입체도형 1. 입체도형의 성질
2. 입체도형의 겉넓이와 부피
01520 cm¤ 02(140p+96) cm¤ 039 04⑴ 8 cm ⑵ 7 cm 05(864+40p) cm¤
06214 cm¤ 07336p cm¤ 0856 cm¤ 09108 cm¤
104 cm 1196p cm¤ 125p cm¤ 1348p cm¤
1440p cm¤ 15132 cm¤ 1690p cm¤
17⑴ 4p cm¤ , 16p`cm¤ ⑵ 56p cm¤ 1864p cm¤
1925.92p cm¤ 20132p cm¤ 2117p cm¤
유형 TEST
01. 겉넓이 060~062쪽05 주어진 입체도형은 사각기둥에 원기둥 모양의 구멍을 뚫은 것으로, 사각형에서 작은 원을 제거한 모양의 밑면 2개, 바 깥쪽에 있는 큰 옆면, 안쪽에 있는 작은 옆면으로 둘러싸여 있는 것을 확인할 수 있다. 따라서
(밑넓이)=(정사각형의 넓이)-(원의 넓이)
=12_12-p_2¤
=144-4p(cm¤ ) yy ㉠
(바깥쪽 큰 옆면의 넓이)=(12_4)_12
=576(cm¤ ) ㉠㉠yy ㉡ (안쪽 작은 옆면의 넓이)=(2p_2)_12
(안쪽 작은 옆면의 넓이)=48p(cm¤ ) ㉠㉠yy ㉢
∴ (겉넓이)=㉠_2+㉡+㉢
∴ (겉넓이)=(144-4p)_2+576+48p
∴ (겉넓이)=288-8p+576+48p
∴ (겉넓이)=864+40p(cm¤ )
06 안쪽으로 움푹 들어가 있는 잘린 부분의 면들을 바깥쪽으로 평행이동하여 생각하면, 주어진 입체도형의 겉넓이는 가로의 길이가 6 cm, 세로의 길이가 5 cm, 높이가 4+3=7(cm) 인 직육면체의 겉넓이와 같다.
∴ (겉넓이) =(5_6)_2+(5+6+5+6)_7
=60+154=214(cm¤ )
07 만들어지는 입체도형은 오른쪽 그림과 같이 큰 원기둥에서 작 은 원기둥을 제거한 모양이다.
작은 원기둥의 밑면을 위쪽으로
올려서 생각하면 이 입체도형의 겉넓이는 큰 원기둥의 밑 넓이의 2배와 큰 원기둥의 옆넓이, 작은 원기둥의 옆넓이의 합과 같음을 확인할 수 있으므로
(겉넓이)=(p_8¤ )_2+2p_8_10+2p_4_6 (겉넓이)=128p+160p+48p
(겉넓이)=336p(cm¤ )
08 (겉넓이)=(밑넓이)+(옆넓이) (겉넓이)=4_4+{;2!;_4_5}_4 (겉넓이)=16+40=56(cm¤ )
09 정사각형의 넓이가 36 cm¤ 이므로 한 변의 길이는 6 cm이다.
∴ (겉넓이)=36+4_{;2!;_6_6}=108(cm¤ ) 6`cm 10`cm
4`cm
01 주어진 입체도형은 사각기둥이므로 (밑넓이)=;2!;_(6+12)_4=36(cm¤ ) (옆넓이)=(5+12+5+6)_16
=28_16=448(cm¤ )
∴ (겉넓이)=(밑넓이)_2+(옆넓이)
∴ (겉넓이)=36_2+448=520(cm¤ )
02 밑면의 모양이 부채꼴인 기둥이므로 (밑넓이)=p_6¤ _ =30p(cm¤ ) (옆넓이)={6+6+2p_6_ }_8 (옆넓이)=(12+10p)_8=96+80p(cm¤ )
∴ (겉넓이)=(밑넓이)_2+(옆넓이)
∴ (겉넓이)=30p_2+(96+80p)
∴ (겉넓이)=140p+96(cm¤ )
03 (p_7¤ )_2+2p_7_h=224p이므로 98p+14hp=224p
14hp=126p ∴ h=9
04 ⑴ 정육면체의 한 모서리의 길이를 a cm라고 하면 (정육면체의 겉넓이)=6_(한 면의 넓이)=6a¤ (cm¤ ) 이때 주어진 조건에서 6a¤ =384이므로
a¤ =64=8¤ ∴ a=8
⑵ 원기둥의 높이를 h cm라고 하면
(원기둥의 겉넓이)=(p_4¤ )_2+2p_4_h (원기둥의 겉넓이)=32p+8ph(cm¤ ) 이때 주어진 조건에서 32p+8ph=88p이므로 8ph=56p ∴ h=7
300 360 360-60
360
테스트BOOK
10 밑면인 원의 반지름의 길이를 r cm라고 하면 옆면인 부채 꼴의 넓이는 p_r_10=40p ∴ r=4
따라서 밑면인 원의 반지름의 길이는 4 cm이다.
11 (겉넓이)=p_6¤ +p_6_10=36p+60p=96p(cm¤ )
12 (겉넓이)=p_1¤ +p_1_4=5p(cm¤ )
13 원뿔의 모선의 길이를 l cm라고 하면 2p_l=(2p_4)_3 ∴ l=12
∴ (옆넓이)=p_4_12=48p(cm¤ )
14 밑면인 원의 반지름의 길이를 r cm라고 하면 밑면인 원의 둘레의 길이가 옆면인 부채꼴의 호의 길이와 같으므로 2pr=2p_6_ ∴ r=4
∴ (겉넓이)=p_4¤ +p_4_6
=16p+24p=40p`(cm¤ )
15 (사각뿔대의 겉넓이)
=(큰 밑면의 넓이)+(작은 밑면의 넓이)+(옆넓이)
=6_6+4_4+[;2!;_(4+6)_4]_4
=36+16+80=132(cm¤ )
16 만들어지는 입체도형은 원뿔대이므로 (원뿔대의 겉넓이)
=(큰 밑면의 넓이)+(작은 밑면의 넓이)+(옆넓이)
=p_6¤ +p_3¤ +(p_6_10-p_3_5)
=36p+9p+45p=90p(cm¤ )
17 ⑴ 원뿔대의 밑면인 두 원의 반지름의 길이를 각각 r¡ cm, r™ cm라고 하면 밑면인 원의 둘레의 길이는 부채꼴의 호의 길이와 같으므로
⑴2pr¡=2p_6_;3!6@0);=4p(cm) ∴ r¡=2
⑴2pr™=2p_12_;3!6@0);=8p(cm) ∴ r™=4
⑴따라서 두 밑면의 넓이는 각각
p_2¤ =4p (cm¤ ), p_4¤ =16p (cm¤ )
⑵ (옆넓이)=p_4_12-p_2_6=36p(cm¤ )이므로 (겉넓이)=4p+16p+36p=56p(cm¤ )
11240360
18 구의 반지름의 길이를 r cm라고 하면 구의 중심을 지나는 평면으로 자른 단면인 원의 반지름의 길이도 r cm이므로 그 넓이는 pr¤ cm¤ 이다.
이때 주어진 조건에서 pr¤ =16p이므로 (구의 겉넓이)=4pr¤ =4_16p=64p(cm¤ )
19 (한 조각의 넓이)=(야구공의 겉넓이)_;2!;
(한 조각의 넓이)=4p_(3.6)¤ _;2!;=25.92p(cm¤ )
20 (겉넓이)=(구의 겉넓이)_;2!;+(원뿔의 옆넓이) (겉넓이)=(4p_6¤ )_;2!;+p_6_10 (겉넓이)=72p+60p=132p(cm¤ )
21 (겉넓이)=;8&;_(구의 겉넓이)+3_(사분원의 넓이) (겉넓이)=;8&;_4p_2¤ +3_;4!;_p_2¤
(겉넓이)=14p+3p=17p(cm¤ )
01384 cm‹ 0236p cm‹ 038 cm 046 cm 0596p cm‹ 062 : 1 07351p cm‹ 0896p cm‹
0949 cm‹ 10:£3™: cm‹ 1112 cm 128 cm 1327p cm‹ 14240p cm‹ 15224 cm‹ 161 : 7 17210 cm‹ 18;1ª6; cm‹ 196000 cm‹
206 21750p cm‹ 22252p cm‹ 2320p 2472p cm‹ 2536p cm‹ 266 276번 2864 2981초 3027분
유형 TEST
02. 부피 063~066쪽01 (부피)=(밑넓이)_(높이)
(부피)={;2!;_6_8+10_4}_6=384(cm‹ )
02 밑면의 모양이 부채꼴인 기둥이므로 (부피)=(밑넓이)_(높이)
(부피)={p_3¤ _ }_6 (부피)=36p(cm‹ )
11240360
Ⅶ. 입체도형
087
10 사각뿔 O-ABCD는 오른쪽 그림 의 색칠된 부분을 밑면으로 하므로 (밑넓이)=;2!;_4_4=8(cm¤ )
∴ (부피)=;3!;_8_4=:£3™:(cm‹ )
11 사각뿔의 높이를 h cm라고 하면 (부피)=;3!;_(4_4)_h=:¡3§:h(cm‹ ) 이때 주어진 조건에서 :¡3§:h=64이므로 h=12
12 원뿔의 높이를 h cm라고 하면
(부피)=;3!;_(p_6¤ )_h=12ph(cm‹ ) 이때 주어진 조건에서 12ph=96p이므로 h=8
13 (부피)=;3!;_(p_3¤ )_5+;3!;_(p_3¤ )_4 (부피)=15p+12p=27p(cm‹ )
14 만들어지는 입체도형은 원기둥에서 원뿔을 제거한 모양이 므로
(부피)=(원기둥의 부피)-(원뿔의 부피) (부피)=(p_6¤ )_10-;3!;_(p_6¤ )_10 (부피)=360p-120p=240p(cm‹ )
15 (부피)=(큰 사각뿔의 부피)-(작은 사각뿔의 부피) (부피)=;3!;_(8_8)_12-;3!;_(4_4)_6 (부피)=256-32=224(cm‹ )
16 (작은 원뿔의 부피)=;3!;_(p_4¤ )_3=16p(cm‹ ) (원뿔대의 부피)
=(자르기 전의 큰 원뿔의 부피)-(작은 원뿔의 부피)
=;3!;_(p_8¤ )_6-16p
=128p-16p=112p(cm‹ )
따라서 주어진 원뿔과 원뿔대의 부피의 비는 16p`: 112p=1 : 7
4`cm D
A C
B
03 사각기둥의 높이를 h cm라고 하면 (부피)=[;2!;_(3+7)_6]_h (부피)=30h(cm‹ )
이때 주어진 조건에서 30h=240이므로 h=8
04 원기둥의 높이를 h cm라고 하면 (부피)=(p_3¤ )_h=9ph(cm‹ ) 이때 주어진 조건에서 9ph=54p이므로 h=6
05 밑면인 원의 반지름의 길이를 r cm라고 하면 옆면인 직사 각형의 가로의 길이는 밑면인 원의 둘레의 길이와 같으므로 주어진 그림에서 2pr=8p ∴ r=4
∴ (부피)=(밑넓이)_(높이)
∴ (부피)=(p_4¤ )_6=96p(cm‹ )
06 직사각형 ABCD를 변 AD를 축으로 하여 1회전 시킬 때 생기는 입체도형은 밑면인 원의 반지름의 길이가 4 cm이 고 높이가 2 cm인 원기둥이므로
(부피)=(p_4¤ )_2=32p(cm‹ )
또 직사각형 ABCD를 변 DC를 축으로 하여 1회전 시킬 때 생기는 입체도형은 밑면인 원의 반지름의 길이가 2 cm 이고 높이가 4 cm인 원기둥이므로
(부피)=(p_2¤ )_4=16p(cm‹ ) 따라서 두 입체도형의 부피의 비는 32p`: 16p=2 : 1
07 (밑넓이)=p_6¤ -p_3¤
=36p-9p=27p`(cm¤ )
∴ (부피)=(밑넓이)_(높이)
=27p_13=351p`(cm‹ )
08 밑면의 반지름의 길이가 4 cm, 높이가 12 cm인 원기둥의 반이므로
(부피)=(p_4¤ _12)_;2!;=96p(cm‹ )
09 (부피)=;3!;_{;2!;_7_7}_6=49(cm‹ )
Ⅶ. 입체도형
089
테스트BOOK
17 (직육면체의 부피)=(6_6)_7=252(cm‹ ) (잘려진 삼각뿔의 부피)=;3!;_{;2!;_6_6}_7 (잘려진 삼각뿔의 부피)=42(cm‹ )
∴ (구하는 입체도형의 부피)=252-42=210(cm‹ )
18 정육면체의 한 모서리의 길이를 a cm라고 하면 (겉넓이)=6a¤ =54, a¤ =9 ∴ a=3 즉, 정육면체의 한 모서리의 길이가 3 cm이므로 (구하는 부피)=;3!;_{;2!;_;2#;_;2#;}_;2#;=;1ª6;(cm‹ )
19 남아 있는 물은 삼각뿔 모양이므로 부피를 구하면
;3!;_{;2!;_20_40}_9=1200(cm‹ )
∴ (쏟아낸 물의 부피)=20_40_9-1200
=7200-1200
=6000(cm‹ )
20 ;3!;_{;2!;_12_15}_x=180 ∴ x=6
21 만들어지는 입체도형은 2개의 반구를 붙인 형태이므로 (입체도형의 부피)=(큰 반구의 부피)+(작은 반구의 부피) (입체도형의 부피)=;3$;p_10‹ _;2!;+;3$;p_5‹ _;2!;
(입체도형의 부피)= p+ p
(입체도형의 부피)= p=750p(cm‹ )
22 주어진 입체도형은 구에서 구의 ;8!;을 제거한 것이므로 (부피)={;3$;p_6‹ }_;8&;=252p(cm‹ )
23 반지름의 길이가 r cm인 구의 부피는 ;3$;pr‹ cm‹ 이다.
주어진 조건에서 ;3$;pr‹ = p이므로 r‹ =125=5‹ ∴ r=5
따라서 이 구의 겉넓이는
4p_5¤ =100p(cm¤ ) ∴ S=100p
∴ =100p=20p 5 S r
500 3 2250
3
250 3 2000
3
24 원뿔의 부피를 V¡ cm‹ 라고 할 때, 원뿔의 부피와 구의 부 피의 비가 1 : 2이므로
V¡`: 36p=1 : 2, 2V¡=36p ∴ V¡=18p
또 원기둥의 부피를 V™ cm‹ 라고 할 때, 원기둥의 부피와 구의 부피의 비가 3 : 2이므로
V™ : 36p=3 : 2, 2V™=108p ∴ V™=54p 따라서 원뿔의 부피와 원기둥의 부피의 합은 18p+54p=72p(cm‹ )
■ 다른 풀이 ■
구의 반지름의 길이를 r cm라고 하면
;3$;pr‹ =36p, r‹ =27 ∴ r=3 (원기둥의 부피)=p_3¤ _6=54p(cm‹ ) (원뿔의 부피)=;3!;_54p=18p(cm‹ )
25 원기둥에 구 2개가 꼭 맞게 들어 있으므로, 구의 반지름의 길이를 r cm라고 하면 원기둥의 밑면인 원의 반지름의 길 이는 r cm, 높이는 4r cm이다.
∴ (원기둥의 부피)=(p_r¤ )_4r=4pr‹ (cm‹ ) 주어진 조건에서 4pr‹ =108p이므로
r‹ =27=3‹ ∴ r=3
∴ (구 한 개의 부피)=;3$;p_3‹ =36p(cm‹ )
■ 다른 풀이 ■
부피가 54p cm‹ 인 원기둥에는 구 1개가 꼭 맞게 들어가고 원기둥의 부피와 구의 부피의 비가 3 : 2이므로 구 한 개의 부피를 V라고 하면
54p`: V=3 : 2 ∴ V=36p(cm‹ )
26 한 모서리의 길이가 8 cm인 정육면체 모양의 상자에 꼭 맞 게 들어가는 공의 반지름의 길이는 4 cm이다.
∴ `(상자의 부피)=8_8_8=512(cm‹ )
∴`(공의 부피)=;3$;p_4‹ =;:@3%:^;p(cm‹ ) 따라서 상자와 공의 부피의 비는 512 : ;:@3%:^;p=2 : ;3!;p=6 : p
∴ a=6
27 원기둥 모양의 그릇의 밑면인 원의 반지름의 길이를 r cm, 높이를 h cm라고 하면 원뿔 모양의 그릇의 밑면인 원의 반 지름의 길이는 r cm, 높이는 ;2!;h cm이다.
∴ (원기둥 모양의 그릇의 부피)=pr¤ h(cm‹ )
∴(원뿔 모양의 그릇의 부피)=;3!;_pr¤ _;2!;h
∴ (원뿔 모양의 그릇의 부피)=;6!;pr¤ h(cm‹ ) 따라서 두 그릇의 부피의 비는 1 : ;6!;, 즉 6 : 1이므로 원뿔 모양의 그릇으로 물을 가득 채워 6번 부어야만 원기 둥 모양의 그릇에 물이 가득 찬다.
28 반지름의 길이가 3 cm인 쇠구슬의 부피는
` ;3$;p_3‹ =36p(cm‹ )
또 반지름의 길이가 12 cm인 쇠구슬의 부피는
;3$;p_12‹ =2304p(cm‹ )
이때 작은 쇠구슬 n개의 부피가 큰 쇠구슬 한 개의 부피와 같아야 하므로 36p_n=2304p ∴ n=64
29 반구 모양의 그릇의 부피는 {;3$;p_9‹ }_;2!;=486p(cm‹ )
이 그릇에 1초에 6p cm‹ 씩 물을 채우므로 가득 채우는 데 걸리는 시간을 t초라고 하면
486p=6p_t ∴ t=81
30 원뿔 모양의 그릇의 부피는 ;3!;_p_6¤ _9=108p(cm‹ ) 1분 동안 넣는 물의 부피는 ;3!;_p_2¤ _3=4p(cm‹ ) 따라서 가득 채우는 데 걸리는 시간은
108p÷4p=27(분)
02 (페인트가 칠해지는 부분의 넓이)
=(원기둥의 옆넓이)_3
=(2p_8_50)_3=2400p(cm¤ )
03 주어진 전개도로 만들어지는 입체도형은 원뿔이고, 옆면인 부채꼴의 호의 길이는
2p_6_ =6p(cm)
이때 밑면인 원의 반지름의 길이를 r cm라고 하면 밑면의 둘레의 길이와 옆면인 부채꼴의 호의 길이가 서로 같으므로 2pr=6p에서 r=3
` 따라서 (밑넓이)=p_3¤ =9p(cm¤ ), ……❶
` (옆넓이)=p_6¤ _ =18p(cm¤ )이므로 ……❷ (겉넓이)=9p+18p=27p(cm¤ ) ……❸
04 만들어지는 입체도형은 원뿔의 밑면 쪽에서 작은 반구를 제거한 모양으로, 원뿔의 옆면과 구면의 ;2!; 그리고 반지름 의 길이가 5 cm인 원에서 반지름의 길이가 2 cm인 원을 제거한 모양의 면으로 둘러싸여 있다.
∴ (겉넓이)=p_5_13+(4p_2¤ )_;2!;
∴ (겉넓이)=+(p_5¤ -p_2¤ )
∴ (겉넓이)=65p+8p+21p=94p(cm¤ )
05 정사면체는 정삼각형 4개로 이루어진 다면체이므로 (정사면체의 한 면의 넓이)
=(겉넓이)_;4!;=16_;4!;=4(cm¤ )
따라서 정이십면체는 정삼각형 20개로 이루어진 다면체이 므로
(정이십면체의 겉넓이)
=4_20=80(cm¤ )
06 주어진 입체도형은 밑면인 원의 반지름의 길이가 4 cm이 고 높이가 8+14=22(cm)인 원기둥을 이등분하여 얻은 것으로 볼 수 있다.
180 360 180
360
01126 cm¤ 022400p cm¤0327p cm¤ 0494p cm¤
0580 cm¤ 06176p cm‹ 0772+165p
08 pcm‹09:¡3º: 106 cm 11144p cm‹
128 cm 13208pcm‹
3 436
3
실력 TEST
067~070쪽01 정육면체 3개를 떨어뜨려 놓으면 18개의 정사각형 모양의 면이 존재하지만 주어진 입체도형처럼 붙이면 4개의 정사 각형 모양의 면이 없어져 14개만 남게 된다.
∴ (겉넓이)=(3_3)_14=126(cm¤ )
❶밑넓이 구하기
❷옆넓이 구하기
❸겉넓이 구하기
50 % 30 % 20 %
채점 기준 배점
(입체도형의 부피)
=(큰 원뿔의 부피)-(작은 원뿔의 부피)
=-(작은 원기둥의 부피)
=;3!;_(p_8¤ )_8-;3!;_(p_4¤ )_4-(p_1¤ )_4
= p-:§3¢:p-4p
= p(cm‹ )
09 직육면체 모양의 그릇에 들어 있는 물의 부피는 첫 번째 그림으로부터
;3!;_{;2!;_10_8}_6=80(cm‹ ) 두 번째 그림으로부터
{;2!;_8_x}_6=24x(cm‹ ) 물의 부피가 서로 같으므로 80=24x ∴ x=;2*4);=:¡3º:
10 (공 한 개의 부피)=;3$;p_3‹ =36p(cm‹ ) (그릇의 부피)=(p_3¤ )_18=162p(cm‹ )
그릇에 물을 가득 담고 공 3개를 모두 넣었다가 꺼냈을 때, (남아 있는 물의 부피)
=(그릇의 부피)-(공 한 개의 부피)_3
=162p-36p_3
=54p(cm‹ )
이때 그릇에 남아 있는 물의 높이를 h cm라고 하면 (남아 있는 물의 부피)=(p_3¤ )_h=9ph(cm‹ )이므로 9ph=54p ∴ h=6
11 만들어지는 입체도형은 반구와 원뿔대를 붙인 형태의 회전 체이므로
(반구의 부피)={;3$;p_3‹ }_;2!;=18p(cm‹ ) ……❶ (원뿔대의 부피)
=(큰 원뿔의 부피)-(작은 원뿔의 부피)
=;3!;_(p_6¤ )_12-;3!;_(p_3¤ )_6
=144p-18p=126p(cm‹ ) ……❷
∴ (입체도형의 부피)=18p+126p
∴ (입체도형의 부피)=144p(cm‹ ) ……❸ 436
3 512
3
Ⅶ. 입체도형
091
테스트BOOK
∴ (입체도형의 부피)=(원기둥의 부피)_;2!;
∴ (입체도형의 부피)={(p_4¤ )_22}_;2!;
∴ (입체도형의 부피)=176p(cm‹ )
■ 다른 풀이 ■
주어진 입체도형은 오른쪽 그림과 같이 높이가 8 cm인 원기둥과 높이가 6 cm 인 원기둥을 이등분한 입체도형을 붙인 것으로 볼 수 있다.
∴ (입체도형의 부피)
∴=(p_4¤ )_8+{(p_4¤ )_6}_;2!;
∴=128p+48p=176p(cm‹ )
07 주어진 입체도형의 밑면이 큰 부채꼴에서 작은 부채꼴을 제거한 모양이므로
(밑넓이)=(큰 부채꼴의 넓이)-(작은 부채꼴의 넓이) (밑넓이)=p_9¤ _ -p_6¤ _
(밑넓이)=:™2¶:p-6p=:¡2∞:p(cm¤ ) (옆넓이)=(밑면의 둘레의 길이)_(높이)
(옆넓이)={3+3+2p_9_ +2p_6_ }_12 (옆넓이)=(6+5p)_12=72+60p(cm¤ )
(겉넓이)=(밑넓이)_2+(옆넓이) (옆넓이)=:¡2∞:p_2+(72+60p) (옆넓이)=72+75p(cm¤ )
∴ a=72+75p ……❶
(부피)=(밑넓이)_(높이)
(부피)=:¡2∞:p_12=90p(cm‹ )
∴ b=90p ……❷
∴ a+b=(72+75p)+90p
=72+165p ……❸
08 만들어지는 입체도형은 오른쪽 그림과 같이 원뿔대에 작은 원기둥 모양의 구 멍을 뚫은 형태이므로
60 360 60
360 60 360 60
360
4`cm 8`cm 6`cm
❶a의 값 구하기
❷b의 값 구하기
❸a+b의 값 구하기
40 % 40 % 20 %
채점 기준 배점
12 (칸막이 왼쪽 부분에 들어 있는 물의 부피)
=(40_20)_4=3200(cm‹ )
(칸막이 오른쪽 부분에 들어 있는 물의 부피)
=(20_20)_16=6400(cm‹ )
∴ (어항에 들어 있는 물의 부피)
∴=3200+6400=9600(cm‹ )
칸막이를 치웠을 때 물의 높이를 h cm라고 하면 (물의 부피)=(60_20)_h=1200h(cm‹ )이므로 1200h=9600 ∴ h=8
13 주어진 직사각형을 직선 l을 축으로 하 여 1회전 시킬 때 생기는 입체도형은 오 른쪽 그림과 같은 평면도형을 직선 l을 축으로 하여 1회전 시킬 때 생기는 입체 도형과 같다. 이때 그림과 같이 네 부분 으로 쪼개어 생각하면 만들어지는 입체
도형의 부피는 원뿔대 4개의 부피에서 원뿔 2개의 부피를 빼서 구할 수 있다.
(원뿔의 부피)=;3!;_(p_2¤ )_2=;3*;p(cm‹ ) (원뿔대의 부피)=;3!;_(p_4¤ )_4-;3*;p (원뿔대의 부피)=:§3¢:p-;3*;p=:∞3§:p(cm‹ ) 따라서 구하는 입체도형의 부피는
:∞3§:p_4-;3*;p_2=208p(cm‹ ) 3
l
01
① 삼각뿔대이다.⑤ 옆면의 모양은 사다리꼴이다.
02
구면체인 각기둥, 각뿔, 각뿔대는 각각 칠각기둥, 팔각뿔, 칠각뿔대이므로a=3_7=21, b=2_8=16, c=3_7=21 d=2_7=14, e=8+1=9, f=2_7=14
` ∴ a+b+c+d+e+f=21+16+21+14+9+14
∴ a+b+c+d+e+f=95
03
㈎, ㈏를 만족하는 입체도형은 정사면체, 정팔면체, 정이십 면체이다. 이 중 ㈐를 만족하는 것은 정이십면체이므로 면의 개수 a=20, 모서리의 개수 b=30∴ a+b=20+30=50
04
정사면체, 삼각뿔, 사각뿔은 평행한 면을 가지고 있지 않다.05
주어진 전개도로 만들어지는 정 팔면체는 오른쪽 그림과 같으므 로, 모서리 AB와 꼬인 위치에 있는 모서리가 아닌 것은⑤ CD”이다.
06
① 구의 경우 회전축은 무수히 많다.② 직각삼각형의 빗변을 축으로 하여 1회전 시킬 때 생기는 회전체는 원뿔이 아니다.
⑤ 원뿔을 회전축에 수직인 평면으로 자른 단면은 항상 원 이지만 그 크기가 다르므로 합동이 아니다.
07
길이가 가장 짧게 되도록 하 는 실의 경로는 오른쪽 그림 과 같이 옆면의 전개도인 직사각형에서 대각선으로 나타나므로 색칠한 부분은 직각삼 각형이다.
∴ (색칠한 부분의 넓이)=;2!;_(2p_5)_10
∴ (색칠한 부분의 넓이)=50p(cm¤ )
08
만들어진 회전체를 직선 l을 포함 하는 평면으로 자른 단면의 모양 은 오른쪽 그림과 같은 선대칭도 형이다. ……❶4`cm 4`cm 4`cm l
6`cm A
B
A
B 10`cm 2π\5`cm
E
A{I}
B{`H} C{G} J
D{F}
❶반구의 부피 구하기
❷원뿔대의 부피 구하기
❸입체도형의 부피 구하기
30 % 40 % 30 %
채점 기준 배점
01①, ⑤ 0295 0350 04⑤ 05⑤ 06③, ④ 0750p cm¤ 0880 cm¤
09⑤ 10④ 11180p cm¤ 1290 mL
13④ 1416 15③ 16
171200p+4400 184 cm 19② 20①
11 3
대단원 TEST
071~074쪽Ⅶ. 입체도형
093
테스트BOOK
∴ (단면의 넓이)
∴=8_4+12_4=32+48=80(cm¤ ) ……❷
09
위쪽에 있는 작은 세 면을 붙여서 생각하면 아래쪽에 있는 면과 똑같으므로, 이들 넓이의 합은(12_4)_2=96(cm¤ )
또 오른쪽에 있는 작은 세 면을 붙여서 생각하면 왼쪽에 있 는 큰 면과 똑같으므로, 이들 넓이의 합은
또 오른쪽에 있는 작은 세 면을 붙여서 생각하면 왼쪽에 있 는 큰 면과 똑같으므로, 이들 넓이의 합은