01 ③ 02 26 cm 03 180p cmÜ`
04 234p cmÛ`, 270p cmÜ` 05 ④ 06 ⑤ 07 ④ 08 64
3 cmÜ` 09 252p cmÜ` 10 ⑤ 11 ④ 12 ⑤
Step 1 시험에 꼭 나오는 문제 pp. 87~88
01
주어진 각기둥은 밑면이 사다리꼴인 사각기둥이므로 (겉넓이) =(밑넓이)_2+(옆넓이)
=[ 12_(5+8)_4]_2+(4+8+5+5)_10
=52+220
=272(cmÛ`) (부피) =(밑넓이)_(높이)
=[ 12_(5+8)_4]_10
=260(cmÜ`) 답 ③
02
원기둥 A의 겉넓이는
(p_4Û`)_2+2p_4_10=32p+80p=112p(cmÛ`) 원기둥 B의 높이를 h cm라 하면 원기둥 B의 겉넓이는 (p_2Û`)_2+2p_2_h=8p+4ph
즉, 112p=8p+4ph이므로 4ph=104p ∴ h=26
따라서 원기둥 B의 높이는 26 cm이다. 답 26 cm
03
원기둥의 밑면의 반지름의 길이를 r cm라 하면 2pr=12p ∴ r=6
따라서 원기둥의 부피는
p_6Û`_5=180p(cmÜ`) 답 180p cmÜ`
04
주어진 직사각형을 1회전시킬 때 생기는 입체도형은 오른쪽 그림과 같으므로 (겉넓이) =(밑넓이)_2
+(바깥쪽 옆면의 넓이) +(안쪽 옆면의 넓이)
=(p_6Û`-p_3Û`)_2+2p_6_10+2p_3_10
=54p+120p+60p
=234p(cmÛ`) (부피) =(밑넓이)_(높이)
=(p_6Û`-p_3Û`)_10
=270p(cmÜ`)
답 234p cmÛ`, 270p cmÜ`
3`cm 10`cm
6`cm
05
주어진 입체도형과 똑같은 입체도형을 오 른쪽 그림과 같이 단면이 꼭 맞게 포개어 지도록 하면 원기둥이 만들어지고, 주어 진 입체도형의 부피는 이 원기둥의 부피 의 1
2이다.
∴ (부피) =1
2_{p_3Û`_(6+4)}
=45p(cmÜ`) 답 ④
6`cm 4`cm
3`cm 4`cm 6`cm
06
(겉넓이) =(밑넓이)+(옆넓이)
=3_3+{ 12_3_4}_4
=9+24=33(cmÛ`) 답 ⑤
07
주어진 원뿔대의 전개도는 오른쪽 그림 과 같으므로
(겉넓이)
=(작은 밑면의 넓이)
+(큰 밑면의 넓이)+(옆넓이)
=p_2Û`+p_3Û`+(p_3_9-p_2_6)
=4p+9p+15p=28p(cmÛ`) 답 ④
3`cm 9`cm 6`cm
2`cm
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Step 2 A등급을 위한 문제 pp. 89~93
01 ④ 02 ② 03 ③ 04 504 05 (115p-50)cmÛ` 06 1
8p cm 07 ③ 08 ② 09 5
2 10 160 cmÜ` 11 ② 12 6 13 56p cmÛ`
14 32p+28 15 (504+4p) cmÛ` 16 ② 17 ① 18 153
8 cmÜ` 19 ③ 20 2 cm 21 6 22 ② 23 31 24 124p cmÛ` 25 ④ 26 2 27 36p cmÜ` 28 105p cmÜ` 29 (72-12p) cmÜ`
30 ③
01
밑면인 부채꼴의 호의 길이는 2p_6_ 120
360=4p(cm) 주어진 입체도형의 전개도는 오 른쪽 그림과 같으므로 겉넓이는 (밑넓이)_2+(옆넓이)
={p_6Û`_ 120360 }_2+(6+4p+6)_h
=24p+4ph+12h`(cmÛ`)
이때 겉넓이가 (44p+60)cmÛ`이므로 24p+4ph+12h=44p+60에서 4ph+12h=20p+60, ph+3h=5p+15
∴ h=5 답 ④
6`cm
6`cm 6`cm
h`cm 4π`cm
120æ
08
주어진 정사각형으로 만들어지는 입체도형은 오른쪽 그림과 같이 밑면이 △EFC이고 높이 가 ADÓ인 삼각뿔이다. 이때
CEÓ =CFÓ= 1 2 ABÓ
= 12_8=4(cm) 이므로
(부피) = 1
3_{ 12_4_4}_8
= 643 (cmÜ`) 답 64 3 cmÜ`
A
E F
C{B,`D}
09
처음 원뿔의 밑면의 반지름의 길이를 r cm, 높이를 h cm라 하면 원뿔 A의 밑면의 반지름의 길이는 2r cm, 원뿔 B의 높이는 2h cm이므로
(원뿔 A의 부피) = 1
3_{p_(2r)Û`}_h
= 43 prÛ`h (cmÜ`)
이때 4
3prÛ`h=25p이므로 prÛ`h= 75 4p 따라서 원뿔 B의 부피는
1
3_prÛ`_2h = 2 3 prÛ`h
= 23_ 75 4p= 25
2p (cmÜ`) 답 25 2 p cmÜ`
10
사각뿔대는 큰 사각뿔에서 작은 사각뿔을 잘라낸 것과 같으므로 구하는 부피는
1
3_(8_6)_8- 1
3_(4_3)_4 =128-16
=112(cmÜ`) 답 ⑤
11
구의 1
8을 잘라 내고 남은 입체도형의 겉넓이는 구의 겉넓이의 7
8과 사분원 3개의 넓이의 합과 같으므로 (겉넓이) = 78_4p_4Û`+{p_4Û`_ 14 }_3
=56p+12p
=68p(cmÛ`) 답 ④
12
반지름의 길이가 10 cm인 큰 쇠구슬 1개의 부피는 4
3 p_10Ü`=4000
3 p(cmÜ`)
반지름의 길이가 1 cm인 작은 쇠구슬 1개의 부피는 43 p_1Ü`=4
3 p(cmÜ`)
따라서 큰 쇠구슬을 녹여 만들 수 있는 작은 쇠구슬의 개수는 4000
3 pÖ4
3 p=4000 3 p_ 3
4p=1000(개) 답 ⑤
본문 pp.87~89
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04
[1단계]에서 보이는 정육면체의 면의 개수는 6개이다.
[2단계]의 입체도형을 앞, 뒤, 위, 아래, 왼쪽, 오른쪽의 6개의 방향에서 바라볼 때의 그림은 다음과 같다.
[앞, 아래, 왼쪽] [뒤, 오른쪽] [위]
즉, [2단계]에서 보이는 정육면체의 면의 개수는 (1+2)_6=18(개)
같은 방법으로 보이는 정육면체의 면의 개수를 구하면 [3단계] : (1+2+3)_6=36(개)
[4단계] : (1+2+3+4)_6=60(개) [5단계] : (1+2+3+4+5)_6=90(개) [6단계] : (1+2+3+4+5+6)_6=126(개)
이때 정육면체의 한 면의 넓이는 2Û`=4이므로 [6단계]의 입체도 형의 겉넓이는
126_4=504 답 504
05
두 원기둥이 겹쳐진 부분의 입체도형의 밑면은 오른쪽 그림의 어두운 부분과 같 으므로
(밑넓이)
=2_{(부채꼴 AOB의 넓이)-△AOB}
=2_{p_5Û`_ 90360- 1
2_5_5}
= 252 p-25(cmÛ`)
또한, ∠AOB=∠AO'B=90ù이므로
(밑면의 둘레의 길이)=2_{2p_5_ 90360 }=5p(cm)
∴ (옆넓이)=5p_18=90p(cmÛ`) 따라서 구하는 입체도형의 겉넓이는 { 252 p-25}_2+90p
=115p-50(cmÛ`)
답 (115p-50)`cmÛ`
단계 채점 기준 배점
㈎ 입체도형의 밑넓이를 구한 경우 40%
㈏ 입체도형의 옆넓이를 구한 경우 40%
㈐ 입체도형의 겉넓이를 구한 경우 20%
5`cm A
B
O O'
㈎
㈏
㈐
02
주어진 입체도형의 밑면은 오른쪽 그 림과 같으므로
(밑넓이)
= 12_(11+5)_4-(2_2)
=28(cmÛ`)
(바깥쪽 옆넓이) =(11+5+5+5)_8
=208(cmÛ`) (안쪽 옆넓이) =(2+2+2+2)_8
=64(cmÛ`)
따라서 주어진 입체도형의 겉넓이는
(밑넓이)_2+(바깥쪽 옆넓이)+(안쪽 옆넓이)
=28_2+208+64
=328(cmÛ`) 답 ②
11`cm 5`cm
4`cm 2`cm
03
주어진 도형을 1회전시킬 때 생 기는 회전체는 오른쪽 그림과 같으므로
(위쪽 밑면의 넓이)
=p_3Û`-p_2Û`=5p(cmÛ`)
(가운데 밑면의 넓이) =p_2Û`-p_1Û`
=3p(cmÛ`) (아래쪽 밑면의 넓이)
=p_3Û`-p_1Û`=8p(cmÛ`) (바깥쪽 옆면의 넓이) =2p_3_2
=12p(cmÛ`)
(안쪽 옆면의 넓이) =(2p_2_1)+(2p_1_1)
=6p(cmÛ`) 따라서 회전체의 겉넓이는
5p+3p+8p+12p+6p=34p(cmÛ`) 답 ③
● blacklabel 특강 ●참고
회전체의 겉넓이를 구할 때에는 회전시키는 도형
A F
E l
C B D 의 각 변이 회전한 후 생기는 면을 순서대로 고
려하면 빠짐없이 중복되지 않게 구할 수 있다.
주어진 문제에서 6개의 점 A, B, C, D, E, F를 오른쪽 그림과 같이 정하고 ABÓ, BCÓ, CDÓ, DEÓ, EFÓ, FAÓ가 각각 회전하여 생기는 면의 넓이를 순서대로 구하면 된다.
2`cm
2`cm 1`cm
1`cm 1`cm 1`cm
1`cm
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06
물체를 넣었다가 꺼냈을 때 내려간 수면의 높이를 h`cm라 하면 그릇에서 줄어든 물의 부피는
p_8Û`_h=64ph(cmÜ`)
또한, 정육면체 모양의 물체의 부피는 2Ü`=8(cmÜ`) 이때 줄어든 물의 부피는 물체의 부피와 같으므로 64ph=8 ∴ h= 1
8p 따라서 수면의 높이는 1
8p `cm 내려간다. 답 1 8p `cm
10
처음 정육면체의 부피는 6_6_6=216(cmÜ`)
사각기둥 모양인 구멍 1개의 부피는 2_2_6=24(cmÜ`) 이때 정육면체의 부피에서 3개의 구멍의 부피를 빼면 정육면체의 한가운데에 있는 한 모서리의 길이가 2`cm인 정육면체의 부피는 2번 더 빼게 된다.
따라서 주어진 입체도형의 부피는
(처음 정육면체의 부피)-3_(구멍 1개의 부피)
+2_(한 모서리의 길이가 2`cm인 정육면체의 부피)
=216-3_24+2_(2_2_2)
=160(cmÜ`) 답 160`cmÜ`
다른풀이
처음 정육면체는 한 모서리의 길이가 2`cm인 정육면체 27개를 쌓아 만든 것으로 생각할 수 있고, 구멍을 각 면의 한가운데에 뚫었으므로 주어진 입체도형은 27개의 작은 정육면체 중 7개를 뺀 것과 같다.
따라서 주어진 입체도형의 부피는
27_(2_2_2)-7_(2_2_2)=160(cmÜ`)
07
잘린 면을 이동하여 생각하면 주어진 입체도형의 겉넓이는 자르 기 전 직육면체의 겉넓이와 같음을 알 수 있다.
이때 직육면체의 높이를 h cm라 하면 겉넓이가 348 cmÛ`이므로 9_8_2+(9+8+9+8)_h=348
144+34h=348, 34h=204 ∴ h=6 따라서 주어진 입체도형의 부피는
9_8_6-48=432-48=384(cmÜ`) 답 ③
08
칸막이가 있을 때의 물의 부피는
[ 12_(6+10)_4]_3+[ 12_(6+10)_3]_10
=96+240=336
칸막이를 제거한 후 물의 높이를 h라 하면 물의 부피는 [ 12_(6+10)_4+ 1
2_(6+10)_3]_h=56h
이때 56h=336이므로 h=6 답 ②
09
처음 정육면체의 부피는 8_8_8=512(cmÜ`)
잘라 낸 정육면체 1개의 부피는 aÜ``cmÜ`이고, 꼭짓점 8개에서 잘 라 내므로 남은 입체도형의 부피는
512-8aÜ`(cmÜ`) ∴ x=512-8aÜ`
잘린 면을 이동하여 생각하면 주어진 입체도형의 겉넓이는 처음 정육면체의 겉넓이와 같음을 알 수 있다.
즉, 잘라 내고 남은 입체도형의 겉넓이는 6_(8_8)=384(cmÛ`) ∴ y=384 이때 x-y=3이므로
(512-8aÜ`)-384=3, 8aÜ`=125 aÜ`= 125
8 ∴ a= 5 2
답 5 2
㈎
㈏
㈐
11
통을 45ù만큼 기울였을 때 통의 단면은 오른 쪽 그림과 같으므로 흘러 넘친 물의 양은 {p_6Û`_ 14+ 1
2_6_6}_10
=(9p+18)_10
=90p+180(cmÜ`) 답 ②
6`cm 45æ
12
사각뿔대의 겉넓이가 224`cmÛ`이므로
4_4+8_8+[ 12_(4+8)_h]_4=224에서 16+64+24h=224
24h=144 ∴ h=6 답 6
단계 채점 기준 배점
㈎ x의 값을 구한 경우 40%
㈏ y의 값을 구한 경우 40%
㈐ x-y=3임을 이용하여 a의 값을 구한 경우 20%
본문 pp.89~90
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15
주어진 입체도형은 오른쪽 그림과 같으므로 (겉넓이)
=(원뿔의 옆넓이)+(직육면체의 겉넓이) -(원뿔의 밑넓이)
=(p_2_4)+2_(12_10+10_6+6_12)-(p_2Û`)
=8p+504-4p
=504+4p(cmÛ`) 답 (504+4p) cmÛ`
2`cm 6`cm 4`cm
10`cm 12`cm
16
처음 정사면체의 한 면의 넓이를 S라 하면 잘라 낸 정사면체의 한 면의 넓이는 1
9S이다.
처음 정사면체의 한 면에 대하여 잘라 낸 정삼각형이 3개씩이고, 잘린 단면마다 정삼각형 1개가 생겼으므로
A=4_{S-3_ 19S}+4_ 19S= 289 S 잘라 낸 정사면체 1개의 겉넓이는 4_1
9S= 49S이고, 모두 4개 의 정사면체를 잘라 내었으므로
B=4_ 49S= 169 S
∴ A B= 28
9 SÖ 169 S= 74 답 ②
● blacklabel 특강 ●참고
중학교 3학년 과정에서 수의 범위를 실수로 확장하면 다음과 같이 해결할 수 있다.
처음 정사면체의 한 모서리의 길이를 3a라 하면 잘라 낸 정사면체의 한 모서리의 길 이는 a이다.
잘라 낸 4개의 정사면체의 겉넓이의 합은 B=4_[4_{ '34 _aÛ`}]=4'3aÛ`
잘라 내고 남은 입체도형의 겉넓이는
A=4_(처음 정사면체의 한 면에서 남은 부분의 넓이) +4_(잘린 단면 1개의 넓이)
A=4_[ '34_(3a)Û`-3_{ '34 _aÛ`}]+4_{ '34_aÛ`}
A=9'3aÛ`-3'3aÛ`+'3aÛ`=7'3aÛ`
∴ A B= 7'3aÛ`
4'3aÛ`= 74
17
주어진 전개도를 옆면으로 하는 원뿔대의 큰 밑면의 반지름의 길 이를 rÁ`cm라 하면
2p_16_ 270
360=2prÁ ∴ rÁ=12 작은 밑면의 반지름의 길이를 rª`cm라 하면 2p_8_ 270
360=2prª ∴ rª=6 즉, 원뿔대는 오른쪽 그림과 같고, 원뿔 대의 높이를 h`cm라 하면 부피가 420p cmÜ`이므로
{ 13_p_12Û`_2h}-{ 13_p_6Û`_h}=420p 84ph=420p ∴ h=5
따라서 원뿔대의 높이는 5`cm이다. 답 ①
12`cm h`cm 6`cm
h`cm
13
원뿔의 밑면의 반지름의 길이를 r`cm라 하면 (원뿔의 옆넓이)=p_r_10=10pr(cmÛ`) 원뿔이 5
2번 회전하여 제자리로 되돌아오므로 반지름의 길이가 10`cm인 원 O의 넓이는 원뿔의 옆넓이의 5
2배이다. 즉, 5
2_10pr=p_10Û` ∴ r=4 따라서 원뿔의 겉넓이는
p_4Û`+p_4_10=56p(cmÛ`) 답 56p cmÛ`
14
주어진 사다리꼴을 120ù만큼 회전시킬 때 생기는 입체도형은 오른쪽 그림과 같이 원 뿔대의 중앙에 원기둥 모양의 구멍이 뚫린 입체도형을 회전축 l을 포함하고 밑면에 수 직인 평면으로 삼등분한 것 중 하나와 같으 므로
(두 밑면의 넓이의 합)
={p_3Û`_ 120360-p_1Û`_ 120 360 }
+{p_6Û`_ 120360-p_1Û`_ 120360 }
= 83 p+ 35 3 p= 43
3 p
(원뿔대 부분의 옆넓이) =p_6_10_ 120360-p_3_5_ 120 360
=20p-5p=15p (원기둥 부분의 옆넓이)=2p_1_ 120
360_4= 8 3 p (사다리꼴 모양의 옆넓이) =[ 12_(2+5)_4]_2
=28 따라서 주어진 회전체의 겉넓이는
43
3 p+15p+8
3 p+28=32p+28 답 32p+28
l
120æ 120æ
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18
삼각뿔 O-EFG에서 EFÓ=FGÓ=3, OFÓ=6이므로 (삼각뿔 O-EFG의 부피) = 1
3_{ 12_3_3}_6
=9(cmÜ`) 삼각뿔 O-PBQ에서 BPÓ=BQÓ=1
2ABÓ= 3
2, OBÓ=BFÓ=3이 므로
(삼각뿔 O-PBQ의 부피) = 1
3_{ 12_ 3 2_ 3
2 }_3
= 98(cmÜ`) 즉, 잘라 낸 삼각뿔대의 부피는 9- 98= 63
8 (cmÜ`)
이때 정육면체의 부피는 3_3_3=27(cmÜ`)이므로 삼각뿔대를 잘라 내고 남은 입체도형의 부피는
27- 63 8 = 153
8 (cmÜ`) 답 153 8 `cmÜ`
19
원뿔과 원기둥의 높이를 각각 2h`cm, 3h`cm라 하고, 밑면의 반지름의 길이를 r`cm라 하면 처음 입체도형은 [그림 1], 최대한 큰 원뿔이 되도록 깎아 만든 입체도형은 [그림 2]와 같다.
2h`cm
3h`cm r`cm
[그림`1] [그림`2]
5h`cm r`cm
([그림 1]의 부피) =prÛ`_3h+ 1
3_prÛ`_2h
= 113 prÛ`h(cmÜ`) ([그림 2]의 부피)= 1
3_prÛ`_5h= 5
3prÛ`h(cmÜ`) 이때 두 입체도형의 부피의 차는 18`cmÜ`이므로 { 113 - 5
3 }prÛ`h=18 2prÛ`h=18 ∴ prÛ`h=9
따라서 최대한 크게 새로 만든 원뿔, 즉 [그림 2]의 부피는 5
3 prÛ`h= 53_9=15(cmÜ`) 답 ③
20
처음 삼각기둥의 부피는 { 12_4_4}_5=40(cmÜ`)
21
작은 원뿔의 높이가 2 m, 원뿔대의 높이가 2 m이므로 원뿔대의 큰 밑면의 반지름의 길이는 3_2=6(m)
이때 원뿔대의 부피를 VÁ`mÜ`라 하면
VÁ={ 13_p_6Û`_4}-{ 13_p_3Û`_2}=42p
원기둥의 밑면의 반지름의 길이도 6 m이므로 원기둥의 부피를 Vª`mÜ`라 하면
Vª=p_6Û`_7=252p
따라서 VÁ= 1aVª, 즉 Vª=aVÁ에서 252p=42pa ∴ a= 252p
42p =6
답 6
단계 채점 기준 배점
㈎ 원뿔대의 부피를 구한 경우 40%
㈏ 원기둥의 부피를 구한 경우 30%
㈐ a의 값을 구한 경우 30%
㈎
㈏
㈐
22
삼각형 DEF에서
∠DEF=180ù-(90ù+45ù)=45ù이 므로 △DEF는 직각이등변삼각형이다.
따라서 DEÓ=FDÓ=6`cm이므로 주어진
평면도형을 회전시킬 때 생기는 입체도형은 오른쪽 그림과 같다.
∴ (입체도형의 부피)
∴ =2_(원기둥의 부피)+(원뿔대의 부피)
∴ =2_(p_3Û`_3)+{ 13_p_6Û`_6- 13_p_3Û`_3}
∴ =54p+72p-9p=117p(cmÜ`) 답 ②
3`cm 3`cm
3`cm 3`cm 6`cm 6`cm
BPÓ=x`cm라 하면 EPÓ=(5-x)cm이므로 Vª= 1
3_[ 12_4_(5-x)_4]= 83(5-x) VÁ=40- 83(5-x)
이때 VÁ=4Vª이므로 40- 8
3(5-x)=4_ 8
3(5-x) 120-8(5-x)=32(5-x), 40x=80
∴ x=2
따라서 BPÓ의 길이는 2`cm이다. 답 2`cm
본문 pp.91~92
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24
주어진 입체도형의 겉넓이는
(작은 반구의 겉넓이)+(큰 반구의 겉넓이) +(큰 원의 넓이)-(작은 원의 겉넓이)
= 12_4p_4Û`+ 1
2_4p_6Û`+p_6Û`-p_4Û`
=32p+72p+36p-16p
=124p(cmÛ`) 답 124p cmÛ`
25
원기둥의 밑면의 반지름의 길이를 r라 하면 높이는 2r이므로 원기둥의 겉넓이는 2_prÛ`+2pr_2r=6prÛ`
구의 겉넓이는 4prÛ`
원뿔의 겉넓이는 prÛ`+p_r_2.2r=3.2prÛ`
따라서 원기둥, 구, 원뿔의 겉넓이의 비는
6prÛ``:`4prÛ``:`3.2prÛ`=15`:`10`:`8 답 ④
26
상자 A에 들어 있는 공 1개의 반지름의 길이는 5`cm이고, 공은 모두 8개가 들어 있으므로 상자 A 안에 들어 있는 공 전체의 겉 넓이의 합은
8_(4p_5Û`)=800p(cmÛ`) ∴ a=800p 상자 B에 들어 있는 공 1개의 반지름의 길이는 5
2`cm이고, 공 은 모두 64개가 들어 있으므로 상자 B 안에 들어 있는 공 전체의 겉넓이의 합은
64_[4p_{ 52 }Û` ]=1600p(cmÛ`) ∴ b=1600p
∴ b
a= 1600p
800p =2 답 2
27
원뿔의 겉넓이는 p_4Û`+p_4_5=36p(cmÛ`)
구의 반지름의 길이를 r cm라 하면 원뿔과 구의 겉넓이가 같으 므로
4prÛ`=36p, rÛ`=9 ∴ r=3 따라서 구의 부피는
43 p_3Ü`=36p(cmÜ`) 답 36p cmÜ`
28
반구의 반지름의 길이와 원기둥의 높이를 각각 3r, 5r라 하면 원 기둥의 밑면의 반지름의 길이는 3r이므로 처음 비누의 부피는
1 2_ 4
3 p_(3r)Ü`+p_(3r)Û`_5r =18prÜ`+45prÜ`
=63prÜ`(cmÜ`)
비누를 깎아서 가장 큰 구를 만들 때, 구의 반지름의 길이는 3r 이므로 부피는
43 p_(3r)Ü`=36prÜ`(cmÜ`)
이때 두 비누의 부피의 차는 45p`cmÜ`이므로 63prÜ`-36prÜ`=45p, 27prÜ`=45p
∴ rÜ`= 4527= 5 3
따라서 처음 비누의 부피는 63prÜ`=63p_ 5
3=105p(cmÜ`) 답 105p cmÜ`
23
1단계 사각형 ABCD를 좌표평면 위에 나타내고 회전체의 겨냥도를 그 린다.
2단계 구멍 뚫린 원뿔대의 부피를 구한다.
3단계 구멍 뚫린 원기둥의 부피를 구한다.
4단계 3V
p 의 값을 구한다.
사각형 ABCD를 좌표평면에 나타내면 [그림 1]과 같으므로 이를 y축을 회전축으로 하여 1회전시켜 생기는 입체도형은 [그림 2]와 같다.
O 1 2 1 4 5 D
C
A B
x y
1
1 3 2
1
[그림 1] [그림 2]
구멍 뚫린 원뿔대의 부피는
(큰 원뿔의 부피)-(작은 원뿔의 부피)-(원뿔대의 구멍의 부피)
= 13×p×2Û`×2- 13_p_1Û`_1-p_1Û`_1
= 43p
구멍 뚫린 원기둥의 부피는 p×2Û`_3-p×1Û`_3=9p
∴ V= 43p+9p= 313 p
∴ 3V
p = 31pp =31 답 31
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29
상자는 가로, 세로의 길이가 모두 6 cm이고 높이가 2 cm인 직 육면체이므로 부피는
6_6_2=72(cmÜ`) 탁구공 1개의 부피는 4
3 p_1Ü`=4
3 p(cmÜ`)이므로 탁구공 9개의 부피는 4
3 p_9=12p(cmÜ`)
따라서 상자 속에서 탁구공이 차지하지 않는 공간의 부피는 (72-12p) cmÜ` 답 (72-12p) cmÜ`
30
구의 부피를 VÁ`cmÜ`라 하면 VÁ= 4
3 p×6Ü`=288p
정팔면체가 구에 꼭맞게 들어 있으므로 오른쪽 그림에서
OAÓ =OBÓ=OCÓ=ODÓ=OEÓ=OFÓ
=6`cm
이때 정팔면체는 합동인 두 정사각뿔로
이루어져 있고 정사각뿔 A-BCDE의 밑면의 넓이는 BCDE= 1
2_BDÓ_CEÓ= 1
2_12_12=72(cmÛ`) 즉, 정사각뿔 A-BCDE의 부피는
1
3_ BCDE_OAÓ= 1
3_72_6=144(cmÜ`) 정팔면체의 부피를 Vª`cmÜ`라 하면
Vª=2_(정사각뿔 A-BCDE의 부피)=2_144=288
∴ VÁ Vª= 288p
288 =p
따라서 구의 부피는 정팔면체의 부피의 p배이다. 답 ③
O A E B
C F
D
Step 3 종합 서술형 도전 문제 pp. 94~95
01 ⑴ 460 cmÜ` ⑵ 5.4 cm 02 ⑴ 3 ⑵ 306 cmÛ`
03 ⑴ 1296p cmÜ` ⑵ 24 cm 04 ⑴ 50
3 p ⑵ 320분 05 6 cm 06 624 cmÛ`
07 208
3 p cmÜ` 08 12분
01
● blacklabel 답안 ●
⑴ 수조 B가 들어 있지 않은 상태에서 수조 A의 물의 높이가 5`cm가 되도록 물을 부었을 때, 물의 양은
10_10_5=500(cmÜ`)
수조 B에 물의 높이가 5`cm가 되도록 물을 부었을 때, 물의 양은
4_2_5=40(cmÜ`)
따라서 ㈏의 과정까지 마친 후, 수조 B가 들어 있는 부분을 제외한 수조 A에만 담긴 물의 양은
500-40=460(cmÜ`)
⑵ 수조 B에 가득 담긴 물의 양은 4_2_10=80(cmÜ`)
수조 B의 물을 수조 A에 모두 부으면 수조 A에 담긴 물의 양은 80+460=540(cmÜ`)
수조 A에 담긴 540 cmÜ`의 물의 높이를 h`cm라 하면 540=10_10_h ∴ h= 540
100=5.4 따라서 수조 A의 물의 높이는 5.4`cm이다.
답 ⑴ 460 cmÜ` ⑵ 5.4 cm
단계 채점 기준 배점
⑴ 수조 A에만 담긴 물의 양을 구한 경우 40%
⑵ 수조 B에 가득 담긴 물의 양을 구한 경우 20%
수조 A의 물의 높이를 구한 경우 40%
02
● blacklabel 답안 ●
⑴ 주어진 입체도형은 한 모서리의 길이가 x cm인 정육면체 모 양의 나무토막 8개를 붙인 것이므로 부피는
8_xÜ`=216, xÜ`=27 ∴ x=3
⑵ 주어진 입체도형에서 보는 방향에 따른 정사각형의 개수는 위 또는 아래에서 볼 때 5개씩, 앞 또는 뒤 또는 왼쪽 또는 오른 쪽에서 볼 때 6개씩이므로 주어진 입체도형의 겉면에 있는 정 사각형의 총 개수는
5+5+6+6+6+6=34(개)
이때 정사각형 1개의 넓이는 3_3=9(cmÛ`)이므로 주어진 입체도형의 겉넓이는
34_9=306(cmÛ`)
답 ⑴ 3 ⑵ 306 cmÛ`
단계 채점 기준 배점
⑴ x의 값을 구한 경우 40%
⑵ 입체도형의 겉넓이를 구한 경우 60%
본문 pp.92~94