2 이차함수 y=ax¤ +bx+c의 그래프
II. 인수분해와이차방정식
정 답 과 해설
II. 인수분해와이차방정식
1 인수분해
1 4 2 (x-3)(2x-1) 3 4'∂15 4 1.2
1단계 P. 22~23
1 8, 32 2 2 3 x+7 4 4개 5 3x-1 6 -12, 2x+3 7 4x-2
8 ⑴ (x+3y-5)(x+3y+7) ⑵ (3, 1) 9 1002 10 ⑴ 5_11_73 ⑵ 3개 11 6'∂10 12 3'∂17+8
2단계 P. 24~26
(2x-1)(2x-9)+kx=4x¤ -20x+9+kx
=4x¤ +(k-20)x+9
=(2x)¤ +(k-20)x+(—3)¤
이 식이 완전제곱식이 되려면
k-20=2_2_(—3)=—12이어야 한다. y`⁄
즉, k-20=12에서 k=32이고, k-20=-12에서 k=8이다.
따라서 구하는 상수 k의 값은 8, 32이다. y`¤
'ßx=a-2의 양변을 제곱하면
('x)¤ =(a-2)¤ 에서 x=a¤ -4a+4이므로 'ƒx+2a-3+'ƒx-2a+5
="√a¤ -4a+4+2a-3+"√a¤ -4a+4-2a+5
="√a¤ -2a+1+"√a¤ -6a+9 y`⁄
="√(a-1)¤ +"√(a-3)¤ y`¤
이때 2<a<3이므로
1<a-1<2, -1<a-3<0이다. y`‹
∴ (주어진 식)=(a-1)-(a-3)
=a-1-a+3=2 y`›
2 1
"√3_1.58¤ -3_1.42¤
="√3(1.58¤ -1.42¤ )
="√3(1.58+1.42)√(1.58-1.42) y`⁄
='ƒ3_3_0.16
='ƒ1.44
=1.2 y`¤
4
(x+b)(cx+2)=cx¤ +(2+bc)x+2b y`⁄
5x¤ -3x+a=cx¤ +(2+bc)x+2b이므로 c=5
-3=2+bc에서 -3=2+5b ∴ b=-1
a=2b=2_(-1)=-2 y`¤
∴ a-b+c=-2-(-1)+5=4 y`‹
(x-4)(2x+1)=2x¤ -7x-4에서 지연이는 x의 계수를 바르게 보았으므로
a=-7 y`⁄
(x+1)(2x+3)=2x¤ +5x+3에서 수빈이는 상수항을 바르게 보았으므로
b=3 y`¤
따라서 2x¤ +ax+b=2x¤ -7x+3이므로 이 식을 바르게 인수분해하면
(x-3)(2x-1)이다. y`‹
x¤ -y¤ =(x+y)(x-y) y`⁄
x+y=('5+'3)+('5-'3)=2'5
x-y=('5+'3)-('5-'3)=2'3 y`¤
∴ x¤ -y¤ =(x+y)(x-y)
=2'5_2'3
=4'∂15 y`‹
3 2 1
⁄ 인수분해 결과를 전개하기
¤ a, b, c의 값 구하기
‹ a-b+c의 값 구하기
30%
50%
20%
채점 기준 배점
⁄ x¤ -y¤을 인수분해하기
¤ x+y, x-y의 값 구하기
‹ 주어진 식의 값 구하기
40%
40%
20%
채점 기준 배점
⁄ a의 값 구하기
¤ b의 값 구하기
‹ 처음의 이차식을 바르게 인수분해하기
30%
30%
40%
채점 기준 배점
⁄ 인수분해 공식을 이용하여 근호 안의 수를 변형하기
¤ 계산하기
60%
40%
채점 기준 배점
⁄ 완전제곱식이 되기 위한 k의 조건 설명하기
¤ 상수 k의 값 구하기
60%
40%
채점 기준 배점
⁄ 근호 안의 식을 a에 대한 식으로 나타내기
¤ 근호 안의 식을 인수분해하기
‹ a-1, a-3의 부호 판단하기
› 주어진 식 간단히 하기
20%
30%
20%
30%
채점 기준 배점
정답과해설
(도형 A의 넓이)=(x+5)¤ -2¤ y`⁄
={(x+5)+2} {(x+5)-2}
=(x+7)(x+3) y`¤
이때 두 도형 A, B의 넓이가 서로 같고, 도형 B의 세로의 길이는 x+3이므로 가로의 길이는 x+7이다. y`‹
x¤ +kx-10=(x+a)(x+b)라 하자.(단, a>b)
이때 k=a+b, ab=-10이므로 ab=-10을 만족하는 정 수 a, b의 순서쌍 (a, b)와 그에 따른 k의 값을 구하면 다
음과 같다. y`⁄
㈎ (a, b)가 (1, -10)일 때, k=a+b=1-10=-9
㈏ (a, b)가 (2, -5)일 때, k=a+b=2-5=-3
㈐ (a, b)가 (5, -2)일 때, k=a+b=5-2=3
㈑ (a, b)가 (10, -1)일 때, k=a+b=10-1=9 y`¤
따라서 ㈎~㈑에 의해 상수 k는
-9, -3, 3, 9의 4개이다. y`‹
3x¤ -10x+3=(x-3)(3x-1) y`⁄
6x¤ +13x-5=(2x+5)(3x-1) y`¤
따라서 구하는 공통인 인수는 3x-1이다. y`‹
x-4가 2x¤ -5x+a의 인수이므로
2x¤ -5x+a=(x-4)(2x+b)라 하자. y`⁄
이 식의 우변을 전개하면
(x-4)(2x+b)=2x¤ +(b-8)x-4b이므로 y`¤
2x¤ -5x+a=2x¤ +(b-8)x-4b에서
-5=b-8 ∴ b=3 y`‹
∴ a=-4b=-4_3=-12 y`›
6 5 4
3 2x+1=A, 3y-2=B로 놓으면
(주어진 식)
=A¤ -B¤ -4A+4=A¤ -4A+4-B¤
=(A-2)¤ -B¤ =(A-2+B)(A-2-B)
={(2x+1)-2+(3y-2)} {(2x+1)-2-(3y-2)}
=(2x+3y-3)(2x-3y+1) y`⁄
따라서 두 일차식은 2x+3y-3, 2x-3y+1이므로 y`¤
구하는 합은
(2x+3y-3)+(2x-3y+1)=4x-2 y`‹
⑴ x+3y=A로 놓으면 x¤ +6xy+9y¤ +2x+6y-35
=(x+3y)¤ +2(x+3y)-35
=A¤ +2A-35
=(A-5)(A+7)
=(x+3y-5)(x+3y+7) y`⁄
⑵ 주어진 식의 값이 소수가 되려면
x+3y-5=1, x+3y+7=(소수)이어야 한다. y`¤
이때 x+3y=6이면 x+3y+7=13으로 소수이다.
따라서 x+3y=6을 만족하는 자연수 x, y의 순서쌍 (x, y)를 구하면 (3, 1)뿐이다. y`‹
(1004-6)(1004+2)+16
=1004¤ -4_1004-12+16
=1004¤ -4_1004+4
=1004¤ -2_1004_2+2¤
=(1004-2)¤ y`⁄
=1002¤
∴ N=1002 y`¤
⑴ 8› -81=8› -3›
=(8¤ +3¤ )(8¤ -3¤ )
=(8¤ +3¤ )(8+3)(8-3) y`⁄
따라서 8› -81을 소인수분해하면
73_11_5이다. y`¤
10 9 8 7
⁄ 도형 A의 넓이를 x에 대한 식으로 나타내기
¤ ⁄의 식을 인수분해하기
‹ 도형 B의 가로의 길이 구하기
30%
40%
30%
채점 기준 배점
⁄ 3x¤ -10x+3을 인수분해하기
¤ 6x¤ +13x-5를 인수분해하기
‹ 공통인 인수 구하기
40%
40%
20%
채점 기준 배점
⁄ 주어진 조건을 만족하는 a, b와 k의 조건 알기
¤ 순서쌍 (a, b)와 그에 따른 k의 값 구하기
‹ 상수 k의 개수 구하기
20%
60%
20%
채점 기준 배점
⁄ 주어진 식 인수분해하기
¤ 두 일차식 구하기
‹ 두 일차식의 합 구하기
50%
30%
20%
채점 기준 배점
⁄ 인수분해 공식을 이용하여 주어진 식을 변형하기
¤ 자연수 N의 값 구하기
70%
30%
채점 기준 배점
⁄ 주어진 식 인수분해하기
¤ ⁄의 식이 소수가 되기 위한 조건 설명하기
‹ 순서쌍 (x, y) 구하기
50%
30%
20%
채점 기준 배점
⁄ 2x¤ -5x+a=(x-4)(2x+b)로 놓기
¤ ⁄의 식의 우변을 전개하기
‹ b의 값 구하기
› a의 값 구하기
20%
20%
30%
30%
채점 기준 배점
Ⅱ.인수분해와이차방정식
정 답 과 해설 1 (x-2)(x-8) 2 43, 62 3 ⑴ 풀이 참조 ⑵ 210
3단계 P. 27
|예시 답안|
x¤ -10x+16=x¤ -2x-8x+16 y`⁄
=x(x-2)-8(x-2) y`¤
=(x-2)(x-8) y`‹
5x¤ + x+24=(5x+a)(x+b)
=5x¤ +(a+5b)x+ab y`⁄
이때 =a+5b, ab=24이므로 ab=24를 만족하는 자연 수 a, b의 순서쌍 (a, b)와 그에 따른 안에 알맞은 수를 구하면 다음과 같다.
㈎ (a, b)가 (2, 12)일 때,
=a+5b=2+5_12=62
㈏ (a, b)가 (3, 8)일 때,
=a+5b=3+5_8=43
따라서 ㈎, ㈏에 의해 안에 알맞은 수는
43, 62이다. y`¤
⑴ |예시 답안|
연속한 두 자연수를 n, n+1이라 하면 연속한 두 자연수의 제곱의 차는 (n+1)¤ -n¤
이 식을 인수분해하면
(n+1)¤ -n¤ ={(n+1)+n} {(n+1)-n}
=(2n+1)_1
=2n+1
=(n+1)+n
따라서 연속한 두 자연수의 제곱의 차는 이 두 자연수의
합과 같으므로 ㈀은 항상 성립한다. y`⁄
⑵ 20¤ -19¤ +18¤ -17+y+2¤ -1¤
=20+19+18+17+y+2+1
=21_10
=210 y`¤
3 2 1
⑵ 8› -81=73_11_5이므로 8› -81을 나누어떨어지게 하 는, 즉 8› -81의 약수인 두 자리의 자연수는
73, 11, 11_5=55의 3개이다. y`‹
x= =
x= ='∂10+3
y= =
= ='∂10-3 y`⁄
주어진 식을 인수분해하면
x¤ -y¤ -3x-3y=(x+y)(x-y)-3(x+y)
=(x+y)(x-y-3) y`㉠ y`¤
이때 x+y=('∂10+3)+('∂10-3)=2'∂10,
x-y=('∂10+3)-('∂10-3)=6이므로 y`‹
이를 ㉠의 식에 대입하면
2'∂10(6-3)=6'∂10 y`›
b-4=A로 놓으면
a¤ -b¤ +8b-16=a¤ -(b¤ -8b+16)
=a¤ -(b-4)¤
=a¤ -A¤
=(a+A)(a-A)
={a+(b-4)} {a-(b-4)}
=(a+b-4)(a-b+4) y`㉠ y`⁄
a+b='∂17을 ㉠의 식에 대입하면 ('∂17-4)(a-b+4)=3이므로
a-b+4= =
=3('∂17+4)=3'∂17+12 y`¤
∴ a-b=3'∂17+12-4=3'∂17+8 y`‹
3('∂17+4) ('∂17-4)('∂17+4) 3
'∂17-4 12
'∂10-3 10-9
'∂10-3 ('∂10+3)('∂10-3) 1
'∂10+3 '∂10+3 10-9
'∂10+3 ('∂10-3)('∂10+3) 1
'∂10-3 11
⁄ 인수분해 공식을 이용하여 8› -81을 변형하기
¤ 8› -81을 소인수분해하기
‹ 8› -81을 나누어떨어지게 하는 두 자리의 자연수의 개수 구하기
40%
20%
40%
채점 기준 배점
⁄ 주어진 다항식의 일차항을 두 일차항의 합으로 나타내기
¤ 두 항씩 나누어 공통인 인수로 묶기
‹ 주어진 식 인수분해하기
40%
30%
30%
채점 기준 배점
⁄ x, y의 분모를 유리화하기
¤ 주어진 식 인수분해하기
‹ x+y, x-y의 값 구하기
› 주어진 식의 값 구하기
30%
40%
20%
10%
채점 기준 배점
⁄ 주어진 식 인수분해하기
¤ a-b+4의 값 구하기
‹ a-b의 값 구하기
50%
30%
20%
채점 기준 배점
⁄ 인수분해 결과를 전개하기
¤ 순서쌍 (a, b)와 그에 따른 안에 알맞은 수 구하기 30%
70%
채점 기준 배점
⁄ ㈀이 항상 성립함을 설명하기
¤ ㈀을 이용하여 주어진 식 계산하기
50%
50%
채점 기준 배점
정답과해설
2 이차방정식
1 2 2 x= 3 x=
4 18
-1—'∂41 4 -4—'∂13
3
1 단계 P. 28~29
x=3을 주어진 이차방정식에 대입하면 (a-1)_3¤ -(2a+1)_3+6=0
3a-6=0 ∴ a=2 y`⁄
a=2를 주어진 이차방정식에 대입하면
x¤ -5x+6=0 y`¤
(x-2)(x-3)=0 ∴ x=2 또는 x=3
따라서 다른 한 근은 2이다. y`‹
3x¤ +8x+1=0의 양변을 3으로 나누면
x¤ + x+ =0 y`⁄
상수항을 우변으로 이항하면 x¤ +
x=-양변에 { }2 = 을 더하면 x¤ + x+ =- +
{x+ }2 = y`¤
x+ =—
∴ x= y`‹
양변에 10을 곱하면 4x¤ +2x-10=0
2x¤ +x-5=0 y`⁄
x= y`¤
∴ x=-1—'∂41 y`‹
4
-1—"√1¤ -4_2_(-5) 2_2
3
-4—'∂13 3
'∂13 3 4 3
13 9 4 3
16 9 1 3 16
9 8 3
16 9 4 3
1 3 8
3 1 3 8 3 2
1
⁄ 한 근을 대입하여 미지수 구하기
¤ 미지수를 대입하여 이차방정식 구하기
‹ 다른 한 근 구하기
40%
20%
40%
채점 기준 배점
⁄ x¤의 계수를 1로 만들기
¤ 좌변을 완전제곱식으로 고치기
‹ 이차방정식의 해 구하기
20%
50%
30%
채점 기준 배점
상자의 밑면이 한 변의 길이가 (x-4) cm인 정사각형이므로
(x-4)¤ _2=392 y`⁄
(x-4)¤ =196 x-4=—14 x=4—14
∴ x=-10 또는 x=18 y`¤
그런데 x>0이므로 x=18 y`‹
4
⁄ 계수를 모두 정수로 고치기
¤ 근의 공식 적용하기
‹ 이차방정식의 해 구하기
30%
40%
30%
채점 기준 배점
⁄ 이차방정식 세우기
¤ 이차방정식 풀기
‹ x의 값 구하기
30%
50%
20%
채점 기준 배점
1 1 2 m=2, 중근 : 3 3 x=-3 또는 x=
4 ⑴ x=-1—'7 ⑵ -4'7 5 a=2, b=-4 6 x=-1또는 x=3 7 2'∂26
8 a=-6, b=6 9 x=-4—'∂10
10 ⑴ x= ⑵ 6, 10, 12 11 12 12 8 cm
7—'ƒ49-4k 2
2 5
2 단계 P. 30~32
(a+1)x¤ +3ax-(2a+3)=0에 x=1을 대입하면
(a+1)+3a-(2a+3)=0 y`⁄
2a-2=0, 2a=2
∴ a=1 y`¤
중근을 가지려면 좌변이 완전제곱식이어야 하므로
2m¤ +1=[ ]2 y`⁄
2m¤ +1=m¤ +2m+1 m¤ -2m=0, m(m-2)=0
∴ m=0 또는 m=2
그런데 m>0이므로 m=2 y`¤
m=2를 주어진 이차방정식에 대입하면 x¤ -6x+9=0, (x-3)¤ =0
∴ x=3(중근) y`‹
-2(m+1) 2 2
1
⁄ 한 근을 대입하기
¤ a의 값 구하기
50%
50%
채점 기준 배점
Ⅱ.인수분해와이차방정식
정 답 과 해설 (x-8)(x-10)=15에서 x¤ -18x+65=0
(x-5)(x-13)=0
∴ x=5 또는 x=13
이때 a<b이므로 a=5, b=13 y`⁄
즉, 5x¤ +13x-6=0에서 (x+3)(5x-2)=0
∴ x=-3 또는 x= y`¤
⑴ x¤ +2x-6=0에서 x¤ +2x=6, x¤ +2x+1=6+1 (x+1)¤ =7, x+1=—'7 ∴ x=-1—'7 y`⁄
⑵ a>b이므로 a=-1+'7, b=-1-'7 y`¤
a+b=-2, a-b=2'7이므로 a¤ -b¤ =(a+b)(a-b)
=-2_2'7=-4'7 y`‹
x= = y`⁄
이때 x= 이므로 b=-4 y`¤
10=16-3a, 3a=6 ∴ a=2 y`‹
양변에 6을 곱하면
2x(x-2)-(x+1)(x-3)=6 y`⁄
2x¤ -4x-x¤ +2x+3-6=0
x¤ -2x-3=0 y`¤
(x+1)(x-3)=0
∴ x=-1 또는 x=3 y`‹
6
b—'∂10 3
-4—'ƒ16-3a 3 -4—"√4¤ -3_a
5 3 4
2 5 3
⁄ 중근을 갖기 위한 m의 조건 설명하기
¤ m의 값 구하기
‹ 중근 구하기
30%
30%
40%
채점 기준 배점
⁄ 완전제곱식을 이용하여 이차방정식 풀기
¤ a, b의 값 구하기
‹ a¤ -b¤의 값 구하기
40%
20%
40%
채점 기준 배점
⁄ 근의 공식을 이용하여 이차방정식 풀기
¤ b의 값 구하기
‹ a의 값 구하기
60%
20%
20%
채점 기준 배점
두 근이 - , 2이고, x¤ 의 계수가 2인 이차방정식은 2{x+ }(x-2)=0에서 2x¤ +x-10=0
이 식이 2x¤ +mx+n=0과 같으므로
m=1, n=-10 y`⁄
즉, x¤ +10x-1=0의 두 근을 구하면 y`¤
x=-5—"√5¤ -1_(-1)=-5—'∂26 y`‹
따라서 두 근의 차는
(-5+'∂26)-(-5-'∂26)=2'∂26 y`›
1<'2<2에서 -2<-'2<-1, 3<5-'2<4이므로 5-'2의 소수 부분은 (5-'2)-3=2-'2 y`⁄
즉, 주어진 이차방정식의 두 근은 2-'2, 2+'2 y`¤
두 근의 합은 (2-'2)+(2+'2)=4이므로
- =4 ∴ a=-6 y`‹
두 근의 곱은 (2-'2)(2+'2)=2이므로
=2 ∴ b=6 y`›
이차방정식 x¤ +kx+(k+2)=0에 x=-2를 대입하면 (-2)¤ -2k+(k+2)=0
-k+6=0 ∴ k=6 y`⁄
x¤ +(k+2)x+k=0에 k=6을 대입하면
x¤ +8x+6=0 y`¤
∴ x=-4—"√4¤ -1_6=-4—'∂10 y`‹
⑴ x=
=7—'ƒ49-4k y`⁄
2
-(-7)—"√(-7)¤ -4_1_k 10 2_1
9 b 3
2a 3 8
5 2
5 7 2
⁄ 양변에 분모의 최소공배수 곱하기
¤ ax¤ +bx+c=0의 꼴로 나타내기
‹ 이차방정식의 해 구하기
30%
30%
40%
채점 기준 배점
⁄ m, n의 값 구하기
¤ x¤ -nx-m=0구하기
‹ x¤ -nx-m=0의 두 근 구하기
› x¤ -nx-m=0의 두 근의 차 구하기
40%
10%
40%
10%
채점 기준 배점
⁄ k의 값 구하기
¤ 처음의 이차방정식 구하기
‹ 처음의 이차방정식의 해 구하기
40%
20%
40%
채점 기준 배점
⁄ 5-'2의 소수 부분 구하기
¤ 주어진 이차방정식의 두 근 구하기
‹ a의 값 구하기
› b의 값 구하기
20%
20%
30%
30%
채점 기준 배점
⁄ a, b의 값 구하기
¤ 이차방정식 ax¤ +bx-6=0의 해 구하기
40%
60%
채점 기준 배점
정답과해설
⑵ ⑴에서 구한 해가 유리수가 되려면 근호 안의 수가
(자연수)¤ 의 꼴이어야 한다. y`¤
즉, 49-4k=1¤ , 2¤ , 3¤ , 4¤ , 5¤ , 6¤ 에서 4k=48, 45, 40, 33, 24, 13
∴ k=12, , 10, , 6,
그런데 k는 자연수이므로 k=6, 10, 12 y`‹
t초 후 직사각형의 가로의 길이는 (40-2t) cm,
세로의 길이는 (24+3t) cm y`⁄
t초 후 직사각형의 넓이가 처음의 직사각형의 넓이와 같아 지므로 (40-2t)(24+3t)=40_24 y`¤
-6t¤ +72t=0, t(t-12)=0
∴ t=0 또는 t=12 y`‹
그런데 t>0이므로 t=12 y`›
BF”=x cm라 하자.
△ABCª△ADE이므로 AB” : AD”=BC” : DE”
20 : AD”=10 : x에서 10AD”=20x ∴ AD”=2x (cm)
∴ DB”=20-2x (cm) y`⁄
이때 DBFE=32 cm¤이므로
x(20-2x)=32에서 y`¤
-2x¤ +20x-32=0, x¤ -10x+16=0, (x-2)(x-8)=0
∴ x=2 또는 x=8 y`‹
그런데 BF”>DB”이어야 하므로 x=8
따라서 BF”의 길이는 8 cm이다. y`›
12 11
13 4 33
4 45
4
⁄ 근의 공식을 이용하여 이차방정식 풀기
¤ 해가 유리수가 되기 위한 조건 설명하기
‹ k의 값 구하기
40%
20%
40%
채점 기준 배점
1 도형과 식은 풀이 참조, x=2 2 16마리 또는 48마리 3 5 cm
3 단계 P. 33
[1단계]
x¤ +8x=20
y`⁄
[2단계]
x¤ +8x+16
=20+16=36
y`¤
[3단계]
(x+4)¤ =36 x+4=6
∴ x=2
y`‹
숲 속에 있는 원숭이를 모두 x마리라 하면
x-{ x}2 =12 y`⁄
x- x¤ =12, x¤ -64x+768=0, (x-16)(x-48)=0
∴ x=16 또는 x=48 y`¤
따라서 원숭이는 모두 16마리 또는 48마리이다. y`‹
쿠키틀의 긴 변의 길이를 x cm라 하면
BC”=(2x+2) cm이고, AD”=BC”이므로 쿠키틀의 짧은 변의 길이는
= x+ (cm) y`⁄
∴ AB”=x+ x+ = x+ (cm)
이때 (2x+2){ x+ }=96이므로 y`¤
3x¤ +4x-95=0, (3x+19)(x-5)=0
∴ x=- 또는 x=5 그런데 x>0이므로 x=5
따라서 쿠키틀의 긴 변의 길이는 5 cm이다. y`‹
19 3
1 2 3 2
1 2 3 2 1 2 1 2
1 2 1 2 2x+2
4
x cm
A D
B 2 cmC
3
1 64
1 8 2
x x
4
4 x™ 4x
16 4x x
x
4
16 4 x™ 4x
4x
x x™ 8x
x 8
1
⁄ t초 후 직사각형의 가로, 세로의 길이 구하기
¤ 이차방정식 세우기
‹ 이차방정식 풀기
› t의 값 구하기
20%
20%
40%
20%
채점 기준 배점
⁄ BF”, DB”의 길이를 문자를 사용하여 나타내기
¤ 이차방정식 세우기
‹ 이차방정식 풀기
› BF”의 길이 구하기
30%
20%
30%
20%
채점 기준 배점
⁄ [1단계]에 알맞은 도형을 그리고 식 쓰기
¤ [2단계]에 알맞은 도형을 그리고 식 쓰기
‹ [3단계]에 알맞은 도형을 그리고 식 쓰기
30%
30%
40%
채점 기준 배점
⁄ 이차방정식 세우기
¤ 이차방정식 풀기
‹ 원숭이의 수 구하기
40%
50%
10%
채점 기준 배점