닥의 뻘 속에서 발견된 이 주사위는 참나무로 만들어졌으며 높이가 4.8``cm 이고, 사각형 6개와 육각형 8개로 이루어져 있다. 그리고 각 면에는 여러 가지 벌칙 이 적혀 있다.
따라서 구하는 면의 개수의 합은
7+5=12 답 12
본문 pp.78~79
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09
오른쪽 그림과 같이 꼭짓점을 정하면 꼭짓 점 A와 꼭짓점 E에서 모이는 면은 3개씩 이고 세 꼭짓점 B, C, D에서 모이는 면은 4개씩이다.
즉, 각 꼭짓점에 모인 면의 개수가 모두 같 지 않다.
따라서 정사면체 2개를 한 면이 서로 완전히 포개어지도록 붙여 놓은 입체도형은 정다면체가 아니다.
답 풀이 참조
단계 채점 기준 배점
㈎ 각 꼭짓점에 모인 면의 개수가 같은지 확인한 경우 60%
㈏ 주어진 입체도형이 정다면체인지 아닌지 말한 경우 40%
A
B D
E C
㈎
㈏
10
정사면체, 정육면체, 정팔면체, 정십이면체, 정이십면체의 한 꼭 짓점에 모인 면의 개수는 각각 3개, 3개, 4개, 3개, 5개이므로 주어진 조건을 만족하는 단면의 모양은 다음 그림과 같다.
① 정사면체 ⇨ 정삼각형
② 정육면체 ⇨ 정삼각형
③ 정팔면체 ⇨ 정사각형
④ 정십이면체 ⇨ 정삼각형
⑤ 정이십면체 ⇨ 정오각형
따라서 바르게 짝지어진 것은 ⑤이다. 답 ⑤
11
① 정사면체에 대하여 v=4, e=6, f=4이므로 5v=20, 2e=12, 3f=12
∴ 5v+2e=3f
② 정육면체에 대하여 v=8, e=12, f=6이므로 5v=40, 2e=24, 3f=18
∴ 5v+2e, 5v+3f, 2e+3f
③ 정팔면체에 대하여 v=6, e=12, f=8이므로 5v=30, 2e=24, 3f=24
∴ 5v+2e=3f
④ 정십이면체에 대하여 v=20, e=30, f=12이므로 5v=100, 2e=60, 3f=36
∴ 5v+2e, 5v+3f, 2e+3f
⑤ 정이십면체에 대하여 v=12, e=30, f=20이므로 5v=60, 2e=60, 3f=60
∴ 5v=2e=3f
따라서 조건을 만족하는 것은 ⑤ 정이십면체이다. 답 ⑤
다른풀이
다면체에서 꼭짓점, 모서리, 면의 개수 사이의 관계에 의하여 v-e+f=2 yy㉠
5v=2e=3f, 즉 5v=3f, 2e=3f에서 v= 3 5`f, e= 3
2`f이므로
07
① 정사면체와 정십이면체는 한 꼭짓점에 모인 면의 개수가 3개 로 같다.
② 정사면체는 평행한 면이 없다.
③ 정육면체와 정팔면체의 모서리의 개수는 12개로 같다.
④ 면의 모양이 정삼각형인 정다면체는 정사면체, 정팔면체, 정 이십면체의 3가지이다.
⑤ 정팔면체의 각 면의 한가운데에 있는 점을 꼭짓점으로 하는 입체도형은 오른쪽 그림과 같이 정육면체이다.
따라서 옳지 않은 것은 ②이다.
답 ②
08
정사면체의 각 모서리의 중점을 꼭짓점으로 하는 입체도형은 오른쪽 그림과 같이 모든 면이 합동인 정삼각형이고 각 꼭짓점에 모인 면의 개수가 4개인 정팔면체이다.
답 정팔면체
● blacklabel 특강 ●풀이첨삭
정사면체의 모서리는 모두 6개이므로 각 모서리의 중점은 모두 6개 존재한다. 즉, 이 들을 꼭짓점으로 하는 입체도형은 정다면체이면서 꼭짓점이 6개인 다면체이므로 정 팔면체이다.
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12
1단계 두 입체도형의 모서리의 개수의 합이 최대가 될 조건을 찾는다.
2단계 조건에 맞도록 정육면체를 잘라 본다.
3단계 모서리의 개수의 합의 최댓값을 구한다.
평면이 정육면체의 모서리 하나를 지나면서 자를 때마다 정육면 체에서 하나의 모서리였던 것이 양쪽 입체도형의 모서리가 되어 모서리의 개수가 1개씩 늘어난다.
또한, 평면과 모서리의 교점이 단면의 꼭짓점이 되므로 평면과 모서리의 교점이 많을수록 단면의 변의 개수가 늘어난다.
즉, 정육면체의 모서리를 최대한 많이 지나는 평면으로 자를 때, 두 입체도형의 모서리의 개수의 합은 최대가 된다.
이때 정육면체를 평면으로 자른 단면으로 가능한 경우는 다음의 네 가지이다.
즉, 단면이 육각형이 되도록 자를 때, 두 입체도형의 모서리의 개수의 합이 최대이고 최댓값은
(잘리지 않은 모서리의 개수) +(잘린 모서리의 개수)_2 +(단면의 변의 개수)_2
=6+6_2+6_2=30(개) 답 30
13
주어진 전개도로 만들어지는 정다 면체는 오른쪽 그림과 같은 정육면 체이다.
⑤ 모서리 GH와 모서리 NM은 평 행하다.
따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다. 답 ⑤
A B{J,`N}
L M{K}
D{H} E{G}
C{I} F
14
주어진 전개도로 만들어지는 정다면체는 다음 그림과 같은 정팔 면체이다.
15
점 A와 겹쳐지는 꼭짓점을 선으로 연결하면 다음 그림과 같다.
A
H G
B
C D
E F
따라서 꼭짓점 A와 만나는 점은 점 B와 점 G이다.
답 B, G
● blacklabel 특강 ●풀이첨삭
주어진 전개도로 만든 입체도형은 오른쪽 그
림과 같은 정십이면체이다. A{B,`G}
D E C{F}
H
16
직사각형 ABCD를 대각선 BD를 회전축으로 하여 1회전시킬 때 생기는 입체도형은 오른쪽 그림과 같다.
답 ③
B A
C D
이를 ㉠에 대입하면 3
5`f- 32 f+f=2, 110`f=2
∴ f=20
따라서 구하는 정다면체는 정이십면체이다.
2 2 3
6
1 1
a
a
b b
6
3
따라서 평행한 면의 눈의 수의 합은 3+6=9로 일정하므로 1+a=9 ∴ a=8
2+b=9 ∴ b=7
∴ a-b=8-7=1 답 1
17
각 회전체의 회전축은 다음과 같다.
① BC ê ② CD ê ③ ADê ④ ABê
따라서 한 변을 회전축으로 하여 1회전시킬 때, 생길 수 있는 회
전체가 아닌 것은 ⑤이다. 답 ⑤
본문 pp.80~81
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21
직각삼각형 ABC를 직선 AB를 회전축으로 하여 1회전시키면 오른쪽 그림과 같은 입체 도형이 생긴다.
이 입체도형을 회전축에 수직인 평면으로 자 른 단면의 모양은 항상 원이고, 이 원의 넓이 가 최대일 때는 회전축에 수직인 평면이 점 C를 지날 때이다.
점 C에서 변 AB에 내린 수선의 발을 H라 하면 (삼각형 ABC의 넓이)= 1
2_3_4= 1
2_5_CHÓ
∴ CHÓ=12 5 (cm)
따라서 구하는 단면의 넓이의 최댓값은 p_CHÓ Û`=p_{ 125 }Û`=144
25 p(cmÛ`) 답 144 25 p cmÛ`
A 4`cm
3`cm
H C
B
22
주어진 평면도형을 직선 l을 회전축으로 하여 1회전시킬 때 생기는 입체도형은 오 른쪽 그림과 같고, ①, ③, ④, ⑤는 각각 그림과 같은 방향으로 자를 때 생기는 단면 의 모양이다.
따라서 단면의 모양이 될 수 없는 것은 ②이다. 답 ②
①
③④
⑤
23
1단계 회전체의 겨냥도를 그린다.
2단계 단면의 넓이를 ABCD의 넓이에 대한 식으로 나타낸다.
3단계 AEÓ`:`EDÓ를 구한다.
주어진 평면도형을 직선 l을 회전축으로 하여 1회전시킬 때 생기는 입체도형은 오른쪽 그 림과 같다.
이때 직선 l이 변 BC와 만나는 점을 F라 하면 D'C'CD= 3
2 ABCD에서
l A
D D'
C' E
F
B C
18
주어진 직선을 회전축으로 하여 1회전시킬 때 생기는 회전체는 다음과 같다.
ㄱ.
B
B
B
B A
A D
A
A C C
C
C D
ㄴ.
B
B
B
B A
A D
A
A C C
C
C D
ㄷ.
B
B
B
B A
A D
A
A C C
C
C D
ㄹ.
B
B
B
B A
A D
A
A C C
C
C D
따라서 원뿔을 만드는 회전축이 될 수 있는 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.
답 ㄱ, ㄴ, ㄷ
19
④ 원뿔을 회전축을 포함하면서 밑면과 수직인 평면으로 자를 때 에만 단면의 모양이 삼각형이다.
⑤ 구를 평면으로 자를 때, 어느 방향으로 잘 라도 단면의 모양은 항상 원이다. 이때 원 의 반지름의 길이가 길수록 그 넓이도 커지 므로 단면의 넓이가 가장 크도록 자르려면 지름을 포함하는 평면으로 잘라야 한다.
따라서 옳지 않은 것은 ④이다. 답 ④
20
주어진 도형을 직선 l을 회전축으로 하여 1회전시킬 때 생기는 회전체는 [그림 1]과 같고, 이 회전체를 회전축을 포함하는 평면 으로 자른 단면은 [그림 2]와 같다.
3`cm
2`cm 2`cm 2`cm
5`cm l
[그림`1]
3`cm 2`cm 2`cm 5`cm
A
B D F E C
[그림`2]
[그림 2]의 둘레의 길이는 ABÓ+BDÓ+µ DE+ECÓ+CAÓ
=5+2+ 1
2_(2p_2)+2+5=14+2p(cm)
∴ a=14+2p
[그림 2]의 넓이는
(△ABC의 넓이)+(반원의 넓이)
= 12_BCÓ_AFÓ+ 1
2_(p_DFÓ Û`)
= 12_8_3+ 1
2_(p_2Û`)=12+2p(cmÛ`)
∴ b=12+2p
∴ a+b=14+2p+12+2p=26+4p 답 26+4p
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2 EFCD= 3
2 ABCD